【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：1.6.1.2平面与平面垂直的判定【高考】.docx，共(13)页，460.828 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

6．1垂直关系的判定第二课时平面与平面垂直的判定填一填1.二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成

的图形叫做二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作：二面角面α－AB－β.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点O为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱l的

两条射线OA，OB，则这两条射线所成的角∠AOB叫作二面角的平面角．(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角．(6)二面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°.2．两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面

角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．3．两个平面互相垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：a⊥βaα⇒α⊥

β.判一判1.若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.(√)3．若α⊥β，aα，bβ，则a⊥b.(×)4．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则

a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补．(√)5．二面角的平面角是从二面角的棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的最小角．(×)6．二面角的大小与其平面角的顶点在二面角的棱上的位置没有关系．(√)7．若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.(×)8．若平面α内的一条直

线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β.(×)想一想1.二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．二面角的平面角的大小，

与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．3．求二面角的三种方法是什么？提示：(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．(2)

垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：

一找，二证，三求．4．证明平面与平面垂直的方法有什么？提示：(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．思考感悟：练一练1.关于直线a，b，l以及平面α，β，下列命题中正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥

bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若aα，bα，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β答案：D2.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案：D3．在二面角

α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平角角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AOα，BOβB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AOα，BOβD．AO⊥l，BO⊥l，且AOα，BOβ答案：D4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1

D的位置关系是________．答案：垂直5．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小为________．答案：45°知识点一平面与平面垂直的判定1.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥

AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.2.如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°

，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.证明：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC都是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形，取BC的中

点D，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A－BC－S的平面角，在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝22a，BD＝BC2＝22a，在Rt△ADB中，AD＝22a，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平

面SBC.知识点二二面角的求法3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°

D．90°解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.故选C.答案：C4．如图所示，三棱锥P－AB

C中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角B－PA－C的大小等于________．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴∠BAC是二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°.则二面角B－PA－C的平面角是90°.答案：90°综合知识线面、

面面垂直的综合问题5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.则PD⊥DC.同理

可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵BD∩PD＝D，且PD，BD平面PB

D，∴AC⊥平面PBD.又∵AC平面PAC.∴平面PAC⊥平面PBD.6．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3.(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．解析：(1)证明：如图所示，连接BD

，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PA

B.又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA

＝60°，故二面角A－BE－P的大小是60°.基础达标一、选择题1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AC

，A1C1，把AD看作直线m，BB1看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.故选C.答案：C2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，

mβ，给出下列四个说法，其中正确的个数是()①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，若α∥β，l⊥α，则l⊥β，又mβ，得l⊥m，所以①正确

；对于②，若l⊥α，mβ，l⊥m，则α与β可能相交，所以②不正确；对于③，若l⊥α，mβ，α⊥β，则l与m可能平行或异面，所以③不正确；对于④，若l⊥α，mβ，l∥m，则α⊥β，故④正确，选B.答案：B3．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EP

F＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.答案：

C4．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：如图所示，∵DF∥BC，BC平

面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．连接AE，PE，则BC⊥AE，BC⊥PE.∵BC∥DF，∴DF⊥AE，DF⊥PE，又AE∩PE＝E，∴DF⊥平面PAE，故B正确．又BC⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE.故D正确．答案：C5．正方体ABCD－A1B

1C1D1中E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．B1E∥平面ABCDC．三棱锥E－ABC的体积为定值D．B1E⊥BC1解析：对于A，∵在正方体中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BB1D1D，∴AC⊥BE，即A正确．对于

B，∵B1D1∥平面ABCD，∴B1E∥平面ABCD，即B正确．对于C，三棱锥E－ABC的底面△ABC为定值，锥体的高BB1为定值，∴锥体体积为定值，即C正确；对于D，∵△BDC1为正三角形，∴BD与BC1所成的角为60°，又∵BD∥B1E，∴B1E与BC1

