【文档说明】浙江省杭州市北斗联盟2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.896 MB，由小赞的店铺上传

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2019学年第二学期杭州北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷规定位置填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答

题卷上，写在试题卷上无效，考试结束只需上交答题卷.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合|0AxRx=或2x，1

BxRx=，则()RAB=ð（）A.()0,1B.()0,2C.()1,2D.()1,2−【答案】A【解析】【分析】根据补集运算可得()0,2RA=ð，解绝对值不等式可得()1,1B=−，再根据交集运算可得结果.【详解

】因为|0AxRx=或2x，所以()0,2RA=ð，因为1BxRx=()1,1=−，所以()RAB=ð()0,1.故选：A.【点睛】本题考查了集合的补集、交交集运算，考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.2.双曲线2244xy−=的焦点坐标为()A.(3,0)

B.(0,3)C.(0,5)D.(5,0)【答案】D【解析】【分析】利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．【详解】双曲线x2﹣4y2＝4，标准方程为：2214xy−=，可得a＝2，b＝1，c5=，所以双曲线的焦点坐标：（±5，

0）．故选D．【点睛】本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3.设实数x，y满足1020210xyxyxy+−−−+，则xy−的最小值为（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再

令zxy=−，化目标函数zxy=−为yxz=−，由直线在y轴的截距的范围确定目标函数的最值即可.【详解】由约束条件作出可行与如图，令zxy=−，则yxz=−，因此求xy−的最小值，即是求直线yxz=−在y轴截距的最大值，平移直线l，由图可知，当l过点（0,1）时，直线yxz=

−截距最大，即011minz=−=−.故选：B【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型.4.已知复数()12zii=+（i为虚

数单位），则1z=（）A.2551i+B.2155i−C.2155i−+D.2155i−−【答案】D【解析】【分析】先化简2zi=−+，再化简112zi=−+即可得出结果.【详解】()12zii=+,2zi=−+,()()211122222555iiz

iiii−−−−====−+−+−−−−,故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.5.已知()21cos2fxxx=−,()fx为()fx的导函数，则()fx的图象是（）A.B.C.

D.【答案】A【解析】【分析】先求得函数()fx的导函数()'fx，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意()'sinfxxx=+，令()sinhxxx=+，则()'1coshxx=+.由于()'00f=，故排除C选项.由于()'01120

h=+=，故()'fx在0x=处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.6.设a，b是两条直线，，表示两个平面，如果a，//，那么

“ab⊥rr”是“b⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】当ab⊥rr时，可能有b//、b、b与相交但不垂直、b⊥四种情况，；当b⊥时，根据直

线与平面垂直的判定和性质可得ba⊥，再根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】如果a，//，当ab⊥rr时，b//或b或b与相交但不垂直或b⊥，如果a，//，当b⊥时，可得b

⊥，可得ba⊥，所以“ab⊥rr”是“b⊥”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查了直线、平面的平行与垂直关系，属于基础题.7.若平面向量a，b，c满足2a=，4b=，4ab=，3ca

b−+=，则cb−的最大值为（）A.2133+B.2133−C.733+D.733−【答案】A【解析】【分析】可根据题意，把cb−重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：()(2)cbcabab−=−++−，2222|2

|(2)||4||444164452abababab−=−=+−=+−=|2|213ab−=，2222||()[()(2)]|()(2)|cbcbcababcabab−=−=−++−=−++−22|||2|

2|||2|cos,2cababcababcabab=−++−+−+−−++35223213cos,2cabab=++−++55439cos,2cabab=+−++55439+„25222133

3(2133)=++=+即cb−2133+故选：A.【点睛】本题主要考查根据已知向量的模，求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点，属于中档题.8.已知长方体1111ABCDABCD−的

底面AC为正方形，1AAa=，ABb=，且ab，侧棱1CC上一点E满足13CCCE=，设异面直线1AB与1AD，1AB与11DB，AE与11DB的所成角分别为，，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面

，再由余弦定理得到结果.【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然，，(0,]2，因为ab，异面直线1AB与1AD的夹角即角1ADC，根据三角形1ADC中的余弦定理得到222211cos21()ababa==

