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2022-2023学年度第二学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）1.某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本

阅读，则不同的选法共有（）A.24种B.9种C.3种D.26种2.下列导数运算正确的是（）A.2(23)43xx+−+B.sincos66=C.2ln1ln+=xxxxD.()2sin3cos2cos3sinxxxx−=+3.已知函数

()224fxx=−的图象上一点()12，及附近一点()12xy+−+，，则=yx（）A.4B.4xC.42x+D.()242x+4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.1

2种B.24种C.36种D.48种5.随机变量X的分布列如下表，若()1.1EX=，则()DX=（）X01xP15p310A.0.36B.0.52C.0.49D.0.686.在612xx−展开式中，下列说法错误

的是（）A.常数项为160−B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.所有项的系数和为17.偶函数()fx为函数()fx的导函数，()fx的图象如图所示，则函数()fx的图象可能为（）A.B.C.D.8.方形是中国古代

城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A

点出发，沿着竹棍到达B点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（）A.90种B.72种C.60种D.48种二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）9.下列各式中，等于!n的是（）A.!mnmAB.1+nnAC.1−nnAD.11−−nnnA10.已知函数()31fxxx=−+，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点()01，是曲线()yf

x=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线11.已知()20232320230123202312xaaxaxaxax−=+++++…，则（）A.展开式中所有项的二项式系数和为20232B.展开式中所有奇数项系数和为2023312−C.展

开式中所有偶数项系数和为2023312−D.320231223202312222aaaa++++=−…12.若函数()()(2.71828xgxefxe==…是自然对数的底数）在函数()fx的定义城上单调递增，则称函数()

fx具有M性质，下列函数中具有M性质的有（）A.()2xfx−=B.()3xfx−=C.()3fxx=D.()22=+fxx三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一个空2分，第二个空3分，共计20分，请把正确的结果填写

在答题卡相应位置上）13.5688CC+=.（写出具体数学表示）14.设随机变量X的方差()1DX=，则()32DX+的值为.15.曲线()ln21yx=−上的点到直线230xy−+=的最短距离等于.16.杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，

杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设()()()*2nfnabnNn=+≥，，若()fx的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称()fx具有性质P.如()()77fab=+的展开式中，二、三、四项的二项式系数为

72135，，，依次成等差数列，所以()7f具有性质P.若存在25n≤，使()fn具有性质P，则n的最大值为.四、解答题解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线1l为曲线22yxx=+−在点()10，处的切

线，2l为该曲线的另一条切线，且12ll⊥.（1）求直线12ll，的方程；（2）求由直线12ll，和x轴所围成的三角形的面积.18.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个，白球2个，现每次从中不放回地取出1个球，直到取到白球为止.（1）

求取球次数X的分布列；（2）求取球次数X的均值和方差.19.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中

的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？20.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应，由长期的经验知，三家的正品率分别为0.950.90.8，，，三家产品数

的比为2:3:5，混合在一起，从中任取一件.（1）求取出的这一件产品为正品的概率是多少？（2）已知取到产品是一件正品，则它来自由甲、乙、丙三个厂中哪间工厂的可能性大？21.已知函数()()323fxa

xbxxabR=+−，在1x=−处取得极大值为2.（1）求函数()fx的解析式；（2）若对于区间22−，上任意两个自变量的值12xx，都有()()12fxfxc−≤，求实数c的最小值.22.已知函数()axxfxxee

=−.（1）当1a=时，讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fx−，求a的取值范围；（3）设*nN，证明：()222111ln11122nnn+++++++….2022-2023学年度第二学期期中考试高二数学参考答案一、单项选择

题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）1.解析：由分类加法计数原理可知，共有4329++=种不同的选法，故选B.2.解析：

()223'4+=xx，A错误；π1sin062==，B错误；2ln1lnxxxx−=，C错误，(2sin3cos)2cos3sinxxxx−=+，D正确.故选D3.解析：因为()222112142

1442,()()()()yfxfxxx=+−=+−−−=+所以()24242xxyxxx+==+.故选：C4.解析：因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素

的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224=种不同的排列方式，故选B5.解析：由随机变量分布列的性质求得12=P.由()11

3011.15210EXx=++=，得2x=.故()()()()22211301.111.121.10.495210DX=−+−+−=.故选：C6.解析：612xx−展开式的通项为：()()6261661

