【文档说明】（新教材）2021-2022学年高二上学期第一次月考备考B卷 数学 含解析.docx，共(23)页，972.855 KB，由小赞的店铺上传

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（新教材）2021-2022学年上学期高二第一次月考备考金卷数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结

束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量,mn分别是平面和平面的法向量，若1cos,2=−mn，则与所成的锐角

为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【解析】设与所成的角为θ，且0°<θ<90°，则1coscos,2==mn，60=，故选B．2．已知空间向量a，b，且2AB=+ab，56BC=−+ab，7

2CD=−ab，则一定共线的三点是（）A．A､B､DB．A､B､CC．B､C､DD．A､C､D【答案】A此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号【解析】因为242BDBCCD

AB=+=+=ab，所以BDAB∥，又,BDAB有公共点B，所以A､B､D三点共线，故选项A正确；显然,ABBC不共线，所以A、B、C三点不共线，故选项B错误；显然,BCCD不共线，所以B、C、D三点不共线，故选项C错误；因为48ACABB

C=+=−+ab，所以,ACCD不共线，从而A、C、D三点不共线，故选项D错误，故选A．3．已知空间中非零向量a，b，且2=a，3=b，,60=ab，则23−ab的值为（）A．97B．97C．61D．61【答案】C【解析】∵()2222232

34912449912cos60−=−==+−+−ababababab1971223612=−=，∴2613−=ab，故选C．4．已知直线l过点()1,1,2A=−和l垂直的一个向量为()3,0,4=−n，

则P(3,5,0)到l的距离为（）A．5B．14C．145D．45【答案】C【解析】∵()2,6,2PA=−−，()()2,6,23,0,414PA−−=−=n，5=n，∴点P到直线l的距离为145PAd==nn．5

．已知(2,1,3)=−a，(1,4,2)=−−b，(3,2,)=c，若,,abc三向量共面，则实数等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】∵a与b不共线，则取a，b作为平面的一组基向量，又,,abc三向量共面，则存在实数12,使得12

=+cab，∴121212322432=−=−+=−，解得12214===，故选C．6．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为,OBAC，,MN分别是,OACB的中点，点G在线段MN上，且使2MGGN=，用向量,,OAOBOC表示向量OG为（）A．

111633OGOAOBOC=++B．122233OGOAOBOC=++C．2233OGOAOBOC=++D．112233OGOAOBOC=++【答案】A【解析】221333OGOMMGOMMNONOM=+=+=+，因为,MN分别为,OACB的中点，

所以12OMOA=，()12ONOBOC=+，所以()1111136633OGOBOCOAOAOBOC=++=++，故选A．7．长方体1111ABCDABCD−，1ABBC==，12BB=，点P在长方体的侧面11BCCB上运动，1APBD⊥，则二面角PADB−−的平面角正切值的取

值范围是（）A．10,4B．10,2C．11,42D．1,12【答案】B【解析】如图以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设点P的坐标为(),1,xz，图中各点的坐标表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，(

)11,1,2DB=−，()1,1,APxz=−，又1DBAP⊥，10DBAP=，即1120xz−+−=，所以20xz−=，所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，且点P由C点向

BB1四等分点移动过程中，二面角BADP−−逐渐增大，当点P位于C点处时，二面角BADP−−最小，最小值为0，当点P位于BB1四等分点处时，二面角BADP−−最大，此时，PAB即为二面角BADP−−的平面角，111142tan12BBPABAB===，所以二面角BADP−−正

切值的取值范围为10,2，选项ACD错误，选项B正确，故选B．8．如图，在三棱锥PABC−中，5ABACPBPC====，4PA=，6BC=，点M在平面PBC内，且15AM=，设异面直线AM与BC所成的角为，则cos的最大值为（

）A．25B．35C．25D．55【答案】D【解析】设线段BC的中点为D，连接AD，5ABAC==，D为BC的中点，则ADBC⊥，5BC=，则3BDCD==，224ADABBD=−=，同理可得4PD=，PDBC⊥，PDADD=，BC⊥平面PAD

