【文档说明】重庆市南开中学2020届高三第五次教学质量检测考试理科数学【精准解析】.doc，共(26)页，2.381 MB，由管理员店铺上传

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重庆南开中学2020级高三第五次教学质量检测考试数学（理科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合2|230Axxx=−−,

1,0,1,2,3B=−,则AB=（）A.1,0,1−B.1,0−C.0,1D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】化简集合2|230Axxx=−−,根据交集定义即可求得答案.【详解】)(2|2301,3Axxx=−−=−又1,0,1,2,3B=−0,1,

2AB=故选:D.【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.2.已知随机变量()()22,0XN，若()40.7PX=，则()0PX=（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.7【答案】B

【解析】【分析】由随机变量()()22,0XN,当()40.7PX=,结合()20.5PX=,即可求得()240.2PX=,根据正态分布的对称性,即可求得答案.【详解】随机变量()()22,0XN当()40.7PX=又()20.5PX=,可得()240.2PX

=根据正态分布的对称性可得:()020.2PX=()00.50.20.3PX=−=故选:B.【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.3.已知0.2loga=,0.2b=,0.2c=

,则（）A.abcB.cbaC.acbD.bca【答案】C【解析】【分析】因为0.2log0a=,0.21b=,由0.2c=得:01c,即可求得答案.【详解】根据0.2l

ogyx=图像可知:0.2log0a=又0.21b=,根据0.2xy=图像,由0.2c=01c综上所述,acb.故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.4.2016年1

月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是（）A.2019年1月至4月甲企业的

仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B.甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C.两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D.2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业【答案】

D【解析】【分析】先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案.【详解】对于A,从图可以看出,2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A结论正确;对于B,从图可以看出,甲

企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数,故B结论正确;对于C,从图可以看出,两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份,故C结论正确;对于D,从图可以看出,2019年7月至9月乙企业的仓储指数的

增幅低于甲企业,故D结论错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考查了分析能力,属于基础题.5.已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为45，且5342aaa=+，则2a=（）A.6B.9C.12D.15【答案】A【解析】【分析】设等比数列n

a的公比为q,由等比数列的前n项和公式()111nnaqSq−=−和等比数列通项公式11nnaaq−=,结合已知即可求得答案.【详解】5342aaa=+根据等比数列通项公式11nnaaq−=4231112aqaqaq=+22qq=+即(2)(1)0qq−+=解得

:2q=或1q=−(舍去)等比数列na的前4项和为45根据等比数列的前n项和公式()111nnaqSq−=−可得()4141451aqSq−==−,解得13a=故:126aaq==故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式的应用.解题关键是

掌握等比数列前n项和公式,考查了计算能力,属于中档题6.若1sin43−=，则sin2=（）A.29−B.19C.79D.89【答案】C【解析】【分析】由1sin43−=,可得1sin43−=−,根据2cos

212sin24−=−−即可求得答案.【详解】1sin43−=,可得1sin43−=−227cos212sin12499−=−−=−=

7sin2cos229=−=故选:C.【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍角公式来解决问题.7.()()4221xxx−+−的展开式中x项的系数为（）A.9−

B.5−C.7D.8【答案】A【解析】【分析】将()()4221xxx−+−化简为:2444(1)(1)2(1)xxxxx−−+−−,写出4(1)x−二项展开式的通项公式(4)14(1)rrrrTCx−+=−,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)xxxxxx

xx−+−−−+−=−4(1)x−二项展开式的通项公式(4)14(1)rrrrTCx−+=−24(1)xx−中不含x项,无需求解.4(1)xx−−中含x项,即当4r=时(44444)(1)xCxx−−=−−42(1)x−中含x项,即

当3r=时(43)34328(1)Cxx−=−−()()4221xxx−+−的展开式中x项9x−故选:A.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.8.数列:1,1,2,3

,5,8,13,称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正

整数()3nn时,输出结果恰好为“兔子数列”的第n项,则图中空白处应填入（）A.bab=+B.bac=+C.abc=+D.cac=+【答案】B【解析】【分析】由数列:1,1,2,3,5,8,13,可得数列-12nnnaa

a−=+,()3nn.结合程序框图即可得出答案.【详解】由数列:1,1,2,3,5,8,13,可得数列-12nnnaaa−=+,()3nn结合程序框图可得空白处为:bac=+故选:B.【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用,解题关键是能够

理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9.随机变量X的分布列如下表所示,在()0EX的前提条件下,不等式20xxa++对xR恒成立的概率为（）X1−01PaabA.112B.14C.13D.12【答案】B【解析】【分析】根据1