++，故(0,)3，同理在三角形1ADB中利用余弦定理得到：22211cos222()1baabb==++，故(,)32，连接AC，则AC垂直于BD，CE垂直于BD，AC交CE于C点，故可得到BD垂直于面

ACE，进而得到BD垂直于AE，而BD平行于11DB.从而得到2=，故.故答案为A.【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐

标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.9.下列命题正确的是()A.若lnln2abab−=−，则0abB.若lnln2abab−=−，则0baC.若lnln2abba−=−，

则0abD.若lnln2abba−=−，则0ba【答案】C【解析】【分析】构造函数()lnfxxx=+，利用导数求得函数()fx的单调性，由此判断出正确的选项.【详解】根据对数函数lnyx=的定义域可知,0ab.构造函数(

)()ln0fxxxx=+，()110fxx+=，故()fx在()0,+上是增函数.故当lnln2abba−=−，即()lnlnnaabbblbb+=+++时，根据单调性可知0ab.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查构

造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知数列na满足：1102a，()1ln2nnnaaa+=+−.则下列说法正确的是（）A.2020322aB.2020312aC.2020112aD

.2020102a【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln(2),(0,2)fxxxx=+−，利用导数判断函数的单调性，可得1na，结合()fx的单调性和数列na的递推式可得1231012

naaaa，可得出选项．【详解】令()()()ln202fxxxx=+−，由()111022xfxxx−=−=−−可得()fx在()0,1上单调递增，由()0fx可得()fx在()1,2单调递减，且()()11fxf=，可

得1na，又()11f=恒成立，若1na=，则数列na为常数列，不满足1102a，所以1na，且()10ln2ln2fe==，()()211102afafa=，则3212()()afa

faa==，4323()()afafaa==，依些递推，得1231012naaaa，所以2020112a，故选：C．【点睛】本题考查了数列和导数的综合问题，考查了学生利用导数判断函数的单调性，同时考查了学生转化问题的能力和计算能力，属于难题.二、填空题本大题共7小题，多

空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，称为祖暅原理.利用这个原理求半球O的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为____

_____.【答案】(1).23(2).(32)+【解析】【分析】由题意可知，此几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，所以体积等于圆柱体积的三分之二，表面积等于圆柱的底面面积加侧面面积，再加上圆锥的侧面面积

.【详解】解：由题意知，此几何体为一个圆柱中挖去一个圆锥，底面半径为1，高为1的几何体，所以几何体的体积为22211=33几何体的表面积为211+21211(32)2++=+故答案为：23；(32)+【点睛】此题考查了由几何体的三视图求体积和表面积，属于基

础题.12.已知圆M的半径长是r，圆心坐标是()0,0x.若直线230xy−−=与圆M相切于点()3,3A−−，则0x=________，r=___________.【答案】(1).92−(2).352【解析】【分析】由过切点的半径与切线垂直可求得0x，然后由两点间距离求得r.【

详解】由题意031132x−=−−−，解得：092x=−，所以22935(3)(30)22r=−++−−=，故答案为：92−；352【点睛】本题考查圆的切线的性质，掌握切线性质是解题关键，考查计算能力，属于基础题.性质：过

切点的半径与切线垂直.13.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.若sinsinbAaC=，1c=，则b=__，ABC面积的最大值为___.【答案】(1).1(2).12【解析】【分析】由正弦定理，结合sinsinbAaC=，1c=，可求

出b；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为sinsinbAaC=，所以由正弦定理可得baac=，所以1bc==;所以111S222ABCbcsinAsinA==，当1sinA=，即90A=时，三角形面积最大.故答案为(1).1(2).12【点睛】本

题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.14.若正实数a、b满足23abab=+，则ab的最小值为_________；+ab的最小值为_________．【答案】(1).24(2).526+【解析】【分析】由已知条件得

