【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题23 导数及其应用大题综合 Word版无答案.docx，共(25)页，1.284 MB，由小赞的店铺上传

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专题23导数及其应用大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1切线方程及其应用（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷2022·天津卷、2

022·全国甲卷、2022·全国乙卷2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全国乙卷、2020·北京卷、2020·全国卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·山东卷、201

7·北京卷、2016·北京卷2016·北京卷、2016·全国卷、2015·重庆卷2015·全国卷、2015·天津卷、2015·山东卷2015·北京卷1.能理解导数的几何意义并会求切线方程，会求参数2.理解

函数的单调性与导数之间的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间，能够利用导数解决与函数单调性的综合问题，该内容是新高考卷的必考内容，近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。3.能够利

用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值，体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系，该内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习

4.能进行函数转化证明不等式，会函数中的恒成立问题与有解问题，会求零点及其应用，会隐零点、双变量、极偏等内容的学习，都可能成为高考命题方向考点2具体函数及含参函数的单调性（10年6考）2024·北京卷、

2023·全国甲卷、2023·全国甲卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷2018·全国卷考点3含参函数的单调性（10年10考）2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·浙江卷、2

021·全国甲卷、2021·全国乙卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2018·天津卷、2018·全国卷、2017·全国卷2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷2017·全国卷、2016·

山东卷、2016·四川卷2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷2016·四川卷、2016·全国卷、2015·江苏卷2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·四川卷、20

15·北京卷考点4极值最值及其应用（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷2021·全国乙卷、20

20·北京卷、2019·全国卷2019·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷2017·江苏卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·北京卷、2016·山东卷、2016

·天津卷2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷2015·山东卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·山东卷、2015·全国卷考点5证明不等式（10年9考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·

全国乙卷、2019·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷2015·全国卷、2015·湖北卷、2015·福建卷2015·北京卷考点6恒成立与能成立（有解）问题（10年9考）2024·天津卷、2024·全国甲卷、2023·全国

甲卷2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷2021·天津卷、2020·山东卷、2020·全国卷2019·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷2015·四川卷、2015·山东卷、2015·湖南

卷2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷考点7零点问题（10年8考）2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅱ卷2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018

·浙江卷、2018·全国卷、2017·全国卷2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·全国卷2015·江苏卷、2015·全国卷、2015·全国卷2015·陕西卷、2015·北京卷考点8方程的根（10年4考）2022·浙江卷、20

22·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全国甲卷、2019·全国卷、2018·江苏卷考点09双变量问题（10年6考）2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全国卷2015·湖北卷考点10隐零点问题（10年4考）

2023·全国甲卷、2017·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷考点11极值点偏移问题（10年4考）2022·全国甲卷、2019·天津卷2016·全国卷、2015·天津卷考点12导数与其他知识点联动问题（10年4考）2024·北京卷、2023

·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷考点01切线方程及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数3()exfxaxa=−−．(1)当1a=时，求曲线()yfx=在点()1,(1)f处的切线方程；2．（2024·天津·高

考真题）设函数()lnfxxx=．(1)求()fx图象上点()()1,1f处的切线方程；3．（2023·北京·高考真题）设函数3()eaxbfxxx+=−，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为1yx=−+．(1)求,ab的值；4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数()()1ln

1fxaxx=++．(1)当1a=−时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程．5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数1()ln(1)fxaxx=++.(1)当1

a=−时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；6．（2023·天津·高考真题）已知函数()()11ln12fxxx=++．(1)求曲线()yfx=在2x=处的切线斜率；7．（2022·天津·高考真题）已知abR，，函数()()sin,xfxeaxgxbx=−=(1)

求函数()yfx=在()()0,0f处的切线方程；8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数32(),()fxxxgxxa=−=+，曲线()yfx=在点()()11,xfx处的切线也是曲线()ygx=的切线．(1)若11x=−，求a；9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数()

()ln1exfxxax−=++(1)当1a=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；10．（2022·北京·高考真题）已知函数()eln(1)xfxx=+．(1)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；11．（2021·天津·高考真题）已知0a，函数()xf

xaxxe=−．（I）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程：12．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xfxxa−=+．（1）若0a=，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；13．（2021·全国乙卷·高

考真题）已知函数32()1fxxxax=−++．（1）讨论()fx的单调性；（2）求曲线()yfx=过坐标原点的切线与曲线()yfx=的公共点的坐标．14．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12

fxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=的斜率等于2−的切线方程；15．（2020·全国·高考真题）设函数3()fxxbxc=++，曲线()yfx=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．16．（2019·北京·高考真题）已知函数321()4fxxxx=−+.（Ⅰ）求

