【文档说明】《精准解析》湖南省永州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(24)页，1.368 MB，由小赞的店铺上传

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永州市2022年下期高二期末质量监测试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（）A.10xy++=B.10xy+−=C.10xy−−=D.10xy−+=【答案】B【解析】【分析】根据题意

利用直线方程的斜截式即可选出答案．【详解】满足题意的直线方程通式为：()00yxbxybb=−++−=故选：B2.已知()1,2,2a=−−，()2,2,1bm=−，且ab⊥，则m=（）A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直

充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】()1,2,2a=−−，()2,2,1bm=−，且ab⊥，则=0ab，则()()21+22210m−−−=，解之得2m=故选：D3.若双曲线C：()222210,0xyabab−=的虚

轴长为8，渐近线方程为12yx=，则双曲线C的方程为（）A.221164xy−=B.221416xy−=C.2216416xy−=D.2214yx−=【答案】C【解析】【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解.

【详解】由题可得2812bba==解得48ba==，所以双曲线方程为2216416xy−=，故选:C.4.设数列na的前n项和为nS，若11a=，()1*21NnnaSn+=+，则5a=（）A.27B.64C.81D.128【答案】C【解析】【

分析】利用题给条件即可依次求得2345aaaa，，，的值.【详解】数列na的前n项和为nS，11a=，121nnaS+=+则21121213aSa=+=+=，()321221219aSaa=+=++=，()31423212127aSaaa=+=+=++，()154234212181aSaa

aa+=+++=+=.故选：C.5.如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点О都有OAOBOCODkOM+++=，则k=（）A.14B.12C.2D.4【答案】D【解析】【分析】证明出四边形EFGH平行四边形，M为EG

中点，利用空间向量基本定理求解即可.为【详解】E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，故//EHBD，//EFGH，所以,,,EFGH四点共面，且四边形EFGH为平行四边形，故M为EG中点，因为2OAOBOE+=，2OCODOG+=，所以()2

4OAOBOCODOEOGOM+++=+=，故4k=故选：D6.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若ABBD=，则AFBF=（）A.32B.2C.52D.3【答案】B【解析】【分

析】结合图像，分析出点H为AD的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.【详解】过点B作BEl⊥，垂足为E，作BHAD⊥，垂足为H，如图，.又因为ADl⊥，所以四边形BEDH为矩形，所以BEDH=，因为ABBD=，BHAD⊥，所以点H为AD的中点，所以D

HAH=，故22ADDHBE==，由抛物线的定义可得AFAD=，BFBE=，所以2AFBF=，即2AFBF=.故选：B..7.已知()30A−,，()10B,，P是圆O：2216xy+=上的动点，则ABP外接圆的周长的最小值为（）A.15π4B.174πC.1

9π4D.23π4【答案】C【解析】【分析】根据题意确定圆O：2216xy+=和圆2221:(1)()4Oxyaa++−=+，有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.【详解】AB中点横坐标为=1x−，所以ABP外接圆的圆心在=1x−上，设圆心为1(1,)Oa−，则半径为214

rAOa==+，圆心距211dOOa==+，圆2221:(1)()4Oxyaa++−=+，又因为P在圆O上，所以圆O与圆1O有公共点，所以22244144aaa−++++，22144aa+++显然成立，22441aa−++两边同时平方可得，222164841aaa++

−++，所以28419a+，所以2194,8a+所以19,8r当且仅当22194,8a+解得1058a=时取得等号，所以周长的最小值为1919π2π84=，故选:C.8.如图，瑞典数学家科赫在1904年通

过构造图形描述雪花形状．其作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，则图④中图形的面积为（）A.943243B.95

3243C.94381D.95381【答案】A【解析】【分析】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为1a、2a、3a、4a，图形面积依次记为1S、2S、3S、4S，图形分别记为1M、2M、3M、4M，图形的边数分别记为1N、2N、3

N、4N，易得134nnN−=，113nna−=，21134nnnnSSNa++−=，利用累加法可求得4S的值.【详解】设图①、②、③、④中正三角形的边长分别为1a、2a、3a、4a，图形面积依次记为1S、

2S、3S、4S，图形分别记为1M、2M、3M、4M，图形的边数分别记为1N、2N、3N、4N，观察图形可知()111,2,33nnana+==，且11a=，()141,2,3nnNNn+==，且13N=，由题意可知，数列nN是首项为1，公比为4的等比数列，则134nnN