12233()EXxpxpxp=++,则()aXEb=−+,可得0ab−+.根据1231ppp++=得21ab+=.要保证不等式20xxa++对xR恒成立,需满足140a−,即可求得答案.【详解】112233()EXxpxpxp=++()aXEb=−+,结合()0EX可得0ab−

+根据1231ppp++=得21ab+=故00021ababab−++=解得:103a要保证不等式20xxa++对xR恒成立,需满足140a−解得:14a则不等式20xxa++

对xR恒成立的概率为:11134143−=故选:B.【点睛】本题考查利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题,熟练掌握求几何型概率的方法是解题关键,属于基础题.10.已知双曲线C:()222210,0xyabab−=的右焦点为(),0Fc,若存在过点F的直线l与

双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A,且AFc=,则双曲线C的离心率的取值范围是（）A.(1,3B.()1,2C.)2,2D.()2,+【答案】B【解析】【分析】根据题意画出其几何图像,设AOF=,根据双曲

线的一条渐近线交于第一象限内的点A,且AFc=则1802AFO=−,BOM=,若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOMAFO,根据双曲线的渐近线为byxa=,则tanba=,即可求得

离心率范围.【详解】根据题意画出其几何图像:设AOF=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A,且AFc=1802AFO=−,BOM=若存在过点F的直线l与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOMAFOBOMAFO,则18

02−60根据双曲线的渐近线为byxa=,则tanba=3ba根据双曲线C的离心率21cbeaa==+()221132bea+=+=根据双曲线C的离心率1e1

2e故选:B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.11.已知定义在区间)1,+上的函数()2,121,222xxfxxfx

=,若函数()()kgxfxx=−有无穷多个零点,则实数k的取值范围是（）A.()1,2B.(2,4C.(2,8D.4,8【答案】C【解析】【分析】因为定义在区间)1,+上的函数()2,121,222xxfxxfx=,画出其

函数图像,求函数()()kgxfxx=−零点个数,即求()kfxx=交点个数,即可求得实数k的取值范围.【详解】求函数()()kgxfxx=−零点个数,即求()yfx=与kyx=交点个数因为定义在区间)1,+上的函数()2,121,222xxfxxfx=令2

4x,则211()2222xxfxf==令48x,则411()2224xxfxf==画出8yx=和2yx=,()2,121,222xxfxxfx=图像:由图像可知实数k的取值范围

在(2,8时,()kfxx=交点个数是无穷多个.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题

.12.已知椭圆C:()222210xyabab+=的左焦点为(),0Fc−,上顶点为A,离心率为32,直线FA与抛物线E:24ycx=交于M,N两点,则MANA+=（）A.23aB.5aC.43a

D.10a【答案】D【解析】【分析】设点(),MMMxy,(),NNNxy,由题意可知13FAk=,故()23MNMAxNxA+=+,设MN的中点坐标为()00,xy,由中点坐标公式和点差法即可求得答案.

【详解】设点(),MMMxy,(),NNNxy由题意可知13FAk=，()23MNMAxNxA+=+，设MN的中点坐标为()00,xy，由中点坐标公式:0022MNMNxxxyyy+=+=24MMycx=┄①,24NNycx=┄②由①-

②,点差法可得:0123yc=，即023yc=，又FA:()13yxc=+,故05xc=，0210MNxxxc+==，20103cMANAa+==.故选:D.【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程,解

题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和熟练使用点差法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()21xyxe=−在点()0,1−处的切线方程为__________.【答案】1yx=−【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求

出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程.【详解】()21xyxe=−()221xxyexe=+−函数()21xyxe=−在0x=处的切线斜率为1，又切点坐标为()0,1−，切线方程为1yx=−．故答案为:1yx=−．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的

方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14.设实数x,y满足约束条件26024020xyxyxy+−−+−−,则yzx=的取值范围是__________.【答案】1

7,44【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域,yzx=可看作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率,结合图像即可求得yzx=的取值范围.【详解】根据实数x,y满足约束条件26024020xyxyxy+−−+−−,作出不等式组所表示的可行域,如图:由26024

0xyxy+−=−+=解得:85145xy==,即814,55A则74OAk=由26020xyxy+−=−−=解得:8323xy==,即82,33B则14OBk=yzx=可看

作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率yzx=的取值范围是:17,44.故答案为:17,44.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函

数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.15.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,则满足条件的六位数的个数为__________.（用数字作

答）【答案】60【解析】【分析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,将数字0和5捆绑在一起,按05和50两种次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理.【详解】数字0和5捆绑在一起,按50次序和数字1,3进行排列,数字2,4

插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336AA=数字0和5捆绑在一起,按05次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336AA=当05排在首位不符合题意,

此时排列个数为:222312AA=故:满足条件的六位数的个数为:36+361260−=故答案为:60.【点睛】本题考查排列的简单应用.在排列的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.16.已知梯形ABCD中,2BCAD=,ABADCD==,若平面内一点P满足：0PBP

