【文档说明】4.2.2等差数列的前n项和公式第二课时教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）.docx，共(8)页，223.477 KB，由管理员店铺上传

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《等差数列的前n项和公式（2）》教学设计-------李德峰（一）教学内容差数列的前n项和公式（2）（二）教材分析1.教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2.地位与作用数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三

角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位（三）学情分析1.认知基础：已经对前n项和公式有了一定的基础2.认知障碍：对于等差数列项加绝对值后求和，需要分类讨论有一定的难度（四）教学目标1.知识目标：能在具体的问题情境中，发现

数列的等差关系，并解决相应的问题2．能力目标：通过公式的灵活应用，培养学生思维的灵活性与广阔性3．素养目标：通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1.重点：求等差数列前n项和的最值2.难点：等差数列前n项和的性质及应用（六

）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七）课前准备多媒体（八）教学过程教学环节：新课引入（）教学内容师生活动设计意图一、知识梳理：等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2dSn＝d2n2＋

a1－d2n.让学生自行解答，教师点评强化上节课知识。二、判断下列命题是否正确(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．()(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所

有正项之和最大．()(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.()[答案](1)√(2)√(3)√教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例8.某校新建一个报告厅，要求容纳

800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{𝑎𝑛}，其前n项和为Sn。由题意可知，{𝑎𝑛}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可

利用等差数列的前n项和公式求首项。解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.由S20=20a1+20×(20−1)2×2=800，可

得：a1=21因此，第1排应安排21个座位。20120(201)202800.2Sa−=+=解得a1＝21.因此，第1排应安排21个座位.教师铺设问题，引导学生逐步完成问题，黑板板书具体解题过程通过等差数列前𝑛项在实

际问题中的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住

实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.例9.已知等差数列{an}的项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理

由.分析:由𝑎1>0和d<0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当𝑛≥𝑘时𝑎𝑛<0Sn递减。这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数数项的和。另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+

(a1−d2)n，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数y=d2x2+(a1−d2)x，当x=n时函数值。如图，当d<0时，Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n,

Sn的值。解法1.由d＝－2，得an+1－an＝－2＜0，得an+1<an，所以{an}是递减数列.由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，当n＜6时，an＞0；通过例题，归纳求前n项和的最值的一般方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象

和数学运算的核心素当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.因为S5=52×[2×10+(5−1)×(−2)]=30所以sn的最

大值为30.解法2：因为由a1＝10，d＝－2，因为sn=d2n2+(a1−d2)n=−n2+11n=−(n−112)2+1214所以，当n取与112最接近的整数，即5或6时，sn最大，最大值为30.1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用

通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点来寻找．(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或

离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．教学环节：课堂练习数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结

构特征求a1，d，从而求出通项．(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．[解](1)法一：(公式法)当n≥

2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知d2＝－1，a1－d

2＝33，解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大

．法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。轴为x＝332.距离332最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥

0，当n≥18时，an<0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0.所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝

a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝33n

－n2(n≤17)，n2－33n＋544(n≥18).教学环节：小结思考布置作业小结等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前

面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．作业：课本24页练习1，2，3，4，5题，课本25页7、8、11题教学环节：板书设计例8例9

小结：