【文档说明】黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题参考答案.docx，共(11)页，414.308 KB，由管理员店铺上传

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2020大庆三模数学理科参考答案一、选择题ABACCBDDCACD13.214.115.32316,1103217.解（Ⅰ）因为12nnSa+=−，①当2n时，12nnSa−=−，②...............................2分由①-②得1nnnaaa+=−，即12nn

aa+=，............................................4分当1n=时，2124aa=+=，21422aa==，所以数列na为等比数列，其首项为12a=，公比为2，所以112nnnaaq−==；.....................

.............................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log121nnban=+=+，所以()2nTnn=+，........................................................

8分所以()11111222kTkkkk==−++，11111111111...2324112nkkTnnnn==−+−++−+−−++

........10分31114212nn=−+++因为02111+++nn所以4311=nkkT............................12分18.解（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方

形，∴ACBD⊥∵PBPD=，OBOD=,∴BDOP⊥,...........................................................2分又∵OPACO=,∴BDPAC⊥面又BDPAC面,∴PACABCD⊥面面.....

......................................................4分（2）方法1：∵PACABCD⊥面面，过点P做PEAC⊥,垂足为E∴ABCDPE⊥面∵PA与底面AB

CD所成的角为030，∴030PAC=,...............................................................6分又PAPC⊥，设2PC=,则23,3,3,4,22APPEAEACAD=====过F做FE垂直于

AB,垂足为F,则AF=223如图所示，以A为坐标原点，,ABAD为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz−()()()()32320,0,0,22,0,0,22,22,0,0,22,0,,,322ABCDP

..........8分设面PBC法向量为()1,,nxyz=，()220,22,0,,,322BCCP==−−1100nBCnCP==,∴220223022yxyz=+−=，1,0,6zyx===令则，∴()16,0,1n=

......................................................................9分同理PCD面的法向量()20,6,1n=，.............................

.......................................10分1212121cos,7nnnnnn==....................................................................11分∴二面角BPCD−−的

正弦值734....................................................................12分（2）方法2∵PACABCD⊥面面，过点P做PEAC⊥,垂足为E∴A

BCDPE⊥面∵PA与底面ABCD所成的角为030，∴030PAC=,.........................9分设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=a2,由PAPC⊥，030PAC=得AP=a26，PE=a46，

AE=a423，过E做EF垂直AB，垂足为F,则AF=a43，如图所示，以A为坐标原点，,ABAD为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz−所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),P(a43,a43,a46)，....

................................................................8分)46,4,4(aaaCP−−=，=BC(0,a.0)，DC=(a,0,0)设面PBC法向量为()1,,nxy

z=,1100nBCnCP==,=+−−=046440zayaxaay,令z=1.则===106zyx，即)1,0,6(1=n，.....................

...............................................9分设PCD面的法向量),,(2222zyxn=，则=•=•0022CPnDCn,=+−−=0464402222zayaxaa

x，令z=1.则===160222zyx，)1,6,0(2=n，....................................................................10分(直接书写：同理可得)1,6,0(

2=n，本次考试不扣此步骤分）所以71,cos212121=•=nnnnnn，..................................................................11分则二面角BPCD−−的正弦值为734.......

..............................................................12分19.解（1）设零件经A，B，C三道工序加工合格的事件分别记为A，B，C，则()PAp=，()23PB=，()34PC=，()1PAp=−，()13PB=，()14PC

=.设事件D为“生产一个零件为二级品”，由已知A，B，C是相互独立事件，则()()PDPABCABCABC=++()()()PABCPABCPABC=++()2313211343434ppp=−++6111224p−==，..............................

...............2分所以12p=..............................................4分（2）X的可能取值为200，100，50−，.......................

....................5分()12312002344PX===，()1110024PX==，()111714204542PX===−−−，...........................................

.........8分则X的分布列为X200100-50P141124724..........................10分所以1117325()20010050424244EX=+−=........................12分20.解：（1）当0m=时，()

xfxxe=−，()(1)xxxfxexexe=−−=−+------------------------2分所以(1)2kfe==−，因为(1)fe=−所以切线方程为2(1)yeex+=−−，整理得：20exye+−=----------

-------------4分（2）()4xmxex−+，因为0xe，所以4xxmxe++（0x）恒成立设4()xxhxxe+=+，则2(4)33()11xxxxxxexexexhxeee−+−−−−=+=+=---------6分设()3,

xsxex=−−则()1xsxe=−0（0x）.所以()sx在(0,)+上单调递增，又05.44817.429)23(23−−=es,03352945.5335)35(35−−−−=es,所以存在)35,

23(0x使得0()0sx=，当0(0,)xx时，()0sx,即0)(xh；当0(,)xx+时，()0sx即0)(xh.所以()hx在0(0,)x上单调递减，0(,)x+上单调递增.所以00min004()()

xxhxhxxe+==+.----------8分因为00000()0,30,3.xxsxexex=−−==+所以000min000000441()()133xxxhxhxxxxxxe++==+=+=++++,)35,23(0x------------10分设311)(+++=xx

xg，当)35,23(x时，0)3(11)(2+−=xxg，所以)(xg在)35,23(上单调递增.则)35()()23(gxgg，即342121)(18492xg.所以3)(20xh因为mZ，所以2m，所以m的最大值为2.--------