C=,PBxPAyPC=+,其0x,0y,则xy+的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】画出其几何图像,由0PBPC=知,点P的轨迹是以BC为直径的圆,设PB与AC交于点Q,PBPQ=,故xyPQPAPC=+,A,Q,C三点共线知1xy+

=,可得:xy=+,结合图像即可求得xy+的最小值.【详解】画出其几何图像:由0PBPC=知,点P的轨迹是以BC为直径的圆,又0x,0y,点P只能在劣弧AC上运动（不含A,C两点）设PB与AC交于点Q,PBPQ=xyPQPAPC=+,A,Q,C

三点共线知1xy+=,可得:xy=+又而PBPQ=,结合图形知:当点P运动至距AC最远时最小,又DADC=,点P与点D重合时最小,此时12PQADQBBC==,可得3PBPQ==3

=.故答案为:3.【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算,熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足11a=,()*124nnnaanNa+=−

.（1）证明:数列21na−为等比数列;（2）求数列1na的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）1122nn−−+【解析】【分析】（1）由()*124nnnaanNa+=−,可得1

2421221nnnaaa+−=−=−,根据等比数列概念即可得出答案;（2）由（1）知1212nna−−=,可得121211222nnna−−+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1na的前n项和.【详解】（1）()*12

4nnnaanNa+=−1412122nnnnaaaa+−==−，则12421221nnnaaa+−=−=−，又12110a−=，21na−是以1为首项，2为公比的等比数

列.（2）由（1）知1212nna−−=，121211222nnna−−+==+，故其前n项和为:()11121221222nnnnnS−−−=+=+−.数列1na的前n项和为:1122nn−−+.【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关

键是掌握等比数列的前n项和公式和等差数列前n项和公式,考查了计算能力,属于基础题.18.已知函数()()2cossinsinfxxx=+−,0,2,且()0f=.（1）求;（2）如图,在ABC中,A=,1AC=,D是边AB的中点,2BCCD=,求AB.【答案】（1）3

=（2）3AB=【解析】【分析】（1）由()0f=,可得2cossin2sin0−=,结合0,2,即可求得值;（2）设ADDBx==,22CBCDy==,在ACD和ABC分别使用余弦定理,即可

求得AB.【详解】（1）由()0f=得:2cossin2sin0−=()2sin4cos10−=由0,2,sin,cos01cos2=,3=.（2）设ADDBx==,22CBCDy==在ACD中,由余弦定理22212cos601

yxxxx=+−=+−┄①在ABC中,由余弦定理22241422cos60421yxxxx=+−=−+┄②联立①②消去y解得32x=23ABx==.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用

余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19.《中国诗词大会》是由CCTV-10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比

赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守

擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是12,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为35,45,且两人各道题是否回答正确均相互独立.（1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;（2）比赛进行

中,攻擂者暂时以3:2领先,设两人共继续抢答了X道题比赛结束,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）25（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M,

M发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率;（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35.根据比赛规则,X的所有可能取值分别为234，，,求出()2PX=,()3PX=和()4PX=,即可求得

随机变量X的分布列和数学期望.【详解】（1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M.M发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,()1311225255PM=+=比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为:25.（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概

率分别为25,35根据比赛规则,X的所有可能取值分别为234，，,则()2245225PX===()3212332515552531CPX=+==()451541251251425PX==−−=X的分布列为:X234P42551125

54125()4515440923425125125125EX=++=.【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.20.已知椭圆C:()222

210xyabab+=的左、右焦点分别为1F,2F,上顶点为M,离心率为32,且1MFF的面积为3.（1）求椭圆C的方程;（2）过点()0,2P的直线l与椭圆C交于A,B两点,且点A,B位于x轴的同侧,设直线l与x轴交于点Q,12PQQABQ

==,若1226+=−,求直线l的方程.【答案】（1）2214xy+=（2）624yx=+【解析】【分析】（1）离心率为32,可得32ca=,12MFF△的面积为3,可得121232MFFScb==,根据

椭圆C：()222210xyabab+=,可得222abc=+,即可求得椭圆C的方程;（2）设直线l:()2xty=−,联立椭圆C方程和直线l方程,通过韦达定理即可求得直线l的方程.【详解】（1）离心率为32,可得32

ca=┄①又12MFF△的面积为3,可得121232MFFScb==┄②根据椭圆C：()222210xyabab+=,可得222abc=+┄③联立①②③解得:24a=,21b=，椭圆方程为2214xy+=（2）设直线

l:()2xty=−，()11,Axy，()22,Bxy，由()22214xtyxy=−+=,消掉x得:()2222422240tytyt+−+−=，根据韦达定理:2122224tyyt+=+,212224

