【文档说明】山东省济南市2023届高三二模数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.642 MB，由小赞的店铺上传

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2023年4月山东省新高考联合模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数13i22z=−+，则2zz+=（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算即可化简求值.【详

解】由13i22z=−+得()222131331iii12222212zzzz−++=−=−+=+=，故选：A2.已知集合(),Axyyx==，(),1Bxyxy=+=，则AB

中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】分别作出集合,AB所表示的图象，只需判断两图象的交点的个数即可得答案.【详解】解：因为(),Axyyx==，表示直线yx=上的点，又因为1(0,0)1(0,0)|11(0,0)1(0,0)xyxyxyxy

xyxyxyxyxy+=−=+=−+=−−=，所以集合B表示如图所示的正方形ABCD边上的点，所以AB中元素的个数即为直线yx=与正方形ABCD的边的交点个数，由图可知直线yx=与正方形ABCD的边有2个交点，即AB中元素的个数为2.故选：C.3.已知

抛物线()220ypxp=的焦点在圆224xy+=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p=，由p的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220ypxp=的焦点为x正半轴上，2

24xy+=与x正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp==，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p=，故选：C4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一

的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2

个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B5.已知直线1yx=−与曲线exay+=相切，则实数a的值为（）A.2−B.1−C.0D.2【答案

】A【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.【详解】设切点为()00,xy，易知exay+=，则00001e1exaxayx++=−==，解之得022xa==−，故选：A6.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量

几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，AEB是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆AEB所形成的几何体的体积分别为1V，2V，3V，则下列说法正确的是（）A.123VVV+B.123VV

V+C.12VVD.12VV=【答案】D【解析】【分析】OCD、阴影部分、半圆AEB旋转所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去半球、半球，依次计算其体积即可.【详解】由旋转体的概念可得：OCD、阴影部分、半圆AEB所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去半球、半球，易知OE=DE，设DE=OE=

r，故23111ππ33Vrrr==，2233141πππ233rrrVr=−=，333142ππ233Vrr==，显然12VV=，且123VVV+=.故选：D.7.已知函数()3131−=+xxfx，数列na满足11a=，()*3Nnnaan+=，()()

1230fafaa++=，则20231iia==（）A.0B.1C.675D.2023【答案】B【解析】【分析】利用函数计算可得1230aaa++=，再利用数列的周期性可求20231iia=.【详解】()fx的定义域为

R，且()()31313131xxxxfxfx−−−−−==−=−++，故()fx为R上的奇函数.而()2131xfx=−+，因31xt=+在R上为增函数，21yt=−在()1,+为增函数，故()fx为R上的增函数.又()()1230fafaa++=即为()()123fafaa=−−，故

1230aaa++=，因为()*3Nnnaan+=，故na为周期数列且周期为3.因为20232022136741=+=+，所以()202312320231167401iiaaaaaa==+++=+=.故选：B.8.已知函数()()sin2cos20fxaxbxab=+的图象关于直线

π6x=对称，则下列说法正确的是（）A.6fx−是偶函数B.()fx的最小正周期为2πC.()fx在区间ππ,36−上单调递增D.方程()2fxb=在区间0,2π上有2个实根【

答案】D【解析】【分析】利用赋值法可求,ab的关系，从而可得()π2sin26fxbx=+，利用公式可判断B的正误，结合b的符号可判断C的正误，结合特例可判断A的正误，求出方程()2fxb=在区间0,2π上解后可判断D的正误.【详解】因为()fx的图象关于直线π

6x=对称，故()π03ff=，所以2π2πsincos33bab=+，所以3ab=，所以()π3sin2cos22sin26fxbxbxbx=+=+，此时()()πππ2sin22666fbb=+=，故函数图象关于直

线π6x=对称.()()()ππππ2sin222sin26666fxbxbx−=−+=−，令()()()ππ2sin266gxfxbx=−=−，则()()πππ2sin01266gb=−=，而()()ππ2sin230126gbb−=−=−