，过点P在平面PAD内作POAD⊥，垂足为点O，因为4PAPDAD===，所以PAD△为等边三角形，故O为AD的中点，BC平面PAD，PO平面PAD，则BCPO⊥，POAD⊥，ADBCD=，PO⊥平面

ABC，以点O为坐标原点，CB、AD、OP分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz−，因为PAD△是边长为4的等边三角形，O为AD的中点，则sin6023OPPA==，则()0,2,0A−、()3,2,0B、()3,2,0C−、()0,0,23P，

由于点M在平面PBC内，可设()()()3,2,236,0,036,2,23BMmBPnBCmnmnmm=+=−−+−=−−−，其中0m，0n且1mn+，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AMABBMmnmmmnmm=+=+−−−=−−−，因为15AM=，则

()()222336421215mnmm−−+−+=，所以()()22233616161423mnmmm−−=−+−=−−+，故当12m=时，216161mm−+−有最大值3，即()23633mn+−，故33633mn−+−，即363m

n+−有最大值3，所以，()6336635coscos,5615615AMBCmnAMBCAMBC−−====，故选D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分．9．下列说法不正确的是（）A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C．二面角的大小范围是0,1[]80D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的

夹角的大小【答案】ABD【解析】当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是0,1[]80，而异面直线夹角为(0,90，B不正确；二

面角的范围是0,1[]80，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确，故选ABD．10．设,,abc是空间的一个基底，若=+xab，=+ybc，=+zca．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（）A．,,abxB．

,,xyzC．,,bczD．,,++xyabc【答案】BCD【解析】如图：在长方体中，设AB=a，AD=b，1AA=c，则ABADAC=+=+=xab，11ADAAAD=+=+=ybc，11AAABAB=+=+=zca，11ABADAAAC

++=++=abc，由图可知：,,abx三个向量共面，所以,,abx不能作为基底；,,xyz三个向量不共面，,,bcz三个向量不共面，,,y++xabc三个向量不共面，所以,,xyz，,,bcz，,,++xyabc可

以作为基底，故选BCD．11．在长方体1111ABCDABCD−中，E､F､G分别为棱1AA､11CD､1DD的中点，12ABAA==，1AD=，则正确的选项是（）A．异面直线EF与BG所成角的大小为60°B．异面直线EF与BG所成角的大小为90°C．点E到

平面BGD的距离为255D．点E到平面BGD的距离为55【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系Dxyz−，连接ED，则()0,0,0D，()1,2,0B，()0,0,1G，()1,0,1E，()0,1,2F，所以()1,1,1EF=−，()1,2,1BG=−−，所以1210EF

BG=−+=，所以EFBG⊥，所以异面直线EF与BG所成角的大小为90°，故A错误，B正确；又()1,0,1DE=，()1,2,0DB=，设平面BGD的一个法向量(),,xyz=m，则2020BGxyzDBxy=−−+==+=m

m，令1y=，则()2,1,0=−m，则点E到平面BGD的距离为22555DE−==mm，故C正确，D错误，故选BC．12．已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD−的棱BC和CD的中点，则（）A．1AD与11BD是异面直线B．1AD与EF所成角的大小为45

C．1AF与平面1BEB所成角的余弦值为13D．二面角11CDBB−−的余弦值为63【答案】AD【解析】对选项A，由图知：1AD与11BD是异面直线，故A正确；以D为原点，DA，DC，1DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边

长为2，对选项B，()0,0,0D，()12,0,2A，()1,2,0E，()0,1,0F，所以()12,0,2AD=−−，()1,1,0EF=−−，设1AD与EF所成角为，则1121cos282ADEFADEF===，又因为090

，所以60=，故B错误；对选项C，由题知：平面1BEB的法向量为DC，因为()0,2,0DC=，()12,1,2AF=−−，设1AF与平面1BEB所成角为，则1121sin329AFDCAFDC===，22cos3=，故C错误；对选

项D，()112,2,0DB=，()10,0,2BB=，设平面11DBB的法向量()111,,xyz=m，则11111122020DBxyBBz=+===mm，令11x=，得()1,1,0=−m；设平面11DBC的法向量()222,,xyz=n，()12,0,2B

