【文档说明】湖北省武汉市2020届高三下学期6月适应性考试（供题一）数学（理）试题 【精准解析】【武汉专题】.docx，共(27)页，1.922 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高考（6月份）数学供题试卷（理科）一、选择题（共12小题）．1.已知集合2|230AxNxx=−−，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，由xN

确定出集合A中元素个数，再由集合子集个数公式即可确定答案.【详解】解：由2230xx−−解得：13x-<<.xNQ，1x=或2.则1,2A=，所以根据集合子集个数公式得满足条件B⊆A的集合B的个数为224=.故选：

C.【点睛】本题考查集合子集的个数，关键是解一元二次不等式，属于基础题.2.已知复数2020zii=−，则2zi=（）A.0B.22C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据i的运算性质将z化简，代入2zi并化简，再求2zi即可.【详解

】202045051ziiiii=−=−=−，所以21(1)111222222ziiiiiiii−−−−====+−，所以22112()()2222zi=+=.故选：B【点睛】本题主要考查i的运算性质，复数的乘除运

算及复数的模，属于基础题.3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A.2n－1B.13()2n−C.12()3n−D.112n−【答案】B【解析】【分析】由11nnnaSS++=−把已知式转化{

}nS的递推式，从而知{}nS是等比数列，可求得其通项公式．【详解】由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，132nnSS+=，而S1＝a1＝1，所以13()2nnS−=.故选：B.【点睛】本题考查由nS与na的关系式求数列{

}nS的通项公式，解题关键是利用11nnnaSS++=−把已知式转化{}nS的递推式．4.二项式821(1)x−的展开式中4x−的系数为（）A.28−B.56−C.28D.56【答案】C【解析】【分析】由二项式

定理可知218(1)rrrrTCx−+=−，令24r−=−，解出r再代入即可得到答案.【详解】由二项式定理可知8221881()(1)rrrrrrrTCxCx−−−+=−=−，令24r−=−，得2r=，所以821(

1)x−的展开式中4x−的系数为228(1)28C−=.故选：C【点睛】本题主要考查求二项式展开式的通项公式的应用，属于基础题.5.若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（A.x＜z＜yB.y＜x＜zC.y＜z

＜xD.z＜y＜x【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性得到abbb，利用幂函数的单调性得到bbab，即得解．【详解】因为01ab，故()xfxb=单调递减；故abybzb==，幂函数()bgxx=单调递增；故bbxazb==，则x、y、z的大小关系为：xzy

；故选：A【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生（高一、高二、

高三分别有学生495人、490人、515人）按1，2，3，…，1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为（）A.15B.16C.17D.18【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义进行求解判断

即可．【详解】解：由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分50组，高二学生编号为496到985，在第17组到33组内，第17组编号为163023503+=，为高二学生，第33组编号为32302

3983+=，为高二学生，故所抽样本中高二学生的人数为3317117−+=．故选：C．【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，结合系统抽样的定义是解决本题的关键，属于基础题．7.函数(22)sinxxyx−=−在[,]−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】

A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再结合()00f=、2f的正负可得正确的选项.【详解】设()(22)sinxxfxx−=−，则()()()(22)sinxxfxxfx−−=−−=，故()fx为,−上的

偶函数，故排除B.又222202f−=−，()00f=，排除C、D.故选：A.【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.8.已知菱形ABCD的边长为2，60DAB=，点E、F分别在直线BC、DC上，2B

CBEDCDF==，，若1AEAF=，则实数的值为（）A.32B.53C.32−D.53−【答案】D【解析】【分析】利用向量的线性运算将AE，AF用基底AB，AD表示，然后代入1AEAF=，即可求出的值.【详解】由已知可得1122AEABBEABBCABAD=+=+=+

，11AFADDFADDCADAB=+=+=+，||||cos22cos602ABADABADBAD===，所以22111()()(121)212ABAAEDADABAFABADABAD

==+++++1115(1)2444122λλλ=+++=+=，所以53=−.故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积，属于基础题.9.将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个

数列，则该数列为先减后增数列的概率为（）A.120B.760C.112D.724【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先减后增，可知1一定是分界

点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合1前面的情况，分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可．【详解】解：将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则所有可能情况有55120A=种情况，由于该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都