，故()()()ππ2sin266gxfxbx=−=−不是偶函数，故A错误.()fx的最小正周期为2ππ2=，故B错误.因为b的正负无法确定，故()fx在,36−的单调性无法确定，故C错误.令()2,0,2πfxbx=，因20b，则π

sin216x+=，因为0,2πx，故ππ25π2,666x+，故ππ5π2,622x+=即π7π,66x=，故方程()2,0,2πfxbx=共2个不同的解，故D正确.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数,,abc满足abc，且0abc++=，则下列说法正确的是（）A.11acbc−−B.2acb−C.22abD.0abbc+【答案】BC【解析】【分析】根据

已知等式可确定0,0ac，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，abc，0acbc−−，11acbc−−，A错误；对于B，abc，0abc++=，0a，0c，0

bca+=−，0ab−，abbc−+，即2acb−，B正确；对于C，0ab−，0abc+=−，()()220ababab−=+−，即22ab，C正确；对于D，()20abbcbacb+=

+=−，D错误.故选：BC.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇

数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为12B.丙发生的概率为12C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件【答案】ACD【解析】【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【详解】

设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则()3162PA==，()3233165652PB=+=，故A正确.()333

2655PC==，()3222655PD==，故B错误.而()()()321655PADPAPD===，故C正确.两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：ACD.11.如图所示，在菱形ABCD中，π3BAD=，,,EF

G分别是线段,,ADCDBC的中点，将ABD△沿直线BD折起得到三棱锥ABCD−，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（）A.直线//EF平面ABCB.直线BE与DG是异面直线C.直线BE与DG可能垂直D.若74EGAB=，则二面角ABDC−−的大小为π3【答案】ABD【解

析】【分析】根据三角形中位线性质和线面平行的判定可知A正确；由异面直线的判断方法可知B正确；由向量线性运算和向量数量积运算律可得124BEDGDABC=−+，由此可知垂直关系无法成立，知C错误；由1122EGOC

OAOB=−+，可利用2EG构造方程求得二面角的余弦值，由此可知D正确.【详解】对于A，,EF分别为,ADCD中点，//EFAC，AC平面ABC，EF平面ABC，//EF平面ABC，A正确；对于B，B

E平面BCDB=，DG平面BCD，BDG，BE与DG为异面直线，B正确；对于C，设菱形ABCD的边长为2，又π3BAD=，则2BD=，12BEBDDEBDDA=+=+，12DGDBBGDBBC=+=+，21111122224BEDGBDDADBBCBDBDBCBDDADABC

=++=−+−+1111114442222244DABCDABC=−+−−+=−+，4cos,4,4DABCDABC=−，0BEDG，即BE与

DG不可能垂直，C错误；对于D，取BD中点O，连接,,,AOCOOGOE，,ABDCBD为等边三角形，AOBD⊥，COBD⊥，AOC即为二面角ABDC−−的平面角，设菱形ABCD的边长为2，则3OAOC==，()()()11112222EGOGOEOBO

CBAOBOCOAOB=−=+−=+−−1122OCOAOB=−+，2222111442EGOCOAOBOAOCOBOCOAOB=++−+−333531coscos44222AOCAOC=++−=−，又74EGAB=，537cos224AOC−=，解得：1cos

2AOC=，二面角ABDC−−的大小为π3，D正确.故选：ABD.12.若定义在0,1上函数()fx同时满足：①()11f=；②对0,1x，()0fx成立；③对1x，2x，120,1xx+，()()()1212

fxfxfxx++成立；则称()fx为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A.()2fxx=，0,1x是“正方和谐函数”B.若()fx为“正方和谐函数”，则()00f=C.若()fx为“正方和谐函数”，则()fx在0,1上是增函数D.若()fx为“正方和谐函数”，则对0,1x

，()2fxx成立【答案】ABD【解析】【分析】条件③2221212121212()()()()20fxxfxfxxxxxxx+−+=+−−=．即可判定A，由条件①③可得(0)0f，(00)(0)(0)fff+

