【文档说明】四川省雅安市雅安中学2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，793.929 KB，由小赞的店铺上传

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四川省雅安中学高2023级高二上期入学检测数学试题一、单选题1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事

件C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.【详解】由题可知，事件1可表示为：13,5A=,,事件2可表示为：2,4,6B=,事

件3可表示为：4,5,6C=,事件4可表示为：1,2D=,因为5AC=，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为AB为不可能事件，AB为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因4,6BC=，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为CD为不

可能事件，CD不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；故选：B.2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，

5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的

概率为（）A.14B.38C.512D.58【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果.为【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率31124P==.故选：A.3.从装有

若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为（）A.415B.715C.815D.1115【答案】C【解析】【分

析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，CAB=，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则()215PA=

，()13PB=，且CAB=.因为A，B，C两两互斥，所以()()()()()218111115315PCPCPABPAPB=−=−=−+=−−=.故选：C.4.在空间直角坐标系Oxyz−中，点()2,3,1M−关于原点对称的点的坐标为（）A.()2,3,

1−−−B.()2,3,1−C.()2,3,1−D.()2,3,1−−【答案】D【解析】【分析】由空间直角坐标系对称点的特征即可求得结果.【详解】根据空间直角坐标系中点坐标的特征可知，关于原点对称的点的坐标需要把横坐标、纵坐标、竖坐

标都变为原来的相反数，所以点()2,3,1M−关于原点对称的点的坐标为()2,3,1−−.故选：D5.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（）A

.0.9B.0.8C.0.7D.0.6【答案】B【解析】【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设乙独立解出该题的概率为P，由题意可得()10.310.94P−−=，∴0.8P=．故选：B.6.已知空间向量()1,,2an=，()2,1,2b=

−，若2ab−与b垂直，则a等于（）A.532B.352C.372D.212【答案】B【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量a与a.【详解】因为()1,,2an=，()2,1,2b=−，所以()2

4,21,2abn−=−，因为2ab−与b垂直，所以()282140abbn−=−+−+=，解得52n=，所以51,,22a=，所以2225351222a=++=，故选：B.7.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p

，12，23，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为38，则p的值为（）A.14B.13C.23D.34【答案】A【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.【

详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则()()()12,,23PApPBPC===，可知恰好投中两次为事件,,ABCABCABC，故恰好投中两次的概率()121212113111232323368Ppppp=−+−+−=+=

，解得14p=．故选：A.8.甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一

场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为12，则丙最终获胜的概率为（）A.516B.716C.12D.38【答案】B【解析】【分

析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得．【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果

对下面丙获胜概率没有影响（或者用1122+表示），若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为311()28=，若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为4331

115()()()22216++=，所以丙获胜的概率为15781616+=．故选：B．二、多选题9.不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记A为事件“从中任取1个球是红球”，

B为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（）A.()3=5PAB.()1=2PBC.事件A与B是互斥事件D.事件A与B是相互独立事件【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.【详解】根据题意可知

：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件A与B是相互独立事件，且3()5PA=，故选：AD.10.已知事件A，B，且()0.4,()0.3PAPB==，则（）A.如果BA，那么()0.3PAB=B.如果BA，那么()

0.4PAB=C.如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=D.如果A与B相互独立，那么()0.42PAB=【答案】ABD【解析】【分析】根据事件关系及运算有()()PABPB=、()()PABPA=，由事件的相互独立知()()

()PABPAPB=，结合事件的运算求()PAB、()PAB.【详解】A：由BA，则()()0.3PABPB==，正确；B：由BA，则()()0.4PABPA==，正确；C：如果A与B相互独立，则()()()0.12PABPAPB==，()()()()0.58PABP

APBPAB=+−=，错误；D：由C分析及事件关系知：()()10.42PABPAB=−=，正确.故选：ABD.11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中A的各位数字中，{0,1}(1,2,3,4,5)iai=，则（）A.A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点B.若A

的各位数字都是等可能地取值为0或1，则11100A=的概率大于00011A=的概率C.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为532D.若11,(2,3,4,5)kaak==出现0的概率为13，出现1的概率为23，则启动一次出现的

