【文档说明】第五章三角函数综合练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx，共(25)页，253.031 KB，由管理员店铺上传

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三角函数综合练习（共22题，150分）一、单项选择题（每道题5分，共40分）1.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-√3,1),则sin(π-α)=().A.-12B

.12C.-√32D.√322.已知扇形的半径为2cm,扇形圆心角θ的弧度数是2,则扇形的弧长为().A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm3.cos295°sin70°-sin115°cos110°的值为().A.√22B.-√22C.√

32D.-√324.已知a=sinπ5,b=sinπ7,c=sin5π6,则a,b,c的大小关系是().A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a5.已知sin(α+π3)=1213,则cos(π6-α)=().A.512B.1213C.-513D.-12136.已知函数f(x)=A

sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=2sin(12x+π4)B.f(x)=2sin(12x+3π4)C.f(x)=2sin(12x-π

4)D.f(x)=2sin(12x-3π4)7.设α,β均为锐角,且cos(α+β)+cos(α-β)=sinαsinβ,则tanα2+sin2β的最大值是().A.16B.√66C.6D.√638.已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+π4)在(π2,π)上单调递增,则ω的取

值范围是().A.[12,54]B.[12,74]C.[34,94]D.[32,74]二、多项选择题（每道题5分，共20分）9.已知α∈(0,π),且sinα+cosα=15,则().A.sinαcosα=

1225B.sinαcosα=-1225C.cosα-sinα=75D.cosα-sinα=-7510.已知函数f(x)=sin(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象().A.关于直线

x=13π12对称B.关于点(-π12,0)对称C.关于直线x=-17π12对称D.关于点(5π6,0)对称11.已知函数f(x)=(asinx+cosx)cosx-12图象的一条对称轴为直线x=π6,则下列结论中正确的是

().A.f(x)是最小正周期为π的奇函数B.(-7π12,0)是f(x)图象的一个对称中心C.f(x)在[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f(x)的图象12.如图,摩天轮的半

径为40米,点O距地面的高度为50米,摩天轮按逆时针方向做匀速转动,每30分钟转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最低点处,下列有关结论正确的是().A.经过15分钟,点P首次到达最高点B.从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高C.若摩天轮转速减半

,则其旋转一圈所需要的时间变为原来的12D.在摩天轮转动的一圈内,有10分钟的时间点P距离地面超过70m三、填空题（每道题5分，共20分）13.已知sinα=-35,3π<α<7π2,则cosα2=.14.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=.15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部

分图象如图所示,则f(0)=.16.函数y=sin(π6-2x)+cos2x的单调递增区间为,最大值为.四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分）17.给出三个条件:①α,β都是锐角,且sinα=√55,c

osβ=3√1010;②α,β都是钝角,且tanα=-14,cosβ=-5√3434;③α是锐角,β是钝角,且tan2α=512,tanβ=-32.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.已知,求α+

β的值.18.设函数f(x)=3sin(ωx+π6),ω>0,x∈R的最小正周期为π2.(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;(3)已知f(α4+π12)=95,求sinα的值.19.已知函

数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω>0)图象的相邻两个零点差的绝对值为π4.(1)若f(x)=Asin(ωx+φ),求A,ω;(2)将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍,再将所得图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)

的单调递增区间.20.已知函数f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ(x∈R,0<φ<π),f(π4)=√32.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(α2-π3)=513,α∈(π2,π),求sin(α+π4)的值.21.据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:f(x)=

Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2),x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元.(1)求f(x)的解析式;(2)求此商品的价格超过8万元的月份.22.函数f

(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若∀x∈[-π4,π4],[f(x)]2-mf(x)-1≤0,求实数m的取值范围.参考答案1.B【解析】∵角α的终边过点P(-√3,1),∴r=|OP|=√(-√3)2+12=

2,∴sinα=𝑦𝑟=12,故sin(π-α)=sinα=12.2.B【解析】∵扇形的半径为2cm,扇形圆心角θ的弧度数是2,∴扇形的弧长=2×2=4cm.故选B.3.A【解析】原式=-cos115°cos20°+sin115°sin20°=cos

