【文档说明】2021届高三数学文一轮跟踪检测：选修4－4　第1节 坐标系.docx，共(7)页，106.043 KB，由小赞的店铺上传

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选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系A级·基础过关|固根基|1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，

则x＝2x′，y＝3y′，所以4x′2＋9y′2＝36，即x′29＋y′24＝1.所以曲线C在伸缩变换后得到椭圆x29＋y24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P

逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积．解：(1)由曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.设Q(ρ

，θ)，则Pρ，θ－π2，则有ρ＝4cosθ－π2＝4sinθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)点M到射线θ＝π3(ρ＞0)的距离d＝2sinπ3＝3，|AB|＝ρB－ρA＝4

sinπ3－cosπ3＝2(3－1)，则S△MAB＝12|AB|×d＝12×2(3－1)×3＝3－3.3．(2019年全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4

，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，所以，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3

＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以l的极坐标方程为ρco

sθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以P点轨迹的极坐标方程为

ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.4．(2019届福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3＋2cosα，y＝1＋2sinα(α为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)

过原点O的直线l1，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若∠AOB＝π3，求△AOB的面积的最大值．解：(1)曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－23x－2y＝0，所以，曲线C的极坐标方程为ρ2－23

ρcosθ－2ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ＋π3.(2)不妨设A(ρ1，θ)，Bρ2，θ＋π3，θ∈－π2，π2，则ρ1＝4sinθ＋π3，ρ2＝4sinθ＋2π3，△AOB的面积S＝12|OA|·|OB|sinπ3＝1

2ρ1ρ2sinπ3＝43sinθ＋π3sinθ＋2π3＝23cos2θ＋3≤33.所以，当θ＝0时，△AOB的面积取最大值33.B级·素养提升|练能力|5.(2019届湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ，以极点为平面直角坐

标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求1|OA|2＋1|OB|2的值．解：(1)由ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ，得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得到曲

线C的直角坐标方程是x29＋y2＝1.(2)因为ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ，所以1ρ2＝cos2θ9＋sin2θ，由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为ρ2，α±π2，所

以1|OA|2＋1|OB|2＝1ρ21＋1ρ22＝cos2α9＋sin2α＋sin2α9＋cos2α＝19＋1＝109.6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数

)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1.(1)求椭圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)若点P的极坐标为1，π2，直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)由题意知椭圆C

的普通方程为x23＋y22＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入整理得2ρ2＋ρ2sin2θ－6＝0，∴椭圆C的极坐标方程为2ρ2＋ρ2sin2θ－6＝0.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得直线l的直角坐标方程为x＋y＝1.(2)设点A，B对应的参数分别为t1，

t2，点P1，π2的直角坐标为P(0，1)，它在直线l上．设直线l的参数方程为x＝－22t，y＝1＋22t(t为参数)，代入x23＋y22＝1，得2－22t2＋31

＋22t2＝6，化简得5t2＋62t－6＝0，所以t1＋t2＝－625，t1·t2＝－65，由直线参数方程的几何意义可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1·t2＝835.7．(2018年全国卷

Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个

公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心在A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2

的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2

|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点；当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.8．(2019届河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(3cosθ＋sinθ)＝5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2

y＝0，因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ.直线l的极坐标方程为ρ(3cosθ＋sinθ)＝5，即3ρcosθ＋ρsinθ＝5，因为ρcosθ＝x，ρsi

nθ＝y，所以直线l的直角坐标方程为y＝－3x＋5.(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆．设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－3x＋5的距离最短，则圆C在点A处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行，即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，即y

0－1x0×(－3)＝－1.①因为点A在圆上，所以x20＋(y0－1)2＝1，②联立①②可解得x0＝－32，y0＝12或x0＝32，y0＝32.所以点A的坐标为－32，12或32，32.又由于圆上点A到直线l：y＝－3x＋5的距离最小

，所以点A的坐标为32，32，点A的极径为322＋322＝3，极角θ满足tanθ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3.所以点A的极坐标为3，π3.获得更多资源请扫码加入享学资

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