2024 届广东省四校高三第一次联考 数学答案

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【文档说明】2024 届广东省四校高三第一次联考 数学答案.pdf,共(13)页,1.937 MB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

参考答案:1.D【解析】由题意,2ln(1)ln10yx,故,0M,故(0,)(1,1)(1,)RMNð2.A【解析】由复数11iz,可得11i1i2z,对应的点为11,22

,在第一象限.故选:A.3.A【分析】先由不等式恒成立求出m的取值范围,再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】由210xmx在1,x上恒成立,得1mxx在1,x上恒成立,令1()fx

xx,由对勾函数的性质可知()fx在1,x上单调递增,所以()(1)2fxf,所以2m,所以“210xmx在1,x上恒成立”的充要条件为2m,所以“1m”是“210xmx在1,x

上恒成立”的充分不必要条件,故选:A4.C【分析】建立平面直角坐标系,利用数量积及模的坐标运算求解即可.【详解】由题意CACB,90C,112ABCSCBCA,所以2CACB,如图,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,建立平面直角坐标系,

则(0,0),(2,0),(0,2)CAB,所以(2,2)AB,(2,0)AC,(0,2)BC,所以(2)00(2)0ACBC,(2)(2)202ABAC

,(2)02(2)2ABBC,2cos222ABB,2BC,学科网(北京)股份有限公司所以AcosBBBC,所以选项ABD正确,C错

误.故选:C5.B【解析】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道,每个小组至少一名记者,共有C24A3336种不同情况,记者A被安排到甲组有A32A23C31213212种,所求概率为P63,故选:B.6.B【解析】记双曲线C的右焦点为F,P为第二

象限上的点,连接PF,PF,QF,QF,根据双曲线的性质和直线l的对称性知,四边形PFQF为平行四边形.因为PQFO2,所以四边形PFQF为矩形,而直线l的斜率为3,所以PFc,PF3c,又PF|PF|2a,所以23c3cc2a,则ea

311.故选:B.7.C【解析】根据题意,可得ADAE,ADAF,AEAF,且AE1,AF1,AD2,所以三棱锥DAEF可补成一个长方体,则三棱锥DAEF的外接球即为长方

体的外接球,如图所示,121222设长方体的外接球的半径为R,可得2R66,所以R2,6所以外接球的表面积为S4πR24π2()26π.故选:C.8.A【解析】������=2sin������+���3+���−

1���������������=������������������+3���������������=���2+3sin(������+���),其中���满足������������=���3.又由任意的���1,���2均有���(���1)≤−��

�(���2)成立即���(���1)+���(���1)≤43成立可知���(���)最大值为23.学科网(北京)股份有限公司∴���2+3=23,又���>0,∴���=3,∴������=2sin(������+���6),又0<���<���知���6<���

���+���6≤������+���6,又���(���)0,在���上存在唯一实数���0使������0=−3即sin������0+���6=−12,∴7���6<������+���61≤16���

,∴1<���≤53.选A.9.【答案】ACD【详解】对选项A:将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变,正确;13,错误对选项B:E(x)np30,D(x)np1p20,解得p;1对选项C:根据正

态分布的对称性知,P(0)12,P(1)p,则P(10)P(01)2p,正确;对选项D:X~B(10,0.8),故pXnC1n00.8n10.810n,pX

npXn1pXnpXn1,即1011111010101191010C0.80.2C0.80.2C0.80.2C0.80.2nnnnnnnnnnnn,解得39445n5,故n8,D正确.故

选:ACD10.【答案】BC【解析】对于A,11annn1恒成立,存在正数M1,使得anM恒成立,数列an是有界的,A错误;111222nnnansinn对于B,

1sinn1,211112222nn1Sna1a2an1,211112222nn1Sn

a1a2an1,所以存在正数M1,使得M恒成立,则数列SSnn是有界的,B正确;对于C,当n为偶数时,Sn0;当n为奇数时,Sn1;Sn1,存在正数M1,使得SnM恒成立,数列Sn是有界的,C正确;1

411n2对于D,n242n42n142n1121n,学科网(北京)股份有限公司113352nSn2n122n12312n1122n4111112n2n8

2n4n212n11n2n2121;13,yx2x21在0,上单调递增,n2n21,不存在正数M,使得M恒成立,数列SSnn是无界的,D错误.故选:BC.11.【解析】(向量法)为

简化运算,建立空间直角坐标系如图,设正方体棱长为2,������=2(0≤���≤2),则���(���,2,2),���(2,1,0).�����������1�=(−2,2,−2),����������∙���1��

��������1�=−2≠0,故������1与���1���不垂直,故���错误.由������=������1知���2+22+22=(���−2)2+12+22⟹���=14∈0,2,故���正确.������−������1���1=����

��−���1���1���=13∙2∙���△���1���1���=13∙2∙12∙2∙2=43,为定值.故���正确.又������1������=(2,1,0),������1������=���,2,2,设平面�

��1������的法向量������1�=(���,���,���),由������1������∙����������1�������1�=0��1�=�∙����02⟹���+���=0������+2���+2���=0,令���=2则���=

−4,���=4−���,∴������1�=(2,−4,4−���),又平面���1������1的法向量������2�=(0,0,1),∴|���������<������1�,����>|���2=4−���22+−42+4−���2=1201+(���)4−2,��1�,��

����2�>|∈66,23.又0≤���≤2,∴4≤(4−���)2≤16,∴|���������<����故���错误.(几何法)记棱���1���1,���1���,������,������,������1中点分别为���,���,��

�,���,���,易知������1⊥平面������������������,则������1⊥������,若������1⊥平面���1������,则������1⊥���1���,所以������1⊥平面���1������

,矛盾,故������1不垂直于平面���1������.故���错误.连接������,���1���,易知������⊥������,������⊥���1���,设正方体棱长为2,知������=5,���1���=22,记����

��=���(0≤���≤2),(2−���)2+则������=���2+5,���1���=8,由���2+5=(2−���)2+8,学科网(北京)股份有限公司得���=74∈0,2.故���正确.������−������1���1=������−���1���1

���=13∙2∙���△���1���1���=13∙2∙12∙2∙2=43,为定值.故���正确.过点���作������⊥���1���1于点���,易知������⊥���1���,过点���作������⊥���1���于点���,知���1���⊥平面���

������,所以������⊥���1���,则二面角���−���1���−���1的平面角为∠���������,现在△���������中求解���������∠���������.设正方体棱长为2,������=���,

则������=���2+4,∴���������∠���������=������������=���2+���4,只需求���取值范围即可:记������=���(0≤���≤2),则���1���=������=���,分析易知���在���1时���取到最大

值,此时���=���1���1,���在���1时���取到最小值,此时���=���1���2,又���1���������111=���1������1���1即���1���1=2∙25=455,��

�1���2���1���1=���1������1���即���1���2=2∙15=255,5所以25≤���≤455即45≤���2≤156,∴���������∠���������=������2+41=−4���2+4∈66,23.故���错误.12.【解析】法1:���=�

��1������1=���2���������2=���������2������������2,又���'���=������(���+1),知������在(−∞,−1)上递减,在(−1,+∞)上递增,又当���<0时,������<0;当���>0时,������>0,∴���(���

)最小值=���−1=−1���,由图可知:当���>0时,������=���有唯一解,故���1=���������2,且���1>0,∴���1���2=���2���������2=���,故�

��正确;从而������1���������2���=���������(���>0),设���������=���������,则���'���1=−���2���������,令���'���=0⟹���=���,易知������在(0,���]上单调递增,在[���,+∞)上单调递减,

∴������≤������=1���,∴������������1���2≤1���,∴������������≤���1���2,故���正确;���'���=���������+1=0⟹���=1���,∴���=1���,易知������在(0,1���)上递减,在(1���,

+∞)上递增,∴���������������=���1���=−1���,∴存在���=−1���,使���'−1=���'1���=0,故���错误;令������−������=���(������−���������),令������=������−���������,则���'���

=������−1���,易知���'���在(0,+∞)上递增,又���'12=���−2<0,���'1=���−1>0,∴存在���0∈(12,1),使���'���0=0,∴������在(0,���0)上递减,

在(���0,+∞)上递增(其中���0满足������0=1���0,即���0=−���������0).∴������≥������0=������0−���������0=���0+1���0>2,

∴������−������=���∙������>2���,∴������−������>������,∴���≤2,故���正确.故选���������.x学科网(北京)股份有限公司法2:对于选项������可以采用如下方法,由���1�����

�1=���,���2���������2=���得������1=������1,���������2=������2,故���1,���2分别为函数���=������,���=���������与���=������(���>0)的两个交������2=��

�������2=���1,从而���1���2=���,���1=���������2,∴������������1���2���=���������,以点的横坐标,由对称性可知点���坐标为(���2,���1),∴下同解法1.13.−6【

详解】二项式(���−���)6的展开式通项公式为������+1=������6���6−���(−���)���,���≤6,���∈���∗,当r=5时,���6=���56���6−5(−���)5=−6������5,所以所求系数为−6.故答案为:−614.10【解析】�

�����=������������+1���−−4,∴������=sin−���+1−���−4=−������������−1���−4,f(x)f(x)8,又f(3)2,则f38210,故答案为:

10.115.3根据偏导数的定义,在求对x偏导数时,f(x,y)中y可作为常数,即函数可看作是x的一元函数求导,同理在求对y偏导数时,f(x,y)中x可作为常数,即函数可看作是y的一元函数求导,所以fx(x,y)2x2y,fy(x,y)2x3y2,1

1fx(x0,y0)fy(x0,y0)2x02y02x03y023y022y03(y03)213,最小值是3.16.【解析】易知������的方程为������=2(���−2),从而直线������过定点���(0,2),从而���在直线������上的射影

���的轨迹���−32=1,当������与⊙���相切时,斜率分别为3,−3,由图可知���∈−∞,−3就是⊙���:���2+∞)∪[3,+.17.【详解】解:(1)设等差数列an的公差为d,则a2a1d,a

3a12d,…………1分学科网(北京)股份有限公司133dada3a由题意得a1112d8,解得12ad3或1a3d4,…………………………3分所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n

5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7;………………………………5分(2)当an3n5时,a2,a3,a1分别为1,4,2,不成等比数列;…………6分当an3n7时,a2,a3,a1分别为1,2,4成等比数列,满足

条件.故371,237,,3nnannn3n7,……………………………………………………7分记数列ann(32n11)的前n项和为Sn,Sn.……………………………………8分a1a2T20a

20a1a2a3a10S102S2105.………………10分18.【详解】(1)2asinB3b,由正弦定理,sinsincBinCabAs3sinBcosB,……1分于是3sinBsinAcosBs

inAsinBsinCsinBsin(AB),…………2分,即3sinBsinAcosBsinAsinBsinAcosBsinBcosA,得3sinBsinAsinBsinBcosA,………………3分由B(0,π),则sinB0,………4分得到3sinA

1cosA,π16根据辅助角公式可得,sin2Aππ566,π6,结合A0,πAπ,故A6π6,可得πA3………………6分2122cbb2ca2(2)法一:在ABC中,由余弦定理得:cosA,得b2c2a2bc,①

……………………7分又因为BCDD,所以BDDCa2,且ADBADCπ,即cosADBcosADC0,………………8分1△ADB和△ADC中,由余弦定理得b2c282a2,②……………………10分16

联立①②消去a2得b2c216bc2bcbc3.………………11分学科网(北京)股份有限公司43(当且仅bc3时等号成立),1434所以ABC的面积S33bc2bcsinA.所以ABC面积最大值为43.……………………123分法二:延长���

���至���,使������=������,连������,则∠���������=120°.���△���������=���△���������=12���∙���∙sin120°=34������

,………………8分在△���������中,������2+������2−2������∙������∙sin∠���������=������2即���2+���2+������≥2������+������=3������,∴������≤13

6,当且仅当���=���时“=”成立,………………10分∴���△���������=34������≤34×163=433,当且仅当���=���时,△���������的面积最大值为43.…………123分19.【详解】(1

)取PC中点M,连接FM,BM.1在PCD中,M,F分别为PC,PD的中点,所以MF//DC,MF2DC.1在菱形ABCD中,因为AB//DC,BE2DC,所以BE//MF,BEMF.所以四边形BEMF为平行四

边形,所以EF//BM.又因为EF平面PBC,BM平面PBC,所以EF//平面PBC.(判定定理3条,证明线线平行2分,其余两条1分)……………………4分(2)因为PD平面ABCD,DB,DC,DE平面ABCD,所以PDDB,PDDC,PDDE.连

接BD,因为PB2PD2BD2,PC2PD2DC2,且PBPC,所以BDDC,在菱形ABCD中,ABBDAD,即ADB为正三角形.又因为E为AB中点,所以DEDC,………………………………6分以D为原点,建立如图所示的空间

直角坐标系Dxyz.学科网(北京)股份有限公司又因为AB∥DC,DEAB.3,所以DE3因为ADB为正三角形且AD2.设F0,0,t(t0),E3,0,0,C0,23,0,……………………7分则EF3,0,t,E

3,2C3,0,ur根据条件,可得平面FCD的法向量为n11,0,0.……………………8分uur设平面EFC的法向量为n2x,y,z,0nn2EC02E则F,所以3032x3txz

y0,取x2t,则y3t,z6,所以n22t,3t,6,………………10分由题意,二面角EFCD的大小为45,所以12122224ntnn3t2t236ncos<n1,n2>,

解得t6(舍负).…………11分因为F是PD的中点,所以PD的长为12.…………12分经检验符合题意.11132220.【解析】(1)得2分即回答1题正确或者回答2题都错误,所以p224,……1分得3分即回答2题

