【文档说明】宁夏回族自治区银川一中2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题 含解析.docx，共(14)页，989.374 KB，由小赞的店铺上传

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银川一中2021/2022学年度(下)高二期中考试数学(文科)试卷一、单选题（每题5分，共60分）1.已知集合{2,3,1}A=−，集合2{3,}Bm=．若BA，则实数m的取值集合为（）A.{1}B.3C.{1,1}−D.3,3−【答案】C【解析】

【分析】根据B是A的子集列方程，由此求得m的取值集合.【详解】由于BA，所以211mm==，所以实数m的取值集合为{1,1}−.故选：C2.函数421yxx=+−的定义域为（）A.)0,1B.()1,+C.

()()0,11,+D.)()0,11,+【答案】D【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得2010xx−，解得0x且1x，故选：D3.极坐标方程cos()16−=表示直线的斜率为（）A.33B.3−C.33−D.3【答案】B【解析】【分析】根据

给定条件化极坐标方程为直角坐标方程即可求出直线的斜率.【详解】以极坐标系中极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，直线：cos()16−=，即31cossin122+=，将cossinxy==代入得：32xy+=，即该

直线直角坐标方程为320xy+−=，其斜率3k=−，所以极坐标方程cos()16−=表示直线的斜率为3−.故选：B4.已知命题:Rpx，ln10xx−+，则p（）A.Rx，ln10xx−+B.Rx，ln10xx

−+C.Rx，ln10xx−+D.Rx，ln10xx−+【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定可得出结论.【详解】命题p为全称命题，该命题的否定为:pxR，ln10xx−+，故选：D.5.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】C【

解析】【分析】根据函数中每一个自变量有且只有唯一函数值与之对应，结合函数图象判断符合函数定义图象即可.【详解】由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义.故选：C的是的6.

圆()2cossin=+的圆心坐标是（）A.1,4B.1,24C.2,4D.2,4【答案】A【解析】【分析】先得到2cos4=−，再根据极坐标系的性质求解即可.【详解】由圆的极

坐标方程()2cossin=+得2cos4=−，可知圆心为1,4.故选：A.7.在平面直角坐标系中，经讨伸缩变换24xxyy==，后，圆224xy+=变成曲线（）A

.2241xy+=B.221416xy+=C.2211664xy+=D.2216416xy+=【答案】C【解析】【分析】根据伸缩变换的知识求得正确答案.【详解】2244xxxxyyyy====

，代入224xy+=得2222116644,24xyxy+=+=.故选：C8.不等式12x−的解集为（）A.()(),13,−−+B.()1,3−C.()1,−+D.()3,

+【答案】A【解析】【分析】由12x−，可得12x−或12x−−，计算即可.【详解】12x−，12x−或12x−−，3x或1x−，即解集为()(),13,−−+.故选：A9.a,b,

c,dR+,设abcdSabcbcdcdadab=+++++++++++,则下列判断中正确的是()A01SB.12SC.23SD.34S【答案】B【解析】【详解】试题分析：a、b、c、d∈R＋，abcdSabcbcdcdaabd=+

++++++++++1abcdabcdabcdabcdabcd+++=++++++++++++abcdSabcbcdcdaabd=+++++++++++2adabcbcdabcdabcdabcdab

cd+++++++=++++++++++++12S考点：放缩法10.下列说法中正确的是（）A.“若1x=，则2230xx+−=”的否命题为真B.对于命题p：1x，使得20xx−，则p：1x，均有20xx−C.命题

“已知,xyR，若3xy+，则2x或1y”是真命题D.“04x”是“2log1x”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据否命题概念判断A，命题的否定的概念判断B，由逆否命题的真假判断C，由充分不必

要条件的定义判断D．.【详解】“若1x=，则2230xx+−=”的否命题是“若1x，则2230xx+−”是假命题，3x=−时，2230xx+−=，A错；命题p：1x，使得20xx−否定是：1x，20xx−，B错；命题“已知,xyR，若3xy+

，则2x或1y”的逆否命题是“若2x=且1y=，则3xy+=”这是真命题，所以原命题也是真命题，C正确；当04x时，2log2x，不充分，D错．故选：C．【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，一般可根据各个命