曲线()yfx=的斜率为1的切线方程；17．（2018·北京·高考真题）设函数()fx=[()24143axaxa−+++]xe．（1）若曲线()yfx=在点（1，()1f）处的切线与x轴平行，求a；18．（2018·北京·高考真题）设函数2()[(31)32]xfxaxax

ae=−+++.（Ⅰ）若曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线斜率为0，求a；19．（2018·全国·高考真题）已知函数()21exaxxfx+−=．（1）求曲线()=yfx在点()0,1−处的切线

方程；20．（2018·天津·高考真题）已知函数()xfxa=，()logagxx=，其中a>1.（I）求函数()()lnhxfxxa=−的单调区间；（II）若曲线()yfx=在点()()11,xfx处的切线与曲线()ygx

=在点()()22,xgx处的切线平行，证明：()122lnlnlnaxgxa+=−；（III）证明：当1eea时，存在直线l，使l是曲线()yfx=的切线，也是曲线()ygx=的切线.21．（2017·天津·高考真题）设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fx

xxaaxb=−−−+，()()xgxefx=.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx=和xye=的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()fx在0xx=处的导数等于0；（ii）若关于x的不

等式()xgxe在区间00[1,1]xx−+上恒成立，求b的取值范围.22．（2017·山东·高考真题）已知函数()3211,32fxxaxa=−R.(I)当a=2时,求曲线()yfx=在点()()3,3f处的切线方程；23．（2017·北京·高

考真题）已知函数()ecosxfxxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；24．（2016·北京·高考真题）设函数()32.fxxaxbxc=+++（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；25．（2016·北京·高考真题

）设函数()axfxxebx−=+，曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线方程为(1)4yex=−+，（1）求a，b的值；26．（2016·全国·高考真题）已知函数()(1)ln(1)fxxxax=+−−.（I）当4a=时，求曲线()yfx=在()1,(1)f处的切线方程

；27．（2015·重庆·高考真题）设函数()()23xxaxfxaRe+=（1）若()fx在0x=处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；28．（2015·全国·高考真题）已知函数31()4fxxax=++

，()lngxx=−．（1）当a为何值时，x轴为曲线()yfx=的切线；29．（2015·天津·高考真题）已知函数(),nfxnxxxR=−，其中*,2nNn.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设曲线()yfx=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()ygx=,求证：对

于任意的正实数x，都有()()fxgx；30．（2015·山东·高考真题）设函数.已知曲线,minpq在点(1,(1))f处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a的值；31．（2015·北京·高考真题）已知函数()1ln

1xfxx+=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()00f，处的切线方程；考点02具体函数的单调性1．（2024·北京·高考真题）设函数()()()ln10fxxkxk=++，直线l是曲线()yfx=在点()

()(),0tftt处的切线．(1)当1k=−时，求()fx的单调区间.2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数()2sinπ,0,cos2xfxaxxx=−．(1)当1a=时，讨论()fx的单调性；3．（2023·全国甲卷·

高考真题）已知函数3sinπ(),0,cos2xfxaxxx=−(1)当8a=时，讨论()fx的单调性；4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()eeaxxfxx=−．(1)当1a

=时，讨论()fx的单调性；5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa=．（1）当2a=时，求()fx的单调区间；6．（2020·全国·高考真题）已知函数()(2)xfxeax=−+.（1）当1a=时，讨论()fx

的单调性；7．（2018·全国·高考真题）已知函数()()32113fxxaxx=−++．（1）若=3a，求()fx的单调区间；考点03含参函数的单调性1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数()()1ln

1fxaxx=−−+．(1)求()fx的单调区间；2．（2023·北京·高考真题）设函数3()eaxbfxxx+=−，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为1yx=−+．(1)求,ab的值；(2)设函数()()gxfx=，求()gx的单调区间

；(3)求()fx的极值点个数．3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()()exfxaax=+−．(1)讨论()fx的单调性；4．（2022·浙江·高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx=+．(1)求()fx的单调区间；5．（2022·北京·高考真题）

已知函数()eln(1)xfxx=+．(1)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；(2)设()()gxfx=，讨论函数()gx在[0,)+上的单调性；6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数2()(1)xfxxeaxb=−−+．（1）讨论()fx的单调性；7．

（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且1a，函数()2R()xfxabxex=−+（1）求函数()fx的单调区间；8．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数22()3ln1fxaxaxx=+−+，其中0a.（1）