04tyyt−=+,22t，()()422844240ttt=−+−，24t，12PQQABQ==，11222yy−==−，故()1212121222226yyyyyy−+=−

+==−，()222121212yyyy−=，即()222121212412yyyyyy+−=，()()()22422222224881612444tttttt−−−=+++，即4231180tt−+=，解得21t=（舍）或283t=，直线l:624yx=

+.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及

判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21.已知函数()()()()322112ln22ln2ln62xaxaxxaxaabxaxf=+−++++−−，0a,bR.（1）若1ab==,

求函数()fx的最小值;（2）当0a时,()0fx恒成立,求b的取值范围.【答案】（1）()min0fx=（2）(,2b−【解析】【分析】（1）将1ab==代入()fx可得,()()()3211221ln162xxxfxxx=−−+++,求其

导数()()212ln12'xxxfx=−++,且()2101''fxxx=−++,即可求得函数()fx的最小值;（2）因为()()212l'n2ln22xaxaxabxfx=+−++−,求()'fx和()''fx,通过讨论2b和2b两种情况下:

()fx最小值,即可求得b的取值范围.【详解】（1）()()()()322112ln22ln2ln62xaxaxxaxaabxaxf=+−++++−−当1ab==时可得:()()()3211221ln1

62xxxfxxx=−−+++，()1,x−+，()()212ln12'xxxfx=−++，()1''21xfxx=−++，()21222201''xxfx=++−−+，()'fx在()1,−+上单调递增

，又()'00f=，()fx在()1,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，故:()()min00fxf==（2）()()()()322112ln22ln2ln62xaxaxxaxaabxaxf=+−++++−−()()212l'n2ln22x

axaxabxfx=+−++−，()22''xabafxx=++−+，①当2b时,()222220''xabbxafx=++−−+，()fx在(),a−+上单调递增，又()'00f=，()fx在(),0a−上单调递减,在()0,+上

单调递增，()()00fxf=满足条件;②若2b,则方程22xabxa++=+存在两个不相等正根()0101,aaaa，取0aa=，此时()002''2xafxbxa=++−+，令()''0fx,解得001axaa+即100x

aa−，()'fx在()100,aa−上单调递减,又()'00f=，()fx在()100,aa−上单调递减即当()100,xaa−,()()00fxf=,不符合条件;综上所述,(,2b−.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数

的单调性和最值等求解,考查了分析能力和计算能力,难度较大请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知

圆1C的极坐标方程为1=,圆2C的直角坐标方程为()2211xy−+=.（1）求1C与2C在第一象限的交点的极坐标;（2）若点A,B分别为圆1C,2C上位于第一条限的点,且3AOB=,求AB的取值范围

.【答案】（1）1,3（2）()43,3AB−【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式cossinxy==,由圆2C:2220xyx+−=,可得极坐标方程为2cos=,即可求得1C与2C在第一象限的交点的极坐标;（2）设点B

的极坐标为()2cos,,在AOB中,由余弦定理求得AB,结合A、B都要在第一象限,即可求得AB的取值范围.【详解】（1）圆2C:2220xyx+−=,其极坐标方程为2cos=,联立1C:1=得1cos2=,3=,所求点的极坐标为1,3

（2）设点B的极坐标为()2cos,在AOB中,由余弦定理得:222214cos212coscos4cos2cos13AB=+−=−+,又A、B都要在第一象限,0,6

,3cos,12,()43,3AB−.【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cossinxy==,意在考查学生的转化能力,计算能力

,难度中等.23.已知函数()31fxxx=−+−.（1）若()fxxm+对任意xR恒成立,求实数m的取值范围；（2）记函数()fx的最小值为s,若,,0abc,且abcs++=,证明:48abbcacabc++.【答案】（1）(,1m−−（2）证明见解

析【解析】【分析】（1）设()()31gxfxxxxx=−=−+−−,画出其函数图像,当()gxm恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m的取值范围;（2）()()()31312fxxxxx=−+−−−−=,当且仅当13x时等号成立,得2s=,故2abc++=,原不等式等价于

1148abc++,由柯西不等式即可求得答案.【详解】（1）设()()31gxfxxxxx=−=−+−−()gxm恒成立()4,32,13,43,1xxgxxxxx−=−+−其图像如图所示:故()()min31gxg==−，(,1m−−（2）()()()31

312fxxxxx=−+−−−−=，当且仅当13x时等号成立，2s=，即2abc++=，原不等式等价于1148abc++,由柯西不等式得:()211411162abcabcabcabc++++++=，

1148abc++，当且仅当12a=,12b=,1c=时等号成立，48abbcacabc++成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着

重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,