C22CrrrrrrrTxxx−−+=−=−；对于A，令260r−=，解得：3r=，常数项为()3362C820160−=−=−，A正确；对于B，由通项公式知：若要系数最大，r所有可能的取值为0,2,4,6，则61Tx−=，222364C60Txx−−==，()4

422562C240Txx=−=，()6667264Txx=−=，展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令1x=，则所有项的系数和为()6121−=，D正确.故选B.7.解析：由()'fx图象可

知，()fx的图象从左往右，是增→减→增，由此排除AD选项，由()'fx图象可知，当x→+时，()fx增长越来越快，由此排除C选项.故选B8.解：由题意可知，从A到B最少需要6步完成，其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有222

64290CCC=种.故选A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上）9.解析：对选项A，

()!!!A!!mnmnmnnm=−，故A错误.对选项B，()()()11!A1!!1!nnnnnnn++==++−，故B错误.对选项C，()1!A!1!nnnnnn−==−+，故C正确.对选项D，()11A1!!nnnnnn−−=−=，故C正确故选CD10.解析：因为()31f

xxx=−+，所以()2'31fxx=−.令()0fx，解得33x−或33x；令()0fx，解得3333x−.所以()fx在区间3,3−−，3,3+上单调递增，在区间33,3

3−内单调递减.又函数()fx的值域为R，且3239039f+−=，3923039f−=，所以()fx有两个极值点，有且仅有一个零点.故选项A正确，选项B错误.又()()33112f

xfxxxxx+−=−+−++=，则()fx关于点()0,1对称，故选项C正确.假设直线2yx=是曲线()yfx=的切线，其切点为(),ab，则2312,2,aab−==解得1,2ab==或1,2.a

b=−=−显然点()1,2和()1,2−−均不在曲线()yfx=上，故选项D错误.故选AC11.解：A项，二项式系数之和为01202320232023202320232+++=CCC，故A正确；2023220230122023()12-=++++xaaxa

xax，当1x＝-时，2023012320233aaaaa=-+-+-，①当1x=时，202301232023()1-=+++++，②aaaaaB项，①+②可得，202320230220220220222()31312

−-=++++++=，aaaaaa故B正确；C项，①-②可得，20232023132023132023()231312++=−++++++=−aaaaaa，故C错误；D项，2023220230122023()12-=++++xaaxaxa

x，令0x=，则01a=，令12x=，则2023120220230222+=+++aaaa，202312220231222aaa+++=−…，故D正确.故选ABD12.解析：对于A，()2−=xfx，则()()22xxxxegxefx

e−===，()gx在()fx的定义域R上单调递增，符合题意.对于B，()3−=xfx，则()()32xxxxegxefxe−===，()gx在()fx的定义域R上单调递减，不符合题意.对于C，()3=f

xx，则()()()()33232'33===+=+=，xxxxxgxefxexgxexexexx()23+xexx.当3x−时，()'0gx，当3x−时，()'0gx.所以()()xgxefx=在()f

x的定义域R上先减后增，不符合题意.对于D，()22=+fxx，则()()()22==+xxgxefxex，()'=gx()222++xxexxe()222=++xexx，()'0gx在()fx的定义域R上恒成立，符合题意.故选AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其

中16题第一个空2分，第二个空3分，共计20分.请把正确的结果填写在答题卡相应位置上）13.解析：58C+68C=69C=39C=987321=84.故填8414.解析：()()329919+===DXDX.故填915.解

：设l是曲线()ln21=−yx的切线，且与直线230−+=xy平行.对于曲线()ln21=−yx，'=y221−x.令'=y2221=−x，解得1=x，则易知切线l与曲线()21=−ylnx的切点的坐标为()1,

0.由点到直线的距离公式，得d=22|2103|2(1)−+=+−d=5.故填5.16.解：若存在25n„，使()fn具有性质P，假设存在*kN，11kn−剟，使1knC−，knC，1knC+成等差数列，所以112kkkn

nnCCC−++=，即!!!2(1)!(1)!(1)!(1)!!()!nnnknkknkknk+=−+−+−−−化简得：1112(1)()(1)()nknkkkknk+=+−−+−整理得：22442