−=，数列na是首项为1公比为13的等比数列，113nna−=，由图可知，图形1nM+是在图形nM的每条边上生成一个小三角形（去掉底边），共增加了nN个边长为1na+的正三角形，所以，2111331334344491

69nnnnnnnSSNa−++−===，由累加法可得()()()41213243SSSSSSSS=+−+−+−31233344116993334443943441699942

4319−=+++=+=−.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得

0分，部分选对的得2分．9.已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（）A.2bac=+是a，b，c成等差数列的充要条件B.bac=是a，b，c成等比数列的充要条件C.若a，b，c成等比数列，则1a，1b，1c成等比数列D.若a，b，c成等差数列，则1a，1

b，1c成等差数列【答案】AC【解析】【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出2bac=+是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；对于选项B：b

ac=，即2bac=，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列，只能证明2bac=，即bac=是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若a，b，c成等比数列，则2bac=，则2111bac

=，则1a，1b，1c成等比数列，故C正确；对于选项D：若a，b，c成等差数列，则2bac=+，无法得到1112bac=+，故D错误；故选：AC.10.如图，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面为椭圆，若60=，则（）A.椭圆的短轴

长为23B.椭圆的离心率为32C.椭圆的方程可以为2214812xy+=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为233−【答案】ABD【解析】【分析】利用图中的几何性质即可求出,,abc，即可判断A,B,C的正误，利用二次函数的性质即可求出椭圆上的点到焦点

的距离的最小值.【详解】设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，由已知可知23cos602a=，解得23a=，∵3b=，∴椭圆的短轴长为23，故A正确；则椭圆的标准方程为221123xy+=，故C不正确；∵2229cab=−=，∴3c=，∴33223cea===，故B正确

；椭圆上的一点为()00,Pxy,其中一个焦点坐标为()3,0F,且220034xy=−，则()222220000036934xPFxyxx=−+=−++−()2000361223234xxx=−+−该抛物线的对称轴为4x=，故函数在区间23,23−上单调递减，当023x

=有最小值，此时()()2222min21123312323233PF=−=−+=−，即min233PF=−，故D正确.故选：ABD.11.已知双曲线C：2212yx−=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直线与双曲线C的右支交于A

，B两点，若190FAB=，则（）A.251AF=−B.点A的横坐标为153C.直线1AF的斜率352k+=D.1ABF的内切圆的面积()625πS=−【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线的定义得到方程

组，求出1AF、2AF，即可判断A，再由等面积法求出Ay，代入双曲线方程求出Ax，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用直角三角形即内切圆的性质求出内切圆的半径，即可判断D【详解】由双曲线C：2212yx−=可得2221,2,3abc===，如图所示，由题意知1212

2221212=2=2=2=23+=AFAFaFFcAFAFFF−，解得12=5+1=51AFAF−，故A正确；在12RtAFF中，由等面积法知12121122AAFAFFFy=，解得2

33Ay=，代入双曲线方程得225123AAyx=+=，又因为点A在双曲线的右支上，故153Ax=，故B正确；由图知当点A在第一象限，121215135tan251AFAFkAFFAF−−====+，由对称性可知，若点A在第四象限

，则1352AFk−=−，故C不正确；设1ABF的内切圆为P，圆P切11,,AFABBF于,,EDC，连接,,PEPDPC易得11,,PEAFPDABPCBF⊥⊥⊥，,PEPDPC==11,,AEADEFCFBDCB===，四边形ADPE是正

方形，故1ABF的内切圆半径()1112rAFABBF=+−()()122111515125122AFAFBFBF=++−=++−−=−，对应面积为()()2π51625π−=−，故D正确．故选：ABD12.在长方体1111ABC

DABCD−中，122ABBCAA===，E，F为1BD的两个三等分点，点P是长方体1111ABCDABCD−表面上的动点，则（）A.PEPF的最小值为34B.PEPF的最大值为2C.EPF的最小值为30°D.EPF的最大值为90°【答案】BD【解析】【分析】建

立空间直角坐标系，得到,EF点的坐标，分析出P位于长方体的四个侧面时情况相同，P位于长方体的上下两个平面时情况相同，分两种情况进行求解出PEPF，得到最值，并分析出EPF的最大值，举出反例得到C错误.【详解】以A为坐