讨论()fx的单调性；9．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数32()1fxxxax=−++．（1）讨论()fx的单调性；10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()()1lnfxxx=−.（1）讨论()fx的单调性；1

1．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=()()fxfaxa−−的单调性．12．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，

π)的单调性；13．（2018·天津·高考真题）已知函数()xfxa=，()logagxx=，其中a>1.（I）求函数()()lnhxfxxa=−的单调区间；14．（2018·全国·高考真题）已知函数1()lnfxxaxx=−+．（1）讨论()fx的单调性；15．（2017·全国·

高考真题）已知函数()()2e2exxfxaax=+−−（1）讨论()fx的单调性；16．（2017·天津·高考真题）设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb=−−−+，()()xgxefx=.（Ⅰ）求()fx的单调区间；17

．（2017·天津·高考真题）设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa=+−−+在区间(1,2)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数.（Ⅰ）求()gx的单调区间；18．（201

7·全国·高考真题）已知函数2()ln(21)fxxaxax=+++.（1）讨论()fx的单调性；19．（2017·全国·高考真题）设函数2()(1)xfxxe=−.（I）讨论函数()fx的单调性；20．（2016·山东·高考真题）设f(x)=x

lnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；21．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）讨论f(x)的单调性；22．（2016·全国·高考真

题）已知函数2()(2)(1)xfxxeax=−+−.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；23．（2016·北京·高考真题）设函数()axfxxebx−=+，曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线方程为(1)4yex=−+

，（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间.24．（2016·山东·高考真题）已知()221()ln,xfxaxxaRx−=−+．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；25．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=111exx−−，其

中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（1）讨论f(x)的单调性；26．（2016·全国·高考真题）设函数()ln1fxxx=−+．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；27．（2015·江苏·高考真题）已知函数.（1）试讨论的单调性；28．（2015·重庆·高考真题）设函数()()23xxaxfxa

Re+=（1）若()fx在0x=处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()fx在)3,+上为减函数，求a的取值范围．29．（2015·天津·高考真题）已知函数(),nfxnxx

xR=−，其中*,2nNn.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；30．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；31．（20

15·四川·高考真题）已知函数22()2()ln22fxxaxxaxaa=−++−−+，其中0a.（1）设()gx是()fx的导函数，讨论()gx的单调性；32．（2015·北京·高考真题）设函数()2ln2xfxkx=−，0k．（1）求()fx的单调区间和极值；考

点04极值最值及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数3()exfxaxa=−−．(1)当1a=时，求曲线()yfx=在点()1,(1)f处的切线方程；(2)若()fx有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数

()()()1ln1fxaxxx=−+−．(1)当2a=−时，求()fx的极值；(2)当0x时，()0fx，求a的取值范围．3．（2023·北京·高考真题）设函数3()eaxbfxxx+=−，曲线()yfx=

在点(1,(1))f处的切线方程为1yx=−+．(1)求,ab的值；(2)设函数()()gxfx=，求()gx的单调区间；(3)求()fx的极值点个数．4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数1()ln(1)fxaxx=++

.(1)当1a=−时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线1yfx=关于直线xb=对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若()fx在()0,+存在极值，求

a的取值范围.5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当01x时，sinxxxx−；（2）已知函数()()2cosln1fxaxx=−−，若0x=是()fx的极大值点，求a的取值范围．6．（2022·全国乙卷·

高考真题）已知函数1()(1)lnfxaxaxx=−−+．(1)当0a=时，求()fx的最大值；(2)若()fx恰有一个零点，求a的取值范围．7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()xfxeax=−和()lngxaxx=−有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线yb=，其与两

条曲线()yfx=和()ygx=共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．8．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xfxxa−=+．（1）若0a=，求曲线()yfx=在点()()1,1f处

的切线方程；（2）若()fx在=1x−处取得极值，求()fx的单调区间，以及其最大值与最小值．9．（2021·天津·高考真题）已知0a，函数()xfxaxxe=−．（I）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的

切线方程：（II）证明()fx存在唯一的极值点（III）若存在a，使得()fxab+对任意xR成立，求实数b的取值范围．10．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数()()lnfxax=−，已知0x=是函数()yxfx=的极值点．（1）求a；（2）设函数(

)()()xfxgxxfx+=．证明:()1gx．11．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12fxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=的斜率等于2−的切线方程；（Ⅱ）设曲线()yfx=在点(,())tft处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()St，求()St的最小值．12．（2019