只有一种，当1前面只有一个数时，有4种情况，当1前面只有2个数时，有246C=种情况，当1前面有3个数时，有4种情况，故一共有46414++=，故数列为先减后增数列的概率14712060p==．故选：B．【点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，以及古

典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力．10.已知双曲线E：()2222100xyabab−=＞，＞的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，且ABM为等腰三角形，其外接圆的半径为3a，则双曲线E的离心率为（）

A.2B.21+C.3D.31+【答案】C【解析】【分析】设M在双曲线22221(0,0)xyabab−=的左支上，由双曲线的性质和等腰三角的性质得出2MAABa==，设AMBABM==，则=2M

AQ，结合条件利用正弦定理求出sin，再由同角三角函数关系和二倍角公式求出cos,sin2,cos2，根据直角三角形中任意角的三角函数可求出M的坐标，代入双曲线方程，再由离心率公式即可得到所求值．【详解】解：由题可知，ABM为等腰三角形，设M

在双曲线22221(0,0)xyabab−=的左支上，M在x轴上的投影为Q，则2MAABa==，设AMBABM==，则=2MAQ，ABM的外接圆的半径为3a，2223sinsinABaRaAMB===，解得：3s

in3=，则6cos3=，3622sin22333==，611cos2933=−=，在RtMAQ△中，122cos22,33aAQaa===22422sin2233MQaaa===，则M的坐标为2(3aa−−，222)3a，即5(3a−，4

2)3a，代入双曲线方程可得222532199ab−=，由222cab=+，可得223ac=，即有3==cea．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，涉及到正弦定理的应用、同角三角函数关系、二倍角以及任

意角的三角函数等知识，考查化简计算能力.11.已知函数()2sin()(0,1)6xfxaxxlnaaa=+−，对任意1x，2[0x，1]，不等式21|()()|2fxfxa−−„恒成立，则实数a的取值范围是()A.2[e，)+B.[e，)+C.(e，2]e

D.2(,)ee【答案】A【解析】【分析】对函数()fx求导数，利用导数判断函数()fx在[0，1]上的单调性，把不等式21|()()|2fxfxa−−„恒成立化为()()2maxminfxfxa−−

„，再解含有a的不等式，从而求出a的取值范围．【详解】解：结合题意，显然2a…，()(1)cos()36xfxlnaax=−+，由[0x，1]，2a…，得0lna，10xa−…，cos()036x，故()0fx，()fx在[0

，1]递增，故()maxfxf=（1）1alna=+−，()(0)1minfxf==，对任意1x，2[0x，1]，不等式21|()()|2fxfxa−−„恒成立，即()()2maxminfxfxa−−„，112alnaa

+−−−„，即2lna…，解得：2ae…，故选：A．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，属于中档题．12.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一

个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为（）A.3B.2C.()9322−D.322【答案】B【解析】【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a

的最大值．【详解】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则32OAOB==，因为332SO=，故可得：223SASBSOOB==+=；所以：三角形SAB为等边三

角形，故P是SAB的中心，连接BP，则BP平分SBA，30PBO=；所以tan30rR=，即33333322rR===，即四面体的外接球的半径为32r=．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，

截得它的正方体的棱长为22a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以12623322rAAaa===，所以2a=．即a的最大值为2．故选：B．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球

，是一种比较好的方法，本题属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()xfxxe=(其中2.71828e=)的图象在(0,0)处的切线方程是_____．【答案】0xy−=【解析】【分析

】求出函数()fx在0x=处的导数值(0)f，即切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.【详解】由()xfxxe=，得()xxfxexe=+，所以切线的斜率0(0)1kfe===，所以切线方程为00yx−=−，即0xy−=.故答案为：0xy−=【点睛】本题主要考查在一点处的切线方程的求法，

同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.14.观察如图数表：设数100为该数表中的第n行，第m列，则mn＝_____．【答案】114【解析】【分析】根据数表中每行第一个数的特征，结合底数为2指数幂的特征进行求解即可.【详

解】由数表可知：第一行第一个数为122=，第二行第一个数为：242=，第三行第一个数为：382=，第四行第一个数为：482,=因此可以归纳得到，第()xxN行第一个数为：2x，因为6721002，所以100是在第6行，因此6n=，第6行第一个数为

