【文档说明】安徽省安庆市、铜陵市、池州市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题+含解析.docx，共(23)页，414.948 KB，由小赞的店铺上传

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安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题一、单选题1．数列−3，54，−79，916，⋯的第11项是（）A．−23121B．23121C．−21121D．211212．下列运算正确的是（）A．(2+𝑠𝑖𝑛𝑥)′=2+𝑐𝑜𝑠𝑥

B．(2𝑥)′=𝑥⋅2𝑥−1C．(𝑙𝑛2𝑥)′=1𝑥D．(√1−𝑥)′=12√1−𝑥3．已知变量𝑥，𝑦之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为𝑦̂=2𝑥−1，若∑⬚𝑖=1𝑦𝑖=23，则∑⬚𝑖=1𝑥𝑖=（）A．12B．19

C．31D．464．随机变量𝜉∼𝑁(𝜇，𝜎2)，若𝑃(𝜉<0)=0.3，𝑃(0<𝜉<6)=0.4，则𝑃(3<𝜉<6)=（）A．0.5B．0.4C．0.3D．0.25．如图，在正四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐵1=�

�𝐴1=2，𝐴𝐵=4，则𝐴𝐴1与平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1所成角的大小为（）A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘6．甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放入乙盒，再从乙盒中随机地取出1个

小球，则取出的小球是红球的概率是（）A．14B．1136C．13D．5127．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙

不安排同一项工作，则不同的安排方案有（）A．162种B．150种C．120种D．114种8．已知𝑎=0.99，𝑏=𝑐𝑜𝑠20.1，𝑐=12−𝑐𝑜𝑠0.1，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为（）A．𝑎<𝑏<𝑐B．𝑏<𝑎<𝑐C．𝑐<�

�<𝑎D．𝑎<𝑐<𝑏二、多选题9．已知圆𝐶：𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0，下列说法正确的是（）A．圆心为(1，2)B．半径为2C．圆𝐶与直线3𝑥+4𝑦+5=0相离D．圆𝐶被直线𝑥=0所截弦长为2√310．关于(2𝑥+1√𝑥)10的展开式，下列结论正确的是（）

A．二项式系数和为1028B．所有项的系数之和为310C．第6项的二项式系数最大D．1𝑥2项的系数为36011．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿

插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为𝛤)拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=4√2，下列说法正确的是

（）A．𝐸𝐷1⊥平面𝐸𝑀𝑁B．𝑃𝐸与𝐵1𝐷1所成角的余弦值为√63C．平面𝐸𝑀𝑁截该十字穿插体的外接球的截面面积为9𝜋D．几何体𝛤的体积为20√2312．形如𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥(𝑎>0，𝑏>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数

模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知𝑂为坐标原点，下列关于函数𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥的说法正确的是（）A．渐近线方程为𝑥=0和𝑦=𝑥B．𝑦=𝑓(𝑥

)的对称轴方程为𝑦=(√2+1)𝑥和𝑦=(1−√2)𝑥C．𝑀，𝑁是函数𝑓(𝑥)图象上两动点，𝑃为𝑀𝑁的中点，则直线𝑀𝑁，𝑂𝑃的斜率之积为定值D．𝑄是函数𝑓(𝑥)图象上任意一点，过点�

�作切线，交渐近线于𝐴，𝐵两点，则△𝑂𝐴𝐵的面积为定值三、填空题13．已知随机变量𝑋的分布列如表，则𝑋的均值𝐸(𝑋)=．𝑋－1012𝑃0.10.3m2m14．已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹，过�

�的动直线𝑙与抛物线交于𝐴，𝐵两点，满足|AB|=4的直线𝑙有且仅有一条，则𝑝=．15．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=0，𝑎2=𝑎3=2，𝑎𝑛≠−1，且𝑎𝑛𝑎𝑛+3+𝑎𝑛+𝑎𝑛+3=1，若𝑏𝑛=[32𝑎𝑛]（其中[32𝑎𝑛]表示不超过

32𝑎𝑛的最大整数），则𝑎5=；数列{𝑏𝑛}前2023项和𝑆2023=．16．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥+𝑥+𝑥𝑙𝑛𝑥，若𝑓(𝑥)≥𝑥2恒成立，则实数𝑎的取值范围为．四、解答题17．在①𝑓(𝑥)=𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗，②𝑓(𝑥)=𝑏⃗⃗⃗2𝑎⃗⃗⃗

2这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．已知向量𝑎⃗⃗⃗=(sin𝑥+cos𝑥，cos𝑥−sin𝑥)，𝑏⃗⃗⃗=(sin𝑥+cos𝑥，sin𝑥+cos𝑥)，且满足____．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求函数𝑓(𝑥)的最小正周期；（2

）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑓(𝐴)=2，𝑎=3√5，𝑏=6√2，求△𝐴𝐵𝐶的面积．18．记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1=2，2𝑆𝑛=𝑛𝑎𝑛+1．（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设𝑏𝑛=1𝑎𝑛

⋅𝑎𝑛+1，记数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，证明：𝑇𝑛<14．19．如图1，已知正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=4√3，𝑀，𝑁分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点𝑃的展开点分别为𝑃1，𝑃2，点𝐵的展开点分别为𝐵，𝐵1）

，其中△𝑃1𝑀𝑁的面积为6√3．在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，（1）求证：𝐴𝐵⊥平面𝑃𝑀𝐶；（2）求平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁夹角的余弦值．20．为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量

为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下2×2列联表：数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀2020不优秀1050合计参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑

)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．参考数据：𝛼0.10.050.010.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828（1）完成2×2列联表，试根据小概率值𝛼=0.001的独立性检验，能否认为数学成绩