出321ab+=，利用基本不等式可求得ab的最小值，将代数式+ab与32ab+相乘，展开后利用基本不等式可求得+ab的最小值.【详解】正实数a、b满足23abab=+，321ab+=，由基本不等式得32322612ababa

b=+=，可得24ab，当且仅当23ab=时，等号成立，即ab的最小值为24.由基本不等式得()323232552526babaababababab+=++=+++=+，当且仅当2223ab=时，等号成立，即+ab的

最小值为526+.故答案为：24；526+.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，考查计算能力，属于中等题.15.若函数的()1,2ln,xmxefxxxxe−+=−的值域是

)1,e−+，其中e是自然对数的底数，则实数m的最小值是______.【答案】312e−【解析】【分析】利用导数可求得当xe时，函数()fx的值域是)1,e−+；当xe时，函数的值域是,2em−++，从而可得,2em−++)1,e−+，进而可得

结果.【详解】当xe时，'1(ln)10,xxx−=−此时函数()fx在),e+上递增，值域是)1,e−+.当xe时，12xm−+是减函数，其值域是,2em−++.因为函数()1,2,xmxefxxlnxxe−+=−的值域是)1,e−+

，所以,2em−++)1,e−+.于是1,2eme−+−解得312em−，即实数m的最小值是312e−.故答案为：312e−.【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，以及利用导数求函数的最值

，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.已知椭圆22221(0)xyabab+=长轴的右端点为A，其中O为坐标原点若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则

椭圆的离心率的最大值为____________.【答案】22【解析】【分析】由AP垂直PO，可得P点满足方程22yaxx=−，代入椭圆22221(0)xyabab+=得222322()0baxaxab−+−=在(0，a)上

有解，据此能求出椭圆的离心率e的范围．其补集即为不存在点P，使AP垂直PO时的离心率，可得离心率的最大值．【详解】设点()00,Pxy，假设AP垂直PO，根据题意得，点P在圆22222aaxy−+=

上，2200222200010xyabxaxy+=−+=，整理得()222322000abxaxab−−+=，即222()[()]0xaabxab−−−=解得2022abxab=−，或0xa=（舍去）又因为00xa，2220abaab

−，化简得：2212ca，22e，又因为01e，212e，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，椭圆离心率的取值范围为202e．即椭圆离心率的最大值为22．故答案为：22．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查满足AP垂直PO的点P的

轨迹方程，一元二次方程的根，属于中档题．17.若不等式210xaxxa−++在x的定义域内恒成立，则3a的取值范围是______.【答案】3330,2a【解析】【分析】讨论0a=成立，0a时，1yxa=+与2yx=的图象有一个交点，如图1，不成立

，0a时，计算得到3210xax−−，令()321fxxax=−−，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】当0a=时显然成立；当0a时，不等式化为21xaxxa−−+，当0x时显然成立，而当0x时1yxa=+与2yx=的图象有一个交点，如图1，其横坐标记为t，渐近线

xa=−在y轴右侧，在交点左侧.当xt=时，0ax−，210xxa−=+，矛盾，故0a不成立.当0a时，不等式化为21xaxxa−−+.当0x时显然成立，而当0x时，注意到yax=−与2yx=交于点()2,aa−.当xa−时不等式21xaxxa−−+显然成立，

只需考虑0ax−时的不等式，此时2yx=在yax=−图象下方，为保证0ax−时不等式成立，需如图2所示，1yxa=+必须在yax=−上方，于是去绝对值得210xaxxa−++，即3210xax−−.令()321fxxax=−−，0ax−，()22'3fxxa=−，则

()fx在,3aa−−上单增，在,03a−上单减，故03af−恒成立，解得3332a.综上，3330,2a.故答案为：3330,2a.【点睛】本题考查了不等

式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题关键，意在考查学生的分类讨论的能力，综合应用能力.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知函数2()2sincos12sinfxxxx=+−.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）求()f

x在区间[,]34−上的最大值与最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值2，最小值为312+−.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式化简()2sin24fxx=+，根据周期公

式可得结果；（Ⅱ由34x−，可得5321244x−+，结合正弦函数的图象可得8x=时，()fx取得最大值2，3x=−时，()fx的最小值为312+−.试题解析：（Ⅰ）()sin2cos22sin24fxxxx=+=+，所以()fx的最

