【文档说明】【精准解析】四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第二次月考数学（文）试题.doc，共(20)页，1.575 MB，由管理员店铺上传

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2020年春四川省宜宾市第四中学高三第二学月考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合|3Axx=，0,2,4,6,8B=，则()RAB=ð（）A.{}0B.

0,2C.0,2,4D.4,6,8【答案】B【解析】【分析】求出集合A的补集，再进行交集运算.【详解】|3RAxx=ð()0,2RAB=ð故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集和补集运算，属于基础题.2.已知i为虚数单位，复数z满足：(1)1izi+

=−，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)−C.(1,0)D.(1,0)−【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算法则求出z，结合共轭复数的概念，即可求出结论.【详解】由()11zii+=−，得21(1)1(1)(1)iiziii

i−−===−++−，∴复数z的共轭复数为i，在复平面内对应的点为(0,1).故选：A.【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.3.设等差数列{}na的前n项和为nS，已知3131352aS+=，则9S=（）A.9B.18C.27D.36【答案】B【

解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式和等差中项的运用得374aa+=，可得9S的值.【详解】因为()1137137131321322aaaSa+===所以3133713131352aSaa+=+=，374aa+=，37522aaa+

==，()195959929921822aaaSa+=====，故选：B【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式和等差中项的运用，灵活选择前n项和公式是解决此类问题的关键，属于基础题.4.若点(1,2)P在双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线上，

则该双曲线的离心率为（）A.32B.52C.3D.5【答案】D【解析】【分析】由渐近线上点的坐标得出ba，然后结合222cab=+可求得离心率．【详解】由题意2ba=，∴2215cbeaa==+=故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查渐近线的斜率与离心率的关系，属于基

础题．5.已知,mn是两条不同的直线,是两个不同的平面,则//mn的充分条件是（）A.,mn与平面所成角相等B.//,//mnC.//,,mmn=D.//,mn=【答案】C【解析】【分析】根

据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A，若,mn与平面所成角相等，则,mn可能相交或者异面，故A错；对于B，若//,//mn，则,mn可能相交或者异面，故B错；对于C，若//,,mmn

=，由线面平行的性质定理可得//mn，故C正确；对于D，若//,mn=，则,mn可能异面，故D错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题6.已知函数3()−=fxx，若()0.60.

6af=，()0.40.6bf=()0.60.4cf=，则,,abc的太小关系是（）A.acbB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】由指数函数和幂函数的性质得出0.60.60.40.4,0.6,0.6的大小，再由函数()fx的单调性得出结论．【

详解】3()−=fxx在(0,)+上是减函数，0.60.60.40.40.60.6，所以bac，故选：B.【点睛】本题考查比较函数值大小，考查函数的单调性．在比较幂的大小时，要注意同底数的幂用指数函数的单调性确定大小，同指数的

幂用幂函数的单调性确定大小．7.下列函数中，同时满足：①图像关于y轴对称；②()()1212,0,xxxx+，()()21210fxfxxx−−的是（）A.()1fxx−=B.()2logfxx=C.()cosfxx=D.()12xfx+=

【答案】B【解析】【分析】根据题意得到()fx为偶函数，且在区间(0,)+为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可.【详解】由题知：①图像关于y轴对称，则()fx为偶函数，②()()1212,0,xxxx+，()()21210fxfxxx−−，()fx在(0,)+为

增函数.A选项：()1fxx−=，()fx为奇函数，故A错误.B选项：()2logfxx=，()fx为偶函数，且在区间(0,)+为增函数，故B正确.C选项：()cosfxx=，()fx为偶函数，且在区间(0,)+有增

有减，故C错误.D选项：()12xfx+=，()fx为非奇非偶函数，故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.8.我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《

数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S

，即222222142cabSac+−=−.若ABC的面积112S=，3a=，2b=，则c等于（）A.5B.9C.5或3D.5或9【答案】C【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得．【详解】

由题意得22213411[3()]422cc+−−=，2221111[3()]424cc−−=，整理得4214450cc−+=，29c=或5，即5c=或3．故选：C．【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把

已知,ab代入面积公式解方程即可得．9.与圆22:(2)(2)1Cxy++−=关于直线10xy−+=对称的圆的方程为（）A.22(1)(1)1xy−++=B.22(1)(1)1xy+++=C.22(1)(1)1xy−+−=D.