与物理成绩有关联；（2）用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少?21．已知椭圆：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个焦点为𝐹，椭圆上的点到𝐹的最大距离为3，最小距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）设

椭圆左右顶点为𝐴，𝐵，在𝑥=4上有一动点𝑃，连接𝑃𝐴，𝑃𝐵分别和椭圆交于𝐶，𝐷两点，△𝑃𝐴𝐵与△𝑃𝐶𝐷的面积分别为𝑆1，𝑆2．是否存在点𝑃，使得𝑆1𝑆2=43，若存在，求出𝑃点坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数𝑓(𝑥)=𝑒2

𝑥+𝑎𝑥−2．（1）当𝑎=2时，求函数𝑓(𝑥)的图象在𝑥=0处的切线方程；（2）已知𝑎≤8时，讨论函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑎𝑥+𝑎2的零点个数．答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列的概念及简单表示法【解析】【解答】设该数列的第n项为𝑎𝑛，由已知

𝑎1=−3，𝑎2=54，𝑎3=−79，𝑎4=916，变形可得𝑎1=(−1)1×2×1+112，𝑎2=(−1)2×2×2+122，𝑎3=(−1)3×2×3+132，𝑎4=(−1)4×2×4+142，所以数列{𝑎𝑛}的一个通项公式可以是𝑎𝑛=(−1)

𝑛2𝑛+1𝑛2，可得𝑎11=(−1)112×11+1112=−23121．故答案为：A.【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式，确定数列的第11项.2．【答案】C【知识点】导数的加法与减法法则；简单复合

函数求导法则【解析】【解答】对A：(2+sin𝑥)′=cos𝑥，故A错误；对B：(2𝑥)′=2𝑥⋅ln2，故B错误；对C：(ln2𝑥)′=(ln2+ln𝑥)′=1𝑥，故C正确；对D：(√

1−𝑥)′=−12√1−𝑥，故D错误．故答案为：C.【分析】根据求导运算逐项分析判断即可.3．【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程【解析】【解答】因为∑⬚15𝑖=1𝑦𝑖=23

，所以𝑦=2315，又因为𝑦̂=2𝑥−1过点(𝑥，𝑦)，所以2315=2𝑥−1，解得𝑥=1915，则∑⬚15𝑖=1𝑥𝑖=15×1915=19．故答案为：B.【分析】根据题意，求得𝑦=2315，结合回归直线方程过样本中心点(𝑥，𝑦)，代入求得𝑥=1915，即

可求解.4．【答案】D【知识点】正态密度曲线的特点【解析】【解答】由𝑃(𝜉<0)=0.3，𝑃(0<𝜉<6)=0.4，可得𝑃(𝜉>6)=1−𝑃(0<𝜉<6)−𝑃(𝜉<0)=0.3=𝑃(𝜉

<0)，由对称性可得𝜇=3，由𝑃(0<𝜉<6)=0.4，所以𝑃(3<𝜉<6)=12𝑃(0<𝜉<6)=0.2．故答案为：D.【分析】根据正态曲线的对称性得到𝜇=3，再结合𝑃(0<𝜉<6)=0.4计算可得.5．【答案】B【知识点】棱台的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；直

线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【解析】【解答】将该正四棱台补成正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，设ABCD的中心为O，如图：连接PO，设𝑃𝑂∩𝐵1𝐷1=𝑂1，因为𝐴1𝐵1=𝐴𝐴1=2，𝐴𝐵=4，则𝐵1𝑂1=12𝐵1𝐷1

=√2，𝐵𝑂=12𝐵𝐷=2√2，所以𝐵1𝑂1𝐵𝑂=𝑃𝐵1𝑃𝐵=12，又因为𝑃𝐵−𝑃𝐵1=𝐵𝐵1=2，所以𝑃𝐵=4，由正棱锥的性质可知𝑃𝑂⊥底面ABCD，𝐴𝑂⊂底面ABCD，所以𝑃𝑂⊥𝐴𝑂，因为四边形ABC

D是正方形，所以𝐴𝑂⊥𝐵𝐷，而𝑃𝑂∩𝐵𝐷=𝑂，𝑃𝑂，𝐵𝐷⊂平面PDB，所以𝐴𝑂⊥平面PDB，则𝐴𝐴1与平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1所成角为∠𝐴𝑃𝑂，因为𝑃𝐴=𝑃𝐵=4，𝐴𝑂=12𝐴𝐶=2√2，则在直角三角形PAO中，sin

∠𝐴𝑃𝑂=𝐴𝑂𝑃𝐴=√22，且0°≤∠𝐴𝑃𝑂≤90°，所以∠𝐴𝑃𝑂=45°.故答案为：B【分析】将该正四棱台补成正四棱锥，根据线面角定义法分析可得𝐴𝐴1与平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1所成角为∠𝐴𝑃𝑂，在直角三角形中求解即可.6．【答案】C【

知识点】全概率公式【解析】【解答】从甲盒中取出2个红球的概率为𝐶22𝐶42=16，从甲盒中取出2个黑球的概率为𝐶22𝐶42=16，从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为𝐶21𝐶21𝐶42=23，由全概率公式，从乙盒中随机地取出1个红球的概率𝑃=16×16+23×13

+16×12=13．故答案为：C.【分析】根据题意分别求出从甲盒中取出2个红球的概率，取出2个黑球的概率和取出1个红球1个黑球的概率，然后利用全概率公式可求得结果.7．【答案】D【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合【解析】【解答】将5人分成三组的分