--------------------------12分21.方法一解（1）由题有2a=，12cea==.∴1c=，.....................................................2分∴2223bac=−=.∴椭圆方程为2214

3xy+=...........................................................................4分（2）设l：1xmy=+，将其与曲线C的方程联立，得()2231412myy++=.即()22

34690mymy++−=...........................................................................................6分设()12,Mxy，()22,Nxy，则122634myym+=−+，1229

34yym=−+2222226912(1)14343434mmMNmmmm−−+=+−=+++............................................8分将直线FT：()1ymx=−−与4x=联立，得()4,

3Tm−∴229931TFmm=+=+..........................................................................................9

分∴2222||1341131||4411TFmmMNmm+==++++......................................................10分设21tm=+.显然1t.构造()()||1131||4TFfttt

MNt==+.()211304ftt=−在)1,t+上恒成立,所以()yft=在)1,+上单调递增.所以||1131||4FTtMNt=+，当且仅当1t=，即0

m=时取“=”所以||||TFMN的取值范围是[1,)+............................11分当||||TFMN取得最小值1时，0m=,此时直线l的方程为1x=......................

................12分（注：1.如果按函数1yxx=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）21.方法二解（1）由题有2a=，12cea==.∴1c=，

...................................................2分∴2223bac=−=.∴椭圆方程为22143xy+=..................................

.........................................4分（2）方法1：设l：1xmy=+，将其与曲线C的方程联立，得()2231412myy++=.即()2234690mymy++−=.........

..................................................................................6分设()12,Mxy，()22,Nxy，则122634myym+=−+，122934yym=−+22

22226912(1)14343434mmMNmmmm−−+=+−=+++............................................8分将直线FT：()1ymx=−−与4x=联立，得()4,3Tm−∴229931TFmm=+=+............

..............................................................................9分∴2222||1341131||4411TFmmMNmm+==++++......

................................................10分设21tm=+.显然1t.构造()()||1131||4TFftttMNt==+.()211304ftt=−在)1,t+上恒

成立,所以()yft=在)1,+上单调递增.所以||1131||4FTtMNt=+，当且仅当1t=，即0m=时取“=”所以||||TFMN的取值范围是[1,)+.当||||TFMN取得最小

值1时，0m=,此时直线l的方程为1x=......................................12分（注：1.如果按函数1yxx=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）（2）方法2：当l的斜率不

存在时，易得1,322===MNTFabMN.......................6分当l斜率存在时，可设)1(:−=xkyl设()12,Mxy，()22,Nxy由=+−=134)1(22yxxky得01248)43(2222=−+−+kxkxk，..

.........................8分2221222143124,438kkxxkkxx+−=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(kkxxxxkxxkyyxxMN++=−++=−+=−

+−=...........................9分依题意可知0k，则有直线TF：)1(1−−=xky，又x=4，则)3,4(kT−所以kkTF213+=，...........................10

分则得1)1(96411641)43(41144322422222+++=++=++=kkkkkkkkMNTF......................11分综上可知，||||TFMN最小值为1，此时直线l的方程为1x=.........................

.............12分（2）方法3：当l的斜率不存在时，易得1,322===MNTFabMN...........................6分当l斜率存在时，可设)1(:−=xkyl设()12,

Mxy，()22,Nxy由=+−=134)1(22yxxky得01248)43(2222=−+−+kxkxk，...........................8分2221222143124,438kkxxk

kxx+−=+=+22212212221222122143)1(12)4))((1())(1()()(kkxxxxkxxkyyxxMN++=−++=−+=−+−=...........................9分依题意可知0k，则有直线TF：

)1(1−−=xky，又x=4，则)3,4(kT−kkTF213+=，...........................10分则得22242222211)43(41)43(411443kkkkkk

kkMNTF++=++=++=设1,112=+ttk，则有61941++=ttMNTF，设0)(,1,19)(,619)(2−=++=tftttftttf当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则161941

++=ttMNTF...........................11分综上可知，||||TFMN最小值为1，此时直线l的方程为1x=...................................

...12分22.解（1）曲线C的普通方程为622=+yx...............................................2分因为2)3cos(=+,所以04sin3cos=−−所以直线l的直角坐标方程为043=−−yx.........

..........................4分（2）点P的坐标为（4,0）设直线m的参数方程为=+=sincos4tytx（t为参数，为倾斜角）..........6分联立直线m与曲线C的方程得：010cos82=++tt

设A、B对应的参数分别为2,1tt，则−==−=+040cos6410cos822121tttt所以34cos82121==+=+=+ttttPBPA................................

...................8分6560,23cos或的倾斜角为故直线且满足得m=................................................................

.................10分23.解：（1）当1a=−时，()2,1,112,11,2,1.xfxxxxxx−−=+−−=−....................2分由1)(−xf，得21−x.故不等式1)(−xf的解集为

1,2−+.......................4分（2）因为“xR，()21fxa+”为假命题，所以“xR，12)(+axf”为真命题，...................................

.......................6分因为1)()1(1)(−=+−++−+=aaxxaxxxf所以1)(max−=axf，..................................

................................................................8分则121+−aa，所以22)12()1(+−aa，即220aa+，解得02−a，即a的取值范围为2,0−....................

..................10分