小正周期为.（Ⅱ）因为34x−，所以5321244x−+.当242x+=，即8x=时，()fx取得最大值2；当52412x+=−，即3x=−时，()2231sincos3332fxf+=−=−+−=−

.即()fx的最小值为312+−.19.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，,45PBPCABC==，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：ABPC⊥（2）若PAB是边长为2的等边三角形，求直线

DE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）37.【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面PAB⊥面ABCDPO⊥面ABCD再证POBPOCOBOCOCABAB=⊥⊥面POCABPC⊥；（Ⅱ）建立空间坐标系，求得面PBC的法向量为()4333,3

,1,,1,cos,337nDEnDEnDEnDE==−==.试题解析：（Ⅰ）作POAB⊥于O……①,连接OC，∵平面PAB⊥平面ABCD，且PABABCDAB=面面，∴PO⊥面ABCD.∵PBPC=，∴POBPOC,∴OBOC=，又∵45ABC=，∴OCAB

⊥……②又POCOO=,由①②，得AB⊥面POC，又PC面POC，∴ABPC⊥.（Ⅱ）∵PAB是边长为2的等边三角形，∴3,1POOAOBOC====如图建立空间坐标系，()()()()0,0,3,1,0,0,0,1,0,1,0,0PBC

A−设面PBC的法向量为(),,nxyz=，()()1,0,3,1,1,0PBBC=−=−30{0nPBxznBCxy=−==−+=，令3x=，得()3,3,1n=()1131,0,3,,0,333APAEAP===

，()1,1,0CBDA==−43,1,33DEDAAE=+=−，设DE与面PBC所成角为4333333sincos,7163133199nDEnDEnDE−+====++++∴直线DE与平面PBC所成角的正弦值37.20.已知数列na满足()11(

33)461,nnnanaanNn+++++=−=.（1）证明：数列2nan+是等比数列；（2）令132nnnba−=+，用数学归纳法证明：()122412,521nnnbbbnnNn++++++−+【答案】（1）详见解析（2）详见解析【

解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）由数学归纳法的证明步骤，先证明2n=时，不等式成立；再假设当(2)nkk=时，不等式成立，然后证明1nk=+时不等式成立即可.【详解】证明：（1）令2nnacn+=，则

()()()()11334623322233111nnnnnnnannaaanccnnnnn++++++++++=====+++，11210ca=+=，0nc，即13nncc+=，数列nc是等比数列，故2nan+是等比数列；（2）由（1）得123

nnan−+=，132nnan−=−，1312nnnban−==+，下面用数学归纳法证明当2n，*nN时，12241521nnnbbbn+++++−+．①当2n=时，不等式的左边341173412bb=+=+=，右边413555=−=，而

73125，2n=时，不等式成立；②假设当(2)nkk=时，不等式成立，即12241521kkkbbbk+++++−+；当1nk=+时，()()11122(1)12221221kkkkkkkkkbbbbbbbbb++++++++

+++++=+++++−4111152121221kkkk−++−++++()()411522141521415211kkkk=+−++=−+−++当1nk=+时，不等式也成立．由①②可得，当2n，*nN时，12241521nnnbbbn+++++−+．【点睛】本题考

查了利用定义法证明等比数列，重点考查了数学归纳法，属中档题.21.已知抛物线2:Cyx=，过点(1,2)M的直线l交C于A，B两点，抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．（1）若直线l的斜率为1，求AB；（2）求P

AB△面积的最小值．【答案】（1）10AB=；（2）PAB△面积的最小值为2．【解析】试题分析：（1）直线l的方程为1yx=+，代入2:Cyx=消去y，求出方程的根，即可求出AB；．（2）设直线l的方程

为(1)2ykx=−+，代入2:Cyx=消去y，整理得：220xkxk−+−=，利用韦达定理，结合弦长公式求出AB，表示出点P的坐标到直线l的距离，即可求出PAB△面积的最小值为．试题解析：（1）设点1122(,),(,),AxyBxy由题意知，直线l的

