【文档说明】2021高考数学（文）集训3　三角函数的概念、图象与性质 三角恒等变换与解三角形 .docx，共(19)页，203.765 KB，由小赞的店铺上传

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专题限时集训(三)三角函数的概念、图象与性质三角恒等变换与解三角形1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝t

an(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.故选D．]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B．32C．1D．12A[由

题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，12T＝3π4－π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A．]3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin

2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3D[函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象

向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D．]4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A．15B．55C．

33D．255B[由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝15.又α∈0，π2，∴sinα

＝55.故选B．]5.(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为()A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2C[由题图知，f－4π9＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－

3＋9k4(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，∴2π|ω|<2π<4π|ω|，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T＝2πω＝4π3.故选C．]6．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则

a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．πC[法一：f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4.当x∈[0，a]时，x＋π4∈π4，a＋π4，所以结合题意可知，a＋π

4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值是3π4.故选C．法二：f′(x)＝－sinx－cosx＝－2sinx＋π4.于是，由题设得f′(x)≤0，即sinx＋π4≥0在区间[0，

a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋π4∈π4，a＋π4，所以a＋π4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值是3π4.故选C．]7．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B

．5C．4D．3A[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6

.故选A．]8．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最

大值为4B[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×1＋cos2x2＋1＝32cos2x＋52，则f(x)的最小正周期为π，最大值为4.]9．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c

.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A．π12B．π6C．π4D．π3B[因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sinA＝2sinC，故sinA＝2sinC．又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC

)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋

cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sinC＝12sinA＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.故选B．]10．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A．65B．1C

．35D．15A[法一(辅助角公式法)：∵f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝1512sinx＋32cosx＋32cosx＋12sinx＝110sinx＋310cosx＋32cosx＋12sinx＝35sinx＋335cosx＝6

5sinx＋π3，∴当x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值65.故选A．法二(角度转换法)：∵x＋π3＋π6－x＝π2，∴f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝15sinx

＋π3＋cosπ6－x＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3≤65.∴f(x)max＝65.故选A．]11．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且c

os2α＝23，则|a－b|＝()A．15B．55C．255D．1B[由题可知cosα>0.因为cos2α＝2cos2α－1＝23，所以cosα＝56，sinα＝±16，得|tanα|＝55.由题意知|tanα|

＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.]12．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A．π2B．π3C．π4D．π6C[因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC．由余弦

定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以tanC＝1.又因为C∈(0，π)，所以在△ABC中，C＝π4.故选C．]13．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.

31010[因为α∈0，π2，且tanα＝sinαcosα＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝255，cosα＝55，则cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55×2

2＋255×22＝31010.]14．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．－4[∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1

]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.又函数f(x)图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且图象的开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]15．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边

分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．233[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsin

BsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝12.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝b2＋c2－a22bc，所以bc＝833，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.]16．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sinx＋1sinx有

如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称．②f(x)的图象关于原点对称．③f(x)的图象关于直线x＝π2对称．④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．②③[由题意知f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又f(－x)

＝sin(－x)＋1sin(－x)＝－sinx＋1sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为fπ2－x＝sinπ2－x＋1sinπ2－x＝cosx＋1cosx，fπ

2＋x＝sinπ2＋x＋1sinπ2＋x＝cosx＋1cosx，所以fπ2＋x＝fπ2－x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，③为真命题．当sinx＜0时，f(x)＜0，所以④为假命题．]1．(2020·西安模拟)已知sinα＝13，

α∈π2，π.则下列结论错误的是()A．cosα＝－223B．tanα＝－24C．cosα＋π4＝－4＋26D．cosα－π4＝4－26D[∵已知sinα＝13，α∈π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－223，故A正确；∴tanα＝sinαco

sα＝1－22＝－24，故B正确；cosα＋π4＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝－46－26＝－4＋26，故C正确；cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝－46＋26＝2－46，故D错误，故选D．]2．(

2020·毕节市模拟)若sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝3，则sinθcosθ＋cos2θ的值是()A．1B．－15C．15D．－1D[∵sinθ－cosθsinθ＋cosθ＝tanθ－1tanθ＋1＝3，∴tanθ＝－2，∴sinθcosθ＋cos2θ＝sinθc

osθ＋cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝tanθ＋1－tan2θtan2θ＋1＝－2＋1－44＋1＝－1.故选D．]3．(2020·江宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝120°，c＝2b，则cosC＝()A．62B．32C．

277D．1414C[若A＝120°，c＝2b，由余弦定理可得，cos120°＝－12＝b2＋4b2－a24b2，∴a＝7b，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝7b2＋b2－4b227b2＝277.故选C．]4．(2020·洛阳模拟)要得到函数y

＝sin2x＋π4的图象，只需将函数y＝cosπ2－2x的图象()A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π8个单位D．向右平栘π8个单位C[要得到函数y＝sin2x＋π4的图象，只需将函数y＝cosπ2－2x＝sin2x

