【文档说明】福建省2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，3.058 MB，由小赞的店铺上传

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2022年秋季高二年期中质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线320xy+−=的倾斜角为()A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【详解】∵直线3x+y

﹣2=0的斜率k3=−，设倾斜角为θ，则tanθ=3−∴直线3x+y﹣2=0倾斜角为2π3．故选C．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题2.已知直线1l：210mxy++=，2l：()110xmy+++=，若12ll∥，则=m（）A.0B.1

C.2D.2−【答案】D【解析】【分析】由题意，直线平行，根据公式求参数，解方程并验根，可得答案.【详解】由题意，21111mm=+，则()12mm+=，220mm+−=，()()210mm+−=，解得：2m

=−或1，当=1m时，121111==+，故不符合题意，当2m=−时，22121211−==−−+，符合题意.故选：D.3.如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与i1BD的交点，若ABa=

，ADb=，1AAc=，则BM=（）A.1122abc−+B.1122abc++C.1122abc−−+D.1122−++abc【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理，用1,,ABADAA表示出BM即可.【详解】由题意，因为M为11AC与11BD的交点，所以M也为

11AC与11BD的中点，因此()111111111222=−=++=−++BMBMBBBABCcABADc1212=−++abc.故选：D.4.若点()1,1P在圆220xyxyk++−+=的外部，则实数k的取值范围是（）A.()2−+，B.12,2

−−C.12,2−D.()2,2−【答案】C【解析】【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.【详解】解：因为点()1,1P在圆220xyxyk++−+=的外部，所以111101140kk++−++−，解得122k−.

故选：C．5.在长方体1111ABCDABCD−中，1ABBC==，13AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.22【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据

向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB=−=,因为111111135cos,525ADDBADDBA

DDB−+===，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第

三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗

户的最短的竖直窗棂的长度为（）A32B.3C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为2214xy+=，再结合题意计算即可得答案.【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为4

米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为2214xy+=，.因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当1x=时，32y=，所以最短窗棂的长度为3．故选：B7.设点P为直线l：40xy+−=上的动点，点(2,0)A−

，()2,0B，则||||PAPB+的最小值为A.210B.26C.25D.10【答案】A【解析】【分析】设点()2,0B关于直线l的对称点为()1,Bab，利用对称性列方程组求得()14,2B，利用对称性可得1||||||||PAPBPAPB+=+，结合图像即可得当1,,APB三点共线时

，||||PAPB+最大，问题得解．【详解】依据题意作出图像如下：设点()2,0B关于直线l的对称点为()1,Bab，则它们的中点坐标为：2,22ab+，且1PBPB=由对称性可得：()011224022baab−−=−−++−=，解得：4a=，2

b=所以()14,2B因为1||||||||PAPBPAPB+=+，所以当1,,APB三点共线时，||||PAPB+最大此时最大值为()()2214220210AB=++−=故选A【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，还考查了转化思想及计算能力，属于中档

题．8.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若12MNFF=，222NFMF=，则C的离心率为（）A.24B.56C.53D.5【答案】C【解析】【分析】由题意判断四边形12

MFNF是矩形，设2MFm=，结合椭圆定义表示出,ma之间的关系，利用勾股定理列式，即可求得答案.【详解】依题意作图，由于12MNFF=，点M，N关于原点O对称,并且线段12,MNFF互相平分，∴四边形12MFNF是矩形，其中12π2F

MF=,由于222NFMF=，设2MFm=，则22NFm=，即12MFm=,又122,32MFMFama+==，根据勾股定理，2222221212,||||||44MFMFFmFmc+=+=，即2222555()4,(),393ccacaa==

=故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于直线:10lxy+−=，下列说法正确有（）A.直线l过点()0,1B.直线l与直线yx=垂直C.直线l的一个方向向量为()1,1

D.直线l的倾斜角为45°【答案】AB【解析】【分析】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂直两直线的性质逐一判断即可.【详解】解析：直线:10lxy+−=化成斜截式为1yx=−+，所以当0x=时，1y=，A对

；直线l的斜率为﹣1，倾斜角为135°，D错；直线yx=的斜率为1，()111−=−，所以两直线垂直，B对；直线l的一个方向向量为()1,1-，C错．故选：AB．10.下列方程能够表示圆的是（）A.221xy+=B.222xy−=C.2221xyx++

=D.2210xyxy++−=【答案】AC【解析】【分析】依次判断各个选项中方程所表示的曲线即可得到结果.【详解】对于A，221xy+=表示圆心为()0,0，半径为1的圆，A正确；对于B，222xy−=不符合圆的方程，B错误；对于C，由2221xyx++=得：()2212xy++=，则其表示圆