题所涉及到的知识进行判断，但当一个命题从正面判断较难时，可判断它的逆否命题，因为互为逆否命题的两个命题同真假．特别对否定性的命题，从它的逆否命题判断更加方便．11.与参数方程1xtyt=−=(t为参数)等价的普通方程为（）A.221xy+=B.()2210

1xyy+=C.()22101xyx+=D.()22101,01xyxy+=【答案】D【解析】【分析】求出参数方程中参数t的取值范围，确定x，y的范围，再消去参数t判断作答.【详解】依题意，01t，因此有01x，且01y，则有222211xytt+=(−)+()=

，所以所求的普通方程为()22101,01xyxy+=.故选：D12.如图：在椭圆2212516xy+=中有一内接矩形ABCD（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形ABCD的面积最大时，点A的坐标是（）

的A.2,22B.5,22C.52,222D.861,5【答案】C【解析】【分析】先设()π5cos,4sin,0,2A，根据对称性计算矩形面积π40sin2,0,2S=，结合三角函数性质得到取最大

值时的条件，即得结果.【详解】椭圆上A点在第一象限内，可设为()π5cos,4sin,0,2A，则第一象限内小矩形面积1π5cos4sin10sin2,0,2S==

，所以矩形ABCD的面积1π440sin2,0,2SS==，则()20,π，当sin21=，即π22=时，面积最大为40，此时π4=，点52,222A.故选：C.二、填空题(每题5分，共20分)13.在极坐标系中，点2,2A到直线si

n34+=的距离为____________．【答案】2【解析】【分析】把点A坐标和直线方程转化为直角坐标系下的点坐标和直线方程，利用点到直线距离公式，即得解【详解】由题意，计算点2,2A的直角坐标为2cos0,2sin222

AAxy====即()0,2A直线sin3sincoscossin3444+=+=即223022yx+−=由点到直线距离公式可得：22|13|222()()22d−==+故答案为

：214.已知集合2Axx=，2,0,1,2B=−，则AB=_______.【答案】0,1【解析】【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，22Axx=−，所以0,1AB=.故

答案为：0,1.15.若2,3ab，则1(2)(3)abab++−−的最小值为________.【答案】8【解析】【分析】根据题意对2,3ab−−进行换元，然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值．【详解】解：令2,3atbm−=−=2,3ab，20,

30ab−−，即0,0tm，所以31115358(2)(3)abtmtmabtmtm++=++++=−−…，当且仅当1tmtm==，即123(2)(3)abab−=−=−−，即当3,4ab==时等号成立.【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用，运用基本不等式推广公

式时，一定要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件．16.下列各结论中，正确的是______．①“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件；②“pq为假”是“pq为假”的充分不必要条件；③“pq为真”是“p为假”的必要不充分条件；④“p为真”是“

pq为假”的必要不充分条件．【答案】①③【解析】【分析】利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可【详解】对于①，当pq为真时，,pq都为真，所以pq为真，当pq为真时，,pq至少有一个为真，则pq不

一定为真，所以“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当pq为假时，,pq中至少有一个为假，则pq不一定为假，当pq为假时，,pq都为假，则pq一定为假，所以“pq为假”是“pq为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当pq为真时，,pq至

少有一个为真，所以p不一定为假，而当p为假时，p为真，所以pq一定为真，所以“pq为真”是“p为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p为真时，p为假，则pq为假，当pq为假时，,pq中至少有一个为假，所以p不一定为假，则p不一定为真，所以“p为真”是“pq为假”

的充分不必要条件，所以④错误，故答案为：①③三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin()4−＝22.（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个

极坐标.【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）(1,)2.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的关系cos,sinxy==，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程；（2）联立圆O和直线l方程求交点，将

其转化为极坐标即可.【详解】（1）圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：2sin()42−=，即ρ

sinθ－ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.（2）由22010xyxyxy+−−=−+=得01xy==故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,)2.18.已知集合2320,,AxaxxxRaR=−+=

.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【答案】（1）9,8+（2）当0a=时集合23A=，当98a

=时集合43A=；（3）9,8−【解析】【分析】（1）利用A是空集，则Δ00a即可求出a的取值范围；（2）对a分情况讨论，分别求出符合题意的a的值，及集合A即可；（3）分A中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围

，即可得解．【小问1详解】解：A是空集，0a且，9800aa−，解得98a，a的取值范围为：9,8+；【小问2详解】解：①当0a=时，集合2{|320}3Axx=−+==，②当0a时，0=，9