C=−−，则1122122220220DBxyBCxz=+==−−=nn，令21x=，得()1,1,1=−−n，设二面角11CDBB−−的平面角为，则26cos323===mnmn，又因为为锐角，所以6cos3=，故D正确，故选AD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4

小题，每小题5分．13．已知点(1,1,0)A−，(1,2,0)B，(2,1,0)C−−，(3,4,0)D，则AB在CD上的投影向量的长度为________．【答案】322【解析】由已知得()2,1,0AB

=，()5,5,0CD=，∴2515015ABCD=++=，又52CD=，所以AB在CD上的投影向量的长度为1532252ABCDCD==，故答案为322．14．已知(1,2,3)OA=，(2,1,2)OB=，(1,1,2)OP=，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小

值时，点Q的坐标为（O为坐标原点）__________．【答案】448,,333【解析】设(,,)Qxyz，则(,,)OQxyz=，因为点Q在直线OP上运动，所以OPOQ∥，所以112xyz==

，即yx=，2zx=，所以(,,2)OQxxx=，所以()()(1,2,32)(2,1,22)QAQBOAOQOBOQxxxxxx=−−=−−−−−−2(1)(2)(2)(1)(32)(22)61610xxxxxxxx=−

−+−−+−−=−+，所以当164263x−=−=时，QAQB取得最小值，此时点Q的坐标为448,,333，故答案为448,,333．15．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，12ABACAA===，点G､E

､F分别是11AB､1CC､AB的中点，点D是AC上的动点．若GDEF⊥，则线段DF长度为__________．【答案】52【解析】因为三棱柱111ABCABC−是直三棱柱，且90BAC=，所以以A为原点，建立如图所示的

空间直角坐标系，因为12ABACAA===，点G､E､F分别是11AB､1CC､AB的中点，所以()0,2,1E，()1,0,2G，()1,0,0F，因为点D是AC上的动点，设()0,,0Dy，所以()1,,2GDy=−−，()1,2,1EF=−−，因为GDE

F⊥，所以11220GDEFy=−−+=，解得12y=，所以10,,02D，11,,02DF=−，所以222151022DF=+−+=，即线段DF长度为52，故答案为52．16．在棱长

为3的正方体1111ABCDABCD−中，2BEEC=，点P在正方体的表面上移动，且满足11BPDE⊥，当P在1CC上时，AP=______；满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为______．【答案】22，52210+【解析】如图，取1CC、CD上的点分别为N、M，连接AM、MN

、1BN、1AB，使得1//ABMN，A、1B、N、M四点共面，且四边形1ABNM为梯形．正方体1111ABCDABCD−的边长为3，所以，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，1DD所在直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A、()13,3,3B、

()10,0,3D、()1,3,0E．设点()0,,0Mm、()0,3,Nn，设1DEAM⊥，且()11,3,3DE=−，()3,,0AMm=−，1330DEAMm=−+=，解得1m=，()10,3,3AB=，11990DEAB=−=，1

1DEAB⊥，由1AMAAB=，则1DE⊥平面1ABNM．点P在正方体表面上移动，且11BPDE⊥，则点P的运动轨迹为梯形1ABNM，()0,2,MNn=，1630DEMNn=−=，解得2n=，即点()0,3,2N，所以

，当P在1CC上运动时，()()()22230030222APAN==−+−+−=，又22NM=，132AB=，110AMBN==，所以，梯形1ABNM为等腰梯形，且梯形1ABNM的周长12322221052210ABM

NAM++=++=+，故答案为22，52210+．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为ABC△的重心．（1）求证：OAOBOC++=0；（2）化简：1

322SAABCOSC+−−．【答案】（1）证明见解析；（2）0．【解析】（1）1()3OAABAC=−+，①1()3OBBABC=−+，②1()3OCCACB=−+，③，①+②+③得OAOBOC++=0．（2）因为211()()323COCACBCACB=+=+，所以13131()()()22