数字A中恰有两个0的概率为827【答案】ACD【解析】【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD．【详解】对于A，由于A的各位数字中，都可能为0或1，则A

的所有实验结果构成的样本空间中有5232=个样本点，正确；对于B，若A的各位数字都是等可能地取值0或1，则1(11100)32PA==()00011PA==，所以11100A=的概率等于00011A=的概率，错误；对于C，若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，

如果A中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”，可能情况有：11110,11101,11011,10111,01111，共有5种等可能情况，其概率1532P=，正确；对于D，由于11a=，数字A中恰有2个0，即在2345,,,aa

aa四个数中恰好有2个0,2个1，可能情况有：0011,1100,1001,1010,0101,0110，共有6种情况，启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为22212863327P==，正确；故选：ACD

．三、填空题12.已知,,,ABCD四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足25PDPAPBPC=−++，则=______．【答案】2−【解析】【分析】根据空间向量共面的推论求解即可.【详解】,,,ABCD四点共面

且任意三点不共线，25PDPAPBPC=−++，125=−++，2=−．故答案为：2−13.随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球

大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概

率为______.【答案】0.304【解析】【分析】先计算甲队获胜或平局的概率，再讨论甲队最终获胜的情况，依次计算其概率即可.【详解】甲队在每轮点球比赛获胜的概率为10.8(10.5)0.4p=−=，甲队在每轮点球比赛平局的概率为20.80.5(10.8)(10

.5)0.5p=+−−=.由题可知最终甲队获胜，则后三轮比赛只能有两种情况：①甲获胜两轮，剩下一轮甲乙平局，最终甲队获胜的概率为223C0.40.50.24=；②甲获胜三轮，该情况下最终甲队获胜的概率为30.40.064=，综上

，甲队获胜的概率为0.24＋0.064＝0.304.故答案为：0.30414.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、31x+猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计

算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5168421→→→→→，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为______．【答

案】110##0.1【解析】【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可.【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为63105168421→→→→→→→→，运算次数

为8；正整数7的部分运算过程为722113417522613402010→→→→→→→→→→，当运算到10时，运算次数为10，由正整数6的运算过程可知，正整数7总的运算次数为10616+=；正整数8的运算次数

为3；正整数9的部分运算过程为928147→→→，当运算到7时，运算次数为3，由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为31619+=；正整数10的运算次数为6；故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方

法总数为：()()()()()()()()()()6,7,6,8,6,9,6,10,7,8,7,9,7,10,8,9,8,10,9,10，共10种，其中的运算次数均为奇数的方法总数为：()8,9，共1种，故运算次数

均为奇数的概率为110．故答案为：110四、解答题15.经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为

了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．（1

）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若分数在区间[60,70)的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．【答案】（1）0.040a=，中位数为77.5（分）（2）

815【解析】【分析】（1）根据小矩形的面积之和为1即可求出a，再根据频率分布直方图求出中位数即可；（2）分别求出)60,65和)65,70的市民人数，再根据古典概型即可得解.【小问1详解】由题意可得()50.0100.0200.0600.050

0.0201a+++++=，解得0.040a=，由0.0150.0250.0450.35,0.350.0650.65++=+=，可得此次问卷调查分数的中位数在)75,80上，设为x，则()0.350.06

750.5x+−=，解得77.5x=，所以此次问卷调查分数的中位数为77.5（分）；【小问2详解】)60,65的市民有0.0105402=人，记为a，b，)65,70的市民有0.0205404=人，记为1，2，3，4，则从中抽取两人的基本

事件有：,1,2,3,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34,abaaaabbbb共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，则所求概率为815.16.甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3

，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.（1）设(,)ij分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面

数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.【答案】（1）答案见解析（2）23（3）不公平，理由见解析【解析】【分析】（

1）根据题意，利用列举法，即可求解基本事件的总数及基本事件的空间；（2）由乙抽到的牌只能是2，4，a，进而求得乙抽到的牌的数字大于3的概率；（3）根据古典概率的概率计算公式，分别求得甲、乙获胜的概率，即可得到结论.【小问1详解】解：甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用字母

a表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），可得基本事件的空间为：{（2，3）、（2，4）、（2，a）、（3，2）、（3，4）、（3，a）、（4，2）、（4，3）、（4，a）、（a，2）、（a，3）、（a，4）}，共12种不同情况，小问2详解】解：由题意，甲抽

