【文档说明】浙江省杭州市高级中学2020届高三下学期教学质量检测数学试题 【精准解析】.doc，共(25)页，2.127 MB，由小赞的店铺上传

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杭高2019学年第二学期高三教学质量检测数学试题卷一、选择题1.已知集合|11xRxP−=，|02RxQx=那么()RPCQ=（）A.（-1，2）B.（0，1）C.（-1，0）D.（1，2）【答案】C【解析】【分析】先求出集合Q的补集，然后求(

)RPCQ即可.【详解】解：因为|02RxQx=，所以0RCQxx=或x≥2，所以()10RPCQxx=−，故选：C【点睛】此题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题.2.双曲线221916xy−=的左顶

点到其渐近线的距离为（）A.2B.95C.125D.3【答案】C【解析】【分析】先求左顶点坐标以及渐近线方程，再根据点到直线距离公式求结果.【详解】因为双曲线221916xy−=的左顶点为(3,0)−，渐近线方程为220,4309

16xyxy−==所以双曲线221916xy−=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255−=故选：C【点睛】本题考查双曲线渐近线以及点到直线的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则

该几何体的侧视图为A.B.C.D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A所示，故选A．4.若x,

y满足约束条件x0x+y-30z2x-2y0xy=+，则的取值范围是A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+）D.[4,+）【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函

数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．5.若函数()()24mxfxn=−的大致图象如图所示，则（）A.0m，01nB.0m，1nC.0m，01nD.0m，1n【答案】B【解析】【

分析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项A，D，通过0m，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C即可.【详解】令()0fx=，即4mxn=，则4logmxn=，即41logxnm=，由题意41log0nm，故0m时

1n，0m时01n，排除A､D；当0m时，易知4mxy=是减函数，且当x→+时，0y→则()2fxn→，C明显不合题意，排除C；故选：B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，函数的最值以及函数的单调

性的应用，属于中档题.6.对于任意实数,xx表示不小于x的最小整数，例如1.12,1,11=−=−,那么“||1xy−”是“xy=”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解

析】【分析】通过给xy，取特值得到前者推不出后者，通过推导判断出后者可以推出前者，根据必要不充分条件的定义判断出结论【详解】由已知可得令1.80.9xy==，，满足1xy−，但1.82=，0.91=xy，而xy=时，必有1xy−“1xy−”是

“xy=”必要不充分条件故选B【点睛】本题主要考查了充要条件的判断，说明一个命题不成立常用举反例的方法，考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．7.已知随机变量的分布列如下：012Pba−

ba则当a在10,2内増大吋（）A.D増大B.D減小C.D先増大后減小D.D先減小后増大【答案】C【解析】【分析】由随机变量的分布列得：0101011babababa−−++=剟剟剟，解得0.

5b=，00.5a剟，可得E．D，利用二次函数的单调性即可得出．【详解】解：由随机变量的分布列得：0101011babababa−−++=剟剟剟，解得0.5b=，00.5a剟，0.52Ea

=+，00.5a剟．22222111(20.5)(0.5)(0.52)0.5(1.52)424442Daaaaaaaa=−−−+−+−=−++=−−+，所以10,4a时D单调递增

，11,42a时D单调递减，故选：C．【点睛】本题考查了随机变量的分布列期望与方差、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.己知1e，2e，3e是空间单位向量，且满足12231312eeeeee

===，若向量()1231bee=+−，R.则3e在b方向上的投影的最大值为（）A.22B.23C.32D.33【答案】D【解析】【分析】由题意得123,,eee是空间中两两夹角为60°的单位向量，构

造棱长为1的正四面体OABC−，使得123,,OAeOBeOCe===，在射线OA上取点D，使得133ODOAe==，由三点共线定理可得P在直线BD上，根据投影定理可得3e在b方向上的投影33cos,ebe=3cos,cos,beOPOC=，当

COP最小时，余弦值最大，结合图示，即可求解.【详解】易得123,,eee是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图，构造棱长为1的正四面体OABC−，使得123,,OAeOBeOCe===，在射线OA上取点D，使得133ODOAe==设bOP=，则()1,bOPtODtOBtR

==+−，由三点共线知P在直线BD上.由定义知3e在b方向上的投影33cos,ebe=3cos,cos,beOPOC=作点C在平面OAB上的射影G.由最小角定理，当且仅当向量OP与向量OG同向时，,OPOC最小，cos,OPOC最大.即max