的图象向左平移π8个单位即可，故选C．]5．(2020·南京师大附中模拟)设a，b是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(a,1)，B(－2，b)，且sinθ＝13，则ab的值为

()A．－4B．－2C．4D．±4A[由三角函数的定义，知13＝1a2＋1＝b4＋b2，且a＜0，b＞0，解得b＝22，a＝－22，所以ab＝－4，故选A．]6．(2020·五华区校级模拟)函数f(x)＝sin2x－c

os2x＋23sinxcosx的图象的一条对称轴为()A．x＝π6B．x＝π4C．x＝π3D．x＝π2C[因为f(x)＝sin2x－cos2x＋23sinxcosx＝－cos2x＋3sin2x＝2sin2x－π6.又f

π3＝2sinπ2＝2取得函数的最大值，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝π3，故选C．]7．(2020·南安模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2co

sx2－π4＋4B．y＝2cosx2＋π4＋4C．y＝4cosx2－π4＋2D．y＝4cosx2＋π4＋2A[由图象可知A＝2，B＝4，且T4＝π2－－π2＝π，∴T＝

2πω＝4π，∴ω＝12.所以f(x)＝2cos12x＋φ＋4，由图可知π2，6是五点作图的第一个点，所以12×π2＋φ＝0，所以φ＝－π4，所以f(x)＝2cos12x－π4＋4.故A正确．]8．(

2020·德阳模拟)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则sinθ＝()A．－255B．255C．－55D．55D[函数f(x)＝sinx－2cosx＝555sinx－255·cosx＝5sin(x－φ)，

其中cosφ＝55，sinφ＝255.当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，取得最大值．∴θ＝φ＋2kπ＋π2(k∈Z)时，取得最大值，则sinθ＝sinφ＋2kπ＋π2＝cosφ＝55，故选D．]9．(2020·

吕梁市一模)已知函数f(x)＝1－2sin2(ωx)(ω＞0)在区间π6，π2内单调递减，则ω取最大值时函数y＝f(x)的周期为()A．πB．2πC．3π2D．3πA[f(x)＝1－2si

n2(ωx)＝cos2ωx(ω＞0)，函数周期为T＝2π2ω＝πω，由f(x)在区间π6，π2内单调递减可得T2≥π2，即π2ω≥π2⇒ω≤1，ω最大为1，则其周期为2π2＝π.故选A．]10．(2020·韶关模拟)已知2cos(α－β)cosβ－cos

(α－2β)＝24，则1－tan2α1＋tan2α等于()A．－34B．－43C．34D．43A[∵2cos(α－β)cosβ－cos(α－2β)＝2cos(α－β)cosβ－cos(α－β－β)＝2cos(

α－β)cosβ－cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝cos(α－β＋β)＝cosα，∴cosα＝24，sin2α＝1－cos2α＝78，∴tan2α＝7，从而1－tan2α1＋tan2

α＝－34.]11．(2020·长春二模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2b－acosC＝0，sinA＝3sin(A＋C)，则bca2＝()A．74B．149C．23D．69D[∵2b－acosC＝0，由余弦定理可得2b＝a×a2＋b2－c22ab

，整理可得，3b2＋c2＝a2，①∵sinA＝3sin(A＋C)＝3sinB，由正弦定理可得，a＝3b，②①②联立可得，c＝6b，则bca2＝6b×b9b2＝69.故选D．]12．(2020·潍坊模拟)给出下列命题：①存

在实数α使sinα＋cosα＝53.②直线x＝2019π2是函数y＝cosx图象的一条对称轴．③y＝cos(sinx)(x∈R)的值域是[cos1,1]．④若α，β都是第一象限角，且sinα＞sinβ，则tanα＞tanβ.其中正确命题的题号为()A．①②B．②③C．③④D．①

④C[①∵sinα＋cosα＝2sinα＋π4≤2＜53，∴①错误；②2019π2，0是函数y＝cosx图象的一个对称中心，∴②错误；③根据余弦函数的性质可得y＝cos(sinx)的最大值为ymax＝cos0＝

1，ymin＝cossinπ2，其值域是[cos1,1]，③正确；④若α，β都是第一象限角，且sinα＞sinβ，利用三角函数线有tanα＞tanβ，④正确．故选C．]13．(2020·毕阳市模拟)已知函数f(x)＝sin2π4

x－3sinπ4x·cosπ4x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)的值等于()A．2018B．1009C．1010D．2020C[∵f(x)＝sin2π4x－3sinπ4xcosπ4x＝12－12cosπ2x－32sinπ2x＝12

－sinπ2x＋π6.∴函数f(x)的周期T＝2ππ2＝4，∵f(1)＝12－32，f(2)＝12＋12，f(3)＝12＋32，f(4)＝12－12，∴f(4k＋1)＝12－32，f(4k＋2)＝12＋12，f(4k＋3)＝12＋32，f(4k＋4)＝12－12，∴f(4k

＋1)＋f(4k＋2)＋f(4k＋3)＋f(4k＋4)＝2，∵2020＝505×4，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＝505×2＝1010.故选C．]14．(2020·上饶模拟)在△ABC中，角A，B

，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcosC＋ccosB＝2acosA，S＝14(b2＋a2－c2)，则角B等于()A．π2B．5π12C．7π12D．π3B[因为bcosC＋ccosB＝2acosA，由正弦定理可得，sinBcosC＋sinCcosB

＝2sinAcosA，即sin(B＋C)＝2sinAcosA＝sinA，因为sinA≠0，所以cosA＝12，故A＝π3，∵S＝14(b2＋a2－c2)，∴12absinC＝14×2ab×cosC，∴sinC＝cosC，故C＝π4，则B＝5π12.

