【文档说明】《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第10讲 待定系数法求二次函数的解析式（解析版）.docx，共(15)页，495.645 KB，由管理员店铺上传

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1学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型TCT授课日期及时段教学内容待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】1.能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2.经历

探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2yaxb

xc=++(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：2()yaxhk=−+(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：12()()yaxxxx=−−(1x，2x为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．2.确定二次函数解析式常用待

定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2yaxbxc=++或2()yaxhk=−+，或12()()yaxxxx=−−，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于

解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线

上的三点坐标时，可设函数的解析式为2yaxbxc=++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()yaxhk=−+；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设

函数的解析式为212()()yaxxxx=−−．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.【答案与解析】本题

已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).

举一反三：【变式】已知：抛物线2yaxbxc=++经过A（0，5−），B（1，3−），C（1−，11−）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52−+=bxaxy(a≠0)，据题意列−−=−−+=−511

53baba，解得=−=42ba，所得函数为5422−+−=xxy对称轴方程：1=x，顶点()31−,.2．已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），求该函数的关系式.【答案与解析】设该函数解析式为y=a(x+1)2+4(a

≠0).因为函数经过点（2，－5），则：a(2+1)2+4=-5，解得a=-1所以该函数的关系式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3.【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【变式】在直角坐标平面内，二次函

数图象的顶点为(14)A−，，且过点(30)B，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223yxx=−−．（2）令0y=，得2230xx−−=，解方程，得13x=，2

1x=−．−=++−=++−=+−53939cbacbacba−==−=531cba3∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)−，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为

(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2yaxbxc=++(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有930,3,1,2abccba++==−=

解得1,2,3.abc=−==∴抛物线解析式为223yxx=−++．解法二：设抛物线解析式为12()()yaxxxx=−−(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)yaxx=+−，即223yax

axa=−−．又33a−=，∴1a=−．∴抛抛物物解析式为223yxx=−++．解法三：设二次函数解析式为2()yaxhk=−+(a≠0)．则有2(1)yaxk=−+，将点(3，0)，(0，3)代入得40,3,akak+=

+=解得1,4.ak=−=∴二次函数解析式为2(1)4yx=−−+，即223yxx=−++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式

求解．类型二、用待定系数法解题44．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)yaxx

=+−(a≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a=+−g，∴1a=−．∴(2)(4)yxx=−+−．即228yxx=−++．(2)由(1)知C(0，8)，∴1(42)8242ABCS=+=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．

将抛物线解析式设成顶点式．【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)−，，且过点302，．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点2()Mmm−，都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）23

212+−−=xxy；（2）证明：若点2()Mmm−，在此二次函数的图象上，则221(1)22mm−=−++．得2230mm−+=．△=41280−=−，该方程无实根．所以原结论成立．待定系数法求二次函数的解析式—巩固

练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为()．A．210yxx=+B．210yxx=−−C．210yxx=−D．210yxx=−+2．二次函数225yxx=+−有()A．最小

值-5B．最大值-5C．最小值-6D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2

－254．如图所示，已知抛物线y＝2xbxc++的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数2yxx=+的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数232yxx=

−+的图象，则a的值为()A．1B．2C．3D．46．若二次函数2yaxbxc=++的x与y的部分对应值如下表：x-7-6-5-4-3-2Y-27-13-3353则当x＝1时，y的值为()A．5B．-3C．-13D．-27二、填空题7．抛物

线2yxbxc=−++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为．9．已知抛物线222yxx=−++．该抛

物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数2yxbxc=++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是________．11．

已知二次函数2yaxbxc=++(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…32−-112−012132…6y…54−-294−-254−074…则该二次函数的解析式为________．12．已知抛物线2yaxbxc=++的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的

解析式为________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．

14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．如图，顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连结BC，已知△B

OC是等腰三角形．（1）求抛物线y=x2+bx-3的解析式；（2）求四边形ACDB的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为2yaxbxc=++(a≠0)，将A、B、C三点代入解得1a=−，10b=，c＝0．2.【答案】C；【解

析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即2225216yxxxx=+−=++−2(1)6x=+−，7∵a＝1＞0，∴x＝-1时，6y=−最小．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0

，3)，∴AB＝4，yB＝yA＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，2yxx=+的顶点坐标是11,24−−，232yxx=−+的顶点坐标是31,24−，∴移动的距离31222a=−−=．6.【答

