【文档说明】山东省泰安市新泰第一中学（东校）2021高二上学期第二次质量检测数学.docx，共(12)页，627.601 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前新泰一中东校高二上学期第二次质量检测考试数学试卷考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1．抛物线28yx=的准线方程为（）A．2x=−B．2y=−C．132x=

−D．132y=−2．已知向量(2,0,1)n=为平面的法向量，点(1,2,1)A−在内，则点(1,2,2)P到平面的距离为（）A．55B．510C．25D．53．若直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，则k，b的值分别为（）A．12k=

−，4b=−B．12k=，4b=C．12k=，4b=−D．4k=，3b=4．已知等差数列na的前n项和为nS，且310179aaa++=，则19S=（）A．57B．51C．54D．725．经过点P(2，－2)且与双曲线C：2212xy−=

有相同渐近线的双曲线方程是()A．22142xy−=B．22124yx−=C．22124xy−=D．22142−=yx6．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4B．－4C．±4D．不确定7．如图所示，在

直三棱柱111ABCABC−中，ACBC⊥，且3BC=，4AC=，13CC=，点P在棱1AA上，且三棱锥APBC−的体积为4，则直线1BC与平面PBC所成角的正弦值等于（）A．104B．64B．C．105D．1558．谈祥柏先生是我国

著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数113，135，157，…，120192021的和是（）A．20202021B．10102021C．100

92019D．20182019二、多选题（每个题目都有多个答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设几何体1111ABCDABCD−是棱长为a的正方体，1AC与1BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．211ABACa=B．212ABACa=C．21CDABa=−D．2

112ABAOa=10．已知Sn是等差数列na(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（）A．数列na的公差d<0B．数列na中Sn的最大项为S10C．S10>0D．S1

1>011．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为2240xyx+−=.若直线()1ykx=+上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是()A．1B．2C．3D．412．过点(

03)P，的直线l与圆C：22(2)(3)4−+−=xy交于A、B两点，当30CAB=时，直线l的斜率为（）A．3−B．33−C．33D．3第II卷（非选择题）三、填空题13．坐标平面内过点(2,1)A−，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为___________.14．记nS

为数列{}na的前n项和，2(1)nnSa=+，则4a=_____．15．已知点F为抛物线28yx=−的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且||4AF=，则||||PAPO+的最小值为_______________16．如图，1F、2F是椭圆221:1

4xCy+=与双曲线2C的公共焦点，A、B分别是1C、2C在第二、四象限的公共点．若四边形12AFBF为矩形，则2C的离心率是________．四、解答题17．（本题10分）已知平面内两点()1,2A−，()1,

4B.（1）求过点()2,3P−且与直线AB平行的直线l的方程；（2）一束光线从B点射向（1）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程.18．（本题12分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L排量的小轿车，为积极响应政府发展

森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长

1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧

化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.13.7975，151.14.1772，161.14.5950）?19．（本题12分）如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，//ADBC，90ADC=，PAPD⊥，

PAPD=.（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）若1BC=，2ADCD==，求二面角APCB−−的余弦值.20．（本题12分）已知数列na满足：1a=1，11(2)nnnaann++=+.（1）求证：数列1nan+是等比数列；（2）设nncan=+，求数列

nc的前n项和nT.21．（本题12分）已知直线20xy−+=和圆22:8120Cxyx+−+=，过直线上的一点()00,Pxy作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点.（1）当P点坐标为()2,4时，

求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；（2）设切线PA与PB的斜率分别为1k，2k，且127kk=−时，求点P的坐标.22．已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点F与椭圆22143xy+=的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A

，B.（1）求抛物线C的标准方程；（2）设直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值；（3）求AB的最小值.新泰一中东校高二上学期第二次质量检测考试数学答案1．D2．D3．C4．A5．B6．A7．C8．B9．ACD10．AC11．AB12．BC13．12

yx=−或1yx=−−.14．-1615．21316．6217．（1）因为()1,2A−，()1,4B，所以()42111ABk-==--，----------------------2分因为直线l过点()2,3P−且与直线AB平行，所以直线l方程为()312yx+=−，即50xy−−=

.-----------------------------------------4分（2）设()1,4B关于直线l的对称点为(),Bmn，则411145022nmmn−=−−++−−=，解得94mn==−

，()9,4B−，---------------------------8分因为()1,2A−，所以()423915BAk−−==−−−，则反射光线所在的直线方程为()3215yx−=−+，即3570xy+−=.---------------------1

0分18．（1）设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*nanN，则11200043000a==，2130001330003a==，3140001430003a==，…，显然其构成首项为14a=，公差为2113daa=−=的等差数列，------------

