【文档说明】广东省东莞市东华高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，663.551 KB，由小赞的店铺上传

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1东华高级中学20202021−学年第二学期期末考试高二数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1、已知集合{|51}AxX=−，则2{|4}BXX=„，则AB=A.(2,3)B.[2,3)C.[2,1)−D.(2,1)−

2、已知i为虚数单位，复数31iZi−=+，则||z=A.1B.2C.2D.53、设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，:pmn⊥，若p是q的必要条件，则q可能是A.:qm，n⊥，//B.:qm⊥，n⊥，//C.，//n，⊥D.，//n，⊥4

.下图上半部分为一个荔枝园，每年荔枝成熟时，园主都要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的荔枝迅速运送到水果集散地C处销售.路径1:先集中到A处，再沿公路AC运送;路径2:先集中到B处，再沿公路BC运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送荔枝

至C处所走的路程一样远.已知3ACkm=，4BCkm=，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线5.设X为随机变量，且1~(,)3XBn，若随机变量X的方差4()3DX=，则(2)()PX==A.472

9B.16C.20243D.8024326.东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与人文景观为一体的新型公园。现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩.记

事件:A甲和乙至少一人选择映翠湖，事件:B甲和乙选择的景点不同，则条件概率(|)()PBA=A.716B.786.7cD.377.已知函数()yfx=为R上的偶函数，且对于任意的[0,)2x满足()cos()s

in0fxxfxx+，则下列不等式成立的是A.3()()36ffB.(0)2()4ff−.()2()43cff−D.3()()36ff−−−8.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷.如图是一种幄帐的示意图

，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为5:3，则正脊与斜脊长度的比值为A.35B.899.10CD.1二、多项选择题：本大题共

4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9、将曲线1:sinCyx=上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左

平移6个单位长度，得到曲线2:()Cyfx=，则下列结论正确的是A.()sin(2)6fxx=+B.512x=−为一条对称轴C.()fx在[0,2]上有4个零点D.()fx在(,)36−上单

调递增310.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平

面PEF所成的角C.三棱锥PQEF−的体积D.QEF的面积11.设随机变量的分布列如下：123.....20202021P1a2a3a.....2020a2021a则下列说法正确的是A.当{}na为等差数列时，2

202022021aa+=B.数列{}na的通项公式可能为20222021(1)nann=+C.当数列{}na满足1(1,2,,2020)2nnan==时，2021202112a=D.当数列{}na满足2()(1,2,,2021)kPkkak==„时，

1(1)(1)(2)nnnanan−+=−…12.2021年3月20日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log.o设计师的灵感来源于曲线:||||1.nnCxy+=则下列说法正确的是4A.曲线C关于原点成中心对称B.当2n=−时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为

2C.当0n时，曲线C所围成图形的面积的最小值为D.当0n时，曲线C所围成图形的面积小于4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出

的人员至少有一名女生的选法有__________种.14.在261(2)xx−的展开式中，含3x的项的系数为__________.15.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左、右焦点分别

为1F，2F，点A在双曲线E的左支上，且12120FAF=，21||3||AFAF=，则双曲线E的离心率为__________16、若存在0(1,2)x−，满足001ln23xaxa+−，则实数a

的取值范围为__________四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC的内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，3(sin3cos).cbAA=+(1)求;B(2)若3b=，求ABC周长的最大值.18.已知首项为2的数列{}na中，前n项和nS满足2().nStnntR=+(1)求实数t的值及数列{}na的通项公式;na

5(2)将①11nnnbaa+=，②2nannba=+，③2nannba=三个条件任选一个补充在题中，求数列{}nb的前n项和.nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，三棱柱111ABCAB

C−中，平面11AACC⊥平面ABC，ABC和1AAC都是正三角形，D是AB的中点.(1)求证：1//BC平面1;ADC(2)求二面角11ADCC−−的余弦值.20、2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进活动

，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生需参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如图所示频率分布直方图

，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数[155,165)[165,175)[175,185)[185,)+得分171819206(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率

;(2)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，整体成绩差异略有变化。假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，方差为169，且该校初三年级所有学生正式测试时每分钟的跳绳个数

X服从正态分布2(,)N，用样本数据的期望和方差估计总体的期望和方差(各组数据用中点值代替)①若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.②判断该校初三年级所有学生正式测试时的满分率是否能达到85%，说明理由.附：若随机

变量X服从正态分布2(,)N，则()0.6826px−+=21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab+=的长轴长为6，且经过点3(,3)2Q，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴

于点C，PB交X轴于点.D(1)求椭圆的标准方程;(2)试问：四边形ABCD的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.22.已知函数().Inxfxx=(1)判断()fx的单调性，并比较20212020与202

02021的大小;(2)若函数2()(2)[2()1]2agxxxfx=−+−，其中122ea剟，判断()gx的零点的个数，并说明理由.参考数据：20.693In7东华高级中学20202021−学年第二学期期末考试一、选择题：CDADDCBB二、多项选择题：9、10.11.12

.BCACDABDABD三、填空题：13.914.160−15.13216、1(,)3+四、解答题17.(1)3(sin3cos)cbAA=+3sinsin(sin3cos)CBAA=+3sin()sinsin3sincosABBABA+=+83sincos3cossinsinsin3si

ncosABABBABA+=+3cossinBB=，tan3B=，0B，3B=(2)3B=，2221cos22acbBac+−==222bacac=+−，29()3acac=+−222()9()3()24acacac+++−=…当且仅当3ac==时，

ac+取得最大值6此时周长最大值为9.18.(1)令1n=，得1112aSt==+=，1t=当2n…时，221[(1)(1)]2nnnaSSnnnnn−=−=+−−+−=当1n=时，经验证符合也上式，2nan=(2)若选①