法有𝐶53+𝐶52𝐶32𝐴22=25种，其中甲乙同组的分法有𝐶31+𝐶32=6种，因此符合要求的分组有25−6=19种，再把所分组安排工作，共有19×𝐴33=114种，所以不同的安排方案有114种

．故答案为：D.【分析】把5人按照甲乙不在同一组分成3组，再作全排列并计算作答.8．【答案】A【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为𝑎=0.99，𝑏=cos20.1，所以𝑏−𝑎=cos20.1−0.99=c

os20.1+(0.1)2−1，设𝑓(𝑥)=cos2𝑥+𝑥2−1，𝑥∈(0，1)，则𝑓′(𝑥)=−2sin𝑥cos𝑥+2𝑥=2𝑥−sin2𝑥设𝑔(𝑥)=2𝑥−sin2𝑥，则𝑔′(𝑥)=2−2cos2

𝑥>0，则𝑔(𝑥)在(0，1)单调递增，𝑔(𝑥)>𝑔(0)=0，即𝑓′(𝑥)>0，所以𝑓(𝑥)在(0，1)单调递增，𝑓(𝑥)>𝑓(0)=0，所以𝑓(0.1)=cos20.1−0.

99>0，即𝑏>𝑎．因为𝑏=cos20.1，𝑐=12−cos0.1，所以𝑐−𝑏=12−cos0.1−cos20.1，设𝑚(𝑡)=12−𝑡−𝑡2=1−2𝑡2+𝑡32−𝑡，𝑡∈(0，1)，设ℎ(𝑡)=1−2𝑡2+𝑡3，ℎ′(𝑡

)=−4𝑡+3𝑡2=−𝑡(4−3𝑡)<0，则ℎ(𝑡)在𝑡∈(0，1)单调递减，ℎ(𝑡)>ℎ(1)=0，则𝑚(𝑡)>0，记𝑡=cos0.1可得𝑚(0.1)>0，所以𝑐−𝑏=12−cos0.1−cos20.1>0，所以𝑏<𝑐．因此有𝑎<𝑏<𝑐．故答案为：A.【

分析】因为𝑏−𝑎=cos20.1−0.99=cos20.1+(0.1)2−1，故构建𝑓(𝑥)=cos2𝑥+𝑥2−1，𝑥∈(0，1)，利用导数研究其单调性，由此比较𝑎，𝑏的大小；因为𝑐−𝑏=12−cos0.1−cos20.1，故构建𝑚(𝑡)=12−𝑡−𝑡2，�

�∈(0，1)，利用导数研究函数𝑚(𝑡)的单调性，由此比较𝑏，𝑐的大小，由此确定结论.9．【答案】B,D【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程【解析】【解答】将圆𝐶：𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+1=0，化为标准方程得(𝑥+1)

2+(𝑦−2)2=4，可知圆心𝐶(−1，2)，半径𝑅=2，故A错误，B正确；由圆心𝐶(−1，2)到直线3𝑥+4𝑦+5=0的距离𝑑=|−3+4×2+5|5=2，即𝑅=𝑑，直线与圆相切，故C错误；圆心𝐶(−1，2)到直线�

�=0的距离为𝑑1=1，所以所截弦长为2√22−12=2√3，故D正确.故答案为：BD.【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.10．【答案】B,C【知识点

】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】对A：(2𝑥+1√𝑥)10的的展开式二项式系数和为210=1024，故A错误；对B：令𝑥=1，可得(2𝑥+1√𝑥)10中所有项的系数之和为(3+1)10=310，故B正确；对C：因为10为偶数，所以(2𝑥+1√�

�)10的展开式中第102+1=6项的二项式系数最大，故C正确；对D：(2𝑥+1√𝑥)10的展开式的通项为𝑇𝑘+1=𝐶10𝑘210−𝑘𝑥10−32𝑘，𝑘=0，1，⋯，10，令10−32𝑘=−2得𝑘=8，此时𝑇9=𝐶

10822𝑥−2=180𝑥2，所以1𝑥2项的系数为180，故D错误．故答案为：BC.【分析】对A：由题意得二项式系数和公式求解进行判断，对B：令𝑥=1可求得结果，对C：由二项式系数的性质进行判断，对D：求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为−2，求出k，然后代入通项公式可求得

结果.11．【答案】A,C,D【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【解析】【解答】对A：连接𝐵1𝐷1，𝐷1𝑁，𝐷1𝐸，由𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=4√2，可知𝑃

，𝑄，𝑀，𝑁均为棱上的四等分点，E，F为棱上的中点，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=4√2，所以𝐵1𝐷1=2√2，𝐵1𝐸=2√2，𝐴1𝑁=3√2，所以𝐸𝐷1=4，𝐸𝑁=√6，𝐷1𝑁=√22，

所以𝐷1𝑁2=𝐸𝐷12+𝐸𝑁2，故𝐸𝐷1⊥𝐸𝑁，同理可得𝐸𝐷1⊥𝐸𝑀，又𝐸𝑁∩𝐸𝑀=𝐸，𝐸𝑁，𝐸𝑀⊂平面EMN，所以𝐸𝐷1⊥平面EMN，故A正确；对B：连接EF，则PE与𝐵1𝐷1所成角即为PE与EF所成角，在△𝑃𝐸𝐹中，𝑃𝐸=𝑃�

�=√6，𝐸𝐹=2√2，所以PE与EF所成角的余弦值为12𝐸𝐹𝑃𝐸=√2√6=√33，故B错误；对C：该十字穿插体的外接球球心即为长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的中心O，半径𝑅=12√22+22+(4√2)2=√10，球心O到平面EMN的距