标原点，分别以1,,ABADAA为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，因为122ABBCAA===，所以()()12,0,0,0,2,1BD，不妨设1112,33BEBDBFBD==，故421,,333E，242,,333F，

由对称性可知：P位于长方体的四个侧面时，所处情况相同，不妨设()0,,,0,2,0,1Pmnmn，则22421242882,,,,2333333999PmnmnEmnFmPn=−−−−=+−++−+()2213124

mn=−+−+，故当11,2mn==时，PEPF的最小值为34，此时当0m=或2，0n=或1时，PEPF的最大值为2，由对称性可知：P位于长方体的上下两个平面时，所处情况相同，不妨设(),,0,0,2,

0,2Pstst，则22421242882,,,,22333333999ststsPEPsttF−−−−=−++−++=()()2211st=−+−，故当1,1st==时，PEPF的

最小值为0，当0s=或2，0=t时，PEPF的最大值为2，综上：PEPF的最小值为0，PEPF的最大值为2，A错误，B正确；因为PEPF的最小值为0，故cosEPFÐ的最小值为0，因为0,πEPF

，所以EPF的最大值为90°，D正确；当点P与点B重合时，此时0EPF=，C错误.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线20xy+−=与圆228xy+=交于A，B两点，则AB=__________．【答案】26【解析】

【分析】求出圆心到直线的距离d，再由222ABrd=−计算可得.【详解】圆228xy+=的圆心坐标为()0,0，半径22r=，圆心到直线20xy+−=的距离22002211d+−==+，所以()()22222222226ABrd=−=−=.故答案为：2614.已知数列na满足：naZ，41a

=，1,,231,.nnnnnaaaaa+=+为偶数为奇数，则1a=__________．【答案】1或8【解析】【分析】根据递推关系，对3a分奇偶即可逐项求解得.【详解】①若3a为偶数，则由41a=可得34322aaa=

=，若2a为偶数，则由32a=可得23242aaa==，进而21182aaa==或者211311aaa=+=，均满足要求，若2a为奇数，则由32a=可得3221313aaa=+=，不符合要求，舍去，②若3a为奇数，则由4

1a=可得433310aaa=+=，不符合要求，舍去，综上18a=或11a=，故答案为：1或815.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA，1BB，1

CC，1DD均与曲池的底面垂直，且12AA=，每个底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则直线1AB与11AD所成角的余弦值为_____．【答案】1010##11010【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线1AB与11A

D所成角的余弦值.【详解】延长AB交CD于O，过点O作OT⊥平面ABCD，以O为原点，分别以OD，OA，OT所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则(0,2,0)A，1(0,2,2)A，1(0,1,2)B，1(2,0,2)D，则1(0,1,2)AB=−，11(2,2,0)AD=−，则1

11210cos,10225ABAD==，则直线1AB与11AD所成角的余弦值1010.故答案为：101016.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右顶点分别为A、B，P是C在第一象限的图象上的点，记PAB=，PBA=，APB=，若tantan4tan0

++=，则双曲线C的离心率e=__________．【答案】2【解析】【分析】设点(),Pmn，则0m，0n，且22221mnab−=，分析可得tanPAk=，tanPBk=−，()tantan=−+，根据tantan4

tan0++=可求得双曲线C的离心率的值.【详解】设点(),Pmn，则0m，0n，且22221mnab−=，可得22222anmab=+，易知点(),0Aa−、(),0Ba，所以，tanPAnkma==+

，tanPBnkma=−=−−，则222222222tantannnbanmaab=−=−=−−，222tantan0nnnamamama+=−=−+−−，()()tantantantantantanπt

an1tantantantan1++=−−=−+=−=−−222221namaba−=+，所以，222222242tantan4tan01nanabmamaa++=−+=−−+，所以，224101ba−=+，

则2214ba+=，可得2212bea=+=.因此，双曲线C的离心率为2e=.故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点．（1）证明：直线1//BD平面A

CE；（2）求直线1CD与平面ACE所成角正弦值．【答案】（1）证明见解析的（2）36【解析】【分析】（1）先利用中位线定理证得1//BDEO，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出1CD与平面ACE的法向量n，从而利用空间向量夹角

余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】连接直线BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，如图，因为在正方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点，又因为E为1DD的中点，所

