【文档说明】浙江省杭州市S9联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，939.964 KB，由管理员店铺上传

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2023学年第二学期杭州S9联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字

。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．已知集合0,1,2,3,4A=，

31,Bxxkk==−N，则AB=（）A．0,1,2B．1,2C．2D．12．复数()()13i1iz=−+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若tan3=，则()sinsincos+

=（）A．934+−B．934+C．334+D．324+−4．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为3,则点1A到面11ABD的距离为（）A．1B．3C．2D．55．已知函数()212ln.2fxxxx=−+若()()121,fafa+−则a的取值范围是（）A．(,1−−B．1,22

C．)3,+D．1,2+6．数列na的前n项的和nS满足()*1nnSSnn++=N，则下列选项中正确的是（）A．数列1nnaa++是常数列B．若11,a=则na的最小项的值为－1C．若11,a=−

则20241012S=D．若11,3a则na是递增数列7．直线0:10lxy−+=，直线1:210laxy−+=与0l平行，且直线2:30lxby++=与0l垂直，则ab+=（）A．4B．2C．3D．18．已知双

曲线()2222:10,0xyCabab−=的左焦点为,F渐近线方程为,yx=焦距为8，点A的坐标为()1,3，点P为C的右支上的一点，则PFPA+的最小值为（）A．72B．62C．4225+D．4210+二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分

。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的0分。9．如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，EF、分别为棱111BCBB、的中点，则下列结论正确的为（）A．12ADEF=B．110BDAC=C．2DF=D．DF不是平面1ACD的

一个法向量10．已知正数,ab满足()()111ab−−=，则下列选项正确的是（）A．111ab+=B．25abb+C．4ab+D．228ab+11．已知函数()331fxxx=−+，则（）A．()fx有两个极值点B．直线32yx=−是曲线()y

fx=的切线C．()fx有三个零点D．存在等差数列na，满足()515kkfa==非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在ABC△中，内角,,ABC所对应的边分别为,,,abc且2

a=，4cos5A=，5cos13B=，则b=______．13．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是______．14．已知圆系(

)()()2222221:2Cxtytttt−+−=+−R，圆C过y轴上的定点A，线段MN是圆C在x轴上截得的弦，设,AMmANn==．对于下列命题：①不论t取何实数，圆心C始终落在曲线2yx=上；②不论t取何实数，弦MN的长为定值1；③式子mnnm+的取值范围是2,22

．④不论t取何实数，圆系C的所有圆都与直线12y=相切；其中真命题的序号是______．（把所有真命题的序号都填上）四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）在ABC△中，角,,ABC所对的边分别是,,,abc在下面三

个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：①2coscoscosbAcAaC=+；②sin3cosaBbA=；③()coscos3sincos0CBBA+−=．（1）求角A的大小；（2）若27,8abc=+=，求bc的值．1

6．（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，PAAC⊥，BDPC⊥，8PAAB==．（1）证明：PA⊥平面ABCD．（2）若4PCPE=，60ABC=，求三棱锥PBDE−的体积．17．（本小题满分15分）设数列na

满足122,6,aa==且2122.nnnaaa++=−+（1）求证：数列1nnaa+−为等差数列；（2）求数列na的通项公式：（3）求数列1na的前n项和,nT并证明1.nT18．（本小

题满分17分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为2e2=且椭圆经过点()2,2,−12,FF为左右焦点。（1）求椭圆方程；（2）P是椭圆上任意一点，求12PFPF的取值范围；（3）过

椭圆左焦点1F的直线交椭圆于AB、两点，求AOB△面积的最大值．19．（本小题满分17分）（1）已知1,1,2x求()2ln1xfxx+=的最大值与最小值；（2）求函数()2ln1gxaxx=−

−的单调区间．（3）若关于x的不等式2ln1xax−存在唯一的整数解，求实数a的取值范围．参考答案1．C【分析】根据交集定义求解即可【详解】因为0,1,2,3,4A=，31,Bxxkk==−

N，所以2AB=．故选：C2．D【分析】利用复数的运算，得到izab=+的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点(),,Zab从而判断出所在象限．【详解】由题得()()213i1i1i3i3i1i3i34

2i,z=−+=+−−=+−+=−则在复平面内对应的点的坐标为()4,2,−所以在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．3．C【分析】利用正余弦的齐次式法即可得解．【详解】因为tan3,=所以()22222sinsincostantansinsincoscossin1tan

+++==++()()223333.413++==+故选：C4．A【分析】以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，求出面11ABD的法向量为(),,,mxyz=则1A到平面11ABD的距离1,AAmdm=即可得出答案．【详解】解：以D为原