离d，即为球心O到长方体侧面的距离，所以d=1，所以截面圆的半径𝑟=√𝑅2−𝑑2=3，所以截面面积为9π，故C正确；对D：几何体𝛤可取为𝐸𝑄𝐹𝑃−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，设其体积为x，𝑉𝑃−𝐸𝐹𝑁=4√23，则2𝑥+2𝑉𝑃−𝐸𝐹�

�=𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1=16√2，所以𝑥=20√23，故D正确．故答案为：ACD.【分析】对A：连接𝐵1𝐷1，𝐷1𝑁，𝐷1𝐸，利用已知的数据结合勾股定理逆定理可得𝐸𝐷1⊥𝐸𝑁，𝐸𝐷1

⊥𝐸𝑀，然后利用线面垂直的判定可得结论；对B：PE与𝐵1𝐷1所成角即为PE与EF所成角，在△𝑃𝐸𝐹中求解即可；对C：求出球心O到平面EMN的距离，从而可求出截面圆的半径，进而可求出面积；对D：几何体𝛤可取为𝐸𝑄𝐹𝑃−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，设其体积为x，然后利用2𝑥+

2𝑉𝑃−𝐸𝐹𝑁=𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1可求得结果.12．【答案】A,B,D【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；直线的斜率；双曲线

的简单性质【解析】【解答】对A：因为𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥是双曲线，由图象可知：函数𝑓(𝑥)图象无限接近𝑥=0和𝑦=𝑥，但不相交，故渐近线为𝑥=0和𝑦=𝑥，故A正确；对B：因为𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，一

条直线的倾斜角为45°+45°2=67.5°，由二倍角公式可得tan45°=2tan22.5°1−(tan22.5°)2=1，整理得(tan22.5°)2+2tan22.5°−1=0，解得tan22.5°=√2−1或tan22.5°=−√2−1（舍去），故𝑘1=tan67.5°=

tan(45°+22.5°)=1+tan22.5°1−tan22.5°=√2+1，另一条直线的斜率为𝑘2=−1𝑘1=1−√2，所以𝑦=𝑓(𝑥)的对称轴方程为𝑦=(√2+1)𝑥和𝑦=(1−√2)𝑥，故B正确；对C：设𝑀(𝑥1，�

�1)，𝑁(𝑥2，𝑦2)，所以𝑘𝑀𝑁=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2，𝑘𝑂𝑃=𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2，故𝑘𝑀𝑁⋅𝑘𝑂𝑃=𝑦12−𝑦22𝑥12−𝑥22=(𝑥1+1𝑥1)2−(𝑥2+

1𝑥2)2𝑥12−𝑥22=1−1𝑥12𝑥22，故C错误；对D：因为𝑓′(𝑥)=1−1𝑥2，设𝑄(𝑡，𝑡+1𝑡)，则Q处切线的斜率𝑘=𝑓′(𝑡)=1−1𝑡2，所以切线方程

为𝑦=(1−1𝑡2)(𝑥−𝑡)+𝑡+1𝑡，令𝑥=0，可得𝑦=(1−1𝑡2)(−𝑡)+𝑡+1𝑡=2𝑡，即𝐴(0，2𝑡)，则|𝑂𝐴|=2|𝑡|；令𝑦=𝑥=(1−1𝑡2)(𝑥−𝑡)+𝑡+1𝑡，可得𝑥=2𝑡，即𝐵(2𝑡，2𝑡)，

则|𝑂𝐵|=2√2|𝑡|；故△𝑂𝐴𝐵面积为𝑆△𝑂𝐴𝐵=12×2|𝑡|×2√2|𝑡|×√22=2（定值），故D正确．故答案为：ABD.【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算

；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.13．【答案】0.9【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由离散型分布列的性质，可得0

.1+0.3+𝑚+2𝑚=1，解得𝑚=0.2，则𝐸(𝑋)=−1×0.1+0×0.3+1×0.2+2×0.4=0.9．故答案为：0.9.【分析】根据分布列的性质，求得𝑚=0.2，结合期望的计算公式，即可求解.14．【答案】2【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与

圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】设交点坐标为𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，过𝐹(𝑝2，0)的直线为𝑥=𝑚𝑦+𝑝2，与抛物线联立可得，𝑦2−2𝑝𝑚𝑦−𝑝2=0，故𝑦1+𝑦2=2𝑝𝑚．则

|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=𝑥1+𝑥2+𝑝=𝑚𝑦1+𝑝2+𝑚𝑦2+𝑝2+𝑝=𝑚(𝑦1+𝑦2)+2𝑝=2𝑝𝑚2+2𝑝≥2𝑝，故当|𝐴𝐵|=2𝑝时，动直线

有且仅有一条，即2𝑝=4，故𝑝=2．故答案为：2.【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.15．【答案】−13；1685【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式【解析】【解答】由𝑎𝑛𝑎𝑛+

3+𝑎𝑛+𝑎𝑛+3=1，得𝑎𝑛+3𝑎𝑛+6+𝑎𝑛+3+𝑎𝑛+6=1，两式相减得(𝑎𝑛+3+1)(𝑎𝑛−𝑎𝑛+6)=0，因为𝑎𝑛≠−1，所以𝑎𝑛=𝑎𝑛+6，则数列{𝑎𝑛}的周期为6，则数列{𝑏𝑛}的周期也为6，由题意得𝑎4=1，

𝑎5=𝑎6=−13，则𝑏1=0，𝑏2=𝑏3=3，𝑏4=1，𝑏5=𝑏6=−1，所以𝑆2023=337×(𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏6)+𝑏1=1685.故答案为：−13，1685.【分析】由𝑎𝑛𝑎𝑛+3