22(1)(1)1xy++−=【答案】A【解析】【分析】设所求圆的圆心坐标为(,)ab，列出方程组，求得圆心(2,2)C−关于10xy−+=的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆22:(2)(2)1

Cxy++−=的圆心坐标(2,2)C−，设所求圆的圆心坐标为(,)ab，则圆心(2,2)C−关于10xy−+=的对称点，满足2112221022baab−=−+−+−+=，解得1,1ab==

−，即所求圆的圆心坐标为(1,1)C−，且半径与圆C相等，所以所求圆的方程为22(1)(1)1xy−++=，故选A.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.1

0.已知是第二象限角，且3sin()5+=−，则tan2的值为（）A.45B.237−C.247−D.249−【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式得sin，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin5+=−

，得3sin5=.因为是第二象限角，所以4cos5=−.34sintancos==−.232tan242tan291tan7116−===−−−.故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系

及正切的二倍角公式，属于基础题.11.定义在R上的奇函数()fx满足：(1)(1)fxfx+=−，且当10x−时，()21xfx=−，则2(log20)f=（）A.14B.14−C.15−D.15

【答案】D【解析】由()()11fxfx+=−可知函数()fx是周期为2的周期函数，所以()()()()()()22log52222241log202log5log5log522log521155fffff−=+==−=−−=−−=

−−=，故选D.12.已知函数()xefxaxx=−，(0,)x+，当21xx时，不等式()()1221fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围为（）A.(,]e−B.(,)e−C.,2e−D.,2e−

【答案】D【解析】【分析】由()()1221fxfxxx变形可得()()1122xfxxfx,可知函数()()gxxfx=在(0,)x+为增函数,由()20xgxeax=−恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x+()

()1122xfxxfx,即函数2()()xgxxfxeax==−在(0,)x+时是单调增函数.则()20xgxeax=−恒成立.2xeax.令()xemxx=,则2(1)()xxemxx−=(0,1)x时,()0,()mxmx单调递减,(1,)

x+时()0,()mxmx单调递增.min2()(1),2eamxmea==故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分13.计算102124lglg254−++−=______.【答案】12−【解析】【分析】根据指数幂及对数的运算性质，计算可得.【详解】解：1120121124lglg251lg4lg254

4−−++−=++−11lg4lg252=+−−()3lg4252=−23lg102=−322=−12=−故答案为：12−【点睛】本题考查指数幂的运算及对数的运算，属于基础题.14.设函数()()lg1fxx=−，则函数()()ffx的定义域为___________.【答案】（-9

，1）【解析】【分析】先求出(())ffx,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.【详解】解:因为()()lg1fxx=−,所以()()lg(1())lg[1lg(1)]ffxfxx=−=−−.由1lg(1)010xx−−

−,得1101xx−,所以91x−,所以函数()()ffx的定义域为(9,1)−.故答案为:(9,1)−.【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15.如图，点A是椭圆22221(0)xyabab+=右顶点，

过椭圆中心的直线交椭圆于BC，两点，满足2BCAB=，ABBC⊥．则该椭圆的离心率为________．【答案】63【解析】【分析】确定△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率.【详解】因为

BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB，又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A（a，0），C（2a，﹣2a），B（﹣2a，2a），AB=102a，所以222aa+222ab−

=1，则a2=3b2，所以c2=2b2，e=63.故答案为63【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系

式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.在三棱锥ABCD−中，已知22=6BCCDBDABAD====，且平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥ABCD−外接球的表面积为_