+即可求得(0)0f=即可判断B，由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.【详解】对于A,函数()2fxx=，0,1x，显然满足条件①②．对任意20x，20x且121xx+时，2221212121212()()()()20fxxfxfxxxxxxx+−+=+−−=

．函数()2fxx=在区间[0，1]上为“正方和谐函数”．故A正确.的对于B，若函数()fx为“正方和谐函数”，则令10x=，20x=，得(0)(0)(0)fff+，即(0)0f，又由对0,1x，()0fx，(0)0f=，故B正确；对于C，设1201xx

，则2101xx−，所以()210fxx−22112111()()()()()fxfxxxfxxfxfx=−+−+，即有12()()fxfx，函数()fx在区间0,1上不一定是单调递增，故C错误；对于D，①当0x=时，()0020f=成立，②当112x时，21x，()

12fxx，③当102x时，12,12x，()()22fxfx，则()()122fxfx；显然，当211,22x时，()()1111212222fxfff

=成立；假设当111,22kkx+时，有()12kfx成立，其中1,2,k=，那么当2111,22kkx++时，()11111111111222222222kkkkkfxfff++

+==，可知对于111,22nnx+，总有()12nfx，其中1,2,n=，而对于任意10,2x，存在正整数n，使得111,22nnx+

，此时()122nfxx综上可知，满足条件的函数()fx对0,1x时总有()2fxx成立.故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()5ππsin3cos66−=+，则πtan6+的值为______.【答

案】3【解析】【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.【详解】由()()5ππsin3cos66−=+可得()()()()()πππππsinπ3cossin3costan366666+=++=++

-=，故答案为：314.已知abc表示一个三位数，如果满足ab且cb，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共______个（用数字作答）.【答案】240【解析】【分析】利用组合的意义可求没有重复数字的三位“凹数”的个数.【详解】,,abc为取自0,1,2

,3,4,5,6,7,8,9中的不同的三个数字，最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为3102C2120240==，故答案为：240.15.已知向量()1,2a=，()4,2b=，若非零向量c与a，b的夹角均相等，则c的坐标为

___（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【解析】【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.【详解】设(),cxy=，因为()

1,2a=，()4,2b=，所以222cos,5acxyacacxy+==+，2242cos,25bcxybcbcxy+==+，因为c与a，b的夹角均相等，所以cos,cos,acbc=，所以2

222242525xyxyxyxy++=++，化简得xy=，所以(,)cxx=，因为c为非零向量，可取1x=，此时(1,1)c=.故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.16.如图

，在矩形ABCD中，2ABAD=，1A，2A分别为边AB，CD的中点，,MN分别为线段2AC（不含端点）和AD上的动点，满足2MADNCDAD=，直线1AM，2AN的交点为P，已知点P的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为_____

_.【答案】3【解析】【分析】以1A2A所在的直线为y轴，线段1A2A的中垂线所在的直线为x轴，求出直线1AM，2AN的方程，联立两方程解出点P的坐标，进而可得点P所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案.【详解】解：以1A

2A所在直线为y轴，线段1A2A的中垂线所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系：设||(0)ADBCmm==，则||2ABCDm==，则有(,)2mAm−−，(,)2mBm−，1(0,)2mA−，2(0,)2mA，(,)2mCm，

(,)2mDm−，(,)2mAm−−，设00(,)(0)2mMxxm，00(,)(),22mmNmyy−−所以20MAx=，02mDNy=−，又因为2MADNCDAD=，所以0022myxmm−=，的所以002x

my=−或002mxy−=，又因100()220AMmmmkxx−−==−，所以直线1AM的方程为：0()(0)2mmyxx−−=−，即02mmyxx=−，同理可得直线2AN的方程为：02(0)2mymyxm−−=−−，即00022

22222mxmmyxmmmyxxxmmm−−−=−=−=+，由00222mmyxxxmyxm=−=+，可得202203202202222(2)xmxmxmmxymx=−+=

−，即2320022220022(,)22(2)xmmmxPmxmx+−−，因为2022022Pxmxmx=−，242022204(2)Pxmxmx=−，3222002222002(2)2(2)2(2)Pmmxmmxymxmx++==−−，222222