1题正确,1题错误或者回答3题都错误,11111522222所以p3C821;………………3分(2)方法1:由题意可知,Xn的所有可能取值为n,n1,n2,,nk,,2n.…………4分111222knnkp(Xnnk)CnkCnk1

0kn,nN*…………5分故Xn的分布列如下学科网(北京)股份有限公司Xnnn1nk2nP12nCn012n1Cn12nCnk12nCnn11112222nn

nn所以EXnnCn01n1CnnkCnk2nCnn……8分12nCnnCn0Cn……

……912Cn2kCnknCnn1CnkCnn分1!!1)!nk)!k)n!又由kCnkkk!(nnn(k(nCnk11………………10分Cn0Cn

1CnkCnn2n,Cn01C1n1Cnk1Cnn112n1…………11分1113222nnnE(Xn)n2nn2n1n2nnCn0

1Cn1Cnn11…………12分方法2:设回答n次,其中正确回答次数为,由于正确回答每题的概率都为12,且每次回答问题是相互独12),…………5立的,故B(n,分又由Xn2(n)n…………7分从而Xn的分布列及数学期望分别如下11

1222knnkP(Xnnk)P(k)CnkCnk10kn,nN*……10分13.22nE(Xn)E(n)nE()nn…………12分21.【解析】(1)易知���△���������=���

△���������=2∙12���∙������∙������=2���≤2���=2���=25,∴���=5,故椭圆的方程为���92+���25=1.…………4分(2)法1:设������的方程为���=2

+������,������1,���1���2,���,���2,由���=2+���������29+���255���2+=1,⟹9���2+20������−25=0,…………5分∴���1+���2=−20���5���2+9,���1∙���2=−255

���2+9,∴���1+���2���∙1���2=45���,…………6分学科网(北京)股份有限公司设���(92,���),则���2=25���,���1+���3=���−���152−������1+���−���252−������2,…………8分���2∴���1+��

�3=2���525−10������1+���2+���42���1∙���2∙210���−2������+5���1+���2+4������1∙���2���25−10���=5∙∙20−������52+94���+2∙2−55���2+92������+10���−5∙−20���5

���2+9+4���∙2−55���2+95���2+���2=5∙59+4���25���2+10���9+4���2���51=5∙2���=2.…………12分法2:设������的方程为���=2+������,������1,���1,��

����2,���2,由���=2+���������29+���255���2+=1,⟹9���2+20������−25=0,…………5分∴���1+���2=−20���5���2+9,���1∙���2=−255���2+9,…………

……6分∴���1+���2���∙1���2=45���,即���1+���2=4���5���1∙���2,…………………7分设���(92,���),则���−���1���1+���3=52−������1���−���2+52−������25���=−

������+52���1+���2+2������1∙���2254−5���2���1+���2���+2���1∙25���=−5������+2∙4���5���1∙���2+2������1∙���2254−52���4

���5���1∙���2+���2���1∙���25=���−4���5������2���1∙���2254���2−���1∙���2=4���5=2∙���2,……………………11分∴���2���1+���3=12.…………12分22.【

解析】(1)依题意得,f(0)1a,此时f(x)sin2xexx,f(x)sin2xex1,……1分则切线斜率为f(0)2,…………2分故切线方程:y12(x0),即y2x1…………3分(2)时���

=−1,������=���������2���−������−���,则���'���=���������2���−������−1,∴���'���=���������2���−������−1≤−������<0,……4分学科网(北京)股份有限公司∴���'���0在,���2上单调递减,…

………5分又���0=−1,������2=1−������2−���2,∴������1−值域为������2−���2,−1.…………6分(3)������=������+12���������2���−���−12=���������−���−���(0<���≤1),���'=����

�����−1=0⟹���=−���������,������'���>0⟹���>−���������;���'���<0⟹���<−���������.������−∞,−������减区间为���−�

��������,+,增区间为∞,……7分∴������−������≥������=1+���������−���.当���=1时,1+���������−���=0,∴���(���)≥0,∴���(���)在(−∞,+∞)上有且仅有一

个零点;……8分当0<���<1时,令������=1+���������−���(0<���<1),���'���=1���1−1=−������>0,∴������在(0,1)上单调递增,∴������<���1=0,…………9分又���0=0,∴������−2������在(−

∞,−���������)上有一个零点,又������=1���+2���������−���,…………11分令������=1���−���+2���������(0<���<1),则���'������=

−−12���<0,∴������在(0,1)上单调递减,∴������>���1=0,∴���−2���������>0,∴������在(−���������,−2���������)上有一个零点.……12分综上所述,��

�=1时,���(���)有一个零点,0<���<1时,���(���)有2个零点.注:若用无穷远代替x2lna,该2分不给学科网(北京)股份有限公司

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