65°·cos20°+sin65°sin20°=cos(65°-20°)=cos45°=√22.4.C【解析】∵c=sin5𝜋6=sin𝜋6,0<𝜋7<𝜋6<𝜋5<𝜋2,且y=sinx在(0,𝜋2)上单调递增,∴sin𝜋7<sin𝜋6<sin𝜋5,即b<

c<a.5.B【解析】因为sin(𝛼+𝜋3)=1213,所以cos𝜋6-α=sin[𝜋2-(𝜋6-𝛼)]=sin(𝛼+𝜋3)=1213,故选B.6.B【解析】由图象知A=2,T=2(3𝜋2+𝜋2)=4π,∴

ω=2𝜋4𝜋=12.∵函数在x=-𝜋2处取到最大值,∴12×(-𝜋2)+φ=𝜋2+2kπ,k∈Z,∴φ=3𝜋4+2kπ,k∈Z.又-π<φ<π,∴φ=3𝜋4,∴f(x)=2sin(12𝑥+3𝜋4).7.B【解析】由cos(α+β)+cos(α-β)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛�

�,得2cosαcosβ=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽,即tanα=2sinβcosβ.由β为锐角,得𝑡𝑎𝑛𝛼2+𝑠𝑖𝑛2𝛽=2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽3𝑠𝑖𝑛2𝛽+2𝑐𝑜𝑠2𝛽=23𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽

+2𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑖𝑛𝛽≤22√3𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽·2𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑖𝑛𝛽=√66,当且仅当3𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽=2𝑐𝑜𝑠𝛽𝑠𝑖𝑛𝛽,即tanβ=√63

时,等号成立.故𝑡𝑎𝑛𝛼2+𝑠𝑖𝑛2𝛽的最大值是√66.8.D【解析】函数y=cosx的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,则{𝜔𝜋2+𝜋4≥-𝜋+2𝑘𝜋,𝜔𝜋+𝜋4≤2𝑘𝜋,k∈Z,解得4k-

52≤ω≤2k-14,k∈Z,又由4k-52-(2𝑘-14)≤0,k∈Z且2k-14>0,k∈Z,得k=1,所以ω∈[32,74].9.BD【解析】由sinα+cosα=15两边平方后,得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125,解得sinαcosα=-1225,故B正

确,A错误;∵α∈(0,π),sinαcosα=-1225<0,∴α∈(𝜋2,𝜋),∴cosα-sinα<0,且(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×(-1225)=4925,解得cosα-sinα=-75,故D正确,C错误.10.ACD【解析】∵函数f(x)=sin

(2𝜔𝑥+𝜋3)(ω>0)的最小正周期为π,∴2𝜋2𝜔=π,解得ω=1,∴f(x)=sin(2𝑥+𝜋3).由2x+𝜋3=kπ+𝜋2,k∈Z,可得x=𝑘𝜋2+𝜋12,k∈Z,结合选项可知,当k=2时,函数图象的一条对称轴为直线x=1

3𝜋12,故A正确;当k=-3时,函数图象的一条对称轴为直线x=-17𝜋12,故C正确.由2x+𝜋3=kπ,k∈Z,可得x=𝑘𝜋2-𝜋6,k∈Z,当k=2时,函数图象的一个对称中心为(5𝜋

6,0),故D正确.11.BD【解析】因为f(x)=(asinx+cosx)cosx-12=asinxcosx+cos2x-12=12asin2x+1+𝑐𝑜𝑠2𝑥2-12=√𝑎2+12sin(2x+φ),当x

=𝜋6时,f(x)取到最值,即asin𝜋6cos𝜋6+cos2𝜋6-12=±√𝑎2+12,解得a=√3,所以f(x)=√32sin2x+1+𝑐𝑜𝑠2𝑥2-12=sin(2𝑥+𝜋6).又f(0)=sin𝜋6≠0,故f(x)不是奇函数,故A错误;f(-7𝜋1

2)=sin(-7𝜋6+𝜋6)=sin(-π)=0,则(-7𝜋12,0)是f(x)图象的一个对称中心,故B正确;当-𝜋3≤x≤𝜋3时,-𝜋2≤2x+𝜋6≤5𝜋6,又y=sinx在[-𝜋2,5𝜋6]上先增后减,则f(x

)=sin2x+𝜋6在[-𝜋3,𝜋3]上先增后减,故C错误;先将函数y=2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象再向左平移𝜋12个单位长度,得y=12×2sin[2(𝑥+𝜋12)]=sin2x+𝜋6的图象,故D