：62232=，100250=，所以100是第19个数，因此19m=，因此196114mn==故答案为：114【点睛】本题考查了归纳推理的应用，属于基础题.15.已知函数2()cos()1(0,0,0)2πfxAωxφAωφ=++的最大值为3，()fx的图象与y轴的交点

坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)ff+=_____．【答案】3【解析】【分析】利用二倍角公式可得()cos(22)122AAfxωxφ=+++，由函数的最大值可求出A，由相邻两条对

称轴间的距离可求出周期，再利用周期公式可求出，将点(0,2)代入解析式可求出，从而可得函数的解析式，即可求出(1)(2)ff+的值.【详解】21cos(22)()cos()11cos(22)1222ωxφAAfxAωxφAωxφ++=++=+=+++，因为函数()fx的最大值为3

，所以1322AA++=，所以2A=，由函数()fx相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期4T=，所以222T==，所以4=,所以()cos(2)22πfxxφ=++，又()fx的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，

所以cos222+=，所以cos20=，又02，所以=4，所以()cos()2sin2222πππfxxx=++=−+，所以(1)(2)sin2sin2120232πffπ+=−+−+=−+−+=.故答案为：3【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，

诱导公式，属于中档题.16.已知过抛物线2:4Cyx=焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆2220xyx+−=于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则11PMQN+的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】设11(,)Pxy，22(,)Qxy，根据题意可设直线PQ的方程为1x

my=+，将其与抛物线C方程联立可求出121=xx，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PMQNxx==，再利用基本不等式，即可求出11PMQN+的最小值.【详解】圆2220xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C的焦点(1,0)F

，可设直线PQ的方程为1xmy=+，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，由214xmyyx=+=，得2440ymy−−=，所以124yy=−，又2114yx=，2224yx=，所以222121212()14416

yyyyxx===，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PMQNPFMFQFNFxxxx=−−=+−+−==，所以111122PMQNPMQN+=，当且仅当||||1PMQN==时，等号成立.所以11PMQN+的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查抛物线的

几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S2224bca+−=．（1）若a6=，b2=，求cosB．（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．【答案】（1）306；（2）52.【解析】【分析】（1）根据面积S2224bca+−=结合面积

公式和余弦定理化简可得sincosAA=，解得4A=，然后根据a6=，b2=，由正弦定理求得sinB，再利用平方关系求解.（2）由（1）知4A=，sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），可化为()2sincossincosBBBB++，

令sincos2sin4tBBB=+=+，转化为二次函数求解.【详解】（1）因为三角形面积为S2221sin24+−==bcabcA，所以222sincos2bcaAAbc+−==，解得4A=，因为a6=，b2=，由正弦定理得：sinsinabAB=，所以22sin62sin

66===bABa，因为ab，所以AB，所以B为锐角，所以30cos6=B（2）由（1）知4A=，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），sinsincoscos44BBBB

=+++−，2222sincossincossincos2222BBBBBB=++++，()2sincossincosBBBB=++，令sincos2sin4tBBB=+=+，因为30,,,4

44+BB，所以sin(0,1]4+B，所以(0,2]t，原式()222111322222222ttttt−=+=+−=+−，当2,4==tB时，原式取得最大值52.【点睛】本题主要

考查三角形面积公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.如图所示，多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而

得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中2AB=，5CF=，1BE=，60BAD=．(1)求BG的长；(2)求平面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)25；(2)34【解析】【分析】(1)由面面平行的性质定理可知，四边形

AEFG为平行四边形，以菱形对角线的交点为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量BG坐标，再求||BG即可；(2)分别求出平面AEFG与底面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式求出法向量的夹角余弦值，进而可求出平面AE

FG与底面ABCD所成锐二面角的余弦值．【详解】因为多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的，所以平面ADG//平面BCFE，又平面ADG平面AEFGAG=,平面BCFE平面AEFGEF=,所以//AGEF，同理//A

EGF，所以四边形AEFG是平行四边形，连结AC,BD交于O，以O为原点，,OBOC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则(0,3,0)A−，(1,0,0)B，(1,0,1)E，(0,3,5)F，所以(

1,3,4)AGEF==−，(1,3,0)AB=，所以(2,0,4)BGAGAB=−=−，所以22||(2)0425BG=−++=,所以BG的长为25.(2)根据题意可取平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m=，由(1)知(1