点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,3,0,0,3,3,0,0,3,0,DABC()()()()11110,0,3,3,0,3,3,3,3,0,3,3,DABC设面11ABD的法向量为(),,,mxyz=

()()113,0,3,0,33,ADAB=−=所以11330330ADxzABymmz=−+==+=令1,x=则1,1,zy==−所以()1,1,1,m=−()10,03,AA=所以1A到平面11ABD的距离()()()12221,1,10,0,31,

111AAmdm−===+−+故选：A5．B【分析】利用导数判断出函数在定义域上单调递增，根据己知转化出1210,aa+−再解出结果．【详解】因为()()212ln,0,,2fxxxxx=−++所以()()22112120,xxx

fxxxxx−−+−==+=所以()fx是()0,+上的增函数，所以若()()121fafa+−则1210,aa+−解得12.2a故选：B6．B【分析】由递推关系求出2n时，11nnaa++=代入1n=

得到结果与直接代入1n=得到结果作比较可得A错误；由递推关系得到奇数项和偶数项，可判断B错误；由递推关系得到当2n时，na的偶数项为3，奇数项为－2，再用分组求和可得C错误；由递推关系得到2n时，na的偶数项为－1，奇数项为2，可得D正确．【详解】A：当1n=时

，11211221;nnSSaaaaa++=++=+=①当2n时，11,nnSSn−+=−作差可得11,nnaa++=代入1n=可得211,aa+=与①可能矛盾，故数列1nnaa++不一定是常数列，故A错误：B：若11,a=则

231,2,aa=−=故2n时，na的偶数项为－1，奇数项为2，则na的最小项的值为－1，故B正确；C：若11,a=−则由以上选项可知2343,2,3,,aaa==−=所以当2n时，na的偶数项为3，奇数项为

－2，而()()()2024123452022202320241101131013,Saaaaaaaa=++++++++=−++=故C错误；D：由11321nnnnaaaaaa+−+=+==+=可得113nnnaaa+−

−===且24,nnnaaa−−===所以数列na不是单调数列，故D错误；故选：B．【点睛】方法点睛：（1）已知nS求na时可仿写作差；（2）求数列中较大的前某项和时，可根据数列的周期性用分组求和．7．C【分析】根据01ll∥，02ll⊥求出,ab的值，即可得出答

案【详解】因为直线1:210laxy−+=与0l平行，并且直线0:10,lxy−+=所以1,22aa==．又因为直线2:30lxby++=与0l垂直，所以10,1.bb−==所以3.ab+=故选：C．8．A

【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将PF转化为12aPF+的形式，通过点共线判断并计算PFPA+的最小值即可．【详解】如图所示由题意知222128,baccab===+解得22,22,4.abc=

==记C的右焦点为1,F即()14,0,F由双曲线的定义，得1242,PFPFa−==即142PFPF=+所以()()2211424242143072,PFPAPAPFAF+=+++=+−+−=当且仅当点P在线段1AF上时等号成立，所以PFPA+的最小值为72

.故选：A．9．BD【分析】以点D为坐标原点，1DADCDD、、所在直线分别为xyz、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误．【详解】以点D为坐标原点，1DADCDD、、所在直线分别为xyz、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,

0,02,2,00,2,00,0,02,0,22,2,2ABCDAB、、、、、、()()()()110,2,20,0,21,2,22,2,1.CDEF、、、对于A选项，()()12,0,2,1,0,1,ADEF=−=−则12,ADEF=−故A错误

：对于B选项，()()112,2,0,2,2,0BDAC=−−=−则11440,BDAC=−=故B正确：对于C选项，()2,2,1,DF=故2222213,DF=++=故C错误；对于D选项，1420,DFAD=−+故DF不是平面1ACD的一个法向量，故D正确．故选：B

D．10．AC【分析】根据已知可直接得到A；换元法得到B；乘“1”法得到C；基本不等式判断D即可．【详解】对于A，由题可得,abab=+即111,ab+=故A正确；对于B，12212222,1abbbb+=+−++−当且仅当212b=+时，等号成立，故B不正确；对于C，()1

12224baabababab+=++=+++=，当且仅当2ab==时，等号成立，故C正确；对于D，()222248,22abab++=当且仅当2ab==时，等号成立，故D不正确．故选：AC．11．

ACD【分析】由导数的意义可知斜率为32−时，求出切点，再由点斜式判断B错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确．【详解】()()()233311,fxxxx=−=+−A：令()0,fx=解得1,x=所以函数在()(

),1,1,−−+上单调递增，在()1,1−上单调递减，故1x=−时取得极大值，1x=取得极小值：故A正确；B：令()23233,22fxxx=−=−=而2521,24f=−+由点斜式可知此时切