正确.12.AD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系:则P(-𝜋2,10),A=40,T=30,得ω=𝜋15,所以点P距离地面的高度h=40sin𝜋15t-𝜋2+50,当t=15时,h=40sin(𝜋-𝜋2)+50=90,所以经过15分钟,点P首次到达最高点,故A正确;令-𝜋2+2

kπ≤𝜋15t-𝜋2≤𝜋2+2kπ,k∈Z,解得30k≤t≤15+30k,k∈Z,所以从第10分钟到第15分钟,点P距离地面的高度一直在升高,从第15分钟到第20分钟,点P距离地面的高度在降低,故B错误;若摩天轮转速减半,则其旋转一圈所需要的时间变为原来的2倍,故C错误;令h=40sin

(𝜋15𝑡-𝜋2)+50>70,即sin(𝜋15𝑡-𝜋2)>12,解得𝜋6<𝜋15t-𝜋2<5𝜋6,所以10<t<20,则有10分钟的时间点P距离地面超过70m,故D正确.13.√1010【解析】因为3π<α<7𝜋2,所以3𝜋

2<𝛼2<7𝜋4,所以cosα<0,cos𝛼2>0.因为sinα=-35,所以cosα=-45,又cosα=2cos2𝛼2-1=-45,解得cos𝛼2=√1010.14.sinπx(答案不唯一)【解析】由最小正周期为2,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=As

inωx(A≠0),满足f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数,根据最小正周期T=2𝜋𝜔=2,可得ω=π.故函数可以是f(x)=Asinπx(A≠0)中任意一个,可取f(x)=sinπx.15.√22【解析】由题意知,54-14

=𝑇2,可得T=2,则T=2𝜋𝜔=2,解得ω=π,故f(x)=sin(πx+φ).由f(14)=sin(𝜋4+𝜑)=0,得𝜋4+φ=2kπ+π,k∈Z,则φ=2kπ+3𝜋4,k∈Z,所以f(x)=

sin(𝜋𝑥+2𝑘𝜋+3𝜋4)=sin(𝜋𝑥+3𝜋4),所以f(0)=sin3𝜋4=√22.16.[𝑘𝜋-7𝜋12,𝑘𝜋-𝜋12](k∈Z)√3【解析】y=sin𝜋6-2x+cos2x=12cos2x-√32sin2x+cos2x=32

cos2x-√32sin2x=√3cos(2𝑥+𝜋6).由2kπ-π≤2x+𝜋6≤2kπ,k∈Z,得kπ-7𝜋12≤x≤kπ-𝜋12,k∈Z,所以函数的单调递增区间为[𝑘𝜋-7𝜋12,𝑘

𝜋-𝜋12](k∈Z),最大值为√3.17.【解析】若选择①,由α,β都是锐角,且sinα=√55,cosβ=3√1010,可得cosα=√1-𝑠𝑖𝑛2𝛼=√1-(√55)2=2√55,sinβ=√1-𝑐𝑜𝑠2𝛽=√1-(

3√1010)2=√1010,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=2√55×3√1010-√55×√1010=√22.因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π,所以α+β=𝜋4.若选择②,因为β是钝角,cosβ=-5√3434,所以sinβ=√1-𝑐𝑜𝑠2

𝛽=√1-(-5√3434)2=3√3434,所以tanβ=𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽=3√3434-5√3434=-35.因为α是钝角,tanα=-14,所以tan(α+β)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1-𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽=-14-351

-(-14)×(-35)=-1.因为𝜋2<α<π,𝜋2<β<π,所以π<α+β<2π,所以α+β=7𝜋4.若选择③,由tan2α=2𝑡𝑎𝑛𝛼1-𝑡𝑎𝑛2𝛼=512,整理可得5tan2α+24tanα-5=0,即(5tanα-1)(

tanα+5)=0,解得tanα=15或tanα=-5(舍去),所以tan(α+β)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1-𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽=15-321-15×(-32)=-1.因为0<α<𝜋2,𝜋2<β<π

,所以𝜋2<α+β<3𝜋2,所以α+β=3𝜋4.18.【解析】(1)∵T=2𝜋𝜔=𝜋2,∴ω=4,∴f(x)=3sin4x+𝜋6.(2)列表:4x+𝜋60𝜋2π3𝜋22πx-𝜋24𝜋125𝜋24𝜋311𝜋24f(x)030-30图象如图所示:(3)f