+𝑎𝑛+𝑎𝑛+3=1，得到𝑎𝑛+3𝑎𝑛+6+𝑎𝑛+3+𝑎𝑛+6=1，两式相减得到(𝑎𝑛+3+1)(𝑎𝑛−𝑎𝑛+6)=0，进而得到数列{𝑎𝑛}的周期为6，数列{𝑏�

�}的周期也为6求解.16．【答案】[1𝑒2，+∞)【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】由已知不等式𝑓(𝑥)≥𝑥2，可化为𝑎𝑒𝑥+𝑥≥𝑥2−𝑥ln

𝑥，两边同时除以x得𝑎𝑒𝑥𝑥+1≥ln𝑒𝑥𝑥．令𝑡=𝑒𝑥𝑥，𝑥∈(0，+∞)，则𝑡′=𝑒𝑥(𝑥−1)𝑥2，当0<𝑥<1时，𝑡′<0，函数𝑡=𝑒𝑥𝑥在(0，1)上单调递减，当𝑥>1时，𝑡′>0，函数𝑡=𝑒�

�𝑥在(1，+∞)上单调递增，所以当𝑥=1时，函数𝑡=𝑒𝑥𝑥取最小值，最小值为e，当𝑥→0时，𝑡→+∞，当𝑥→+∞时，𝑡→+∞，所以𝑡=𝑒𝑥𝑥的范围是[𝑒，+∞)，即𝑡≥𝑒．所以不等式𝑎𝑒𝑥𝑥+1≥ln𝑒𝑥𝑥可化为𝑎𝑡+1≥ln

𝑡，其中𝑡≥𝑒，所以𝑎≥ln𝑡−1𝑡在[𝑒，+∞)上恒成立，构造函数𝑔(𝑡)=ln𝑡−1𝑡，𝑡≥𝑒，则𝑔′(𝑡)=2−ln𝑡𝑡2，令𝑔′(𝑡)=0，可得𝑡=𝑒2，当𝑒≤𝑡<�

�2时，𝑔′(𝑡)>0，函数𝑔(𝑡)在[𝑒，𝑒2)上单调递增，当𝑡>𝑒2时，𝑔′(𝑡)<0，函数𝑔(𝑡)在(𝑒2，+∞)上单调递减，所以𝑡=𝑒2时，𝑔(𝑡)取最大值，最大值为1𝑒2，所以𝑎≥1𝑒2，即a的取值范围为[1𝑒2，+∞).故答案为：[1𝑒2，

+∞).【分析】不等式可化为𝑎𝑒𝑥𝑥+1≥ln𝑒𝑥𝑥，令𝑡=𝑒𝑥𝑥，𝑥∈(0，+∞)，可得𝑎≥ln𝑡−1𝑡恒成立，其中𝑡≥𝑒，构造函数𝑔(𝑡)=ln𝑡−1𝑡，𝑡≥𝑒，利用导数求其最大值可得a的取值范围.17．【答案】（1）解

：若选条件①：由向量𝑎⃗⃗⃗=(sin𝑥+cos𝑥，cos𝑥−sin𝑥)，𝑏⃗⃗⃗=(sin𝑥+cos𝑥，sin𝑥+cos𝑥)，可得𝑓(𝑥)=𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=(sin𝑥+cos𝑥)2+c

os2𝑥−sin2𝑥=1+sin2𝑥+cos2𝑥=√2sin(2𝑥+𝜋4)+1，所以函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝑇=2𝜋2=𝜋.若选条件②：由向量𝑎⃗⃗⃗=(sin𝑥+cos𝑥，cos𝑥−sin𝑥)，𝑏⃗⃗⃗=(s

in𝑥+cos𝑥，sin𝑥+cos𝑥)，可得𝑏⃗⃗⃗2=(sin𝑥+cos𝑥)2+(sin𝑥+cos𝑥)2=2sin2𝑥+2，𝑎⃗⃗⃗2=(sin𝑥+cos𝑥)2+(cos𝑥−sin𝑥)2=2，所以𝑓(𝑥)=𝑏⃗⃗⃗2

𝑎⃗⃗⃗2=sin2𝑥+1，所以函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝑇=2𝜋2=𝜋.（2）解：选条件①：由（1）得𝑓(𝐴)=√2𝑠𝑖𝑛(2𝐴+𝜋4)+1=2，则𝑠𝑖𝑛(2𝐴+𝜋4)=√22，因为𝐴∈(0，𝜋)

，所以2𝐴+𝜋4∈(𝜋4，9𝜋4)，所以2𝐴+𝜋4=3𝜋4，即𝐴=𝜋4，在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，整理得𝑐2−12𝑐+27=0，解得𝑐=3或𝑐

=9，当𝑐=3时，𝑆=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12×6√2×3×√22=9，当𝑐=9时，𝑆=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12×6√2×9×√22=27，所以△𝐴𝐵𝐶的面积为9或27．若选条件②：由（1）得𝑓(𝐴)=𝑠𝑖𝑛2𝐴+1=2，则𝑠𝑖𝑛2𝐴=1，因

为𝐴∈(0，𝜋)，所以2𝐴∈(0，2𝜋)，所以2𝐴=𝜋2，即𝐴=𝜋4，在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，整理得𝑐2−12𝑐+27=0，解得𝑐=3或𝑐=9，当𝑐

=3时，𝑆=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12×6√2×3×√22=9，当𝑐=9时，𝑆=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12×6√2×9×√22=27，所以△𝐴𝐵𝐶的面积为9或27．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；简单的三

角恒等变换；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【分析】(1)若选条件①：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥+𝜋4)+1，进而可求周期；若选条件②：根据数量积