,3,4)AG=−，(1,3,1)AE=，设平面AEFG的法向量为(,,)nxyz=，则由00nAEnAG==，得30340xyzxyz++=−++=，即52332yzxz=−=，令23z=，则33x=，5y=−，所以(33,5,23)n=−，所以233co

s,4||||1272512mnmnmn===++，所以平面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为34.【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，线段长的求法及二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知222:4)(0Exymm+=，直线l不过原点O且不平

行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）若2m=，点K在椭圆E上，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，求12KFKF的范围；（2）若l过点(,)2mm，射线OM与椭圆E交于点P，四边

形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）2,1−；（2）476k=.【解析】【分析】（1）求得焦点坐标，设(,)Kxy，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设A，B的坐标

分别为1(x，1)y，2(x，2)y，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率．【详解】解：（1）2m=时，椭圆22:14xEy+=，两个焦点1(3F−，)，2(3F，0)，设(,)

Kxy，可得2214xy+=，即2244xy=−，1(3FKx=+，)y，2(3FKx=−，)y，2221212331KFKFFKFKxyy==−+=−+，因为11y−剟，所以12KFKF的范围是2,1−；（2）设A，B的坐标分别为1(x，1)y，2(x，2)y，可得12(2

xxM+，12)2yy+，则222112222244xymxym+=+=，两式相减可得12121212()()4()()0xxxxyyyy+−++−=，12121212()()140()()yyyyxxxx+−+=+−，即140OMlkk+=，故14OMlkk=

−，又设(PPx，)Py，直线:()(0,0)2mlykxmmk=−+，即直线l的方程为2mykxkm=−+，从而1:4OMyxk=−，代入椭圆方程可得，2222414Pmkxk=+，由()2mykxm=−+与14yxk=−

，联立得224214Mkmkmxk−=+，若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以2MPxx=，即2222224244()1414kmkmmkkk−=++，整理可得2121630kk−+=，解得476k=，经检验满足题意，所以当476k=时，四边形OAPB为

平行四边形．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公

司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来

的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验1k+次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些

人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p=，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方

案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【答案】（1）详解见解析；（2）690，604，594；406.【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算

分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数()EX，分别求出2k=、3、4时()EX的值，再与方案①比较，即可得出所求．【详解】解：（1）由题可知，每个人的血样化验呈阳性的概率为p，设每个人的血呈阴性反应的概率为q

，则1qp=−，所以k个人的混合后呈阴性的概率为kq，呈阳性反应的概率为1kq−，依题意知X的可能取值为1k，11k+，所以X的分布列为；X1k11k+Pkq1kq−（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：111()(1)(1)1kkkEXqqqkkk=++−=−+；所以当2k=

时，21()0.910.692EX=−+=，此时1000人需要化验的总次数为690次；当3k=时，31()0.910.60433EX=−+，此时1000人需要化验的总次数为604次；当4k=时，41()0.910.59394

EX=−+=，此时1000人需要化验的总次数为594次；即2k=时化验次数最多，3k=时化验次数居中，4k=时化验次数最少，而采用方案①需要化验1000次，所以在这三种分组情况下，相比方案①，4k=时化验次数最多可以平均减少1000594406−=（次)．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列

和数学期望的计算问题，考查运算求解能力，是中档题．21.已知函数()fx满足222(1)()2(0)2xffxxfxe−=+−，21()(1)24xgxfxaxa=−+−+，xR．（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()gx的单

调区间；（3）当2a且1x时，求证：1lnlnxexeaxx−−+−．【答案】（1）22()2xfxexx=+−；（2）当0a时，函数()gx的单调递增区间为()−+，，当0a时，函数(

)gx的单调递增区间为()lna+，，单调递减区间为()lna−，；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由已知中222(1)()2(0)2xffxxfxe−=+−，可得22()(1)22(0)xfxfexf−

=+−，进而可得(0)1f=，2(1)2fe=，进而得到函数()fx的解析式；（2）由（1）得：22()2xfxexx=+−，即21()(1)(1)24xxgxfxaxaeax=−+−+=−−，()xgxea=−′，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数()gx

的单调区间；（3）令l(n)epxxx−=，1l(n)xeqxxa−+−=，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性分类去掉()px和()qx的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小.【详解】（1）∵222(1)()2(0)2xffxxfxe−=+−，∴22()(1)

