【文档说明】江西省宜春市上高二中2024届高三上学期第一次月考试题+数学+含答案.docx，共(6)页，786.306 KB，由小赞的店铺上传

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2024届高三年级第一次月考数学试卷命题人：叶民安一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合N14Axx=，260Bxxx=−−，则AB=（）A．2,2,3−B．2,3C．2,3,4D．3,42．命题“,1xxx+

R”的否定是（）A．000,1xxx+RB．000,1xxx+RC．,1xxx+RD．,1xxx+R3．已知命题p：“1m=−”，命题q：“直线0xy−=与直线20xmy+=垂直”，则命题p

是命题q的（）A．充分不必要条B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4．已知函数21()21fxmxmx=++的定义域是R，则m的取值范围是（）A．01mB．01mC．01mD．01m5．在R上定

义运算：abadbccd=−，若不等式1211xaax−−+对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（）A．12−B．32−C．12D．326．在ABC中，若coscosaAbB=，则ABC为（）A．等腰三角形B．

直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形7．已知椭圆E：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，若以12FF为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且2OPF是等边三角形，则椭

圆E的离心率为（）A．12B．312−C．312+D．31−8．已知函数2()ln3afxxx=+−，3223()32gxxxx=−+−，对任意的121,,23xx，都有()()12fxgx成立，则实数a的取值范围是（）A．e

,e+B．e,e+C．e,e−D．(e,)+二、多选题（每小题5分，共20分）9．（多选）已知a，b，cR，且0ab，则下列不等关系成立的是（）A．ccabB．sinsinabC．11abab−−

D．elnab10．不等式()2220(0)axaxa−++的解集可能为（）A．RB．C．(2,1,a−+D．)2,1,a−+11．下面命题正确的是（）A．不等式()()22210xmxmm−−+−的解集为()1,mm−B．不等

式()01xmxm−−−的解集为1,mm−C．不等式210mxmx−−在13x时恒成立，则实数m的取值范围为1,6−D．函数()24fxxmx=−+在区间()1,5内仅有一个零点，则实数m的取值范围为29[5,)4512．如图，在正方体1111ABCDABCD

−中，点P为线段1BC上一动点，则下列说法正确的是（）A．直线1BD⊥平面11ACDB．存在点P，使得直线BP与11AC所成角为30°C．三棱锥11PADC−的体积为定值D．平面11ACD与底面ABCD的交线平行于直线AC三、填空题（

每小题5分，共20分）13．不等式102xx−+的解集为．14．已知不等式20xaxb−−的解集为|13xx−，若函数()()log34afxxb=−+（0a且1a），则()4f=．15．已知随机变量()23,XN，()3,YBp，且()20.784PY=，

()4PXp=，则()24PX=．16．双曲线H：22221(,0)xyabab−=其左、右焦点分别为1F、2F，倾斜角为3的直线2PF与双曲线H在第一象限交于点P，设双曲线H右顶点为A，若226PFAF，则双曲线H的离心率的取值范围为．四、解

答题（共70分）17．在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin3aBb=．(1)求角A的大小；(2)若13a=，15c=，求ABC的面积．18．正项等比数列na的前n项和为nS

，374S=，且1a，58，3a成等差数列，()*1nnaan+N.(1)求na的通项公式；(2)若211lognnnaba++=，求nb的前n项和nT.19．如图，在四棱锥PABCD−中

，底面ABCD为矩形，PA⊥平面,2ABCDPAADAB==，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC⊥；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上（异于点P，)C，且ONOA=，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.20．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立

了,AB两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,PP.为测试AI软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,AB两个小组识别，

每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，,AB两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在

正确识别的音乐数中，A组占23；在错误识别的音乐数中，B组占12.（i）请根据以上数据填写下面的22列联表，并通过独立性检验分析，是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A组软件B组软件合计

100（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设1243PP+=，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为1

6？并求此时12,PP的值.附：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20Px0.1000.0500.0100.0050.0010x2.7063.84

16.6357.87910.82821．对于椭圆：()222210yxabab+=，我们称双曲线：22221yxab−=为其伴随双曲线．已知椭圆:C22213yxb+=（03b），它的离心率是其伴随双曲线离心率的22倍．(1)