0knknn−+−−=，即2(2)2knn−=+，所以2n+为完全平方数，又25n„，25227+=不是完全平方数，24226+=也不是完全平方数，23225+=是完全平方数.所以n的最大值为23.故答案为23.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（1）因为'21yx=+，所以直线1l1的斜率12113k=+=，所以直线1l的方程为33yx=−.设直线2l过曲线22yxx=+−上的点()22Bbbb+−，，则2l的方程为()2212yb

xb=+−−.因为12ll⊥，所以1213b+=−，解得23b=−.所以直线2l的方程为12239yx=−−.（2）联立直线12,ll的方程，得33,12239yxyx=−=−−，解得1,652xy==−.所以直线1l和2l的交点坐标为

1562−，.由（1）得12,ll与x轴交点的坐标分别为()221,0,03−，，所以所求三角形的面积1225125123212S=+−=.18.解：（1）由题意

知，X的可能取值有1234，，，，()215PX==，()22325410PX===，()322135435PX===，()3211454310PX===，故X的分布列为X1234P2531015110（2

）由（1）知，取球次数X的均值为()23111234510510EX=+++2=，X的方差()()()()()2222231112223242510510DX=−+−+−+−1=.19.解：

（1）如果4人中男生女生各选2人，有2254CC60=种选法；（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有27C21=种选法；（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有27C21=种，第二

种情况，甲乙选1人，有1327CC70=种选法，则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有217091+=种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有444945CCC−−120=种选法.20.解：设

事件A表示取到的产品为正品，123,,BBB分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.（1）由已知，得()()()1230.2,0.3,0.5PBPBPB===，()()()1230.95,||.|09,0.8PABPABPAB===，故()()()310.20.950

.30.90.50.0.8|86iiiPAPBPAB===++=，所以取出一件产品是正品的概率为0.86，（2）当取出的一件产品已知为正品时，它可能来自于甲、乙、丙三间工厂中的任意一间，来自各工厂的概率依次为()()()()1110.20.95170.

8686|B|PBPAPBAPA===，()()()()2220.30.9270.8686|B|PBPAPBAPA===，()()()()3330.50.8400.8686|B|PBPAPBAPA===，且402717868686＞＞故它是由丙厂生产的可能性大.21

.解析：（1）()323(,)fxaxbxxabR=+−，()2323fxaxbx=+-.由题意得()12(1)0ff−=−=，即323230abab−++=−−=，解之得10ab=

=经检验成立，所以()33fxxx=-.（2）令()0fx=，即2330x-=.得1x=.在区间[22]−，内，当x变化时()fx及()fx随的变化而变化如下表所示x2-()21-，-1−(11)-，1()12，2()fx+−+()fx2−增极大值减极小

值增2因为()122()1ff−==−，，()()2222ff=−=−，，所以当2[]2x−，时，()()maxmin22fxfx==−，.对于区间[]2,2−上任意两个自变量的值12xx，，都有()()()()

12maxmin||||4fxfxfxfx−−=≤，所以4c≥.所以c的最小值为4.22.解：（1）当1a=时，()()1exfxx=−，则()exfxx=当0x时，()0fx，当0x时，(

)0fx，故()fx的减区间为(),0−，增区间为()0+，（2）当0x时，要证()1fx−，等价于证10axxxee−+，设()1axxhxxee=−+，则()00h=，又()()1axxh

xaxee=+−，设()()1axxgxaxee=+−，()()22axxgxaaxee=+−，若12a，则()0210ga=−，因为()gx为连续不间断函数，故存在()00,x+，使得()00,xx

，总有()0gx，故()gx在()00,x为增函数，故()()00gxg=，故()hx在()00,x为增函数，故()()00hxh=，与题设矛盾.若102a≤，则()()()ln11axaxaxxxhxaxeeee++=+−=−，下证：对

任意0x，总有()ln1xx+成立，证明：设()()ln1Sxxx=+−，故()11011xSxxx−=−=++，故()Sx在()0,+上为减函数，故()()00SxS=即()ln1xx+成立由上述不等式有()ln120axaxxaxaxxaxx

eeeeee+++−−=−≤，故()0hx总成立，即()hx在()0,+上为减函数，所以()()00hxh=当0a≤时，有()1100axxaxhxeeaxe=−+−+=，所以()hx在()0,+上

为减函数，所以()()00hxh=.综上，12a≤.（3）取12a=，则0x，总有1210xxxee−+成立，令12xte=，则21,,2lnxttext==，故22ln1ttt−即12lnttt−对任意的1

t恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn++−+，整理得到：()21ln1lnnnnn+−+，故()222111ln2ln1ln3ln2ln1ln1122nnnn+++−+−+++−+++()ln1n=+，故不等式成立.获得更多资源请扫码加入

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