_____.【答案】48π【解析】【分析】取BD的中点F，设等边三角形BCD的中心为O，连接AFCFOA，，.根据等边三角形的性质可求得2233BOCODOCF====，3OF=，由等腰直角三角形的性质，得AFBD⊥，根据面面垂直的性质得AF⊥平面BCD，AFOF⊥

，由勾股定理求得23=OA，可得O为三棱锥ABCD−外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【详解】在等边三角形BCD中，取BD的中点F，设等边三角形BCD的中心为O，连接AFCFOA，，.由6BC=，得2233BOCODOCF

====，3OF=，由已知可得ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，AFBD⊥,又由已知可得平面ABD⊥平面BCD，AF⊥平面BCD，AFOF⊥，2223OAOFAF=+=，所以23OAOBOCOD====，O为三棱锥ABCD−外接球的球心，外接球半径23ROC==，三

棱锥ABCD−外接球的表面积为24π(23)48π=.故答案为：48π【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第

17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.设数列na满足1123nnaa+=+,14a=(1)求证:数列3na−是等比数列;(2)

求数列na的前n项和nT.【答案】(1)证明见解析;(2)313123nnTn=+−.【解析】【分析】（1）计算得到13133nnaa+−=−，得到证明.（2）计算1133nna−=+

，利用分组求和法计算得到答案.【详解】(1)1123nnaa+=+,14a=，故11123133333313nnnnnnaaaaaa+−===−−−+−−故3na−是首项为1,公比为13的等比数列.(2)1133nna−−

=故1133nna−=+故0111111133(3133313)nnnTnn−−=++++=+−313123nn=+−【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法

，公式的综合应用.18.某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学

生称为“手机迷”.（I）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由.（II）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据

此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？非手机迷手机迷合计男女合计附：随机变量22()()()()()nadbckabcdacbd−=++++（其中nabcd=+++为样本总量）.参考数据20()Pkx0.150.100.050.0250x2.

0722.7063.8415.024【答案】（Ⅰ）高一年级，理由见解析；（Ⅱ）列联表见解析，90%【解析】【分析】（Ⅰ）根据频数分布表和频率分布直方图，分别计算两个年级学生是“手机迷”的概率，即可比较，作出判断.（Ⅱ）根据题意，求出手机迷人数和非手机迷人数，完善列

联表，即可由独立性检验的公式求得2K，进而作出判断即可.【详解】（Ⅰ）由频数分布表可知，高一学生是“手机迷”的概率为12240.26100P+==由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为2P=（0.0025+0.010

）×20=0.25因为P1P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人），非手机迷有100﹣25=75（人）.从而2×2列联表如下：非手机迷手机迷合计男

301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++2100(30104515)1003.0307525455533−

==结合参考数据，可知3.0302.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关.【点睛】本题考查了频率分布表与频率分布直方图的简单应用，独立性检验中卡方计算与简单应用，属于基础题.19.在如图如示的多面体中，平面AEFD⊥平面BEFC，四

边形AEFD是边长为2的正方形，EF∥BC,且122BECFBC===.（1）若,MN分别是,AECF中点，求证：MN∥平面ABCD（2）求此多面体ABCDEF的体积【答案】（1）见解析（2）833V=【解析】【详解】试题分析：（1）在平面C

DF中，作NHCF⊥交DC于H，连接AH，根据条件可得四边形AMNH是平行四边形，于是MN∥AH，由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）结合图形将多面体ABCDEF的体积分为DBCFBAEFDVV−−和两部分求

解，由题意分别求得两个椎体的高即可．试题解析：（1）证明：在平面CDF中，作NHCF⊥交DC于H，连接AH．,MN是,AECF中点，且AEFD是正方形，NH∥DF,12NHDF=，又AM∥DF,12AMDF=，,NHAMNH=∥AM，四边形AMNH是平行四边形，MN