到3，乙抽到的牌只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的数字大于3的概率为23.小问3详解】解：根据题意，甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（a，2）、（a，3），共有5种情况，所以甲胜的概率1512p=，乙获

胜的概率为2712p=，因为571212，所以此游戏不公平．17.杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚

运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或

者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入

到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜

者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制

．假设四支队伍分别为,,,ABCD，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12．最初分组时AB同组，CD同组．【【（1）若23p=，在淘汰赛赛制下，,AC获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并

据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？【答案】（1）49；736；（2）淘汰赛制获得冠军概率为2p，双败赛制获得冠军概率为()332pp−；双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“

对强者不公平”的质疑是不对的．【解析】【分析】（1）若A拿冠军则只需要连赢两场，对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜,AB中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）根据独立事件的乘法公式分别算出A在不同赛制下拿冠军的概率

，然后作差进行比较.【小问1详解】记,AC拿到冠军分别为事件,MN淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，因此()224339PM==，对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜,AB中的胜者，因此()121111723323236PN

=+=．【小问2详解】记两种寒制下A获得冠军的概率分别为12,pp，则21=pp.而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入

败者组拿到冠军.因此()()()323321132ppppppppp=+−+−=−，()110pppp−=−，()22(1)210ppppp−=−+.则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p，()()221121ppppp−=−−.若12p，双败

赛制下，A队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，若2p，双败赛制下，A以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人

们“对强者不公平”的质疑是不对的．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC=，E是PC的中点，作EFPB⊥交PB于点F.（1）求证：//PA平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（

3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为()111,,mxyz=，由0PAm=证明

；（2）由0PBDE=，结合EFPB⊥，利用线面垂直的判定定理证明；（3）求得平面CPB的一个法向量为()222,,nxyz=，易知平面PBD的一个法向量为()1,1,0CA=−，由cos,nCAnCAnC

A=求解.【小问1详解】解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设1DC=.依题意得()1,0,0A，()1,1,0B，()0,0,1P，110,,22E.所以()1,0,1PA=−，()1,1,0D

B=，110,,22DE=.设平面EDB的一个法向量为()111,,mxyz=，则有11110,110,22DBmxyDEmyz=+==+=即1111,,xyzy=−=−取()1,1,1m=−ur，则0PAm

=，因为PA平面EDB，因此PA∥平面EDB.【小问2详解】依题意得()1,1,1PB=−，因为110022PBDE=+−=，所以PBED⊥.由已知EFPB⊥，且EFDEE=，所以PB⊥平面EFD.小问3详解】依题意得()0,1,0C，且()1,0

,0CB=，()0,1,1PC=−.设平面CPB的一个法向量为()222,,nxyz=，则2110,0,CBnxPCnyz===−=即2110,,xzy==，【取()0,1,1n=r.易知平面PBD的一个法

向量为()1,1,0CA=−，所以1cos,2nCAnCAnCA==−.所以平面CPB与平面PBD的夹角为3.19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为()1101pp

，收到0的概率为11p−；发送1时，收到0的概率为()2201pp，收到1的概率为21p−．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的

信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1）．（1）已知1223,34pp==．①若采用单次传输方案，重复发送信

号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求2p的取值范围．【答案】（1）①5

9；②证明见解析（2）1,12【解析】【分析】（1）①记事件A为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件B为“第三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”，证明(

)()()PBCPBPC=即可；（2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得()()PMPN，解不等式可解.小问1详解】【①记事件A为“至少收到一次0”，则()121

15233339PA=+=．②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，则()31144PB=−=．记事件C为“三次收到的数字之和为2”，则()22321112143343343349PC=++=．因为()()

()21112113343349PBCPBPC=+==，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．【小问2详解】记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，则()()2322231PM

ppp=−+．记事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，则()2PNp=．根据题意可得()()PMPN，即()23222231pppp−+，因为201p，所以()2222222311,2310pp

ppp−+−+，解得2112p，故2p的取值范围为1,12．【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.