线方程为32521;224xy−−=−−+2521,24f−=+由点斜式可知此时切线方程为32521;224xy−+=−+所以直线32yx=−不是曲线()yfx=的切线，故A错误；C：因为(

)()130,110,ff−==−所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确；D：取3,nan=−则()515,kkfa==故D正确；故选：ACD12．4013【分析】根据三角函数同角的平方关系和正弦定理计算即可．【详解】因为在ABC△中

，0π,0π,AB所以sin0,sin0,AB又45cos,cos,513AB==所以22312sin1cos,sin1cos,513AABB=−==−=因为,2sinsinbaaBA==，所以122sin40133sin135aBbA===故答案为：40

13．13．1316【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可．【详解】两次抽取的试验的样本空间Ω11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44=，共16个，两次抽取的卡片数字之和大于6的事件34,43,44A=，共3个，所以两次抽取

的卡片数字之和大于6的概率是()316PA=．则不大于6的概率为1316故答案为：131614．②③【分析】对于①，根据圆C的方程即可判断①，对于②，根据弦长公式即可判断②，根据圆心()2,Ctt到直线12y=的距

离即可判断③，对于④，令0y=求出点M和点N的坐标，根据圆C方程求出点A坐标，求出AM和AN，在AMN△利用余弦定理求出cosA，求出AMN△的面积即可求出sinA，根据sincosAA+即可判断④．【详解】对于①，由圆C的方程知，圆心

()2,Ctt在曲线2yx=上，故①不正确．对于②，由弦长公式得：弦MN的长为22222411222124rdttt−=+−−==，故②正确．对于③，在圆C方程令0y=，可得2241204xtxt−+−=，12xt=+或12xt=−，即11,0,,022MtNt

+−，由圆C方程知10,2A，21124AMmt==++，21124ANnt==−+，由基本不等式得2mnnm+（当且仅当mn=，即0t=时等

号成立），AMN△中，由余弦定理得2212cosmnmnA=+−，221cos,2mnAAMNmn+−=△的面积为111sin1222mnA=，221sin,sincos222mnAAAmnmn+=+=，2222mnmnn

mmn++=，即222mnnm+，故③正确．对于④，圆心()2,Ctt到直线12y=的距离等于212t−，而半径为22212tt+−，二者不一定相等，故④不正确．故答案为：②③．15．（1）所

选条件见解析，π3A=；（2）12【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；若选②：利用正弦定理边化角即可结果；若选③：利用三角恒等变换分析求解；（2）利用余弦定理分析求解．【详解】（1）若选①：因为

2coscoscosbAcAaC=+，由正弦定理可得()2sincossincossincossinsinBACAACCAB=+=+=，且()0,πB，则sin0B，可得1cos2A=，且()0,πA，所以π3A=；若选②：因为sin3cosaBbA=，由正弦定理可得sinsin3

sincosABBA=，且()0,πB，则sin0B，可得tan3A=，且()0,πA，所以π3A=；若选③：因为()coscos3sincos0CBBA+−=，则()coscoscos3sincos0ABABBA−++−=，可得sinsin3sincosABBA=且()0,πB，则s

in0B，可得tan3A=，且()0,πA，所以π3A=．（2）由（1）可知：π3A=，由余弦定理可得：22222cos()22cosabcbcAbcbcbcA=+−=+−−，即28642bcbc=−−，解得12bc=16．（1）证明见解析（2）323

3PBDEV−=【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证出BD⊥平面PAC，再证得PA⊥平面ABCD；（2）利用间接法PBDEPABCDEBCDPABDVVVV−−−−=−−，求体积．【详解】（1）记ACBDO=．因为四边形ABCD是菱形，所

以BDAC⊥．因为,BDPCPC⊥平面,PACAC平面PAC，且ACPCC=，所以BD⊥平面PAC因为PA平面PAC，所以BDPA⊥．因为,PAACAC⊥平面,ABCDBD平面ABCD，且ACBDO=，所以PA⊥平面ABC

D．（2）因为4PCPE=，所以点E到平面ABCD的距离是6．因为四边形ABCD是边长为8的菱形，且60ABC=，所以138816322BCDABDSS===△△，则四棱锥PABCD−的体积125631632833PA

BCDV−==，三棱锥EBCD−的体积116363233EBCDV−==，三棱锥PABD−的体积11283163833PABDV−==，故三棱锥PBDE−的体积25631283323323333PBDEPABCDEBCD