案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对

称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7．【答案】223yxx=−++；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则(1)(3)yxx=−+−．

8．【答案】22(1)2yx=−−；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9．【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式2bxa=−和顶点公式24,24bacbaa−−即可.10．【答案】12x；【解析】将

(-1，0)，(1，-2)代入2yxbxc=++中得b＝-1，∴对称轴为12x=，在对称轴的右侧，即12x时，y随x的增大而增大.11．【答案】22yxx=+−；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，8从中选出较简单的三对x

、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式2yaxbxc=++，用待定系数法求解．设二次函数解析式为2yaxbxc=++(a≠0)，由表知2,2,0.abccabc−+=−=−++=解得1,1,2.abc===−∴二次函数解析式

为22yxx=+−．12．【答案】21(3)22yx=−−；【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设2(1)2yax=−+(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴2(21)23a

−+=，∴a＝1．∴2(1)2yx=−+，即223yxx=−+．(2)设二次函数解析式为2yaxbxc=++(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得1,1,13,abccabc++=−=−+=解得5,7,1.abc==−=故所求的函

数解析式为2571yxx=−+．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即243yxx=−+−．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于

D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)

．9设所求抛物线的解析式为2(0)yaxbxca=++，则有0,9312,abcabcc++=++==，解得5,61762.abc==−=，∴所求抛物线的解析式为2517266yxx=−+．15.【答案与解析】

（1）令y=x2+bx-3中x=0，得到y=-3，即C（0，-3），OC=3，∵△BOC是等腰三角形，∴OB=OC=3，即B（3，0），将B坐标代入y=x2+bx-3得：9+3b-3=0，即b=-2，则抛物线解析式为y=x2-2x-3；（2）过D

作DE⊥x轴，令y=x2-2x-3=0，得到x=3或-1，即A（-1，0），OA=1，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，得到顶点坐标为（1，-4），即OE=1，DE=4，则S四边形ACDB=S△AOC+S△BDE+S梯形OCDE=12×1×3+12×2×4+

12×（3+4）×1=9．待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于任何的实数t，抛物线y=x2+(2-t)x+t总经过一个固定的点，这个点是()A.(l,3)B.（-l,0)C.（-1,3)D.(1,0)102．如图所示为抛

物线2yaxbxc=++的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是（）A．1ab+=−B．1ab−=−C．2baD．0ac3．在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx=+−关于x轴作轴对

称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为()A．22yxx=−−+B．22yxx=−+−C．22yxx=−++D．22yxx=++4．老师出示了小黑板上题后．小华说：过

点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1，小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．将抛物线221216yxx=−+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是()A．221216yxx=−−+B

．221216yxx=−+−C．221219yxx=−+−D．221220yxx=−+−6．如图所示，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是()二、填空题7．已知二次函数的图象经过原点及

点11,24−−，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________．8．已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为(0，-2)，则此二次函数的解析式为．已知抛物线23y

axbx=++与x轴交于(1，0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线x＝2．119．抛物线2yaxbxc=++上部分点的横坐标为x，纵坐标y的对应值如下表：x…-2-1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是________．（填写序号）①抛物线与x

轴的一个交点为（3，0）；②函数2yaxbxc=++的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x=；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．10．某同学利用描点法画二次函数，2yaxbxc=++(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：x01234y30-203经检查，发现表格中恰好有一组

数据计算错误，请你根据上述信息写出二次函数的解析式：________．11．如图所示，已知二次函数2yxbxc=++的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________．第1

1题第12题12．在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为；（2）若抛物线2122yxax=−++经过点C，则抛物线的解析式为．三、解答题13．已知2yaxbxc=++(a≠

0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P到AB的距离为2，求此抛物线的解析式．14．有一个二次函数的图象．三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三

角形面积为3，请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．1215．已知，如图所示，抛物线2yaxbxc=++与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点7,2Dm

是抛物线2yaxbxc=++上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】把y=x2+(2-t)x+t化为y=x2+2x+(1-x)t,因为对于任何的实数t，抛物

线y=x2+(2-t)x+t总经过一个固定的点，所以与t的值无关，即1-x=0，x=1,代入y=x2+2x+(1-x)t,得y=3,过定点（1,3），故选A.2.【答案】B；【解析】由图知A(-1，0)，C(0，1)代入2yaxbxc=++中得0,1,abcc−+

