【文档说明】吉林省长春市朝阳区实验中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(19)页，1.366 MB，由小赞的店铺上传

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吉林省实验中学2019-2020学年度上学期高二年级期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，

不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A.21种B.315种C.153种D.143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文

书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.2.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】本

题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．，【详解】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时

发生，所以它们是互斥事件，因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．【点睛】本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的

互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．3.从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么56是（）A.2个球不都是白球的概率B.2个球都不是白球的概率C.2个球都是白球的概率D.2个球恰

好有一个球是白球的概率【答案】A【解析】考点：等可能事件的概率．分析：两个球不都是白球的对立事件是两个球都是白球，从甲口袋内摸出1个白球和从乙口袋内摸出1个白球是相互独立事件，根据对立事件和相互独立事件的公式得到结果．解：∵两个

球不都是白球的对立事件是两个球都是白球，两者是相互独立的，∴两个球都是白球的概率P=12×13=16，∴两个球不都是白球的概率是1-16=56，故选A4.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是()A.13B.14C.16

D.112【答案】D【解析】试题分析：利用分布计数原理求出所有的基本事件个数，在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率个数求出.解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会

都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D．考点：古典概型点评:本题考查

先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题．5.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取

自黑色部分的概率是A.14B.8C.12D.4【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa=，选

B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()PA.6.已知随机变量服从正态分布2(2)N，，(4)0.84P=≤，则(0)P=≤（）A.0.16B.0.

32C.0.68D.0.84【答案】A【解析】由正态分布的特征得(0)P＝1(4)10.840.16P−=−=，选A.7.已知随机变量8X+=，若()~10,0.6XB，则随机变量的均值()E及方差()D分别为（）A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.

6D.6和5.6【答案】B【解析】【分析】先利用二项分布的数学期望和方差公式求出()EX和()DX，然后利用数学期望和方差的基本性质求出()E和()D的值.【详解】()10,0.6XBQ:，由二项分布的数学期望

公式得()100.66EX==，由二项分布的方差公式得()100.60.42.4DX==，8X+=Q，8X=−，则()()()88862EEXEX=−=−=−=，()()82.4DDXDX=−==，故选B.【点睛】本题考查二项分布的数学期望与

方差的计算，同时也考查了数学期望与方差的性质，解题的关键在于利用二项分布的期望与方差的公式进行计算，属于中等题.8.如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是()A.5和1.6B.85和1.6C.85

和0.4D.5和0.4【答案】B【解析】【分析】去掉最低分79分，最高分93分，利用平均数的计算公式求得85x=，利用方差公式求得21.6s=.【详解】去掉最低分79分，最高分93分，得到数据84,8

4,84,86,87，该组数据的平均数8484848687855x++++==，222222(8485)(8485)(8485)(8685)(8785)1.65s−+−+−+−+−==.【点睛】本题考查从茎叶图中提取信息，并对数

据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.9.在二项式521xx−的展开式中，含4x的项的系数是（）．A.10−B.5−C.10D.5【答案】C【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．【详解】解：对

于251031551()()(1)rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，对于10﹣3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故选C．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单

题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1CrnrrrnTab−+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（

3）二项展开式定理的应用.10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点1F，2F在x轴上，离心率为22.过1F的直线l交C于A，B两点，且2ABF的周长为16，那么椭圆C的方程为（）A.2

21168xy+=B.2211612xy+=C.22184xy+=D.22182xy+=【答案】A【解析】【分析】根据题意，2ABF的周长为16，即221116BFAFBFAF+++=，结合椭圆的定义，有4

16a=，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【详解】根据题意，2ABF的周长为16，即221116BFAFBFAF+++=，根据椭圆的性质，有416a=，即4a=，椭圆的离心率为22，

即22ca=，则2ac=，所以24c=，故22c=，则2228bac=−=，则椭圆的方程为221168xy+=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题.11.下列说法中，正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.（2）如果一

组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变.（3）一个样本的方差s2=[（x1一3）2+（X2—3）2++（Xn一3）2]，则这组数据总和等于60.（4）数据123,,,...,naaaa

的方差为2，则数据1232,2,2,...,2naaaa的方差为24.A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】试题分析：对于（1），根据频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故正确；对于（2），根据平均数和方差的意义，

一组数中每个数减去同一个非零常数，这组数的平均数改变，方差不改变；对于（3），由s2=[（x1一3）2+（X2—3）2++（Xn一3）2]知样本容量为20，平均数为3，故总和为60；对于（4），由方差的定义知，数