PABDVVVV−−−−=−−=−−=．17．（1）证明见解析（2）2nann=+（3）1nnTn=+【分析】（1）由2122nnnaaa++=−+得()()2112nnnnaaaa+++−−−=，根据等差数列的定义可得；（2）由（1）可得122nnaan+−=+，利用累加法可得2na

nn=+，验证12a=即可；（3）利用裂项相消法可得．【详解】（1）证明：因为2122nnnaaa++=−+，所以()()2112nnnnaaaa+++−−−=，又214aa−=，所以数列1nnaa+−是以4为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）得122nnaan+−=+，当2n

时，()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+22(1)2nn=+−++(22)2nn+=2nn=+．代入1n=验证，左右成立，所以2nann=+；（3）()111111nannnn==−++，所以111111111

1122334111nnTnnnn=−+−+−++−=−=+++18．（1）22184xy+=（2）0,4（3）22【分析】（1）根据椭圆的离心率和所过点求得,,abc，从而求得椭圆C的方程；（2）

联立直线l的方程并与椭圆方程，得到1212,xxxx+，再利用弦长公式即可得解．【详解】（1）由题意得222222e2421caababc==+==+，解得222abc===，椭圆C的方程为22184xy+=；（2）设()00,Pxy在椭圆上，220042xy

=−()()12100200(2,0),(2,0),2,,,2FFPFxyPFxy−=−−−=−−22212000142PFPFxyx=+−=22012,0[0,4]xaxaPFPF（3）由（1）得

，椭圆C的左焦点()12,0F−，右焦点()22,0F，则直线l的斜率存在时方程为：()2ykx=+，设()()1122,,,AxyBxy，联立()222184ykxxy=++=，消去y，得()2222218880kxkxk+++−=，显然Δ0则22121222888,212

1kkxxxxkk−+=−=++所以()222212122323214121kABkxxxxkk+=++−=++点O到直线AB的距离21khk=+面积222211323212222211kkABhkkk+==+++k不存在时，面积22=所以面积

的最大值为22．19．（1）最大值e2，最小值1；（2）()221axgxx=−，当0a时，()()0,gxgx在()0,+单调递减，当()20,0,,2aaxgxa单调递减，

()2,2axgxa+单调递增．（3）1ln214a+【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；（3）解法一：把不等式2ln1xax−化为2ln1xax+，由()fx的单调性结合端点函数值分析

求解即可；解法二：令()2ln1(0)gxxaxx=−+，求导，对a进行分类讨论，判断函数单调性及最大值，从而求得a的范围，结合()0gx有唯一整数解，进一步求出a的取值范围．【详解】（1）因为()21ln1,1,2xxfxx+=，所以()(

)32ln1xfxx−+=，令()0fx=，解得()()e,,exfxfx=的变化情况如下表所示．x121e,2eeee,1e1()fx+0－()fx44ln2−单调递

增e2单调递减1所以，()fx在区间1e,2e上单调递增，在区间e,1e上单调递减．当eex=时，()fx有极大值e2，也是()fx的最大值．又因为()144ln2,112ff=−=，而()344ln2134ln2lneln160−−=−=−

，所以()112ff，所以()11f=为()fx的最小值．（2）()221axgxx−=，当0a时，()()0,gxgx在()0,+单调递减当()20,0,,2aaxgxa单调递减，()2,,2axgxa+单调递增．（3）解

法一：因为0x，所以不等式2ln1xax−可化为()2ln1xafxx+=，由（1）可知()2ln1xfxx+=在区间e0,e上单调递增，在区间e,e+上单调递减．因为()fx的最大值()()()()ee11ln2,11,01,21e2e4ffffff

+====，1e12ee，所以*,1xx=N时，()fx最大，所以不等式2ln1xax−，即()afx存在唯一的整数解只能为1，所以()()12fafa，所以a的取值范围为1ln214a+解法二：令()2ln

1(0)gxxaxx=−+，由题意可知()0gx有唯一整数解，()212axgxx−=，当0a时，()2120axgxx−=，所以()gx在()0,+单调递增，而()110ga=−，所以()()210gg，与题意矛盾；当0a时，由()2120axgxx−

==可得22axa=或22axa=−（舍去），当20,2axa时，()20,,2agxxa+时，()0gx，所以()gx在20,2aa单调递增，在2,

2aa+单调递减，所以22axa=时，()gx取最大值为1ln22a−+，由题意可知1ln202a−+，解得e02a，因为()11ga=−，所以当()110ga=−即01a时，由()0gx有唯一整数解知()2ln2410ga=−+，解得

1ln214a+，若2122aa，由()gx在20,2aa单调递增知()()0120gg，矛盾所以222aa，由()gx在2,2aa+单调递减可知)()2

,,0xgx+所以1ln214a+符合题意；当1a时，()22,11022agaa=−，由()gx在2,2aa+单调递减可知)()()1,,10xgxg+，不符合题意；

综上所述，a的取值范围为1ln214a+．