3cos,cos,3OPOCOGOC==.故选：D.【点睛】本题考查向量的三点共线定理、向量的投影，解题的关键是根据共线定理得到P在BD上，结合图示，分析求解即可，对基础知识要求较高，考试分析化简，计算求值的能力，属中档题.9.已知k

R，设函数2322,1()(1),1xxkxkxfxxkeex−+=−−+„，若关于x的不等式()0fx…在xR上恒成立，则k的取值范围为()A.[0，2]eB.[2，2]eC.[0，4]D.[0，3]【答案】D【解析】【分析】当1x„时，2()22fxxkxk=−+，分1k、1k

…两类讨论，可求得0k…；当1x时，3()(1)xfxxkee=−−+，分1k„、1k两类讨论，可求得3k„；取其公共部分即可得到答案．【详解】解：（1）当1x„时，2()22fxxkxk=−+，()fx的对称轴为xk=，开口向上．当1k时，()fx在(,)k−递减，(,1)

k递增，当xk=时，()fx有最小值，即()0fk…，01k„；当1k…时，()fx在(,1)−上递减，当1x=时，()fx有最小值，即f（1）1=，10…显然成立，此时1k…．综上得，0k…；（2）当1x时，3()(1)xfxxk

ee=−−+，()()xfxxke=−，当1k„时，()fx在(1,)+上递增，()fxf（1）30kee=−+…，2ke„，此时1k„；当1k时，()fx在(1,)k递减，(,)k+递增，3()()0kfxfkee=−+厖，3k„，此时13k„．综上：03k剟，关于

x的不等式()0fx…在xR上恒成立，则k的取值范围为03k剟，故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.已知数列na满足：0na，且()22*11

32nnnaaanN++=−，下列说法正确的是（）A.若112a，则1nnaa+B.若12a，则1317nna−+C.1532aaa+D.21133nnnnaaaa+++−−【答案】B【解析】【分析】由已知条

件0na，且()22*1132nnnaaanN++=−分析可得1(1)(1)0nnaa+−−，然后构造函数232yxx=−，利用函数图象分析，再逐个判断即可.【详解】由于()22*1132nnnaaanN++=−得22111321nnnaaa++−=−−，11(1)(1)(1)(

31)nnnnaaaa++−+=−+，因为0na，所以1(1)(1)0nnaa+−−，对于A，222111112()2(1)nnnnnnaaaaaa+++++−=−=−，因为112a，所以1112a−−，当11012a−−时，210a−，……，110,1

0nnaa+−−，所以2210nnaa+−，所以1nnaa+，故A不正确；对于C，考虑函数232yxx=−，如图所示，由图可知当0na时，数列1nnaa+−递减，所以1335aaaa−−，即153

+2aaa，所以C不正确；对于D，设1nax+=，则22211332,3nnxaxxa+++=−=由上图可知，21133nnnnaaaa+++−−即221133|32|33xxxxx++−−−，等价于2222396213(31)xxxxx+−+−，等价于221

0xx−+，而2210xx−+显然不成立，所以D不正确；由排除法可知B正确.故选：B【点睛】此题考查数列的递推关系，考查函数与数列的给综合运用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题.非选择题部分二、填空题11.设121izi−=+

+（i为虚数单位），则z的共轭复数z=______，z=______【答案】(1).2i+(2).5【解析】【分析】先化简得2zi=−，再求共轭复数和模长即可.【详解】∵()()()211222221112iiiziiii−−−=+=+=+=−++−∴2+zi=

，()22215z=+−=故答案为：2i+；5【点睛】本题主要考查复数的基本概念和四则运算，属于基础题.12.在二项式61xx−的展开式中，常数项是______，有理项的个数是______.【答案】(1).15(2).4【解析】【

分析】先求出通项公式，再令x的指数为0求出常数项，令x的指数为整数，求出r的值，判断出展开式中有理项的个数．【详解】因为二项式61()xx−的展开式的通项公式为：33621661()()(1)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−；其中0r=，1，2，3，4，5，6．令

3302r−=可得2r=；故其常数项为：226(1)15C−=；有理项需要x的指数为整数r是2的倍数0r=，2，4，6．故展开式中有理项的个数是4；故答案为：15；4．【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，解决二项展开式的特定项问题，应该利用的工具是二项展开式的通项