求椭圆C伴随双曲线的方程；(2)如图，点E，F分别为的下顶点和上焦点，过F的直线l与上支交于A，B两点，设ABO的面积为S，AOB=（其中O为坐标原点）．若ABE的面积为633+，求tanS．2

2．已知函数()2()1e1xfxxmx=+−−.(1)若曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为0xyn−+=，求m，n；(2)若()fx在)1,−+上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.2024届高三年级第一次月考数学试卷答案

BBACACDA9．CD10．ACD11．ACD12．ACD13．(2,1−14．615．0.2/1516．5,2417．(1)π3(2)303【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出3sin2A=，从而得解；（2）利用余弦定理

求出b，再利用面积公式计算可得.【详解】（1）因为2sin3aBb=，由正弦定理得2sinsin3sinABB=，因为π0,2B，所以sin0B，所以2sin3A=，即3sin2A=，因为π0,2A，所以π3A=；（2）因为

13a=，15c=，π3A=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，即216922515bb=+−，解得7b=或8b=，当7b=时22222271315cos022713bacCab+−+−==，则C为钝角，不符合题意，当8b=时22222281315cos022813bacC

ab+−+−==，所以C为锐角，符合题意，所以ABC面积为113sin815303222bcA==.18．(1)112nna−=(2)()1122nnTn+=−−【分析】（1）设等比数列na的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出1,aq，从而可求出数列的通项公式，（2）由（

1）得2nnbn=−，再利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列na的公比为q，因为1a，58，3a成等差数列，所以21154aaq+=，因为374S=，所以211174aaqaq++=，相减得112aq=，所以112qa=，代入21154aaq+=，得2114510aa−+=

，解得11,12aq==或11,42aq==，因为()*1nnaan+N，所以11,12aq==所以11112nnnaaq−−==.（2）由已知得，2222lognnnnbn−−==−，()23

1122232122nnnTnn−=−++++−+，所以()23412122232122nnnTnn+=−++++−+，两个等式相减得()2341222222nnnTn+−=−+++++−，所以()123411122222222212212n

nnnnnTnnn++++−=+++++−=−=−−−.19．(1)证明见解析(2)1510【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AMPD⊥，由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，则CDAM⊥，所以由线面垂直的判定可得AM⊥平面PCD，

从而可得结论；（2）以,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为PAAD=，点M是PD的中点，所以AMPD⊥.因为PA⊥平面,ABCDP

A平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD⊥，因为平面PAD平面ABCDAD=，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CDAM⊥，因为PDCDD=，,PDCD平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为PC平面PCD，

所以AMPC⊥.（2）解：由题意可得,,ABADAP两两垂直，设1AB=，如图，以,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,2)ABCDP，因为点M是PD的中点，所以220,,22M

，所以()220,,,1,2,022AMAC==，设平面ACM的法向量为(),,nxyz=，则2202220AMnyzACnxy=+==+=，令1y=−可得2,1xz==，所以平面ACM的一个法向量()2,1,1n=−.()1,

2,2PC=−，设()(),,,,2,2(01)NNNNxyzPNPC==−，即()(),,2,2,2NNNxyz−=−，所以(),2,22N−.又123,,0,222OONOA==，所以2221232(22)224−+−+−=

，化简得25720−+=，解得2=5或1=（舍去）.所以22232,,555AN=，设直线AN与平面ACM所成的角为，则32155sin104818211252525nANnAN===++++，所以直线AN与平面ACM所成角的正弦值为15

10.20．(1)（i）表格见解析，没有；（ii）49(2)测试至少27次，1223PP==.【分析】（1）根据条件填写列联表并做卡方计算，根据列联表求出12,PP，对“一次测试通过”作分类讨论求出其概率；（2）根据对“

一次测试通过”的分类讨论，求出其概率的最大值，再按照二项分布求解.【详解】（1）（i）依题意得22列联表如下：正确识别错误识别合计A组软件402060B组软件202040合计6040100因为22100(40202020)252.7783.841604060409−=

=，且()23.8410.05P=，所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii）由（i）得1221,32PP==，故方案二在一次测试中通过的概率为22221221222222222212

11214C1CCC1CC332322329P=−+−+=；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C1C