心为()1,0−，半径为2的圆，C正确；对于D，2210xyxy++−=含xy项，不符合圆的方程，D错误.故选：AC.11.椭圆22:14xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，以下说法正确的是（）的的A.椭圆C的离心率为12B.椭圆C上存在点

P，使得120PFPF=C.过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点，则1ABF的周长为8D.若P为椭圆22:14xCy+=上一点，Q为圆221xy+=上一点，则点P，Q的最大距离为2【答案】BC【解析】【分析】求得椭圆C的离心率判断选项A；求得满足条

件的点P判断选项B；求得1ABF的周长判断选项C；求得点P，Q的最大距离判断选项D.【详解】对于选项A，因为24a=，21b=，所以2413=−=c，即3c=，所以椭圆C离心率32cea==，故A错误；对于选项B，设点(),Pxy为椭圆22:14xCy+=上任意一

点，则点P的坐标满足2214xy+=，且22x−，又1(3,0)F−，2(3,0)F，所以1(3,)PFxy=−−−，2(3,)PFxy=−−，因此()()22221233313244=−−−+=+−−=−xxPFPFxxyx，令2123204=−=xPFPF，可得26

2,23x=−，故B正确；对于选项C，由椭圆的定义可得121224+=+==AFAFBFBFa，因此1ABF的周长为111122||48AFBFABAFBFAFBFa++=+++==，故C正确；对于选项D，设点(,)Pxy为椭圆22:14xCy+

=上任意一点，由题意可得点(,)Pxy到圆221xy+=的圆心的距离22222||4443POxyyyy=+=−+=−，因为的11y−，所以||2PO则maxmax||||14013PQPO=+=−+=，故D错误．故选：BC．12.在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0

，7)，动点P满足PA=2PB，则以下结论正确的是（）A.点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8B.△PAB面积最大时，PA=22C.∠PAB最大时，PA=22D.P到直线AC距离最小值为425【答案】ACD【解析】【分析】根据2PAPB=可求得点P轨

迹方程为()2238xy−+=，A正确；根据直线AB过圆心可知点P到直线AB的距离最大值为22，由此可确定面积最大时()3,22P，由此可确定B不正确；当PAB最大时，PA为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；求得AC方程后，利用圆上点到直线距离最值的求

解方法可确定D正确.【详解】解：对于A：设(),Pxy，由2PAPB=得：222PAPB=，即()()2222121xyxy++=−+，化简可得：()2238xy−+=，即点P轨迹方程为()2238xy−+=，故A正确；

对于B：直线AB过圆()2238xy−+=的圆心，点P到直线AB的距离的最大值为圆()2238xy−+=的半径r，即为22，2AB=，PAB面积最大为1222222=，此时()3,22P，()()22312226PA=++=，故B不正确；对于C：当PAB最大时

，则PA为圆()2238xy−+=的切线，()231822PA=+−=，故C正确；对于D：直线AC的方程为770xy−+=，则圆心()3,0到直线AC的距离为2737142571+=+，点P到直线AC距离最小值为142422255

−=，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线1:3230lxy+−=与26410lxy+−=：平行，则它们的距离是_____【答案】51326【解析】【分析】根据两个平行

线之间的距离计算公式，计算得答案.【详解】直线1:3230lxy+−=可化为直线1:6460lxy+−=，又26410lxy+−=：，且12//ll，所以它们的距离()122222615513265264CCdAB−−−−===

=++.故答案为：51326.14.已知点(,)Mab在直线512260xy−+=上，则22ab+的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】将22ab+的最小值转化为原点到直线512260xy−+=

的距离来求解即可.【详解】22ab+可以理解为点(0,0)到点(,)Mab的距离，又∵点(,)Mab在直线512260xy−+=上，∴22ab+的最小值等于点(0,0)到直线512260xy−+=的距离，且22|5012026|2512−+==+d.故答案为：2.1

5.如图所示，若正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且1PD=，,EF分别为,ABBC的中点，则点A到平面PEF的距离为________.【答案】1717【解析】【分析】设点A到平面PEF距离为d，转化为三棱锥DPEF−的高，结合APEFPAEFVV−−=，利用锥体的体积公式，列出方程，

求得d的值，即可求解.【详解】如图所示，连接,DEDF，因为正方形ABCD的边长为1，且E、F分别为AB、BC的中点，可得1111122228AEFSAEh===,又因为PD⊥平面ABCD，且1PD=，所以11