2222242222222000002222222222220000(2)(2)882(1)4(2)4(2)4(2)4(2)42PPmmxmxmxmxmxxmmmmymxmxmxmx+−+===+=+=+−−−−,即有2222

4PPxmy−=，2222142PPyxmm−=，所以点P所在双曲线方程为：2222142yxmm−=，所以2222,42mmab==，所以2222223424mmmcab=+=+=，为所以32312mceam===.故答案为：3【点

睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出,ac的值(或数量关系或关于,,abc的一个二次方程).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.根据国家统计局统计，我国2018—2022年的新生儿数量如下：年份编号x123

45年份20182019202020212022新生儿数量y（单位：万人）1523146512001062956（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明；（2）

建立y关于x的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量.参考公式及数据：1222211niiinniiiixynxyrxnxyny===−=−−，1221ˆniiiniixynxybxn

x==−=−，ˆˆaybx=−，516206iiy==，5117081iiixy==，55222211551564iiiixxyy==−−.【答案】（1）理由见解析（2）153.71702.3yx=−+，预测2023年的新生儿数量约为780

.1万人【解析】【分析】（1）根据所给数据求出x、()521iixx=−，即可求出相关系数，从而判断即可；（2）由（1）中数据求出ˆb，ˆa，即可得到回归直线方程，再将6x=代入计算可得.【小问1详解】因为()11234535x=++++=，51116

2061241.255iiyy====，()()()()()()52222221132333435310iixx=−=−+−+−+−+−=，又55222211551564iiiixxyy==−−，51517081362061537iiixyxy=−=−=

−，所以5155222211515370.98156455iiiiiiixyxyrxxyy===−−=−−−，因为y与x的相关系数近似为0.98−，说明y与x的线性相关

程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】由（1）可得51522151537ˆ153.7105iiiiixyxybxx==−−===−−，所以()ˆˆ1241.2153.731702.3aybx=−=−−=，所以y关于x的回归方程为15

3.71702.3yx=−+，将2023年对应的年份编号6x=代入回归方程得153.761702.3780.1y=−+=，所以我国2023年的新生儿数量约为780.1万人.18.已知数列na的前n项和122nnS+=−，数列nb满足2lognnba=.111

213121222323132333123,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnnnabababababababababababababababab（1）求数列na，nb的通项公式；（2）由na，nb构成的nn阶

数阵如图所示，求该数阵中所有项的和nT.【答案】（1）2nna=，nbn=（2）()()221nnn−+【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−作差得到na的通项公式，再根据对数的运算性质得到nb的通项公式；（2）依题意可

得()()1212nnnTaaabbb=++++++，再根据等差数列求和公式及已知条件计算可得.【小问1详解】因为122nnS+=−，当1n=时21222S=−=，即12a=，当2n时122nnS−=−，所以()112222nnnnS

S+−−=−−−，即2nna=，经检验当1n=时2nna=也成立，所以2nna=，则22loglog2nnnban===.【小问2详解】由数阵可知()()()11221212nnnnnTabbbabbbabbb=+++++++

+++++()()1212nnaaabbb=++++++，因为122nnS+=−，()21211222nnnnnbbbn+++++=+++==，所以()()()12222221nnnnnTnn++−−==+.19.如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB

，BC的中点，2ABDE=.（1）证明：四边形MNFD为矩形；（2）若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据三角形中位线可得线线平行

，进而可证为平行四边形，由三角形全等可证对角线相等，即可求证为矩形，（2）根据正棱台可判断三棱锥GABC−为正三棱锥，根据棱长进而判断为正四面体，由正四面体的性质即可结合长度以及线面角的定义求解.【小问1详解】延长,,AD

BECF,则,,ADBECF相交于一点G,连接,,,FMGNDNGM,M，N分别为棱,ABBC的中点，所以//,MNAC且12MNAC=，由于2ABDE=，所以2,ACDF=又//ACDF，所以//,DFMNMNDF=,所以四边形MNFD为平