(𝛼4+𝜋12)=3sin[4(𝛼4+𝜋12)+𝜋6]=3sinα+𝜋2=95,则cosα=35.∴sinα=±√1-𝑐𝑜𝑠2𝛼=±45.19.【解析】(1)因为f(x)=2sin(𝜔𝑥+𝜋3),所以A

=2.因为f(x)图象的相邻两个零点差的绝对值为𝜋4,则𝑇2=𝜋4,即T=𝜋2,所以2𝜋𝜔=𝜋4,解得ω=4.(2)由(1)得,f(x)=2sin(4𝑥+𝜋3),所以g(x)=2sin(𝑥+𝜋6).令2

kπ-𝜋2≤x+𝜋6≤2kπ+𝜋2(k∈Z),则2kπ-2𝜋3≤x≤2kπ+𝜋3,所以函数g(x)的单调递增区间为[2𝑘𝜋-2𝜋3,2𝑘𝜋+𝜋3](k∈Z).20.【解析】(1)由f(𝜋4)=√32,可得sin𝜋2cos

φ+cos𝜋2sinφ=√32,所以cosφ=√32.又0<φ<π,所以φ=𝜋6,所以f(x)=sin2xcos𝜋6+cos2xsin𝜋6=sin(2𝑥+𝜋6).(2)由f(𝛼2-𝜋3)=5

13,可得sin2(𝛼2-𝜋3)+𝜋6=513,即sin(𝛼-𝜋2)=513,所以cosα=-513.又α∈(𝜋2,𝜋),所以sinα=√1-𝑐𝑜𝑠2𝛼=√1-(-513)2=1213,所以sin(𝛼+𝜋4)=sinαcos𝜋4

+cosαsin𝜋4=1213×√22-513×√22=7√226.21.【解析】(1)由题可知𝑇2=7-3=4,∴T=8,∴ω=2𝜋𝑇=𝜋4.又{𝐴+𝐵=9,-𝐴+𝐵=5,解得{𝐴=2,𝐵=7,∴f(x)=2sin(�

�4𝑥+𝜑)+7.又f(x)的图象过点(3,9),∴2sin(3𝜋4+𝜑)+7=9,∴sin(3𝜋4+𝜑)=1,∴3𝜋4+φ=𝜋2+2kπ,k∈Z.又|φ|<𝜋2,∴φ=-𝜋4,∴f(x)=2sin(

𝜋4𝑥-𝜋4)+7(1≤x≤12,x∈N*).(2)令f(x)=2sin(𝜋4𝑥-𝜋4)+7>8,则sin(𝜋4𝑥-𝜋4)>12,∴𝜋6+2kπ<𝜋4x-𝜋4<5𝜋6+2kπ,k∈Z,可得53+8k<x<133+8k,k∈Z.又1

≤x≤12,x∈N*,∴x=2,3,4,10,11,12,即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.22.【解析】(1)由题图知,34T=5𝜋6-𝜋12=3𝜋4,即T=2𝜋𝜔=π,解得ω=2.由题图知,函

数f(x)=cos(2x+φ)过点(𝜋12,1),∴cos(2×𝜋12+𝜑)=1,即cos(𝜋6+𝜑)=1,∴𝜋6+φ=2kπ,解得φ=-𝜋6+2kπ.又|φ|<𝜋2,∴φ=-𝜋6,∴f(x)=cos(2𝑥-𝜋6).(2)

∵x∈[-𝜋4,𝜋4],∴2x-𝜋6∈[-2𝜋3,𝜋3].利用余弦函数的图象与性质知,cos(2𝑥-𝜋6)∈[-12,1],即f(x)∈[-12,1].令t=f(x)∈[-12,1],则

由题意可知,t2-mt-1≤0恒成立.令g(t)=t2-mt-1,t∈[-12,1],则g(t)图象的对称轴为直线t=𝑚2,开口向上.①当m≤-1时,二次函数g(t)在[-12,1]上单调递增,g(t)max=g(1

)=-m≤0,解得m≥0,此时无解;②当-1<m<2时,二次函数g(t)在[-12,𝑚2]上单调递减,在(𝑚2,1]上单调递增,g(t)max=max{𝑔(1),𝑔(-12)}=max{-𝑚,�

�2-34}≤0,解得0≤m≤32;③当m≥2时,二次函数g(t)在[-12,1]上单调递减,g(t)max=g(-12)=𝑚2-34≤0,解得m≤32,此时无解.综上可知,实数m的取值范围是0≤m≤3

2.