以1//BDEO，又因为EO平面ACE，1BD平面ACE，所以直线1//BD平面ACE．【小问2详解】根据题意，以DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，不妨设正方体1111ABC

DABCD−的棱长为2，则()10,0,2D，()2,0,0A，()0,2,0C，()0,0,1E，故()10,2,2CD=−，()2,2,0AC=−，()2,0,1AE=−，设平面ACE的法向量(),,nxyz=，则00ACnA

En==，即22020xyxz−+=−+=，令1x=，则1y=，2z=，故()1,1,2n=，设直线1CD与平面ACE所成角为，则111243sincos,686CDnCDnCDn−+====，所以直线1CD与平面ACE所成角的正弦值为36．18.已知等差数列na的

前n项和为nS，且525S=，2121aa=+．（1）求数列na的通项公式；（2）令2nannca=+，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）222433nnTn=+−【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量

的计算即可求解公差和首项，进而可求通项，（2）根据分组求和，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】设数列na的首项为1a，公差为d，由题意得1115102521adada+=+=+,解得：2d=，11a=所以21nan=−【小问2详解】因为21212nncn−=−+所

以()()321121321222nnnTcccn−=+++=+++−++++()()221412122421433nnnnn−+−=+=+−−．19.已知抛物线C：()220ypxp=焦点为F，点()

0,2Px在C上，且POPF=（O为坐标原点）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点()(),00aa的直线与抛物线C交于点A，B两点，若11AFBF+为定值，求实数a的值．【答案】（1）24yx=（2）1a=−【解析】【分析】（1）

由POPF=先表示出P点坐标，代入抛物线C的方程求p，得出抛物线C的标准方程；（2）设过(),0a的直线为()()0ykxak=−，与抛物线C的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入11AFBF+为定值，求出实数a的值.【小问1详解】已知点()0,2Px在C上，且POPF

=，,02pF，则点P在线段OF的中垂线上，即,24pP，把点P代入抛物线C的方程22ypx=，则222=p，0p，解得2p=，所以抛物线C的标准方程为24yx=．【小问2详解】设过(),0a的直线为()()0ykxak=−，()11,Axy，()22,Bxy

联立()24yxykxa==−，得()22222240kxakxka−++=，则()2224224416160=+−=+akakak，即210ak+，且212222442akxxakk++==+，212xxa=所以()()2121221212121224222211

1141111121axxxxkAFBFxxxxxxxxaak+++++++=+===++++++++++因为11AFBF+为定值，的所以22221aaa+=++，a<0，解得1a=−或1a=（舍去）当1a=−，()()1,00,1k−时0，所以当11AFBF+为定值

时，1a=−．20.如图，在三棱锥−PABC中，ABBC⊥，平面PAB⊥平面ABC，2ABBC==，3PA=，1PB=．（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）若点D在线段AC上，直线PD与直线BC所成的角为

π4，求平面DBP与平面CBP夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）277【解析】【分析】（1）由勾股定理证明PAPB⊥，由已知面面垂直证明线面垂直，再到线面垂直，从而证得结果；（2）建立空间直角坐标系,由直线PD与直线BC所成的角π4，求得D点坐标，再求平面DB

P与平面CBP的法向量，得出两平面夹角的余弦值．【小问1详解】证明：在PAB中，因为2AB=，1PB=，3PA=，所以222ABPBPA=+，所以PAPB⊥，因为ABBC⊥，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABCAB=，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAB，因为PA平面PA

B，所以BCPA⊥，又PAPB⊥，PBBCB=，,PBBC平面PBC，所以PA⊥平面PBC．【小问2详解】以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz−，由题意得()0,0,0B，()2,0,

0A，()0,2,0C，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABCAB=，过点P作PHAB⊥于点H，则PH⊥平面ABC，32PH=，12HB=，则13,0,22P，所以，()2,2,0AC=−，()0,2,0BC=uuur，13,

0,22BP=，设点(),,Dxyz，()0,1ADAC=，则()()2,2,02,,ADxyz=−=−，所以22x=−，2y=，0z=，所以点D坐标为()22,2,0−，所以332,2,22

DP=−−因为直线PD与直线BC所成的角为π4，22242cos,23322(2)22DPCBDPCBDPCB===−+−+，解得12=所以点D坐标为()1,1,0，则()1,1,0BD=．设平面DBP的法向量为()1