公式．13.已知方程为2220xyxaya++−+=的圆关于直线40xy+=对称，则圆的半径r=______.若过点()1,0M作该圆的切线，切点为A，则线段MA长度为______.【答案】(1).3(2).11【解析】【分析】将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称

,得到直线过圆心,从而解出a,求出半径,再根据MAAC⊥,利用勾股定理求解即可.【详解】圆的标准方程为:222(1)()124aaxya++−=+−,因为圆关于直线40xy+=对称,所以圆心(1,)2a−在直线40xy+=上,所以8a=,圆半

径2134ara=+−=,设圆心为C,则(1,4)C−,所以25MC=,所以2220911MAMCAC=−=−=,故答案为:3;11.【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如

:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.14.在ABC中，4BC=，135B=，点D在线段AC上，满足BDBC⊥，且2BD=，则cosA=______，AD=____

__.【答案】(1).31010(2).25【解析】【分析】先求出cos,sinBDCBDC，然后由三角形内角和外角的关系得coscos()ABDCDBA=−，利用两个差的余弦公式代入角的三角函数值计算即可；在ADB△中，利用正弦定理即可求得AD【详解】解：

在RtBCD中，22224225DCBCBD=+=+=，24cos,sin2525BDCBDC==，coscos()coscossinsinABDCDBABDCDBABDCDBA=−=+2242222525=+31010=，在ADB△中，s

insinADBDABDA=，22sin251sin210BDADABDA===，故答案为：31010；25【点睛】本题考查求解三角形的边与角，关键是对公式要熟悉，并能灵活应用，考查了计算能力，难度不大.15.某

地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有

______种不同的选法（用数字作答）【答案】360【解析】【分析】由于7名医务工作者中护士只有2名，而要从7名医务工作者中选4人至少有1名护士有两种情况，一是只有1名护士，另一个是有2名护士，然后由分

类加法原理可得结果.【详解】解：分两类：①只有1名护士，共有：132254240CCA=种选法；②有2名护士，共有：2254120CA=种；故共有240+120=360种选法.故答案为：360【点睛】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础

题.16.已知0a，若集合22222220AxZxxaxxaa=−−−+−+−−=中的元素有且仅有2个，则实数a的取值范围为________．【答案】)1,2【解析】【分析】由绝对值三角不等式知2222222xxaxxaa−−−+−+−，进而得到集合A中有且仅有两个元素

等价于222axxa−−−有且仅有两个整数解，构造函数，并通过图象，即可得解.【详解】222222xxaxxa−−−+−+−()()2222222xxaxxaa−−−−−+−=，当且仅当222axxa−−−时等号成立，22222220xxaxxaa−−−+−+−−，当且仅当

222axxa−−−时等号成立，集合A中有且仅有两个元素等价于不等式222axxa−−−有且仅有两个整数解，函数2()22fxxx=−−=2117248x−−的图象关于直线14x=对称，又(2)8f−=，()11f−=，(0)2f=−，(

1)1f=−，(2)4f=，作出函数()yfx=的图象，如图所示，由图知，要使222axxa−−−有两个整数解，则12a.故答案为：)1,2.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式、集合问题及函数图象的应用，考查转化与化归的思想，合理运用绝对值三角不等式是本题的

解题关键，属于中档题.17.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率是22，若以(0,2)N为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为26，此时椭圆C的方程是____.【答案】221189xy+=【解析】【分析】

根据题意设()00,Pxy为椭圆上任意一点,表达出2PN,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.【详解】因为椭圆的离心率是22,222abc=+,所以222ab=,故椭圆方程为222212x

ybb+=.因为以(0,2)N为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为26,所以椭圆C上的点到点(0,2)N的距离的最大值为26.设()00,Pxy为椭圆上任意一点,则22002212xybb+=.所以()(

)222222000022212yPNxybyb=+−=−+−()22000424yybbyb=−−++−因为()()220000424fyyybbyb=−−++−的对称轴为02y=−.(i)当2b时,()0fy在,2b−−上单调递增

,在2,b−上单调递减.此时()()2max028226fyfb=−=+=,解得29b=.(ii)当02b时,()0fy在,bb−上单调递减.此时()()2max04426fyfbbb=−=++=,解得2622b=−舍去.综上29b=,椭圆方程为221189xy+