22(0)xfxfexf−=+−，∴(1)(1)22(0)fff=+−，即(0)1f=，又∵()()2102ffe−=，所以2(1)2fe=，所以22()2xfxexx=+−；（2）∵22()2xfxexx=+−，∴21()(1

)(1)24xxgxfxaxaeax=−+−+=−−，∴()xgxea=−′，①当0a时，()0gx恒成立，函数()gx在R上单调递增；②当0a时，由()0xgxea=−=得lnxa=，当()lnxa−，时，()0gx，()gx单调递减，当()

lnxa+，时，()0gx，()gx单调递增，综上，当0a时，函数()gx的单调递增区间为()−+，，当0a时，函数()gx的单调递增区间为()lna+，，单调递减区间为()lna−，；（3）令l(n)epxxx−=，1l(n)xeqxxa−+−=，当2a且1x时，由21

()0epxxx=−−得()px在)1,+上单调递减，所以当1xe时，((0))ppex=，当xe时，()0px，而11()xqxex−=−，120(1)xqxex−=−，所以()qx在)1,+上单调递增，()(1)0qxq=，

则()qx在)1,+上单调递增，()(1)20qxqa=+，①当1xe时，1()()()()()xepxqxpxqxeamxx−−=−=−−=，12()0xemxex−=−−，所以()mx在1,e上单调递减，()(1)10mxmea=−−，()()pxqx，②当xe

时，1()()()()2ln()xepxqxpxqxxeanxx−−=−−=−+−−=，122()xenxexx−=+−，12222()0xenxexx−=−−−，所以()()0nxne，所以()nx递减，()()0nxne，(

)()pxqx，综上，1lnlnxexeaxx−−+−．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分析和转化能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中

任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy中，由221xy+=经过伸缩变换2xxyy==得到曲线1C，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极

坐标方程为4cos=．（1）求曲线1C的极坐标方程以及曲线2C的直角坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为()R=，l与曲线1C、曲线2C在第一象限交于P、Q，且||||OPPQ=，点M的极坐标为(1,)2，求PMQ的面积．【答案】（1）1:C22413sin=+；2:C（x﹣

2）2+y2＝4；（2）13．【解析】【分析】（1）直接利用伸缩变换的应用和参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用三角俺和你熟关系式的变换和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：（1）平面直角坐标系xOy中，由221xy+=经过伸缩变换2xxyy=

=得到曲线1C，得到直角坐标方程为2214xy+=．根据222cossinxyxy==+=转换为极坐标方程为22413sin=+．曲线2C的极坐标方程为4cos=．根据222cossinxyxy==+=转换为直角坐标方程为22(2)4

xy−+=．（2）由于22413sin==+得到：2413sinP=+，且4cos==整理得4cosQ=．由于||||OPPQ=，所以2QP=，故：244cos213sin=+，解得2221sin,cos33=

=．所以242313sin3P==+，433Q=．则：111||||sin()||||sin()||sin()222222PMQOQMOPMQPSSSOQOMOPOM=−=−−−=−−123312333==．【点睛】本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，参数方程

极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.23.已知函数()|4||24|fxxx=−−+．（1）解不等式()3fx…；（2）若()f

x的最大值为m，且2abcm++=，其中0a…，0b…，3c，求(1)(1)(3)abc++−的最大值．【答案】（1）5,1−−；（2）4．【解析】【分析】（1）根据()|4||24|fxxx=−−+，利用零点分段法解不等式()3fx…即可；（2）先求出()

fx的最大值m，然后由1(1)(1)(3)(1)(22)(3)2abcabc++−=++−，利用基本不等式求出(1)(1)(3)abc++−的最大值．【详解】解：（1）()|4||24|fxxx=−−+，()3fx…，483xx−−……或2433xx−−„…或28

3xx−+…，51x−−剟，不等式的解集为5,1−−．（2）由题意知()fx的最大值为6，故26abc++=，(1)(2a++2)(3)6bc++−=，0a…，0b…，3c，10a+，220b+，30c−，1(1)(1)(3

)(1)(22)(3)2abcabc++−=++−31(1)(22)(3)423abc++++−=„，当且仅当1223abc+=+=−，即1a=，0b=，5c=时等号成立，(1)(1)(3)abc++−的最大值为4．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最

值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com