的坐标表示结合三角恒等变换可得𝑓(𝑥)=sin2𝑥+1，进而可求周期；(2)对于条件①②：由𝑓(𝐴)=2可得𝐴=𝜋4，利用余弦定理可得𝑐=3或𝑐=9，进而可求面积.18．【答案】（1）解：解法一：∵2𝑆𝑛=𝑛𝑎𝑛+1，2𝑆𝑛−1=(𝑛−1)𝑎𝑛(𝑛

≥2)，两式相减可得，𝑛𝑎𝑛+1=(𝑛+1)𝑎𝑛(𝑛≥2)，可得𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛(𝑛≥2)，又∵𝑎2=2𝑆1=2𝑎1=4，∴𝑎2𝑎1=42=21也符合．∴𝑛∈𝑁∗，𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛，∴𝑎𝑛=𝑎�

�𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2⋯⋅𝑎2𝑎1⋅𝑎1=𝑛𝑛−1⋅𝑛−1𝑛−2⋯⋅21⋅2=2𝑛，故𝑎𝑛=2𝑛；解法二：2𝑆𝑛=𝑛𝑎𝑛+1，𝑛≥2时，2𝑆𝑛−1=(𝑛−1)𝑎𝑛，两式相减得(𝑛+1)𝑎𝑛=𝑛𝑎𝑛+1，∴𝑎�

�+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛，(𝑛≥2)，又∵𝑎2=2𝑆1=2𝑎1=4，𝑎1=2，∴𝑎22=2，𝑎11=2，∴{𝑎𝑛𝑛}为常数列，𝑎𝑛𝑛=2，∴𝑎𝑛=2𝑛（2）证明：𝑏𝑛=1𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1=12𝑛

⋅2(𝑛+1)=14(1𝑛−1𝑛+1)．前𝑛项和𝑇𝑛=14(1−12+12−13+⋯+1𝑛−1𝑛+1)=14(1−1𝑛+1)=14−14(𝑛+1)，∵𝑛∈𝑁∗，∴14(𝑛+1)>0，∴14−14(𝑛+1)<14，∴𝑇𝑛

<14.【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式【解析】【分析】(1)解法一：根据𝑎𝑛与𝑆𝑛之间的关系可得𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+1𝑛，利用累积法运算求解；解法二：根据𝑎𝑛与𝑆𝑛之间的关系可得𝑎𝑛+

1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛，结合常数列运算求解；(2)整理可得𝑏𝑛=14(1𝑛−1𝑛+1)，利用裂项相消法分析证明.19．【答案】（1）证明：因为三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶为正三棱锥，𝑀为𝐴𝐵的中点，所以𝐴𝐵⊥𝑃𝑀，𝐴𝐵⊥𝐶𝑀

，又因为𝑃𝑀∩𝐶𝑀=𝑀，𝑃𝑀、𝐶𝑀⊂平面𝑃𝑀𝐶，所以𝐴𝐵⊥平面𝑃𝑀𝐶；（2）解：如图1，在平面展开图中过𝑃1作直线𝑀𝑁的垂线，垂足为𝐸，垂线交𝐴𝐶于点𝐹

，所以12⋅𝑃1𝐸⋅𝑀𝑁=6√3，因为𝑀，𝑁分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点，所以𝑀𝑁=12𝐴𝐶=2√3，所以12×2√3𝑃1𝐸=6√3，得𝑃1𝐸=6，在正三角形𝐴𝐵𝐶中，因为𝐴𝐵=4√3，所以

𝐸𝐹=12×√32×4√3=3，所以𝑃1𝐹=3，在𝑅𝑡△𝑃1𝐴𝐹中，𝑃1𝐴=√(2√3)2+32=√21．解法一：如图2，以𝐴为坐标原点，建立空间直角坐标系，则𝐴(0，0，0)

，𝐵(6，2√3，0)，𝐶(0，4√3，0)，𝑀(3，√3，0)，𝑁(3，3√3，0)，𝑃(2，2√3，√5)．设𝑚⃗⃗⃗⃗=(𝑥1，𝑦1，𝑧1)为平面𝑃𝐴𝐶的一个法向量，因为𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，2√3，√5)，𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=(0，4√3，0)，所以{𝑚⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑚⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即{2𝑥1+2√3𝑦1+√5𝑧1=04√3𝑦1=0，令𝑥1=√5，可得𝑚⃗⃗⃗⃗=(√5，0，−2)．设𝑛⃗⃗⃗=(𝑥2，�

�2，𝑧2)为平面𝑃𝑀𝑁的一个法向量，因为𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2√3，0)，𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，√3，√5)，所以{𝑛⃗⃗⃗⋅𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⃗⋅𝑀𝑃=0，即{2√3𝑦2=0−𝑥2+√3𝑦2

+√5𝑧2=0，令𝑥2=√5，可得𝑛⃗⃗⃗=(√5，0，1)．设平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁夹角为𝜃，cos𝜃=|𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗⃗||𝑚⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗⃗|=33×√6=√66，所以平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁夹角的余弦值

为√66．解法二：如图3，设平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁的交线为𝑙，因为𝑀𝑁∥𝐴𝐶，所以𝑀𝑁∥平面𝑃𝐴𝐶，所以𝑀𝑁∥𝑙，𝐴𝐶∥𝑙．在等腰三角形𝑃𝐴𝐶中，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶，在等腰三角形𝑃𝑀𝑁中，𝑃𝐸⊥𝑀𝑁，所以𝑃𝐹⊥�

�，𝑃𝐸⊥𝑙，则∠𝐸𝑃𝐹为平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁的夹角（或其补角）．𝑃𝑀=𝑃𝐹=3，𝑀𝑁=2√3，则在等腰三角形𝑃𝑀𝑁中，𝑃𝐸=√6，在三角形𝑃𝐸𝐹中，𝑃𝐸=√6，𝑃𝐹=�

�𝐹=3，由余弦定理得𝑐𝑜𝑠∠𝐸𝑃𝐹=6+9−92×√6×3=√66，所以平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁夹角的余弦值为√66．【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直

线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)根据题意可得𝐴𝐵⊥𝑃𝑀，𝐴𝐵⊥𝐶𝑀，结合线面垂直的判定定理分析证明；(2)解法一：以𝐴为坐标原点，建立空间直

角坐标系，求平面𝑃𝑀𝑁的法向量，利用空间向量求线面夹角；解法二：根据题意分析可知∠𝐸𝑃𝐹为平面𝑃𝐴𝐶与平面𝑃𝑀𝑁的夹角（或其补角），结合余弦定理运算求解.20．【答案】（1）解：零假设𝐻0：数学成

绩与物理成绩无关联，补充列联表为数学成绩物理成绩合计优秀不优秀优秀202040不优秀105060合计3070100𝜒2=100×(20×50−10×20)230×70×40×60≈12.698>10.828．根据小概率值𝛼=0.001的独立性检验，有充分证据证明

推断𝐻0不成立，故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；（2）解：由频率估计概率可得，任取一个学生数学成绩优秀的概率为𝑝=0.4，设12个学生中数学成绩优秀的人数为

𝜉，随机变量𝜉∼𝐵(12，0.4)，人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．设𝑝𝑘=𝑃(𝜉=𝑘)=𝐶12𝑘0.4𝑘0.612−𝑘，解法一：𝑝𝑘𝑝𝑘−1=�

�12𝑘0.4𝑘0.612−𝑘𝐶12𝑘−10.4𝑘−10.613−𝑘=(13−𝑘)×0.40.6𝑘=1+5.2−𝑘0.6𝑘，（1≤𝑘≤12且𝑘∈𝑁∗）当𝑘<5.2时，𝑝𝑘>𝑝𝑘−

1，当𝑘>5.2时，𝑝𝑘<𝑝𝑘−1，故𝑘=5时，𝑝𝑘取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．解法二：{𝑝𝑘≥𝑝𝑘−1，𝑝𝑘≥𝑝𝑘+1，，即{𝐶12𝑘0.4𝑘0.612−𝑘≥𝐶12𝑘−10.4𝑘−10.613−𝑘，𝐶12𝑘0.4𝑘0

.612−𝑘≥𝐶12𝑘+10.4𝑘+10.611−𝑘，解得4.2≤𝑘≤5.2，因𝑘∈𝑍，则𝑘=5，故𝑘=5时，𝑝𝑘取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．【知识点】独立性检验的

应用；二项分布【解析】【分析】(1)根据题意完善列联表，求𝜒2，并与临界值对比分析；(2)根据题意分析可得𝜉∼𝐵(12，0.4)，解法一：利用作商法比较大小，进而可得结果；解法二：直接列不等式，进而可得结果.21．【答案】（1）解：设椭圆𝑥2𝑎2+�

�2𝑏2=1的半焦距为𝑐，因为椭圆上的点到𝐹的最大距离为3，最小距离为1，所以𝑎+𝑐=3，𝑎−𝑐=1，又𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎=2，𝑐=1，𝑏=√3，故椭圆的标准方程为𝑥24+𝑦2

3=1；（2）解：由（1）可得𝐴(−2，0)，𝐵(2，0)，假设存在点𝑃(4，𝑡)，使得𝑆1𝑆2=43，设∠𝐴𝑃𝐵=𝜃，则𝑆1𝑆2=12|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|⋅𝑠𝑖𝑛𝜃12|𝑃𝐶|⋅|𝑃𝐷|⋅𝑠𝑖𝑛

𝜃=|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵||𝑃𝐶|⋅|𝑃𝐷|=|𝑃𝐴||𝑃𝐶|⋅|𝑃𝐵||𝑃𝐷|，设𝐶，𝐷横坐标为𝑥𝐶，𝑥𝐷，则|𝑃𝐴||𝑃𝐶|=4−(−2)4−𝑥𝐶，|𝑃𝐵||𝑃𝐷|=4−24−𝑥𝐷所以𝑆1𝑆2=6×2(4−𝑥�

�)⋅(4−𝑥𝐷)=43，整理得(4−𝑥𝐶)⋅(4−𝑥𝐷)=9，①设𝑃点坐标为(4，𝑡)(𝑡≠0)，直线𝑃𝐴斜率为𝑘𝑃𝐴=𝑡6，𝑃𝐵斜率为𝑘𝑃𝐵=𝑡2，故𝑘𝑃𝐵=3𝑘𝑃𝐴，设直线𝑃𝐴的斜率

为𝑘，故直线𝑃𝐴方程为𝑦=𝑘(𝑥+2)，直线𝑃𝐵方程为𝑦=3𝑘(𝑥−2)，将直线𝑃𝐴和椭圆联立{𝑥24+𝑦23=1，𝑦=𝑘(𝑥+2)，可得(3+4𝑘2)𝑥2+16𝑘2𝑥+16𝑘2−12=0，由韦达定理

可得−2𝑥𝐶=16𝑘2−123+4𝑘2，解得𝑥𝐶=6−8𝑘23+4𝑘2，将直线𝑃𝐵和椭圆联立{𝑥24+𝑦23=1，𝑦=3𝑘(𝑥−2)，可得(1+12𝑘2)𝑥2−48𝑘2𝑥+48𝑘2−4=0，由韦达定理可得2