·全国·高考真题）已知函数()(1)ln1fxxxx=−−−.证明：（1）()fx存在唯一的极值点；（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.13．（2019·江苏·高考真题）设函数()()()(),,,Rfxxaxbxcabc=−−−，()f'x为f（x）的导函数．（

1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和()f'x的零点均在集合{3,1,3}−中，求f（x）的极小值；（3）若0,01,1abc==„，且f（x）的极大值为M

，求证:M≤427．14．（2018·北京·高考真题）设函数()fx=[()24143axaxa−+++]xe．（1）若曲线()yfx=在点（1，()1f）处的切线与x轴平行，求a；（2）若()fx在2x=处取得极小值，求a的取值范围．15．（2018·

北京·高考真题）设函数2()[(31)32]xfxaxaxae=−+++.（Ⅰ）若曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若()fx在1x=处取得极小值，求a的取值范围.16．（2018·全国·高考真题）已知函数()()()

22ln12fxxaxxx=+++−．（1）若0a=，证明：当10x−时，()0fx；当0x时，()0fx；（2）若0x=是()fx的极大值点，求a．17．（2018·全国·高考真题）已知函数()e1xfxalnx=−−

．（1）设=2x是()fx的极值点．求a，并求()fx的单调区间；（2）证明：当1ae时，()0fx．18．（2017·山东·高考真题）已知函数()3211,32fxxaxa=−R.(I)当a=2时,求曲线()yfx=在点()()3,

3f处的切线方程；(II)设函数()()()cossingxfxxaxx=+−−,讨论()gx的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.19．（2017·江苏·高考真题）已知函数()32fx=xx1(0,)abxabR+++

有极值，且导函数()fx，的极值点是()fx的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b²>3a;（3）若()fx，()fx，这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a的

取值范围．20．（2017·全国·高考真题）已知函数()1lnfxxax=−−．（1）若()0fx，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，2111(1)(1)(1)222nm+++，求m的最小值．21．（20

17·山东·高考真题）已知函数()22cosfxxx=+，()()cossin22xgxexxx=−+−，其中2.71828e=是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()(),f处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()hxgxafxa=−R，讨论()hx的单调性并判断有无极值

，有极值时求出极值.22．（2017·北京·高考真题）已知函数()ecosxfxxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．23．（2016·山东·高考真题）设f(x)=x

lnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.24．（2016·天津·高考真题）设函数3()(1)fxxaxb=−−−，x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f（x

）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）=|f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于14.25．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数()2

2xxfxex−=+的单调性，并证明当x>0时，()220;xxex−++(2)证明：当)0,1a时，函数2x=(0)xeaxagxx−−（）有最小值.设g（x）的最小值为()ha，求函数()ha的值域.26．（2015·重庆·高考真题）已知函数()()32fxaxxaR=+在43

x=−处取得极值．()1确定a的值；()2若()()xgxfxe=，讨论()gx的单调性．27．（2015·重庆·高考真题）设函数()()23xxaxfxaRe+=（1）若()fx在0x=处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()y

fx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()fx在)3,+上为减函数，求a的取值范围．28．（2015·山东·高考真题）设函数()()()2ln1fxxaxx=++−，其中aR.（Ⅰ）讨论函数()fx极值点的个

数，并说明理由；（Ⅱ）若()0,0xfx成立，求a的取值范围.29．（2015·湖南·高考真题）已知0a，函数()sin([0,))axfxexx=+，记nx为()fx的从小到大的第n*()nN个极值点，证明：（1）数列()nfx是等比数列

（2）若211ae−，则对一切*nN，()nnxfx恒成立.30．（2015·安徽·高考真题）设函数2()fxxaxb=−+.（Ⅰ）讨论函数(sin)fx在(,)22−内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()fxxaxb=−+，求函数0

(sin)(sin)fxfx−在[,]22−上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000ab==，求24azb=−满足D1时的最大值.31．（2015·山东·高考真题）设函数.已知曲线,minpq在点(1,(1))f

处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程()()fxgx=在(,1)kk+内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()(),()mxminfxgx=（,minpq表示，,pq中的较小值），

求()mx的最大值.32．（2015·全国·高考真题）已知()()ln1fxxax=+−.(1)讨论()fx的单调性；(2)当()fx有最大值，且最大值大于22a−时，求a的取值范围.考点05证明不等式等证明问题1．（20