=.故答案为：221189xy+=【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点,再求出距离,根据二次函数的对称轴与区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.三、解答题18

.已知函数()()sin,0,02fxAxxRA=+的部分图象如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()1212gxfxfx=−−+在13,424上的值域.【答案】（1）()2sin26

fxx=+；（2）1,2.【解析】【分析】（1）由图可知，115212122T=−=，所以T=，22T==，再把点(0,1)和5(,0)12均代入函数()fx中，结合0A，02，可求得函数解析式为()2sin(

2)6fxx=+；（2）先根据（1）中函数()fx的解析式分别求得()2sin212fxx−=，()2sin(2)123fxx+=+，再结合正弦的两角和公式与辅助角公式可将函数()gx化简为()2sin(2)3gxx=−，最后结合正弦函数

的图象即可求出其值域．【详解】（1）∵11521212T=−，∴T=，2=sin12,56212AA===+=∴()2sin26fxx=+（2）2sin212fxx

−=，2sin2123fxx+=+∴()1212gxfxfx=−−+2sin22sin23xx=−+=2sin2sin23cos2xxx−−2sin23x=−∵13,424x，∴32,

364x−∴1sin2,132x−∴2sin21,23x−函数()gx在13,424上的值域1,2【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式、正弦

函数的值域和三角恒等变换公式，属于基础题．19.如图，四棱台1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形，1CC⊥底面ABCD，且BAD=60°，1114CDCCCD===，E是棱1BB的中点.（1）求证：1AA

BD⊥；（2）求直线1AA与平面11AEC所成线面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6735.【解析】【分析】（1）由1CC⊥底面ABCD，得1CCBD⊥，再由底面ABCD是菱形，得BDAC⊥，利用直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面1ACC，进一步得到1BDAA⊥；（2）设AC交BD于

点O，依题意，11//ACOC且11ACOC=，得到1AO⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、1OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．求出平面11EAC的一个法向量与1AA的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线1AA与平面11AEC

所成线面角的正弦值．【详解】（1）因为1CC⊥底面ABCD，所以1CCBD⊥因为底面ABCD是菱形，所以BDAC⊥又1ACCCC=，所以BD⊥平面1ACC又由四棱台1111ABCDABCD−知，1A，A，1C，C四点共面所以1BDAA⊥（2）如图，设AC交B

D于点O，依题意，11//ACOC且11ACOC=，11//AOCC，且11AOCC=，又由已知1CC⊥底面ABCD，得1AO⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、1OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图设AC交BD于点O，依题意，11//ACOC且11=ACOC

，所以11=AOCC则()23,0,0A=，()10,0,4A=，()123,0,4C=−，()0,2,0B=，由1112ABAB=，得()13,1,4B−因为E是棱1BB中点，所以33,,222E−

所以133,,222EA=−，()1123,0,0AC=−，()123,0,4AA=−设(),,nxyz=为平面11EAC的法向量则111230332022nACxnEAxyz=−==−+=，取3z=，得()0,4,3n=设直线1

AA与平面11AEC所成线面角为，则1167sin35AAnAAn==所以直线1AA与平面11AEC所成线面角的正弦值6735【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，

是中档题．20.已知公差非零的等差数列na的前n项和为()*nSnN，且1a，2a，4a成等比数列，且410S=，数列nb满足12b=，()1*122,nnnbbnnN−−−=.（1）求数列n

a和nb的通项公式；（2）设数列nc满足()ln,nnnacnNb+=，求证：()21131ln2......,224nnccnNn+−−++【答案】（1）nan=；2nnb=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）1a，2a，4a成等比数列，且4

10S=，求出1a，公差d，求得na的通项公式；由12b=，()1*122,nnnbbnnN−−−=，用累加法，求出nb的通项公式；（2）由（1）先求出ln2nnnc=，根据不等式左右的特点，分析可得应将ln2nnnc=进行适当放

缩使之能求和化简，2n，由ln22nnc，左边部分可证得，右边部分分析可得3n，()1ln132ln4nnnccn++=，再用累乘法，等比数列的前n项和公式，可证得右边.【详解】解：（1）设数列na公差为d，则2141,3aad

aad=+=+，由题有2214410aaaS==，则()()211113434102adaadad+=++=，又0d，得11,1da==，∴nan=∵()1*122,nnnbbnnN−−−=，∴()()()