方程为1yx=+，由21{yxyx=+=消去y解得，1152x+=，2152x−=．所以151521022AB+−=−=．（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)2ykx=−+，设点1122(,),(,),AxyBxy．2(1)2{yk

xyx=−+=消去y，整理得：220xkxk−+−=，12xxk+=，122xxk=−，又，所以抛物线2yx=在点A，B处的切线方程分别为2112yxxx=−，2222yxxx=−．得两切线的交点(,2)2kPk−，所以点P到直线l的距离224

821kkdk−+=+．又222212121()41?48ABkxxxxkkk=++−=+−+．设PAB△的面积为S，所以2311•((2)4)224SABdk==−+（当2k=时取得等号）．所以PAB△面积的最小值为2．考点：1、弦长公式；2、直线与抛物线的位置关系；3、

面积的最值问题．【思路点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系、弦长的求法、面积的求法等，属于难题；主要考查抛物线的综合应用，解题是要理清条件和待求的量之间的关系；直线和圆锥曲线联立时一定要细心不出错，点到直线的距离公式，弦

长公式2212121()4ABkxxxx=++−的正确运用是解答本题的关键，先表示出三角形的面积，再根据二次函数的最值求得面积的最小值．22.设,abR，已知函数()lnfxax=，2()gxxbxb=++.（Ⅰ）设2()()xfxFxa=，求()Fx在[,2]aa上的最大值.（Ⅱ）设

()()()Gxfxgx=+，若()Gx的极大值恒小于0，求证：4abe+.【答案】（Ⅰ）max1ln04()12ln24aaFxaa=,（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对函数()Fx求导，得出()Fx的单调性，因

为()Fx在区间1(0,)e单调递减，在区间1(,)e+单调递增，所以函数()Fx在闭区间[,2]aa上的最大值就是区间[,2]aa端点的函数值中最大的一个，利用作差法比较它们的大小，即可得到函数()Fx在[,2]aa上的最大值.（Ⅱ）利用导数求出函数()Gx的极大值2111G()l

nxaxxab=−−+，构造函数2()lnKxaxxab=−−+，(0,)2ax，利用导数得出3()()ln0222aaaKxKab=−+，从而得到3ln22aaba−+，5ln222aaaab+−+，通过换元并构造函数()ln5mtttt=

−+，利用导数得出函数()mt的最大值，即可证明4abe+.【详解】（Ⅰ）由题知0a，1()(1ln)Fxxa=+当10xe时，()0Fx；当1xe时，()0Fx从而()Fx的单调递增区间是1(,)e+，递减区间是1(0,)e

从而，max()max{(2),()}FxFaFa=,于是2(2)()ln4lnln4FaFaaaa−=−=；当14a时，(2)()FaFa，所以max()(2)2ln2FxFaa==;当104a时，(2)()FaFa，所以max()()lnFxFaa==；综上所得m

ax1ln04()12ln24aaFxaa=（Ⅱ）依题知2G()ln(1)xaxxbx=+++，则22()2(0)axbxaGxxbxxx++=++=，因为()Gx存在极大值，则关于x的方程220xbxa++=，有两个不等的正根，不妨12xx，则122axx=，

得0a，且102ax,设2()2pxxbxa=++列表如下：x1(0,)x1x12(,)xx2x2(,)x+()px+0—0+()Gx+0—0+()Gx单调递增极大值单调递减极小值单调递增从而极大值21111()ln(1)Gxaxxbx=+++，又211(2)bxxa

=−+，从而2111G()ln0xaxxab=−−+，对102ax恒成立,设2()lnKxaxxab=−−+，(0,)2ax，则22()axKxx−=因为2(,)20xa，所以22()0axKxx−=所以()Kx在(0,)2a上递增，从而3()()ln0222aaaKxKab=

−+所以3ln22aaba−+，55lnln22222aaaaaaba+−+=−+,设,(0)2att=，则()ln5mtttt=−+，又()4lnmtt=−.若4(0,)te，()0mt；若4(,)te+，()0mt

；从而44444()()ln5mtmeeeee−+==，即4abe+.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数在给定区间的最值以及证明不等式，考查学生的计算和推理能力，属于难题.