行四边形，在三棱锥GABC−中，,,GAGCGMGNMCAN===,所以GANGCM,进而得CGMAGN=,又,GFGDGMGN==,因此FGMDGN所以MFDN=，故四边形MNFD为矩形【小问2详解】

由1,//2DEABDEAB=可知,DE分别是,GAGB的中点，所以1//,2DMGBDMGB=又四边形MNFD为正方形，所以DMMN=，所以ACGB=,由于三棱锥GABC−为正三棱锥，且ACGB=，因此三棱锥G

ABC−为正四面体，因此直线BC与平面ACFD所成的角即为直线GC与平面ABC所成角，取ABC的中心为O,连接GO,则GO⊥平面ABC，所以GCO为直线GC与平面ABC所成角，,设四面体GABC−的棱长为a，在ABC中，由正弦定理可得132sin603BCAOa==，2223633GOG

COCaaa=-=-=，在GOC△中，6sin3GOGCOGC==,故直线BC与平面ACFD所成的角的正弦值为6320.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且0A

GBG=.（1）若π6GAB=，求tan∠GAC的值；（2）求cos∠ACB的取值范围.【答案】（1）3tan6GAC=（2）4cos,15BAC【解析】【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB=，则可求533,22C

，利用公式可求3tan6GAC=.（2）设π,0,2GAB=，则可求得28cos10036cos2BAC=−，故可求其取值范围.【小问1详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB的中点为D，则,,DGC共线且1

2DGGC=，设2AB=，则()2,0B，33,22G，33,22GA=−−，13,22GB=−，故()1,3GCGBGA=−−=，故533,22C，故33t

an5BAC=，所以333π43353tantan6246333153GACGAB−=−===+.【小问2详解】设π,0,2GAB=，则()22cos,2cossinG，故()22cos,2cossinGA=−−，()2

2sin,2sincosGB=−，故()222cos2sin,4sincosGCGBGA=−−=−，故()2cos2,2sin2GC=，所以()22cos22cos,3sin2C+，故

()3cos21,3sin2C+，而()3cos21,3sin2CA=−−−，()13cos2,3sin2CB=−−，故()()22228cos,13cos29sin213cos29sin2CACB

=−+++2810036cos2=−，而π0,2，故()20,π，故1cos21−，所以2481510036cos2−，4cos,15BAC.21.已知椭圆E：()222210xyabab+=的长轴长为4，由E的三个顶点

构成的三角形的面积为2.（1）求E的方程；（2）记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析.【解析】【

分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解.（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简求解.【小问1详解】由题意可知242aa==，E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为122abab=；要么是短轴的两个顶点和

长轴的一个顶点构成的三角形，面积为122baab=，所以21abb==，故E的方程为2214xy+=.【小问2详解】由于MQx⊥轴，所以MN不可能垂直于x轴，故直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为ykxm=+，()()1122,,,MxyNxy,联立()222221

4844014ykxmkxkmxmxy=++++−=+=，则()()()22221212228448414440,,1414kmmkmkmxxxxkk−−−+−+==++=，直线AB的方程为12xy+=，当1xx=时，112xy=−，所以

11,12xPx-，P是MQ的中点，所以()111,2Qxxy−−，11212222QAxyykxx−−==−−，即1212122yyxx−−−−=，所以1212122yyxx−−−=+，则()()

()()()()()()()()12211221121222222222xxxyxkxmxkxmxxx−−−−+−+−=−−-=y++-化简得()()()12122122440kxxkmxxm++−−+=-+，代入2

121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++得()()22244821224401414mkmkkmmkk−−++−−+=++-，故()()2210mkmk++−=，所以2mk=−或21mk=−+，故直线NM的方程为2ykxk=−或21ykxk=

−+，由于M不与A重合，所以直线不经过()2,0，故直线NM的方程为21ykxk=−+，此时()()()()22222228414446416166416211664kmkmkmkk−+−=−+=−−++=

=，故0k，此时直线过定点()2,1.【点睛】方法点睛：直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在.若斜率不存在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系