223SAABCOSCSASCCBCACACB+−−=−+−−+11()()22CACBCACACB=+−−+=0．18．（12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是1,DDBD的中点，点G在棱CD上，且14CGCD=，H是1CG的中点．利用空间向量

解决下列问题：（1）求EF与1BC所成的角；（2）求EF与1CG所成角的余弦值；（3）求,FH两点间的距离．【答案】（1）90；（2）5117；（3）418．【解析】如图，以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Dxyz−，则()0,0,0D，10,0,2E

，11,,022F，()0,1,0C，()10,1,1C，11,()1,1B，30,,04G，（1）因为111,,222EF=−，1(1),0,1BC−=−，所以1111111,,1,0,1(1)0(1)0)2222(

22EFBC−−=−++−−==−，所以1EFBC⊥，故1EFBC⊥，即EF与1BC所成的角为90．（2）因为110,,14CG=−−，所以14|17|CG=，因为3||2EF=，且138EFCG=，所以11151cos,17|||

|EFCGEFCGEFCG==，即EF与1CG所成角的余弦值为5117．（3）因为H是1CG的中点，所以710,,82H，又因为11,,022F，所以222171141||00

28228FH=−+−+−=，即,FH两点之间的距离为418．19．（12分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PAD△是斜边PA的长为22的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC

上一点．（1）求证：平面DEM⊥平面PAB；（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为22，求锐二面角EDMF−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）66．【解析】（1）依题意可得PDDA⊥，2DPDADC===

．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDDA=，ABDA⊥，AB平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，DE平面PAD，∴ABDE⊥．在PADRt△中，DPDA=，E是棱PA的中点，所以PADE⊥，又PAABA=，PA，AB平面PAB，∴DE⊥平面PAB．又DE平面D

EM，∴平面DEM⊥平面PAB．（2）如图，取CD的中点N，连接MN，NF，则//NFPD，112NFPD==，由（1）知PD⊥平面ABCD，∴NF⊥平面ABCD，∴FMN是直线MF与平面ABCD所成角，∴12tan2FMNMN==，∴2MN=，∴221MCMNN

C=−=，∴M是棱BC的中点，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有()0,0,0D，()1,0,1E，()0,1,1F，()1,2,0M，∴()1,0,1DE=，()0,1,1D

F=，()1,2,0DM=，设平面EDM的法向量为(),,abc=m，平面DMF的法向量为(),,xyz=n，则002DEacDMab==+==+mm，令2a=−，则()2,1,2=−m；有002DFyzDMx

y==+==+nn，令2x=−，则()2,1,1=−−n，∴6os3636c===mnmnmn，∴锐二面角EDMF−−的余弦值为66．20．（12分）在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，E为

棱1CC上的中点．（1）若1AEED⊥，求1CC的长度；（2）若二面角1BADE−−的余弦值为223，求1CC的长度．【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）设1CCt=，∵1AEED⊥，∴()22222222221111112

22AEEDtAtttD++++=+=+=，∴12CC=．（2）如图所示建立空间直角坐标系Dxyz−，设1CC=，()0,0,0D=，()1,0,0A，(

)1,1,B，0,1,2E，则()1,0,0DA=，()11,1,DB=，0,1,2DE=，设面1DAB的法向量为()1111,,xyz=n，则11111110000DAxxyzDB==++==

nn，令11z=，得()10,,1=−n；设面DAE的法向量为()2222,,xyz=n，则2222200002xDAyzDE==+==nn，令22z=，得()20,,2=−n，所以121212222

222cos,314+===++nnnnnn，()()()22224229281444022+=++−+===，12CC=．21．（12分）已知ABC△为等腰直角三角形，4ACBC==，E，F分别为AC和AB上的点，且1AE=，EFBC∥，

如图1．沿EF将AEF△折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图2．（1）求异面直线AC与BF所成角的余弦值；（2）已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF．【答案】（1）3510；（2）当14AMAC=时，EM∥平面ABF．【解析】（1）因为平