所成的角为60°，错误，故选D.答案：D6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC

．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得AB⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，又CD∩AD＝D，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.选D.答案：D7．如果一个二

面角的两个半平面分别垂直另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．大小不确定B．相等C．互补D．相等或互补解析：如图，α－l－β为直二面角，γ－a－δ为另一个二面角，使γ⊥α，δ⊥β，a⊥β.把γ平

面固定不动，使平面δ绕直线a转动时，满足条件，但γ－a－δ的度数不能确定．故选A.答案：A二、填空题8．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为______

__．解析：底面积不变，在折叠过程中，高是先增加后减小．设AC的中点为O，当DO⊥平面ABC时，DO即为高，此时高最大．此时△DOB为等腰直角三角形，BD与平面ABC所成角为45°.答案：45°9．已知：m，l为直线，α，β为平面，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交

直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；④若mα，lβ，且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是________．解析：由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；对于②，若l∥α，mα，则l

与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设的平面α，β有可能平行或相交，不能推出α⊥β，故③是错误的；对于④，m与l可能平行，也可能是异面直线，故④是错误的．故正确的命题是①.答案：①10．已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜

线，CDα，CD⊥AC，则平面ABC与平面ACD的位置关系是________．解析：∵AB⊥α，CDα，∴AB⊥CD.又∵CD⊥AC，AB∩AC＝A，∴CD⊥平面ABC.而CD平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD

.答案：垂直11．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.解析：由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.且平面A

BD∩平面ACD＝AD，∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.连接BC，则BC＝BD2＋DC2＝222＋222＝1.答案：112．棱长都相等的三棱锥(即正四面体)ABCD中，相邻两个平面所成的二面角的余弦值为____

____．解析：取BC的中点E，连接AE，DE，∵四面体ABCD是正四面体，∴BC⊥AE，BC⊥ED.∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角．设正四面体的棱长为1，则AE＝32，DE＝32，AD＝1.在△ADE中可求得cos∠AED＝

13.答案：13三、解答题13.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．解

析：(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)存在．理由如下：因为DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，所以DE⊥平面PAC.又因为AE平面PAC

，PE平面PAC，所以DE⊥AE，DE⊥PE.所以∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，所以∠PAC＝90°.所以在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面

角．14．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝1

2AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.又A′N平面A′MN，∴CD

⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.能力提升15．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A′B′C′满足∠BAC＝90°，AB＝AC＝12AA′＝2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点

．(1)求证：MN∥平面A′ACC′；(2)求证：A′N⊥平面BCN；(3)求三棱锥C－MNB的体积．解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，因为四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，所以AB′

与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN平面A′ACC′，且AC′平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.(2)证明：因为A′B′＝A′C′＝2，点N为B′C′的中

点，所以A′N⊥B′C′.又BB′⊥平面A′B′C′，所以A′N⊥BB′，又B′C′∩BB′＝B′，所以A′N⊥平面B′BCC′，所以A′N⊥平面BCN.(3)由图可知VC－MNB＝VM－BCN，因为∠BAC＝90

°，所以BC＝AB2＋AC2＝22，S△BCN＝12×22×4＝42.由(2)及∠B′A′C′＝90°可得A′N＝2，因为M为A′B的中点，所以M到平面BCN的距离为22，所以VC－MNB＝VM－BCN＝13×42×22＝43.16.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1中

，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．解析：(1)证明：

连接AB1，与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连接MD.又D为AC的中点，所以B1C∥MD.又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.(2)证明：因为AB＝B1B，所以四边形ABB1A1为正方形．所以A1B⊥AB1.又因为AC1⊥

平面A1BD，A1B平面A1BD，所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABC－A1B1C1中BB1⊥B1C1，A1B∩BB1＝B，所以B1C1⊥平面ABB1A.(3

)当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，证明如下：因为D，E分别为AC，C1C的中点，所以DE∥AC1.因为AC1⊥平面A1BD，所以DE⊥平面A1BD.又DE平面BDE，所以平面A1BD⊥平面B

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