数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方程中两个参量之间的关系即可得到定点.22.已知函数()()2lnxfxxa=−.（1）当0a=时，求()fx在区间

1,e上的值域；（2）若()fx有唯一的极值点，求a的取值范围.【答案】（1）10,2e（2）(,01−U【解析】【分析】（1）根据()fx的正负可确定()fx的单调性，由此可确定最值点，根据最

值可得值域；（2）将问题转化为讨论()fx的变号零点，令()12lnagxxx=−−，分别在0a和0a的情况下，结合()gx的单调性和零点存在定理的知识可说明()fx的正负，从而得到()fx单调性，由极值点定义可确定满足题意的a的范围.【小问1详解】当0a=时，(

)2lnxfxx=，则()312lnxfxx−=，当)1,ex时，()0fx¢>；当(e,ex时，()0fx；()fx\在)1,e上单调递增，在(e,e上单调递减，()()max1e2efxf==，又()10f=，()21eef=，()()min10

fxf==，()fx\在1,e上的值域为10,2e.【小问2详解】()()()332ln12lnxaaxxxxfxxaxa−−−−==−−，()fx的极值点即为()fx的变号零点，设()12lnagxxx=−−，

()2222aaxgxxxx−=−=；①若0a，ayx=−与2lnyx=−在()0,+上单调递减，()gx()0,+上单调递减；()110ga=−，()()e12lne0eagaaa−=−−−−，存在唯一的()01,e

xa−，使得()00gx=，又()fx定义域为()0,+，()30xa−，()00fx=，且当()00,xx时，()0fx¢>；当()0,xx+时，()0fx；()fx\在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，在()fx\存在唯一的极大值点，符合题意；

②若0a，()fx定义域为()()0,,aa+，当xa时，()30xa−，()0gx，()2lngaa=−，()gx单调递减，（i）当1a时，()0ga，()0gx，即()0fx，()fx\在(),a+上无极值点；（ii）当1a=时，

()0ga=，()0gx，即()0fx，()fx\在(),a+上无极值点；（iii）当01a时，()0ga，()20g，存在唯一的()1,2xa，使得()10gx=，即()10fx=，当()1,xa

x时，()0gx，即()0fx¢>；当()1,xx+时，()0gx，即()0fx；1xx=是()fx的极大值点，此时()fx在(),a+上有一个极值点；当0xa时，()30xa−；令()0gx=，解得：2ax=，则当0,2ax时，()0gx

；当,2axa时，()0gx；()gx在0,2a上单调递增，在,2aa上单调递减；令12ln022aag=−=，解得：2ea=，（i）当1a时，若21,ea，02ag，()2ln

0gaa=−，当0,2ax时，2221616412ln1430161616aagaaa=−−−+−=−，22,162aax，3,2axa，使得

()()230gxgx==，则当()()230,,xxxa时，()0gx，即()0fx¢>；当()23,xxx时，()0gx，即()0fx；()fx\在()()230,,,xxa上单调递增，在()23,xx上单调递减，

此时()fx在()0,a上有两个极值点；若2,ea+，则02ag，()0gx，则()0fx，此时()fx在()0,a上无极值点；1a不符合题意；（ii）当1a=时，102g，1016g，()10g=，存在唯一的411

,162x，使得()40gx=，则当()40,xx时，()0gx，则()0fx¢>；当()4,xx+时，()0gx，则()0fx；()fx\在()40,x上单调递增，在()4,x+上单调递减，4xx=为()fx唯一的极大值点，此时()fx在()0,a有一

个极值点，则1a=符合题意；（iii）当01a时，02ag，()2ln0gaa=−；当0,2ax时，2160ga；存在唯一的25,16axa，使得()50gx=，

当()50,xx时，()0gx，则()0fx¢>；当()5,xx+时，()0gx，则()0fx；()fx\在()50,x上单调递增，在()5,x+上单调递减，5xx=为()fx的极大值点，此时()fx在()0,a有一个极值点，不合题意；

综上所述：a的取值范围为(,01−U.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com