面AEF⊥平面BCEF，AEEF⊥，所以AEEC⊥．又CEEF⊥，所以建立如图1所示的空间直角坐标系Exyz−，因为ABC△为等腰直角三角形，4ACBC==，E，F分别为AC和AB上的点，且1AE=，

//EFBC，则()0,0,1A，()3,4,0B，()3,0,0C，()0,1,0F，所以(3,0,1)AC=−，(3,3,0)FB=，所以935cos,101018ACFBACFBACFB===，所以异面直线AC与

BF所成角的余弦值为3510．（2）方法一：设AMAC=，因为()3,0,1AC=−，所以()3,0,1EMEAAMEAAC=+=+=−．设(),,xyz=n为平面ABF的一个法向量，则00FBFA==nn，即3300xyyz+

=−+=，因此可取()1,1,1=−−n，所以()()13,,0,14111,EM=−−−=−n．因为//EM平面ABF，所以0EM=n，即14=，所以当14AMAC=时，EM∥平面ABF．方法二：当

14AMAC=时，EM∥平面ABF．证明如下：如图2，在平面BCEF内过E作ENBF∥交BC于N，连接MN．因为EFBC∥，ENBF∥，所以四边形BNEF为平行四边形，所以1NBEF==．因为4BC=，

所以14BNBC=，又14AMAC=，所以MNAB∥．因为MN平面ABF，所以MN∥平面ABF．又因为ENBF∥，EN平面ABF，所以EN∥平面ABF．因为ENMNN=，所以MNE∥平面ABF，因为EM平面MNE，所以EM

∥平面ABF．22．（12分）在①//OH平面PAB，②平面PAB⊥平面OHC，③OHPC⊥这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：如图，在三棱锥PABC−中，平面PAC⊥平面ABC，ABC△是以

AC为斜边的等腰直角三角形，16AC=，10PAPC==，O为AC中点，H为PBC内的动点（含边界）．（1）求点O到平面PBC的距离；（2）若__________，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．注：若选择多个条件

分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）123417；（2）3317517，．【解析】（1）在三棱锥PABC−中，连接OB，OP，因为ABC△是以AC为斜边的等腰直角三角形，PAPC=，O为AC

中点，所以OPOC⊥，OBOC⊥，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCOC=，OP平面PAC，∴OP⊥平面ABC，又OB平面ABC，∴OPOB⊥，∴OB，OC，OP两两垂直．∴222111161083322OPBCPOBCOBCVVPOS−−==

=−△，又()222211821042834222PBCBCSBCPB=−=−=△，∴641234111783433OPBCPBCVdS−===△，∴点O到平

面PBC的距离为123417．（2）PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为3317,517．以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）在三棱锥PABC−中，以O为坐标原点，,,OBOCOP为正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz−，则

()0,0,0O，()0,0,6P，()0,8,0A−，()0,8,0C，()8,0,0B，设(),,Hxyz，则(),,OHxyz=，(),,6PHxyz=−，()0,8,6PA=−−，()8,0,6PB=−，()0,8,6PC=−，设平面PAB

的法向量为()1111,,xyz=n，则1100PAPB==nn，即1111860860yzxz−−=−=，即111143xyyz=−−=，不妨令13y=−，则()13,3,4=−n；同理可求得平面PBC的法向量()23,3,4=

n，（选条件①）因为OH∥平面PAB，PH平面PBC，∴1200OHPH==nn，即3340334240xyzxyz−+=++−=，即3344zxy=−=，∴3,4,34Hxx−，又0830364xx−，∴04x

，∴3,4,34PHxx=−−，又OP⊥平面ABC，∴()30,0,1=n是平面ABC的一个法向量，设直线PH与平面ABC所成角为，则322233|3|14332511424sincos,3216350445xx

HxxPx++===++++−++n，令14xt=+，1,2t，11,12t，∴22133sin323252523232525525ttttt==−−++，令2132132112525ft

tt=−+，则0112t=，∴1ft在1,12上单调递增，∴117,125ft，∴1251,117ft，∴3317

sin,517，∴直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为3317,517．选条件②，条件③结果相同．