∥AH，又AH平面ABCD，MN平面ABCD，MN∥平面ABCD．（2）解：如图，连BD,BF,过F作FG⊥EF，交BC于点G．四边形BEFC是等腰梯形，()11,32CGBCEFFG=−==．平面AEFD⊥平面BEFC，平面AEFD平面BEFCEF

=，FG⊥EF，DF⊥EF，GF⊥平面AEFD,DF⊥平面BEFC．111434323323DBCFBCFVSDF−===，1143223333BAEFDAEFDVSHF−===正方形，故多面体ABCDEF的体积833DBCFBAEFDVVV−−=+=．20

.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短轴长为2，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点(3,0)−的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，求OMON的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）7[4,)3−．【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆C的短轴

长可得1b=，结合离心率求得a的值即可确定椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为()3ykx=+，()11,Mxy，()22,Nxy，与椭圆方程联立可得()222214243640kxkxk+++−=，结合韦达定理和平面向量数量积

的坐标运算公式可得2257414kOMONk=−++，，结合k的范围确定OMON的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）因为椭圆C的短轴长为2，所以22b=，所以1b=，又椭圆C的离心率为32，所以222132cabaaaa−−===，解得2a=，所以椭圆C的标准方程为221

4xy+=．（Ⅱ）由题可设直线l的方程为()3ykx=+，()11,Mxy，()22,Nxy，将()3ykx=+代入2214xy+=，消去y可得()222214243640kxkxk+++−=，所以()()()222224

4143640kkk=−+−，即215k，且21222414kxxk+=−+，212236414kxxk−=+，所以()()()()22212121212121233139OMONxxyyxxkxkxkxxkxxk=+=+++=++++()22222222

2223642441457139414141414kkkkkkkkkkk−−=++−+==−+++++，因为2105k，所以2257190143kk+，所以2257744143kk−−++，所以OMON的取值范围是74,3−．【点睛】解决直线与椭圆

的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知函数()ln2(0)fxaxxa=+.（1）求函数()fx的最值；（2）函数()f

x图象在点(1,(1))f处的切线斜率为()1,()2fxgxx=−有两个零点12,xx，求证：124xx+.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【详解】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值；当时，在

上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值.（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设.因为，所以，变形为.欲证，只需证，即证.令，则只需证对任意的都成立.令，则所以在上单增，即对任意的都成立.所以.点睛：利用导数证明不等式

常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hxfxgx=−.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共

10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程13cos,23sinxtyt=+=−+（t为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以

原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()2sin4mmR−=.（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）若圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.【答案】（1）圆的普通方程为()()22129xy−++=；

0xym−−=；（2）2m=-32±.【解析】试题分析：(Ⅰ)消去参数可得圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程分别为()()22129xy−++=,0xym−+=；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得322m=−

试题解析：（Ⅰ）消去参数t，得到圆C的普通方程为()()22129xy−++=.由π2sin4m−=，得sincos0m−−=.所以直线l的直角坐标方程为0xym−+=.（Ⅱ）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即()1222m−−+=，解得322m=−.选修4-5：不

等式选讲23.已知函数4(2)1fxxx=−++.（1）解不等式()9fx；（2）若不等式()2fxxa+的解集为2,|30ABxxx=−，且满足BA，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）[2,4]−；（Ⅱ）5a.【解析】【分析】（Ⅰ）通过讨论x

的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．【详解】（Ⅰ）()9fx可化为2419xx−++，即>2,339xx−或12,59xx−−或<1,3

39,xx−−+解得2<4x或12x−，或2<1x−−；不等式的解集为2,4−．（Ⅱ）易知()0,3B=；所以BA，又241<2xxxa−+++在()0,3x恒成立；24<1xxa−+−在()0,3x恒成立；1<24<1xaxxa−−+−+−在()0,3

x恒成立；()()>30,305>350,35axxaaaxxa−−+在恒成立在恒成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．