11133824PAEFDEFVSPA−===，设点A到平面PEF的距离为d，即为三棱锥DPEF−的高，因为PD⊥平面ABCD，且,DEDF平面ABCD，所以,PDPDEDDF⊥⊥，由正方形ABCD的边长为1，且1PD=，在直角ADEV中，可得2225

4DEADAE=+=，则2232PEPDDE=+=,在直角CDF中，可得22254DFCDCF=+=，则2232PFPDDF=+=在直角BEF△中，可得22212EFBEBF=+=，即22EF=，取EF的中点M，因为PEPF=，

所以PMEF⊥，且2234()24EFPMPE=−=，所以112341722248PEFSEFPM===，又由APEFPAEFVV−−=，可得11324PEFSd=，即11713824d

=，解得1717d=，即点A到平面PEF的距离为1717.的故答案为：1717.16.如图，椭圆的中心在坐标原点，1A，2A，1B，2B分别为椭圆的左、右、下、上顶点，2F为其右焦点，直线12BF与22AB交于点P，若12BPA为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．【

答案】15,12−+【解析】【分析】根据12BPA为钝角转化为22210BAFB，从而得到关于a，c的不等式，即可求解.【详解】设椭圆的标准方程为()222210xyabab+=，()2

,0Fc．由题意，得()2,0Aa，()10,Bb−，()20,Bb，则()22,BAab=−，()21,=−−FBcb．因为12BPA为向量22BA与21FB的夹角，且12BPA为钝角，所以22210BAFB，所以20b

ac−．又222bac=−，所以220aacc−−，即210ee−−，解得152e−−或152e−+，因为()0,1e，所以1512e−+，故答案为：15,12−+．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.17.ABC的三个顶点(1,6)A、(1,2)B−−、(6,3)C，D为BC中点，求：（1）BC边上的高所在直线的方程；（2）中线AD所在直线的方程．【答案】（1）75370xy+−=（2）1

13290xy+−=【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.【小问1详解】解：∵(

1,2)B−−、(6,3)C，BC边斜率k()()325617−−==−−，故BC边上的高线的斜率k＝75−，故BC边上的高线所在直线的方程为()7615−=−−yx，即75370xy+−=.【小问2详解】解：BC的中点51(,)22D，中线AD所在直线的斜率为161125312−==−−k

，故BC边上的中线AD所在直线的方程为()11613−=−−yx，即113290xy+−=.18.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点1,0,()(,2)1AB−.（1）求圆C的标准方程；（2）过点(0,2)P的直线l与圆C相交于,MN两点，且||23MN=，求直线l的方程.【答案】（1）22(1

)4xy−+=（2）0x=或3480xy+−=【解析】【分析】（1）根据题意，设AB的中点为D，求出D的坐标，求出直线CD的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆C的标准方程为222()xayr−+=，由圆心的位置分

析可得a的值，进而计算可得r的值，据此分析可得答案；（2）设F为MN的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线l的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设AB的中点为D，则(0,1)D，由圆的性质得

CDAB⊥，所以1CDABKK=−，得1CDK=−，所以线段AB的垂直平分线方程是1yx=−+，设圆C的标准方程为222()xayr−+=，其中(,0)Ca，半径为()0rr，由圆的性质，圆心(,0)Ca在直线CD上，化简得1a=，所以圆心()1,0C，||2rCA==，所以圆C的标准方程

为22(1)4xy−+=；（2）由（1）设F为MN中点，则CFl⊥，得||||3FMFN==，圆心C到直线l的距离2||4(3)1dCF==−=，当直线l的斜率不存在时，l的方程0x=，此时||1CF=，符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方

程2ykx=+，即20kxy−+=，由题意得2|12|1kdk+=+，解得34k=−；故直线l的方程为324yx=−+，即3480xy+−=；综上直线l的方程为0x=或3480xy+−=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础

题.19.如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．（1）求证：MN⊥平面PCD；（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）取PD的中点E，连接AE，

NE，证明⊥AE平面PCD,原题即得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出PD与平面PMC所成角的正弦值．【小问1详解】取PD的中点E，连接AE，NE，∵N，E分别为PC，PD的中点，∴//NECD且12NECD=，又M为AB的中点，底面ABCD为正方

形，∴//AMCD且12AMCD=，∴//NEAM且NEAM=，故四边形AMNE为平行四边形，∴//MNAE.,,PAADPEDEAEPD==⊥.因为PA⊥平面ABCD，CD在面ABCD内，所以PACD⊥.又CDAD⊥，,,PAADAPAAD