24·全国甲卷·高考真题）已知函数()()1ln1fxaxx=−−+．(1)求()fx的单调区间；(2)当2a时，证明：当1x时，()1exfx−恒成立．2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数3()ln(1)2xfxaxbxx=++−−(1)若0b=，且()0fx，求a的最小值；

(2)证明：曲线()yfx=是中心对称图形；(3)若()2fx−当且仅当12x，求b的取值范围．3．（2023·天津·高考真题）已知函数()()11ln12fxxx=++．(1)求曲线()yfx=在2x=处的切线斜率；(2)求证：当0x

时，()1fx；(3)证明：()51ln!ln162nnnn−++．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()eeaxxfxx=−．(1)当1a=时，讨论()fx的单调性；(2)当0x时，()1fx−，求a的取值范围；(3)设nN，证明：222111ln

(1)1122nnn+++++++．5．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数()()lnfxax=−，已知0x=是函数()yxfx=的极值点．（1）求a；（2）设函数()()()xfxgxxfx+=．证明:()1gx．6．（201

9·北京·高考真题）已知函数321()4fxxxx=−+.（Ⅰ）求曲线()yfx=的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x−时，求证：6()xfxx−；（Ⅲ）设()|()()|()Fxfxxaa=−+R，记()Fx在区间[2,4]−上的最大值为M

（a），当M（a）最小时，求a的值．7．（2018·全国·高考真题）已知函数()()()22ln12fxxaxxx=+++−．（1）若0a=，证明：当10x−时，()0fx；当0x时，()0fx；（2）若0x=是()fx的极大值点，求a．8．（2018·全国·高

考真题）已知函数()21exaxxfx+−=．（1）求曲线()=yfx在点()0,1−处的切线方程；（2）证明：当1a时，()e0fx+．9．（2018·全国·高考真题）已知函数()e1xfxalnx

=−−．（1）设=2x是()fx的极值点．求a，并求()fx的单调区间；（2）证明：当1ae时，()0fx．10．（2017·全国·高考真题）已知函数()2ln,fxaxaxxx=−−且()0fx.（1）求a；（2）证明：()

fx存在唯一的极大值点0x，且()2202efx−−.11．（2016·浙江·高考真题）设函数()fx=311xx++，[0,1]x．证明：（Ⅰ）()fx21xx−+；（Ⅱ）34()fx32．1

2．（2016·全国·高考真题）设函数()ln1fxxx=−+．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）证明当(1,)x+时，11lnxxx−；（Ⅲ）设1c，证明当(0,1)x时，1(1)xcxc+−.13．（2015·全国·高考真题）设函数()

2lnxfxeax=−.（Ⅰ）讨论()fx的导函数()fx的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a时()22lnfxaaa+.14．（2015·湖北·高考真题）设函数()fx，()gx的定义域均为R，且()fx是奇函数，

()gx是偶函数，()()exfxgx+=，其中e为自然对数的底数．(1)求()fx，()gx的解析式，并证明：当0x时，()0fx，()1gx；(2)设0a，1b，证明：当0x时，()()(1)()(1)fxagxabgxbx+−+−．15．（2015·福建·

高考真题）已知函数()(1)fxlnx=+，(),(),gxkxkR=（Ⅰ）证明：当0()xfxx时，；（Ⅱ）证明：当1k时，存在00x,使得对0(0),xxÎ任意，恒有()()fxgx；（Ⅲ）确定k的

所以可能取值，使得存在0t，对任意的(0),xt，恒有2()()fxgxx−．16．（2015·北京·高考真题）已知函数()1ln1xfxx+=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()00f，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x

，时，()323xfxx+；（Ⅲ）设实数k使得()33xfxkx+对()01x，恒成立，求k的最大值．考点06恒成立与能成立（有解）问题1．（2024·天津·高考真题）设函数()lnfxxx=．(1

)求()fx图象上点()()1,1f处的切线方程；(2)若()()fxaxx−在()0,x+时恒成立，求a的值；(3)若()12,0,1xx，证明()()121212fxfxxx−−．2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数(

)()()1ln1fxaxxx=−+−．(1)当2a=−时，求()fx的极值；(2)当0x时，()0fx，求a的取值范围．3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数()2sinπ,0,cos2xfxaxxx=−．(1)当1a=时，讨论()fx的单调性；(2)若()si

n0fxx+，求a的取值范围．4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数3sinπ(),0,cos2xfxaxxx=−(1)当8a=时，讨论()fx的单调性；(2)若()sin2fxx恒成立，求a的取