据1232,2,2,...,2naaaa的方差为数据123,,,...,naaaa的方差的4倍，故选A..考点：统计的有关概念12.若直线2xym=−+与曲线2142yx=−恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A.(1,2)B.(21,21)−+C.(1,21)+D.(2,21)+【答案】A

【解析】试题分析：由题意知，曲线2142yx=−的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线2xym=−+与曲线2142yx=−恰有三个公共点的临界直线有：当直线2xym=−+过点()2,0时，即01m=−+，故

1m=；当直线2xym=−+与椭圆的上部分相切，即221244xyx−==−−，即22,2xy==时，此时2m=，故实数m的取值范围是(1,2)，选项A为正确答案．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、数形结

合的思想．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题；要求满足条件：直线2xym=−+与曲线2142yx=−恰有三个公共点，实数m的取值范围，可以转化为直线2xym=−+的图象与曲线2142yx=−的图象有三个交点时实数m的取值范围，作出两个函数的图象，通

过图象观察临界直线，从而求出m的取值范围；本题曲线2142yx=−的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13.将某班的60名学生编号为01,0260，，，采用系统抽样（等距）的方法抽

取一个容量为5的样本，且随机抽得第一组的一个号码为04，则最后一组的号码是________．【答案】52【解析】【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【详解】号码间隔为60512=，随机抽得的第一组的一个号码为04，最后一组的号码为4124

52+=.故答案为：52.【点睛】本题考查对系统抽样方法定义的理解，属于基础题.14.已知7270127(12)xaaxaxax−=++++，则127...aaa+++=_____．【答案】2−【解析】【分析】令0,1xx==分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.【详解】令

0x=得：01a=，令1x=得：07121...aaaa+−=+++，712...2aaa+++=−.【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.15.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的

奖金是以700元为首项、-140为公差的等差数列则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元【答案】500【解析】【详解】由题设,知获一、二、三等奖的概率分别为123,2,4PaPaPa===.由1231PPP++=,得17a=.于是,123124,,777PPP===.又获一、二、三

等奖的奖金分别为123700,560,420===.故124700560420777E=++=500(元).16.在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为m和n，则方程22221xymn+=表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________

_____．【答案】0.5【解析】【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出方程22221xymn+=表示焦点在x轴上的椭圆时，点()mn，对应的平面图形的面积大小和区间[1,5和2,4分别各取一个数()mn，点对应的平面

图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【详解】若22221xymn+=表示焦点在x轴上的椭圆，则mn，它对应的平面区域如下图中阴影部分所示：则方程22221xymn+=表示焦点在x轴上的椭圆的概率：()

1132120.5242SPS+====阴影矩形.故答案为：0.5.【点睛】本题考查几何概型的应用，解题关键是正确建立模型进而分析解决问题，属于常考题型.三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某班的一次数

学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.【答案】

（1）25；（2）0.016.【解析】试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.试题解析：(1)分数在[50,60)的频率

为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016..考点：1.茎叶图；2.频率直方图

.18.已知抛物线()220ypxp=上横坐标为4的点A到焦点F的距离为92，直线()1ykx=+与抛物线有两个不同交点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求k的取值范围．【答案】（Ⅰ）22yx=；（Ⅱ）22,00,22−

.【解析】【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义得2ApAFx=+，求出p的值，然后写出抛物线的方程即可；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得202kyyk−+=，由于直线与抛物线有两个不同交点，故202120kk=−，解出k的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）由2

ApAFx=+，得：9422p=+，解得：1p=，所以抛物线的方程为22yx=；（Ⅱ）由()221yxykx==+，得：202kyyk−+=,因为直线与抛物线有两个不同交点，所以202120kk=−，解得：222

2k−且0k，所以k的取值范围是22,00,22−．【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，属于常考题型.19.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结

果互不影响．（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击5次，记随机变量X为射手击中目标的次数，求X的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）881；（Ⅱ）分布列见解析，(

)103EX=.【解析】【分析】（Ⅰ）这名射手5次射击中3次连续击中，则连续3次击中目标有三种情况：分别是前三次、中间三次、最后三次，依次计算每种情况发生的概率，求和即可得解；（Ⅱ）由题知，每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响，则2

~5,3XB，利用二项分布的概率公式列出分布列并求出期望即可.【详解】解：（Ⅰ）设“第i次射击击中目标”为事件()1,2,3,4,5iAi=；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则()()(