，111111()22(1)41nnnbaannnn+===−++12111111(1)42231nnTbbbnn=+++=−+−++−+11(1)4144nnn=−=++若选②，224nannnban=+=+1212(24)(44)(24)n

nnTbbbn=+++=++++++912(2462)(444)nn=++++++++1(22)4(14)44(1)21433nnnnnn++−=+=++−−若选③，224224nnaannnnnnbanban=+=+==12122

44424nnnTbbbn=+++=+++则2314244424nnTn+=+++两式相减得：121324242424nnnTn+−=+++−118(14)8(14)2424143nnnnnn++−−=−=

−−−18(14)2493nnnnT+−=+19.(1)如图，连接1AC，交1AC于点E，连接DE，由于四边形11AACC是平行四边形，所以E是1AC的中点.因为D是AB的中点，所以1//DEBC因为DE平面1ADC，1BC平面1ADC，所以1//BC平面1.

ADC(2)如图，取AC的中点O，连接1AO，BO，10根据ABC和1AAC都是正三角形，得1AOAC⊥，.BOAC⊥又平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，所以1AO⊥平面ABC，于是1.AOBO⊥以O为坐标原点，分别以OB，OC，1OA的方向

为X轴，y轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设2AC=，则(0,0,3)A，(0,1,0)C，31(,,0)22D−，1(0,2,3).C所以33(,,0)22CD=−，131(,,3)22AD=−−，135(,,3)22DC=−设平面1ADC的法向量为(,,)mxyz=，

则0.0mCDmAD==即33022313022xyxyz−=−−=令3x=，则3y=，1z=，所以(3,3,1).m=设平面1DCC的法向量(,,)nabc=，11则10.0nCDnDC=

=即33022353022ababc−=−++=令3a=，则3b=，1c=−，所以(3,3,1).n=−设二面角11ADCC−−的大小为，由图易知为锐角，则||11cos||||13mnmn==，因此二面角11ADCC−−的余弦值为11.1320、

(1)设“选取得2人得分之和不大于35分”为事件A，则事件A的基本事件总数为21004950C=，由题意得，得17分的学生人数为1000.066=人;得18分的学生人数为1000.1212=人;事件A发生包含两种可能：一种是两人得分均为17分，另一种是两人中1人得17分，1人

得18分，所以事件A的基本事件个数为211661287CCC+=，所以事件A的概率8729()49501650PA==(2)①185x=由题意，正式测试时10195x=+=，16913==，则2~(195,13)XN，所以(195)()0.5PXPX==，即在全年级

所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数在195以上的概率为0.5，由题意∽1(3,)2B，则3333111()()()()222kkkkPkCC−===12则的分布列：0123P18383818所以13()322E==②由2~(195,13)XN，11(182)()(

)0.8413.22PXPXPX=−=+−+=所以预测正式测试时每分钟跳绳个数在182个以上的人数比例为0.84130.85，由题意，每分钟跳绳个数不少于185个才能得到满分，因此可以预测该

校初三年级所有学生正式测试时满分率0.84130.85.p21.(1)由题意得26a=，解得3a=把点Q的坐标代入椭圆C的方程22221xyab+=，得229314ab+=由于3a=，解得2b=，

所以所求的椭圆的标准方程为221.94xy+=(2)设P点坐标为0000(,)(0,0)xyxy，则22004936xy+=则直线AP的方程为00(3)3yyxx=++，13令0x=，得0033cyyx=+直线PB的方程为0022yyx+=−，令0y=，得0022

Dxxy=+所以四边形ABDC的面积等于00003211||||(2)(3)2232yxADBCxy=++++2000000000049122436361112622362xyxyxyxyxy+++++===+++即四边形ABDC的面积为定值22.(1)已知函数()fx的定义域为(0

,)+，21ln()xfxx−=当0xe„时，()0fx…，所以函数()fx在(0,)e上单调递增;当xe时，()0fx，所以函数()fx在(,)e+上单调递减.函数()fx在(,)e+上单调递减，(2020)(2021)ff

，即2020ln202120202021In2021ln202020202021In，即20212020ln2020ln2021142021202020202021(2)22(21)2(1)(2)()21.axaxaxxgxaxaxxx−++−−=+−−==①当1

2a=时，2(2)()02xgxx−=…，所以()gx在(0,)+上单调递增，由(2)2220gIn=−，(6)2ln620g=−知，当12a=时，存在0(2,6)x，0()0gx=，即()gx在(0,)+上有且仅有1个零点.②当122ea时，(1)(2)()axxgxx−−

=，又12a，0x„1a时，()0gx…，()gx在1(0,]a上单调递增，1a2x时，()0gx，()gx在1(,2)a上单调递减，2x…时，()0gx…，()gx在[2,)+上单调递增()gx在(0,)+上有极小值(2)2l

n220g=−，有极大值11()22ln22gaaaa=−−−一方面，注意到(6)826642ln662ln620gaIn=+−+−=−存在唯一0(2,6)x，0()0gx=，另一方面，设1()22ln22h

aaaa=−−−，则22121()22(1)022haaaa=+−=−()ha在1(,]22e上单调递增，151()()22ln022eehahee=−−−„，()gx在1(0,]a上恒小于0，在1(,2)a上恒小于

0，即()gx在(0,2)上不存在零点，综上所述：当1[,]22ea，()gx有且仅有一个零点.