故选B．]15．(2020·毕阳市模拟)已知A(xA，yA)是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转2π3到OB交圆于点B(xB，yB)，则2yA＋yB的最大值为()A．3B．2C．3D．5

C[设A(cosθ，sinθ)，则Bcosθ＋2π3，sinθ＋2π3，∴2yA＋yB＝2sinθ＋sinθ＋2π3＝2sinθ＋sinθcos2π3＋cosθsin2π3＝32sinθ＋32cosθ＝332s

inθ＋12cosθ＝3sinθ＋π6，∴2yA＋yB的最大值为3，故选C．]16.(2020·平顶山一模)《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm，

横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示)．有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x应为()A．77B．80C．100D．772D[如

图所示，设∠BCD＝α，则tanα＝237－(175－15)x＝77x.tan(θ＋α)＝tanθ＋tanα1－tanθtanα＝77＋77x＝154x，解得tanθ＝77x＋2×772x≤772x·2×772x＝24，当且仅当x＝2×772x，即x＝7

72cm时取等号．故选D．]17．(2020·玉林一模)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1(ω＞0，|φ|＜π)的一个零点是x＝π4，当x＝π3时函数f(x)取最大值，则当ω取最小值时，函数f(x)在－π12，

π12上的最大值为()A．－2B．32C．－32D．0D[∵fπ4＝2cosωπ4＋φ－1＝0，∴cosωπ4＋φ＝12，∴ωπ4＋φ＝2kπ±π3，k∈Z，①∵fπ3＝2cosωπ3＋φ－1＝1，

∴cosωπ3＋φ＝1，∴ωπ3＋φ＝2mπ，m∈Z，②由①②可得φ＝8kπ－6mπ±4π3，由于|φ|＜π，可取k＝1，m＝1，解得φ＝2π310π3舍去，则ω＝6m－2，m∈Z，可得正数ω的最小值为4，即有

f(x)＝2cos4x＋2π3－1，由x∈－π12，π12，可得4x＋2π3∈π3，π，可得f(x)在－π12，π12上递减，则f(x)的最大值为f－π12＝2cosπ3－1＝2×12－1＝0，故选D．]1

8．(2020·常州模拟)在△ABC中，∠A＝π3，点D满足AD→＝23AC→，且对任意x∈R，|xAC→＋AB→|≥|AD→－AB→|恒成立，则cos∠ABC＝________.51326[根据题意，在△ABC中，点D满足AD→＝23AC→，设AD＝2t，则A

C＝3t，又由AD→－AB→＝BD→，若对任意x∈R，|xAC→＋AB→|≥|AD→－AB→|恒成立，必有BD⊥AC，即∠ADB＝π2；又由∠A＝π3，则AB＝2AD＝4t，BD＝3AD＝23t，则BC＝BD2＋DC2＝13t，△ABC中，AB＝4t，AC＝3t，BC

＝13t，则cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22×AB×BC＝51326.]19．(2020·西安模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f(x0)＝f(x0＋1)＝－12，且f(x)在(x0

，x0＋1)上有最小值，没有最大值，给出下述四个结论：①fx0＋12＝－1；②若x0＝0，则f(x)＝sin2πx－π6；③f(x)的最小正周期为3；④f(x)在(0,2019)上的零点个数最少为1346个．其中所有正确结论的编号有________．①③[∵f(x)满足f

(x0)＝f(x0＋1)＝－12，∴f(x)满足在(x0，x0＋1)的中点处取得最小值，此时fx0＋12＝－1，①正确，若x0＝0，则f(x0)＝f(x0＋1)＝－12，即sinφ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f(x)＝sin2πx－π6，满足条

件，但f13＝1，为(0,1)上的最大值，不满足条件．故②错误，∵f(x0)＝f(x0＋1)＝－12，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最小值，没有最大值，不妨令ωx0＋φ＝2kπ－5π6，k∈Z，ω(x0＋1)＋φ＝2kπ－π6，k∈Z，则两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T＝

2πω＝3，故③正确，区间(0,2019)的长度恰好为673个周期，当f(0)＝0时，即φ＝kπ时，f(x)在(0,2019)上零点个数至少为673×2－1＝1345，故④错误，故正确的是①③.]获得更多资源请

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