CC1CCPPPPPPPPP=−+−+1212833PPPP=−()21212833PPPP=−+2124163927PP=−−+，所以当1249PP=时，P取到到最大值1627，又1243PP+=，此时1223PP==，因

为每次测试都是独立事件，故n次实验测试通过的次数(),XBnP，期望值()16EXnP==，因为1627p，所以1627162716np==所以测试至少27次，此时1223PP==.21．(1)2213yx−=(2)172【分析】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为1e，2e，

依题意可得23a=，1222ee=，根据离心率公式得到方程，求出2b，即可得解；（2）设直线l的斜率为k，()11,Axy，()22,Bxy，直线l的方程2ykx=+，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出12xx−，由12

16332ABESEFxx=−=+求出2k，再由1sin2SOAOB=可得1tan2SOAOB=，根据数量积的坐标表示，代入韦达定理，即可得解.【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为1e，2e，依

题意可得23a=，1222ee=，即221212ee=，即22313323bb−+=，解得21b=，所以椭圆:C2213yx+=，则椭圆C伴随双曲线的方程为2213yx−=.（2）由（1）可知()0,2F，()0,3E−，设直线l的斜率为k，()11,Axy，()22,Bxy，则

直线l的方程2ykx=+，与双曲线2213yx−=联立并消去y得()223410kxkx−++=，则212120k=+，所以12243kxxk−+=−，122103xxk=−，则23k，又()()22212121222223123

1433kkxxxxxxkk++−=+−==−−，又23EF=+，所以()12221123633222313ABESkExkFx+=−−==++，解得22k=或2133k=（舍去），又1sin2SOAOB=，所以sin11costan2ta

n2OAOBSOAOB==()12121122OAOBxxyy==+()()12121222xxkxkx=+++()()2121211242kxxkxx=++++22171423kk−+=+−，因为22k=，

所以()11741322tanS=+=.22．(1)4e12e1mn=−=−−(2)()21,11,e−+【分析】（1）求出()12e1fm=−−，()14efm=−，与切线方程为0xyn−+=比较可得答案；

（2）求出()()21exfxxm+=−，分0m、1m=、1m、01m讨论，利用导数判断单调性结合零点个数可得答案.【详解】（1）因为()()21e1xfxxmx=+−−，所以()12e1fm=−−，因为()()21exfxxm+=−，所以()14efm=−，由2e11

4e1mnm−−=+−=，得4e12e1mn=−=−−．（2）因为()()21e1xfxxmx=+−−，()00f=，所以()()21exfxxm+=−，（1）若0m，则()0fx，()fx在

)1,−+上为增函数，所以()fx在)1,−+上只有一个零点，不合题意；（2）当0m，设()()()21exgxfxxm=+=−，()()()()()221e1e13exxxgxxxxx=+++=++，当1x−时，()0gx，即()

fx在)1,−+上单调递增，()01fm=−，①若1m=，因为()00f=，所以，当0x时，()0fx¢>，当10x−时，()0fx，所以()fx在)1,0−上单调递减，在)0,+上单调递增，()()min00fxf==，

所以()fx在)1,−+上有且只有一个零点，不合题意；②若1m，则()00f，易知2()(1)e0mfmmm=+−，0(0,)xm，()00fx=，且()fx在)01,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()()000fxf=，又()()()

22221e1110mfmmmmm=+−−+−−=，所以根据零点存在性定理，()fx在()0,xm上有且只有一个零点，又()fx在)01,x−上有且只有一个零点0，所以，当1m时，()fx在)1,−+上有两个零点；③当01m时，(1)0fm−=−，(0)0f，1(1,0

)x−，()10fx=，且()fx在)11,x−上单调递减，在()1,x+上单调递增，因为()fx在()1,x+上有且只有一个零点0，所以，若()fx在)1,−+上有两个零点，则()fx在)11,x−上有且只有一个零点，又()()100f

xf=，所以()10f−，即()2110efm−=+−，所以21em−，即当211em−时，()fx在)1,−+上恰有两个零点，综上所述，m的取值范围为()21,11,e−+.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数解决函数零点个数的求参数的问题，解决零点问题的关键一方面

是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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