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单元过关检测九统计、计数原理、概率、离散型随机变量及其分布一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2022年7月24日，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个

新的台阶．某校现有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生1200人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取60人填写问卷调查，则高三年级有多少人被抽中()A．16B．18C．20D．2

42．[2023·河北邯郸期末]饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0～9之间整数随机数

，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，63

2，845，946.由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.93．将某家庭一年的支出情况统计如图所示，主要分为房贷、饮食等六个方面；若该家庭一年的总支出为12万元，且花费在A方面的金额比B方面的金额多4800元，则B为

()A．交通B．饮食C．其他D．育儿4．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测

量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等5．从4名女志愿者和5名男志愿者中各选2名，并将选取的4名志愿者分到4个不同的社区，每个社区分配1名志愿者，则不

同的分配方法种数为()A．960B．1200C．1260D．14406．[2023·山东青岛模拟]据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵

十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数(算筹不剩余且个位不为0)，则这个两位数大于30的概率为()A．13B．12C．23D．357

．[2023·河北唐山模拟](1＋x2)(x－1x)4的展开式中x2的系数为()A．－4B．－2C．2D．108．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止．设某学生每次

实验成功的概率为p(0<p<1)，实验次数为随机变量X，若X的数学期望E(X)>1.39，则p的取值范围是()A．(0，0.6)B．(0，0.7)C．(0.6，1)D．(0.7，1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共

20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2023·山东济南模拟]下图为2022年8月5日通报的14天内31省区市疫情趋势，则下列说法正确的是()A．无症状感染者的极差大于

400B．确诊病例的方差大于无症状感染者的方差C．实际新增感染者的平均数小于389D．实际新增感染者的第80百分位数为64110．[2023·广东广州模拟]抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰

子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是()A．事件A与事件B互为对立事件B．事件A与事件B相互独立C．P(B)＝2P(A)D．P(A)＋P(B)＝111．[2023·山东潍坊一中模拟]已知(1x－2x)2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则()A．

n＝4B．展开式中所有项的系数和为1C．展开式中二项式系数和为24D．展开式中不含常数项12．[2023·河北衡水模拟]在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，其中p∈(0，1).

若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z.则下列说法正确的是()A．E(X)＝E(Y)B．D(X)＝D(Y)C．E(Z)＝D(X)D．n·D(Z)＝D(X)·D(Y)[答题区]题号123456答案题号7891011

12答案三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·全国甲卷]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．14．[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从

正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．15．随机变量X的分布列为Xx1x2x3Pp1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是________．16．甲罐中有3个红球、2个黑球，乙

罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则P(B|A)＝________；②从甲、乙两罐中分别随机各

取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)某班计划从6名学生中选出2名学生参加学校的羽毛球比赛．已知这6名学生中有3名男生

和3名女生．(1)求参加比赛的学生中恰有1名男生的概率；(2)求参加比赛的学生中至少有1名女生的概率．18．(12分)为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别核酸检测地点合计工作单位社区男105060女101020合计206080(1)根据小概

率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人以社区为核酸检测地点的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有

高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千

万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：投入x(千万元)578101113收益y(千万元)111516222531(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传

活动，该活动在甲、乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1，3，5，6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2，4的去乙城市．求：①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；②求6位代表中去甲城

市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)参考数据及公式：i＝16xiyi＝1186，b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2＝i＝1n（xi－x－）（yi－y－）i＝1n（xi－x－）2，a

^＝y－－b^x－20．(12分)[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该

组区间的中点值作代表)；(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40，50)，求此人患该种疾病的概率．(样本数据中的患

者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)21．(12分)[2022·北京卷]在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及

冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9

.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；(3)在校运

动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)22．(12分)[2023·河北衡水中学模拟]2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，

将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成

6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为

3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学

中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B等级的人数为k的概率为P(η＝k)，写出P(η＝k)的表达式，并求出当k为何值时，P(η＝k)最大？