---------3分记其前n项和为nS，则1010911045523S=+=，所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.------------------------------------------------------6分（2）记第n年林木吸

收二氧化碳的吨数为()*nbnN，则111.8b=，21(110%)1.8b=+，231(110%)1.8b=+，…，显然其构成首项为11.8b=，公比为1.1q=的等比数列。----------------------9分记其前n项和为nT，由

题意，有()()1.811.1181.115511.1nnnT−==−−，解得15n.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.----------------

----------------------------------------------------------------------------------------12分19．（1）证明：在四棱锥PABCD

−中，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，又因为CDAD⊥，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为PA平面PAD，所以CDPA⊥.--------------------3分因为PAP

D⊥，CDPDD=，CD，PD平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.-----------------------------------6分（2）解：取AD中点O，连接OP，OB，因为PAPD=，所以.POAD⊥因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD平面ABCDAD=，因为PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以POOA⊥，POOB⊥.因为CDAD⊥，//BCAD，2ADBC=，所以//BCOD，BCOD=所以四边形OBCD是平行四边形，所以//OBCD，所以OBAD⊥.以OA，OB，OP所在的直线分别为x，y，z

轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，------------------------------------------7分则()0,0,0O，()1,0,0A，()0,2,0B，()1,2,0C−，()0

,0,1P，所以()2,2,0AC=−，()1,0,1AP=−，()1,0,0BC=−uuur，()0,2,1BP=−设平面PAC的法向量为(),,nxyz=，则00ACnAPn==，即2200xyxz−+=

−+=，令1x=，则()1,1,1n=.--------------------------------9分设平面BPC的法向量为(),,mabc=，则00BCmBPm==，即020abc=−+=，令1b=，则()0,1,2m=.------------

------------------11分所以15cos,5||||mnmnmn==.所以二面角APCB−−的余弦值为155.-----------12分20．（1）设1nnabn=+，则1111nnabn++=++，∴112112()1211nnnnnnnnaanbannnaabannn

+++++++====+++---------------------------------------------4分∵1112ba=+=，∴数列nb是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列1nan+

是等比数列。---------------------------------------------6分（2）由（1）得，1222nnnb−==，即12nnan+=∴2nnncann=+=.------------------------------

-----------------------------------------------8分∴1231122232...(1)22nnnTnn−=++++−+∴23412122232...(1)22nnnTnn+=

++++−+---------------------------------------10分两式相减得231222...22nnnTn+−=++++−∴1(1)22nnTn+=−+.-----------

----------------------------------------------------------------12分21．解：（1）圆22:8120Cxyx+−+=，可化为22(4)4xy−+=，PC中点为()3,2，25PC=，∴以PC为直径的圆的方程为圆()()

22:325Exy−+−=。----------------------------3分∵PAAC⊥，PBBC⊥，∴P，A，B，C四点共圆E，∴直线AB的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直

线AB的方程为220xy−−=；--------------------------6分（2）设过P的直线l方程为()00yykxx−=−，由于C与直线l相切，得到002|4|21kykxdk+−==+，---------------------8分整理得到：()()2

220000442440kxyxky−−+−+−=，∴20122047(4)4ykkx−==−−−----------------------------------------------------------------------10分又002yx=+，代入上式，可得200213

210xx−+=，∴03x=或72，∴点P坐标()3,5或711,22.------------------------------------------------12分22.（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)抛物线的焦点为(1,0)F，2p=，所以抛物线

的标准方程：24yx=．----------------------------------------2分（2）抛物线C的准线方程为1x=−．设(1,)Mt−，设过点(1,)Mt−的直线方程为(1)ykxt=++，与抛物线方程2

4yx=联立，消去x得：24440kyykt−++=．其判别式△1616()kkt=−+，令△0=，得：210kkt+−=．由韦达定理知12kkt+=−，121kk=−，故121kk=−（定值）．--------------------6分（3）设1(Ax，1)y，

2(Bx，2)y，由210kkt+−=，得21ktk−=，故2222214244444440kkyyktkyykkyykykkk−−++=−++=−+=−=，所以2yk=，代入抛物线方程得21xk=，所以211(Ak，12)k，2

21(Bk，22)k，--------8分222212211122||()()ABkkkk=−+−22222112222112()4()kkkkkkkk−−=+因为121kk=−，12kkt+=−，所以22222121212||()4

()4||ABkkkktkk=−+−=+−------------------------------------------10分2212124()4tkkkk=++−2244tt=++244t=+…，当且仅当0t=时取等号．当且仅时取等号

．故||AB的最小值为4．------------------------------------------------------12分