)()123451234512345PAPPAAAAAAAAAAAAAAPA=++3233221121183333338123=++=；（Ⅱ）X为射手在5次射击中击中目标的次数，则2~5,

3XB，()103EX=.X012345P1024340243802438024332243【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，解题时应注意二项分布的合理运用，

属于高考常考题型.20.如图，四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且2PDAB==,E为PC中点.（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求二面角EBDP−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，可得PDBC⊥

，再由正方形ABCD中，得,CDBC⊥，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PCD，从而可得BCDE⊥，再由等腰三角形的性质可得,DEPC⊥，可得证；（2）以点D为坐标原点，分别以直线,,DADCDP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，再分别求出面BDE

的一个法向量和平面PDB的一个法向量，再由向量的夹角运算可求得二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：PD⊥平面ABCD，PDBC⊥，又正方形ABCD中，,CDBCPDCDD⊥=，BC⊥平面PCD，又DE平面PCD，BCDE⊥，PDCD=，E是PC的中点，所以,DEPCP

CBCC⊥=，DE⊥平面PCB（2）以点D为坐标原点，分别以直线,,DADCDP为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知：(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(0,1,1)DPBE，DB(2,2,0),DE(0,1,1)==设平面

BDE的法向量为(,,)nxyz=，则0,0nDBnDE==，2200xyyz+=+=，令1z=，得到1,1yx=−=，(1,1,1)n=−，PD⊥平面ABCD，PDAC⊥，又正方形ABCD中，,ACBDPDBDD⊥=，AC⊥平面PBD又(0,2,0),(

2,0,0),(2,2,0)CAAC=−，平面PDB的一个法向量为(1,1,0)m=−，设二面角EBDP−−的平面角为，由图示可知二面角EBDP−−为锐角，则1106cos|cos,|323mn++===.二面角EBDP−−的余弦值为63.【点睛】本题考查空间的线面垂直关

系的证明和求二面角的问题，关键在于需证明线垂直于面内的两条相交直线，在运用向量法求得法向量的夹角的余弦值后需判断二面角是锐角还是钝角，再取相应的值，属于基础题.21.已知点A(0，－2)，椭圆E：22221xyab+=(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆

E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）2214xy+=（2）722yx=−【解析】试题分析：设出F，由直线AF的

斜率为233求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，即可求椭圆方程；（2）点lx⊥轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线:2lykx=−，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k的范围，再由弦长公式求得PQ，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化

简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0Fc，因为直线AF的斜率为233，()0,2A−所以2233c=，3c=.又2223,2cbaca==−解得2,1ab

==，所以椭圆E的方程为2214xy+=.（2）解：设()()1122,,,PxyQxy由题意可设直线l的方程为：2ykx=−，联立221{42,xyykx+==−，消去y得()221416120kxkx+−+=，当()216430k=−，所以234k，即32k−或32k时1

212221612,1414kxxxxkk+==++.所以()22121214PQkxxxx=++−2222164811414kkkk=+−++222414314kkk+−=+点O到直线l的距离221dk=+所以221443214OPQkSdPQk−==+，设2430kt−=

，则2243kt=+，244414424OPQtSttt===++，当且仅当2t=，即2432k−=，解得72k=时取等号，满足234k所以OPQ的面积最大时直线l的方程为：722yx=−或722

yx=−−.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函

数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.某网络营销部门为了统计某市网友某日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下统计表（如图

）．网购金额（单位：千元）频数频率0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为

“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（Ⅰ）试确定,,,xypq的值，并补全频率分布直方图（如图）；（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”与“网购达人”中用分层抽样的方法抽取10人，若需从这10人中随机选取3人进行

问卷调查．设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列及其数学期望．【答案】（Ⅰ）9x=，6y=，0.15p=，0.10q=；图见解析；（Ⅱ）分布列见解析，65E=.【解析】【分析】（1）由频数之和为60与“非网购达人”与“网

购达人”人数比恰好为3:2，列出关于xy，的方程组，由此能求出xypq，，，的值，并补全频率分布直方图；（2）由题设知的可能取值为0，1，2，3，利用已知条件结合排列组合知识分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）根据题意，有3915186018239153xyyx+

++++=+=+++，解得96xy==，所以0.15p=，0.10q=；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有21045=人，“非网购达人”有31065=人，故的可能取值为0，1，2，3,()0346310106CCPC===，()1

246310112CCPC===，()21463103210CCPC===，()30463101330CCPC===,所以的分布列为：0123P16123101301131601236210305E=+++

=.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列、频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的数学期望，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.