值范围．5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()eeaxxfxx=−．(1)当1a=时，讨论()fx的单调性；(2)当0x时，()1fx−，求a的取值范围；(3)设nN，证明：222111ln(1)1122nnn+++

++++．6．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数()lnxfxxaxxe−=+−．(1)若()0fx，求a的取值范围；(2)证明：若()fx有两个零点12,xx，则121xx．7．（2021·天津·高考真题）已知0a，函数()xfxaxxe=−．（I）求曲线()yf

x=在点(0,(0))f处的切线方程：（II）证明()fx存在唯一的极值点（III）若存在a，使得()fxab+对任意xR成立，求实数b的取值范围．8．（2020·山东·高考真题）已知函数1()elnlnxfxaxa−=−+．（1）当ae=时，求

曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1fx恒成立，求a的取值范围．9．（2020·全国·高考真题）已知函数2()exfxaxx=+−.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围

.10．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．1

1．（2017·天津·高考真题）设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb=−−−+，()()xgxefx=.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx=和xye=的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（

i）求证：()fx在0xx=处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式()xgxe在区间00[1,1]xx−+上恒成立，求b的取值范围.12．（2017·全国·高考真题）设函数2()(1)xfxxe=−.（I）讨论函数()fx的单调性；（II）当0x时，()1fxax+，求实数a

的取值范围.13．（2016·江苏·高考真题）已知函数()(0,0,1,1)xxfxababab=+.（1）设12,2ab==.①求方程()fx=2的根；②若对任意xR，不等式(2)()6fxmf

x−恒成立，求实数m的最大值；（2）若01,1ab＞，函数()()2gxfx=−有且只有1个零点，求ab的值.14．（2016·全国·高考真题）已知函数()(1)ln(1)fxxxax=+−−.（I）当4a=时，求曲线()yfx=在()1,(1)f处的切线

方程；（Ⅱ）若当()1,x+时，()0fx＞，求a的取值范围.15．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=111exx−−，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0

；（3）如果f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.16．（2015·四川·高考真题）已知函数22()2()ln22fxxaxxaxaa=−++−−+，其中0a.（1）设()gx是()fx的导函数，讨论()gx的单调性；（2）证明：存在

(0,1)a，使得()0fx在区间(1,)+内恒成立，且()0fx=在(1,)+内有唯一解.17．（2015·山东·高考真题）设函数()()()2ln1fxxaxx=++−，其中aR.（Ⅰ）讨论函数()fx极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若()0,0xfx成立

，求a的取值范围.18．（2015·湖南·高考真题）函数())cos(0,xfxaexx=+，记nx为()fx的从小到大的第*()nnN个极值点．（Ⅰ）证明：数列{()}nfx是等比数列；（Ⅱ）若对一切*,()nn

nNxfx恒成立，求a的取值范围．19．（2015·湖南·高考真题）已知0a，函数()sin([0,))axfxexx=+，记nx为()fx的从小到大的第n*()nN个极值点，证明：（1）数列()nfx是等比数列（2）若21

1ae−，则对一切*nN，()nnxfx恒成立.20．（2015·福建·高考真题）已知函数()(1)fxlnx=+，(),(),gxkxkR=（Ⅰ）证明：当0()xfxx时，；（Ⅱ）证明：当1k时，存在00x,使得对0

(0),xxÎ任意，恒有()()fxgx；（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在0t，对任意的(0),xt，恒有2()()fxgxx−．21．（2015·北京·高考真题）已知函数()1ln1xfxx+=

−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()00f，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x，时，()323xfxx+；（Ⅲ）设实数k使得()33xfxkx+对()01x，恒成立，求k的最大值．考点07零点问题1．（2022

·全国乙卷·高考真题）已知函数1()(1)lnfxaxaxx=−−+．(1)当0a=时，求()fx的最大值；(2)若()fx恰有一个零点，求a的取值范围．2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数()()ln1exfxxax−=++(1)当1a=时，求曲线()y

fx=在点()()0,0f处的切线方程；(2)若()fx在区间()()1,0,0,−+各恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数2()(1)xfxxeaxb=−−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()

fx只有一个零点①21,222eaba；②10,22aba．4．（2020·浙江·高考真题）已知12a，函数()exfxxa=−−，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()yfx=在(0)+，上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数()yfx=在(

0)+，上的零点，证明：（ⅰ）012(1)axa−−；（ⅱ）00(e)(e1)(1)xxfaa−−．5．（2020·全国·高考真题）设函数3()fxxbxc=++，曲线()yfx=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（