112211...nnnnnbbbbbbbb−−−=−+−++−+∴()12122212nnnb−−=+=−（2）由（1）知ln2nnnc=，()*nN∵2n，∴ln22nnc，∴12311ln211

111421ln21ln2122212nnnnccc−−−−+++=−=−−，又()()1ln12ln2nnncncn++=，又()231nn−+=()()()3222121121nnnnnnnnn−−−=−−−=+−−当3n时，()()()12

112nnnnn+−+，∴()231nn+，∴()3ln2ln1nn+，∴3n，()1ln132ln4nnnccn++=，则564345333,,444cccccc，…，134nncc−，累乘得3334nncc−，3n∴232

2314ln2ln3ln1833424414nncccc−−++++=−，()*2,nNn即不等式()21131ln2......,224nnccnNn+−

−++成立.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了放缩法的应用，应根据题目的特点，适当放缩，即lnln222nnnnc=，2n和()1ln132ln4nnnccn++

=，3n是解决本题的关键，还考查了分析推理能力，运算能力，难度较大.21.已知O是坐标系的原点，F是抛物线2:4Cxy=的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，OAB的重心为G．（1）求动点G的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D

，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程.【答案】（1）；（2）30110yx=+.【解析】【分析】（1）设:AB，根据题意列出k所满足的式子，再消去参数k即可

求解；（2）联立直线方程与抛物线方程，将四边形DEMG的面积用含k的代数式表示出来，求得其最小值以及对应的k值即可求解.【详解】（1）焦点(0,1)F，显然直线AB的斜率存在，设:1ABykx=+联立24xy=，消去y得，2440xkx−−=，设

11(,)Axy，22(,)Bxy，()Gxy,，则124xxk+=，124xx=−，∴212121142yykxkxk+=+++=+，∴243{423kxky=+=，消去k，得重心G的轨迹方程为23243yx=+；（2）由已知及（1）知，2(0,)3D，1(,0)Ek−，0k，2Mx

k=，43Gkx=，∵23ODOGOFOM==，∴//DGME，(注：也可根据斜率相等得到)，2413kDGk=+，221112()1(2)MEkkkkkk=+−−=++，，D点到直线AB的距离22113131dkk==++，∴四边形DEMG的面积2214111101110301(2)()2236

363931kSkkkkkk=+++=+=+，当且仅当101||3||kk=，即3010k=时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为30110yx=+.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.直线与抛物线的位置关系．22.已知函数()()()xfxxaeaR

=−.（1）讨论()fx的单调性；（2）当2a=时，设函数()()ln,gxfxxxbbZ=+−−，若()0gx对任意的1,13x恒成立，求b的最小值.【答案】（1）单调递减区间为(),1a−−，单调递增区间为()1,a−+；（

2）b的最小值为-3.【解析】【分析】（1）由()()xfxxae=−，可得()()1xfxxae=−+，根据导数与单调性的关系，即判断()fx单调性；（2）由()()2lnxgxxexxb=−+−−，因为()0gx对任意的1,13x

恒成立，()2lnxbxexx−+−对任意的1,13x恒成立，构造函数()()2lnxhxxexx=−+−，可得()()11xhxxex=−−，由1,13x，对()hx进行分析，

利用函数零点存在定理，可知一定存在唯一的01,12x，使得001xex=，进而求出()hx的单调性，由此即可求出结果．【详解】（1）由题意，函数()()xfxxae=−，可得()()1xfxxae=−+，当(),1xa−−时，()0

fx；当()1,xa−+时，()0fx，故()fx的单调递减区间为(),1a−−，单调递增区间为()1,a−+（2）由()()()ln2lnxgxfxxxbxexxb=+−−=−+−−，因为()0gx对任意的1,13x恒成立，即()2

lnxbxexx−+−对任意的1,13x恒成立，令()()2lnxhxxexx=−+−，则()()()11111xxhxxexexx=−+−=−−，因为1,13x，所

以10x−.又由函数()1xtxex=−，可得()210xtxex=+，所以函数()tx单调递增，因为121202te=−，()110te=−，所以一定存在唯一的01,12x，使得

()00tx=，即001xex=，即00lnxx=−，所以()hx在01,3x上单调递增，在()0,1x上单调递减，所以()()()()000000max012ln124,3xhxhxxexxxx==−+

−=−+−−.因为bZ，所以b的最小值为-3.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．