111,,nxyz=则11111113002200BPnxzBDnxy=+==+=，取11x=，可得131,1,3n=−−．因PA⊥平面CBP，所以平面CBP的一个法向量为33,0,22PA=−，所以111312

722cos,719311344nPAnPAnPA+===+++所以平面DBP与平面CBP夹角的余弦值277．21.设数列na的前n项之积为nT，且满足()*21NnnTan=−．（1）证明：数列11na−是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）记2221

2nnSTTT=+++，证明：14nS．【答案】（1）证明见解析，2121nnan−=+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：根据11,1,2nnnTnaTnT−==，得到111nnnaaa−−=−，变形后得到()1111211nnnaa−−=−−，证明出结论，并求

出通项公式；法二：由题目条件得到()1212nnnTTnT−=−，得到1nT以3为首项，以2为公差的等差数列，求出121nTn=+，进而求出2121nnan−=+，并证明出数列11na−是等差数列；（2）利用放缩法得到2

11141nTnn−+，裂项相消法求和，得到14nS.【小问1详解】方法一：当1n=，得113a=，当2n时，1221nnaaaa=−①121121nnaaaa−−=−②为两式相

除可得：111nnnaaa−−=−即1111nnnaaa−=−−，又()1111111nnnnnaaaaa−−==−−−−，故111111nnaa−=−−−，变形为：()1111211nnnaa−−=−−，因为11312a=−，所以

11na−是以32为首项，1为公差的等比数列．所以()13112nna=+−−化简可得2121nnan−=+法二：因为12nnTaaa=，()*21NnnTan=−，所以()1212nnnTTnT−=−即()11122nnnTT−−=令1n=，则113T=，113T=

所以1nT以3为首项，以2为公差的等差数列，所以121nnT=+，即121nTn=+，所以()121221nnnTnanTn−−==+．又因为1113aT==满足上式，所以2121nnan−=+，所以1112nna=+−，故()*1111111N11

22nnnnnaa+−=++−−=−−，故数列11na−是等差数列．【小问2详解】1213211352121nnnTaaann−===++()22111114414141nTnnnnnn==−++++222121

1111111114223141nnSTTTnnn=+++−+−++−=−++因为10111n−+，所以14nS22.设P为圆E：222150xyx++−=上的动点，点()1,0F，且线段PF的垂直平分线

交PE于点Q，设点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知31,2A，M，N是曲线C上异于A的不同两点，是否存在以32,2D为圆心的圆，使直线AM，AN都与圆D相切，且AMN三边所在直线的斜率成等差数列

?若存在，请求出圆D的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）存在圆D，圆D的方程为()22312237xy−+−=．【解析】【分析】（1）利用椭圆定义即可求得曲线C的方程；（2）假设

存在以32,2D为圆心的半径为r的圆符合题意，利用题给条件和设而不求的方法列方程求得r的值即可解决.【小问1详解】圆E的方程化为()22116xy++=，所以圆心()1,0E−，半径4r=．因为Q在PF的垂直平分线

上，所以QFQP=，所以4QEQFQEQPEP+=+==又因为2EF=，则2QEQF+，所以Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，由24a=，1c=，得223bac=−=．所以C的方程为22143x

y+=．【小问2详解】假设存在以32,2D为圆心的半径为r的圆符合题意．设圆D方程为()222322xyr−+−=，()11,Mxy，()22,Nxy，设直线AM的方程为()1312ykx=−+，

直线AN的方程为()2312ykx=−+直线AM与圆()222322xyr−+−=相切，得1211krk=+，直线AN与圆()222322xyr−+−=相切，2221krk=+，所以122212

11kkkk=++，则21kk=−，由()122312143ykxxy=−++=得，()()222111133443241202kxkkxk++−+−−=由于点()11,Mxy

，31,2A均在椭圆上，所以22111122113412412323434kkkxkk−−−−==++，()()2211111112211126912123312234234kkkkykxkk+−−=−+=−

=++，又21kk=−，故在上式中以1k−代1k，可得211221412334kkxk+−=+，()21122191212234kkyk−+=+所以直线MN的斜率121212MNyykxx−==−以1

k−，1k，12按照一定次序成等差数列，得()11122kk−+=或()11122kk+=−故116k=，因此12137371krk==+，所以存在圆D，圆D的方程为()22312237xy−+−=．