2）若()fx有一个绝对值不大于1的零点，证明：()fx所有零点的绝对值都不大于1．6．（2020·全国·高考真题）已知函数32()fxxkxk=−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有三个零点，求k的取值范围．7．（2020·全国·高考真题

）已知函数()(2)xfxeax=−+.（1）当1a=时，讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.8．（2019·全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1

）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．9．（2019·全国·高考真题）已知函数()sinln(1)fxxx=−+，()fx为()fx的导数．证明：（

1）()fx在区间(1,)2−存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．10．（2018·浙江·高考真题）已知函数()lnfxxx=−．（1）若()fx在()1212,xxxxx=处导数相等，证明：()()1288ln2fxfx+−；（2）若34ln2a−，证

明：对于任意0k，直线ykxa=+与曲线()yfx=有唯一公共点．11．（2018·全国·高考真题）已知函数()()32113fxxaxx=−++．（1）若=3a，求()fx的单调区间；（2）证明：()fx只有一个零点．12．（2017·全国·高考真题）已知函数()()2e2exxfx

aax=+−−（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.13．（2016·江苏·高考真题）已知函数()(0,0,1,1)xxfxababab=+.（1）设12,2ab==

.①求方程()fx=2的根；②若对任意xR，不等式(2)()6fxmfx−恒成立，求实数m的最大值；（2）若01,1ab＞，函数()()2gxfx=−有且只有1个零点，求ab的值.14．（201

6·北京·高考真题）设函数()32.fxxaxbxc=+++（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（Ⅱ）设4ab==，若函数()fx有三个不同零点，求c的取值范围；（Ⅲ）求证：230ab−＞是()fx有三个不同零点的必要而不充分条件.15．（2

016·全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)xfxxeax=−+−.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若()fx有两个零点，求a的取值范围.16．（2015·江苏·高考真题）已知函数.（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个

不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值.17．（2015·全国·高考真题）设函数()2lnxfxeax=−.（Ⅰ）讨论()fx的导函数()fx的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a时()22lnfxaaa+.18．（201

5·全国·高考真题）已知函数31()4fxxax=++，()lngxx=−．（1）当a为何值时，x轴为曲线()yfx=的切线；（2）用min{,}mn表示,mn中的最小值，设函数()min{(),()}(0)hxfxgxx=，讨论()hx零点的个数

．19．（2015·陕西·高考真题）设2()1,,2.nnfxxxxnNn=+++−（Ⅰ）求(2)nf；（Ⅱ）证明：()nfx在20,3内有且仅有一个零点（记为na），且1120233nna

−.20．（2015·北京·高考真题）设函数()2ln2xfxkx=−，0k．（1）求()fx的单调区间和极值；（2）证明：若()fx存在零点，则()fx在区间(1,e上仅有一个零点．考点08方程的根1．（2022·浙江·高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx=+．(1

)求()fx的单调区间；(2)已知,abR，曲线()yfx=上不同的三点()()()()()()112233,,,,,xfxxfxxfx处的切线都经过点(,)ab．证明：（ⅰ）若ea，则10()12eabfa−−；（ⅱ）若

1230e,axxx，则22132e112ee6e6eaaxxa−−++−．（注：e2.71828=是自然对数的底数）2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()xfxeax=−和()lngxaxx=−有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线

yb=，其与两条曲线()yfx=和()ygx=共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且1a，函数()2R()xfxabxex=−+（1）求函数()fx的单调区间；（2）若对任意2

2be，函数()fx有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当ae=时，证明：对任意4be，函数()fx有两个不同的零点()1221,,xxxx，满足2212ln2bbexxeb+.(注：2.71828e=是自然对数的底数)4．

（2021·全国甲卷·高考真题）已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa=．（1）当2a=时，求()fx的单调区间；（2）若曲线()yfx=与直线1y=有且仅有两个交点，求a的取值范围．5．（2019·全国·高考真题）已知函数()(1)ln1fx

xxx=−−−.证明：（1）()fx存在唯一的极值点；（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.6．（2018·江苏·高考真题）记()(),fxgx分别为函数()(),fxgx的导函数．若存在0xR，满足()()00fxgx=且()()00fxgx=，则

称0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．（1）证明：函数()fxx=与()222gxxx=+−不存在“S点”；（2）若函数()21fxax=−与()lngxx=存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数()2fxx

a=−+，()xbegxx=．对任意0a，判断是否存在0b，使函数()fx与()gx在区间()0,+内存在“S点”，并说明理由．考点09双变量问题1．（2024·天津·高考真题）设函数()lnfxxx=．(1)求()fx图象上点()()1,1f处的切线方程；(2)若