=平面PAD,所以CD⊥平面PAD，AE在面PAD内，所以CDAE⊥.又,,PDCDDPDCD=平面PCD,所以⊥AE平面PCD,所以MN⊥平面PCD.【小问2详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2PAADAB===，所以(2,2,0),(1,0,0),(0

,0,2),(0,2,0)CMPD，故(0,2,2),(2,2,2),(1,2,0)=−=−=PDPCMC，设平面PMC的法向量(,,)nxyz=，则02220200PCnxyzxyMCn=+−=+==，得(2,1,1)n=−，设PD与平面PMC所成角为

，则223sincos,3226−−===PDn，故PD与平面PMC所成角的正弦值为33.20.如图所示，已知椭圆的两焦点为()110F−，，()210F，，P为椭圆上一点，且12122||||||FFPFPF=+．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P在第二象限，21120F

FP=，求12PFF△的面积．【答案】（1）22143xy+=（2）335【解析】【分析】（1）根据12122||||||FFPFPF=+，求出a，结合焦点坐标求出c，从而可求b，即可得出椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐

标，利用三角形的面积公式，可求△12PFF的面积．【小问1详解】解：依题意得12||2FF=，又12122||||||FFPFPF=+，12||||42PFPFa+==，2a=，1c=，2223bac=−=．所求椭圆的方程为22143xy+=．【小问2详解】解：设P点坐标为

(,)xy，21120FFP=，1PF所在直线的方程为tan120(1)yx=+，即3(1)yx=−+．解方程组223(1)143yxxy=−++=，并注意到0x，0y，可得85335xy=−=121213333255PFFSFF==．21

.如图，在三棱锥−PABC中，224ABBCPAPBPCAC======，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC−−为30，求CMCB的值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到PO

AC⊥，由勾股定理逆定理得到BOPO⊥，从而证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设CMCB=，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.【小问1详解】在PAC△中，4PAPC==，O为AC的中点．则中线POAC⊥，且2,23AOCOOP===

；同理在ABC中有222ABBCAC+=，则ABBC⊥；因为22ABBC==，O为AC的中点．所以BOAC⊥且2BO=；在POB中有222POBOBP+=，则BOPO⊥，因为ACBOO=，,ACBO平面ABC，所以PO⊥平面ABC．【小问2详解】由（1）得PO⊥平面

ABC，故建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23)BCAP−，设CMCB=，则CMCB=，而(2,2,0),(0,2,23),(0,2,23)CBPAPC=−=−−=

−，(2,2,0)CMCB==−，(0,2,23)(2,2,0)(2,22,23)PMPCCM=+=−+−=−−，设平面PAM的一个法向量为(,,)mxyz=，由00mPMmPA==得，()2230222230yzxyz−−=+−−=，

令63,3,3,3zm==−−，又x轴所在直线垂直于平面PAC，∴取平面PAC的一个法向量(1,0,0)n=，2633cos,26339mn−==−++，平方得2263346312−=

−+，令63m−=，2222234336,36,6124mmmmmm==+==+，66236,93−===．22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(2,1)，离心率为22（1）求椭圆C的方程；（2）设直线:(0)lykxtt=+与椭圆C相交

于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值.【答案】（1）22142xy+=（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得关于,,abc的方程组，求得,a

b的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形OAPB是平行四边形，可得P点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到22212kt+=，利用弦长公式

求得AB，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形OAPB的面积为定值．【详解】解：（1）因为椭圆C过点(2,1)，代入椭圆方程，可得22211ab+=①，又因为离心率为22，所以22ca=，从而222ab=②，联

立①②，解得24a=，22b=，所以椭圆为22142xy+=；（2）把ykxt=+代入椭圆方程22142xy+=，得()()222214220kxktxt+++−=，所以()()()22222(4)821282

210ktktkt=−+−=+−，设()11Axy，，()22,Bxy，则()2121222224,2121tktxxxxkk−+=−=++，所以()121222221tyykxxtk+=++=+，因为四

边形OAPB是平行四边形，所以()12122242,2121kttOPOAOBxxyykk=+=++=−++，，所以P点坐标为2242,2121kttkk−++.又因为点P在椭圆上，所以()()22222224212121kttkk+=++，即22212kt+=

.因为()222121212||114ABkxxkxxxx=+−=++−()2222222212212312121kktkkk++−+==++.又点O到直线l的距离2||1tdk=+，所以平行四边形OAPB的面积22223||6212||62121OAPBOABtkSSABdkk

+=====++，即平行四边形OAPB的面积为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com