𝑥𝐷=48𝑘2−41+12𝑘2，解得𝑥𝐷=24𝑘2−21+12𝑘2，将𝐶，𝐷横坐标代入①式可得，(4−6−8𝑘23+4𝑘2)⋅(4−24𝑘2−21+12𝑘2)=9，整理得(24𝑘2+6)2(3+4𝑘2)(1+12𝑘2)=9，化简得(4𝑘2−1)2=0

，解得𝑘2=14，即𝑘=±12，当𝑘=12时，直线𝑃𝐴的方程为𝑦=12(𝑥+2)，代入点𝑃(4，𝑡)可得𝑡=3，即点𝑃的坐标为(4，3)，当𝑘=−12时，直线𝑃𝐴的方程为𝑦=−12(𝑥+2)，代入点𝑃(4，𝑡)可得𝑡=−3，即点𝑃的坐标为(4

，−3)，故𝑃点坐标为(4，3)或(4，−3)．【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意列式求解𝑎，𝑏，𝑐，进而可得结果；(2)设𝐶，𝐷横坐标为𝑥𝐶，𝑥𝐷，根据面积关系分析可得(4−𝑥𝐶)⋅(4−

𝑥𝐷)=9，再证明𝑘𝑃𝐵=3𝑘𝑃𝐴，设直线𝑃𝐴的斜率为𝑘，联立方程求𝑥𝐶，𝑥𝐷，代入运算求解即可.22．【答案】（1）解：当𝑎=2时，𝑓(𝑥)=𝑒2𝑥+2𝑥−

2，𝑓′(𝑥)=2𝑒2𝑥+2，则切线斜率𝑘=𝑓′(0)=4，切点为(0，−1)，所以切线方程为𝑦+1=4(𝑥−0)，即4𝑥−𝑦−1=0.（2）解：函数𝑔(𝑥)=𝑒2𝑥−𝑎

𝑥+𝑎2−2的定义域为R，求导得𝑔′(𝑥)=2𝑒2𝑥−𝑎，①当𝑎≤0时，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)在R上单调递增，而𝑔(0)=𝑎2−1<0，𝑔(1)=𝑒2−𝑎2−2>0，因此函数

𝑔(𝑥)有一个零点；②当0<𝑎≤8时，令𝑔′(𝑥)=2𝑒2𝑥−𝑎=0，得𝑥=12𝑙𝑛𝑎2，当𝑥<12𝑙𝑛𝑎2时，𝑔′(𝑥)<0；当𝑥>12𝑙𝑛𝑎2时，𝑔′(𝑥)>0，则𝑔(𝑥)在(−∞，12ln𝑎2)上单调递减，在

(12𝑙𝑛𝑎2，+∞)上单调递增，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(12𝑙𝑛𝑎2)=𝑎−𝑎2𝑙𝑛𝑎2−2，令𝑚=min{0，12ln𝑎2}（min{0，12ln𝑎2}表示0，12ln𝑎2

中最小值）当𝑥∈(−∞，𝑚)时，0<𝑒2𝑥<𝑒2𝑚，函数𝑦=−𝑎𝑥+𝑎2−2在(−∞，𝑚)上单调递减，函数值集合为(−𝑎𝑚+𝑎2−2，+∞)，因此函数𝑔(𝑥)在(−∞，12ln𝑎2)上的取值集合为(𝑎−𝑎2𝑙𝑛𝑎2−2，+∞)，令𝜑(

𝑥)=𝑒𝑥−𝑥2，𝑥>1，求导得𝜑′(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑥，令𝑢(𝑥)=𝜑′(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑥，𝑥>1，则𝑢′(𝑥)=𝑒𝑥−2>0，即函数𝜑′(𝑥)在(1，+∞)上单调递

增，𝜑′(𝑥)>𝜑′(1)=𝑒−2>0，函数𝜑(𝑥)在(1，+∞)上单调递增，𝜑(𝑥)>𝜑(1)=𝑒−1>0，即有𝑒𝑥>𝑥2(𝑥>1)，当𝑥>1时，𝑔(𝑥)=𝑒2𝑥−𝑎𝑥+𝑎2−2≥𝑒2𝑥−8𝑥+2>(2𝑥)2−8𝑥+2，函数𝑦=4

𝑥2−8𝑥+2在(1，+∞)上单调递增，函数值集合为(−2，+∞)，而12𝑙𝑛𝑎2≤12𝑙𝑛82=ln2<1，因此函数𝑔(𝑥)在(12𝑙𝑛𝑎2，+∞)上的取值集合为(𝑎−𝑎2𝑙𝑛𝑎2−2，+∞)，设ℎ(𝑥)=𝑥−

𝑥2𝑙𝑛𝑥2−2，0<𝑥≤8，则ℎ(2)=0，ℎ′(𝑥)=12(1−𝑙𝑛𝑥2)，ℎ′(2𝑒)=0，当0<𝑥<2𝑒时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)在(0，2𝑒)单调递增，当2𝑒<𝑥<8时，ℎ′(𝑥)

<0，ℎ(𝑥)在(2𝑒，8)单调递减，ℎ(8)=8−4𝑙𝑛4−2=2(𝑙𝑛𝑒3−𝑙𝑛16)>0，即当𝑎∈(0，2)时，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛<0，则𝑔(𝑥)有两个零点；当𝑎=2时，𝑔

(𝑥)𝑚𝑖𝑛=0，则𝑔(𝑥)有一个零点；当𝑎∈(2，8]时，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛>0，则𝑔(𝑥)没有零点．所以当𝑎∈(2，8]时，零点个数为0；当𝑎∈(−∞，0]∪{2}时，零点个数为1；当𝑎∈

(0，2)时，零点个数为2.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com