()()fxaxx−在()0,x+时恒成立，求a的值；(3)若()12,0,1xx，证明()()121212fxfxxx−−．2．（2022·浙江·高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx=+．(1)

求()fx的单调区间；(2)已知,abR，曲线()yfx=上不同的三点()()()()()()112233,,,,,xfxxfxxfx处的切线都经过点(,)ab．证明：（ⅰ）若ea，则10()12eabfa−−

；（ⅱ）若1230e,axxx，则22132e112ee6e6eaaxxa−−++−．（注：e2.71828=是自然对数的底数）3．（2022·北京·高考真题）已知函数()eln(1)xfxx=+．(1)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方

程；(2)设()()gxfx=，讨论函数()gx在[0,)+上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)st+，有()()()fstfsft++．4．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且1a，函数()2R

()xfxabxex=−+（1）求函数()fx的单调区间；（2）若对任意22be，函数()fx有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当ae=时，证明：对任意4be，函数()fx有两个不同的零点()1221,,xxxx，满足2212ln2bbexxeb+.(

注：2.71828e=是自然对数的底数)5．（2020·天津·高考真题）已知函数3()ln()fxxkxkR=+，()fx为()fx的导函数．（Ⅰ）当6k=时，（i）求曲线()yfx=在点(1,(

1))f处的切线方程；（ii）求函数9()()()gxfxfxx=−+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k−…时，求证：对任意的12,[1,)xx+，且12xx，有()()()()1212122fxfxfxfxxx+−−．6．（2018·全国·高考真题）已知函数1()lnfxxaxx=−

+．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：()()12122fxfxaxx−−−．7．（2015·湖北·高考真题）设函数()fx，()gx的定义域均为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，()()exfxgx+=，其中e为

自然对数的底数．(1)求()fx，()gx的解析式，并证明：当0x时，()0fx，()1gx；(2)设0a，1b，证明：当0x时，()()(1)()(1)fxagxabgxbx+−+−．考点10隐零点问题1．（

2023·全国甲卷·高考真题）已知函数3sinπ(),0,cos2xfxaxxx=−(1)当8a=时，讨论()fx的单调性；(2)若()sin2fxx恒成立，求a的取值范围．2．（2017·全国·高考真题）已知函数(

)2ln,fxaxaxxx=−−且()0fx.（1）求a；（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且()2202efx−−.3．（2016·全国·高考真题）(1)讨论函数()22xxfxex−=+的单调性，并证明当x>0时，()220;xxex−++(2)

证明：当)0,1a时，函数2x=(0)xeaxagxx−−（）有最小值.设g（x）的最小值为()ha，求函数()ha的值域.4．（2015·全国·高考真题）设函数()2lnxfxeax=−.（Ⅰ）讨论()fx的导函数()fx的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a

时()22lnfxaaa+.考点11极值点偏移问题1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数()lnxfxxaxxe−=+−．(1)若()0fx，求a的取值范围；(2)证明：若()fx有两个零点12,xx，则121xx．2．（2019·天津·高

考真题）设函数()ln(1)xfxxaxe=−−，其中aR.（Ⅰ）若0a，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若10ae，（i）证明()fx恰有两个零点（ii）设0x为()fx的极值点，1x为()fx的零点，且10xx，证明0132xx−.3．（

2016·全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)xfxxeax=−+−有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是()fx的两个零点，证明：122xx+.4．（2015·天津·高考真题）已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线()yf

x=与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数x,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.考点12导数与其他知识点联动问题1．（2024·北京·高考真题）设函数()()()ln10fxxkxk=++，直线l是曲线()yfx=在点()(

)(),0tftt处的切线．(1)当1k=−时，求()fx的单调区间.(2)求证：l不经过点()0,0.(3)当1k=时，设点()()(),0Atftt，()()0,Cft，()0,0O，B为l与y轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO△与ABO的面

积．是否存在点A使得215ACOABOSS=△△成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09ln31.10，1.60ln51.61，1.94ln71.95）2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2

的距离，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……

，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iPXipi===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1pppp====，求()EX；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝

的概率，p是关于x的方程：230123ppxpxpxx+++=的一个最小正实根，求证：当()1EX时，1p=，当()1EX时，1p；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．4．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为F，且F与圆22

:(4)1Mxy++=上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，,PAPB是C的两条切线，,AB是切点，求PAB面积的最大值．