==∴a-b＝-1．3.【答案】C；【解析】先将抛物线22yxx=+−关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为22yxx−=+−，再将抛物线为2()()2yxx−=−+−−，整理得22yxx=−++．4.【答案】C；【解析】小颖说的不对，

其他人说的对．5.【答案】D；【解析】此题容易误选A、B，简单地认为改变。的符号，抛物线开口向下，或改变函数值的正负即可．将抛物线221216yxx=−+绕它的顶点旋转180°，所得的抛物线顶点坐标、对称轴不变，只是开口方向向下．因此，由221216yxx=−+化为22(3)2yx=−−

，因而所求抛物线解析式22(3)2yx=−−−．即221220yxx=−+−．136.【答案】B；【解析】∵AB＝BC＝CD＝DA＝1，AE＝BF＝CG＝DH＝x，∴AH＝DG＝CF＝BE＝1-x．∴1(1)2AEHBEFCFGDHGSSSSxx====−△△△△，∴2114(1)

2212Sxxxx=−−=−+，又0≤x≤1，其图象应为开口向上，自变量从0到1之间的抛物线部分，故选B．二、填空题7．【答案】2yxx=+或21133yxx=−+；【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)．8．【答案】228255yxx=−−；【解析】由对称轴x＝2和抛

物线在x轴上截得的线段长为6，可知抛物线与x轴的两个交点为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式易求解．∵抛物线的对称轴为x＝2，且在x轴上截得线段长为6，∴抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(5，0)．设二次函

数解析式为y＝a(x+1)(x-5)(a≠0)．将点(0，2)代入上式得-2＝a(0+1)(0-5)，∴25a=．因此二次函数解析式为2(1)(5)5yxx=+−．即228255yxx=−−．9．【答案】①③④；【解析】由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为12x=，由表可

知在12x时y随x的增大而增大，与x轴的一个交点为(-2，0)，则另一个交点为(3，0)．当12x=时，y值最大，故②错.10．【答案】243yxx=−+；【解析】先描点，根据二次函数的图象找出错误的一组数据，再利用表内的数据的特点，选用12()()yaxxxx=−−求解析式较简便．由描点知，

表内2x=，2y=−是错误的．设12()()yaxxxx=−−(a≠0)，由表知(1)(3)yaxx=−−，又点(0，3)在抛物线上，所以3＝a(0-1)(0-3)，所以1a=．因此(1)(3)yxx=−−g，即243yxx=−+．11．【答案】3；【解析】由2yxbxc=++经过点(-1，0)，

(1，-2)可得1410,12,bcbc−+=++=−∴1,2,bc=−=−∴22yxx=−−．其对称轴为12x=，由对称性可求C点坐标为（2，0），∴2(1)3AC=−−=.12．【答案】（1）(3，-1)；（2）211222yxx=−++.【解析】(1)过点C作CD

⊥x轴，垂足为D，在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD+∠BAO＝90°，而∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CAD＝∠ABO，又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，且由已知有CA＝AB，∴△ACD≌△BAO，∴C

D＝OA＝1，AD＝BO＝2，∴点C的坐标为(3，-1)；(2)∵抛物线2122yxax=−++，经过点C(3，-1)，∴2113322a−=−++，解得12a=，∴抛物线的解析式为211222yxx=−++.三、解答题13.【答案与解析】∵A(-3，2)，B(1，2)的纵坐标相同，∴抛物

线对称轴为x＝-1．又∵顶点P到AB距离为2，∴P(-l，0)或P(-1，4)．故可设抛物线解析式为2(1)yax=+(a≠0)或2(1)4yax=++(a≠0)．将B(1，2)分别代人上式得12a=

或12a=−．∴21(1)2yx=+或21(1)42yx=−++．14.【答案与解析】答案不唯一．1(3)(5)5yxx=−−或1(3)(5)5yxx=−−−或218177yxx=−+或218177yxx=

−+−．设12()()yaxxxx=−−(a≠0)，由甲所述知128xx+=，由乙所述，知1x，2x均为整数，不妨取11x=，则27x=，∴(1)(7)yaxx=−−，由丙所述知211()732xxa−=，解得17a

=，∴1(1)(7)7yxx=−−，即218177yxx=−+．15.【答案与解析】15（1）由已知得0,930,3,abcabcc++=++==解之1,4,3.abc==−=∴243yxx=−+．（2）∵7,2Dm是抛物线243yxx=−+上的点，∴54m=，∴1

552244ABDS==△．