80a−=，解得98a=，此时集合43A=，综上所求，当0a=时集合23A=，当98a=时集合43A=；【小问3详解】解：A中至少有一个元素，则当A中只有一个元素时，0a=或98a=

；当A中有2个元素时，则0a且0，即9800aa−，解得98a且0a；综上可得98a时A中至少有一个元素，即9,8a−19.平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22212xtyt=−=+（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C的极坐标方程是：222123cos4sin=+．（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．【答案】（1）C的直角坐标方程为：22143xy+=，l的普通方程

为：10xy+−=（2）427【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的相互转化公式，求得曲线C的直角坐标方程，消去直线l的参数方程中的参数，求得直线l的普通方程.（2）将22212xtyt=−=+代入22143xy+=，结合直线参数方程中参数的几何意义以及根与系

数关系求得PM.【小问1详解】曲线C的极坐标方程是：222123cos4sin=+，22223cos4sin12+=,根据cossinxy==，223412xy+=,即22143x

y+=．直线l的参数方程为22212xtyt=−=+（t为参数），转换为直线的普通方程为10xy+−=．【小问2详解】P（0，1）在直线l上，将22212xtyt=−=+代入22143xy+=，整理得到2782160tt+−=，则128

27tt+=−，所以1242||||27+==ttPM．20.已知函数()()22fxxxmmR=+−−+．（1）若1m=，求不等式()0fx的解集；（2）若方程()fxx=有三个实根，求实数m的取值范围．【答案】（1）1,2−+

；（2）(2,2)m−【解析】【分析】（1）分2,22,2xxx−−三种情况求解；（2）由方程()fxx=可变形为|2||2|mxxx=+−−+，令4,2()22,224,2xxhxxxxxxxx+−=+−−+=−−−作出图象如图所示，根

据图象求解.【详解】解：（1）1m=时，()|2||2|1fxxx=+−−+，当2x−≤时，()3fx=−，不可能非负；当22x−时，()21fxx=+，由()0fx可解得21x−，于是122x−；当2x时，()50fx=恒成立，所以不等

式()0fx的解集为1,2−+；（2）由方程()fxx=可变形为|2||2|mxxx=+−−+，令4,2()22,224,2xxhxxxxxxxx+−=+−−+=−−−作出图象由题意可得(2,2)m−.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方

程的思想，属于中档题.21.已知abcR+Î、、，xR，不等式12xxabc−−−++恒成立.（1）求证：22213abc++；（2）求证：2222222abbcca+++++.【答案】（1）证明见解析

；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先根据绝对值三角不等式求得12xx---的最大值，从而得到1abc++，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式222abab+变形得()2222abab++，两边

开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）因为12121xxxx---?-+=，所以1abc++，因为222abab+，222bcbc+，222caac+，所以222222222abcabbcac++++，所以

()22222223332221abcabcabbcacabc++?++++=++?，故22213abc++.（2）因为222abab+，所以()()2222222abababab+++=+，即()222

2abab++，两边开平方得()222222ababab+?=+，同理可得()2222cbcb+?，()2222caca++，三式相加，得()22222222abbccaabc+++++?+?.【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与

化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力，是中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为114xttytt=−=+−（t为参数，0t），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线1l：()

R=与曲线E的交点为A，B，直线2l：()2R=+与曲线E的交点为C，D．（1）求曲线E的普通方程；（2）证明：11OAOBOCOD+为定值．【答案】（1）22yx=−；（2）证明见解析．【解析

】【分析】（1）由曲线E的参数方程消去参数，得到22xy=+，即可求得E的普通方程；（2）由（1）求得E极坐标方程为22cossin20−−=，用=与其联立方程组，求得22cosAB=和22sinDC

=，结合22cossin2211OAOBOCOD=++，即可求解．【详解】（1）由曲线E的参数方程为114xttytt=−=+−（t为参数，0t），可得21214xttytt=+−

=+−（t为参数，0t），消去参数，可得22xy=+，即E的普通方程为22yx=−．（2）由（1）曲线E的普通方程为22yx=−，可得极坐标方程为22cossin20−−=，联立方程组22()cossin20R

=−−=，整理得22cossin20−−=，所以22cosAB=，同理可得2222sincos2DC==+，所以22co1s11sin222OAOBOCOD

+=+=为定值．