【文档说明】浙江省绍兴市柯桥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.976 MB，由小赞的店铺上传

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柯桥中学2019学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题1.设集合21,|4AxxBxx==，则AB=()A.()1,2B.(1,2C.(0,2D.()1,+【答案】B【解析】【分析】首先求解集合B，然后求AB.【详

解】24x，解得22x−，所以22Bxx=−，所以12ABxx=.故选：B【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2.已知复数1zi=+（i是虚数单位），则211zz−=+()A

.iB.i−C.1i+D.1i−【答案】A【解析】【分析】根据完全平方和除法计算公式计算结果.【详解】原式()()()()()211212215112225iiiiiiiiii+−−−−=====++++−.故选：A【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型

.3.设{na}为等差数列，公差2d=−，nS为其前n项和，若1011SS=，则1a=（）A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示

出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1-2（11-1）=0，解得a1=20．故选B考点：等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项

公式化简求值，是一道基础题4.已知函数()()()sin0,0,0πfxAxA=+的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的周期为πB.函数()πyfx=−为奇函数C.函数()fx在ππ,2

−上单调递增D.函数()fx的图象关于点3π,04上对称【答案】B【解析】【分析】由图像可知2A=，再将点5(0,3),(,2)4−的坐标代入函数中求出，的值，然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案.【详解】解：由图像可知2A=

，因为函数图像过点5(0,3),(,2)4−，所以2sin352sin()24=+=−，由2sin3=得3sin2=，因为0π，所以3=或23=，由图像可知图像向左平移超过了548T，即58，所以23=，则522sin()243+

=−由五点对应法得523432+=，得23=，所以22()2sin()33fxx=+，则()fx的周期为3，所以A错误；()222π2sin[()]2sin333yfxxx=−=−+=为奇函数，所以B正确；由ππ,2x−，得22()[0,]3

3x+，此时()fx不是增函数，所以C错误；因为3232()2sin()04343f=+，所以3π,04不是函数()fx的图像的对称中心，所以D错误，故选：B【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.5.“

ab”是“aabb>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先判断yxx=的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.【详解】22,0

,0xxyxxxx==−，函数是奇函数，并且在R上单调递增，所以ab时，aabb>，反过来，若满足aabb>时，根据函数yxx=是单调递增函数，所以ab，所以ab”是“aabb>”的充要条件.故选：C

【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.6.函数()()212xyxxe=−−（其中e为自然对数的底数）的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函

数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案.【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x=和2x=，当2x时，0y，2x且1x时，0y，故排除B,C,D.满足条件的是A.故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，重

点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7.已知1F，2F分别为双曲线()222210,0xyabab

−=的左右焦点，P为双曲线右支上一点，满足21π2PFF=，连接1PF交y轴于点Q，若22QFc=，则双曲线的离心率是（）A.2B.3C.12+D.13+【答案】C【解析】【分析】由题意可得2PF垂直于x轴，2//OQPF，Q为1P

F的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得22||bPFa=，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得2PF垂直于x轴，2//OQPF，因为O为12FF的中点，则Q为1PF的中点，可

得12||2||22PFQFc==，由xc=可得2221cbybaa=−=，即有22||bPFa=，在直角三角形12PFF中，可得2221212||||||PFPFFF=+，即有422284bcca=+，可得4224bac=，即

2222bacca==−，由cea=可得，2210ee−−=，解得12(12e=+−舍去），故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．8.已知函数()2()lg12sinfxxxxx=+

+++，12()()0fxfx+，则下列不等式中正确的是（）A.12xxB.12xxC.120xx+D.120xx+【答案】D【解析】【分析】由已知可得()()lg10fxfx+−==，可得函数()fx是奇

函数，并且可得函数()fx在0x时单调递增，因此在R上单调递增，利用单调性与奇偶性可得结果.【详解】()()()()22lg12sinlg12sinfxfxxxxxxxxx+−=+++++−+−+−−lg10==，函数()f

x是奇函数，设()2lg1()gxxx++=在[0,)+单调递增，设()2sin,()2cos0hxxxhxx=+=+恒成立，()hx在(,)−+上是增函数，所以函数()fx在[0,)+上单调递增，()fx是奇函数()fx在(,0)−上单调递增，()fx在0x=处连续，因

此在R上单调递增，()()120fxfx+，()()()()1212,fxfxfxfx−−，12xx−，即120xx+.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性应用的，以及对数的运算、对数函数

的性质、不等式的性质，意在考查推理能力与计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9.已知数列na满足112(,2)nnnaaann−+N≤＋，则（）A.52143aaa−B.2736a

aaa++C.76633()aaaa−−D.2367aaaa++【答案】C【解析】【分析】由112nnnaaa−+≤＋可知11nnnnaaaa−+−−，再根据这个不等关系判断选项正误．【详解】由题得11nnnnaaaa−+−−，则有213243546576aaaaaa

aaaaaa−−−−−−，76435465633()()()()aaaaaaaaaa−−+−+−=−，故选C．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10.若非零向量a与向量b的夹角为

钝角，2b=，且当12t=−时，()btatR−取最小值3．向量c满足()()cbca−⊥−，则当()·cab+取最大值时，cb−等于（）A.6B.23C.22D.52【答案】A【解析】【详解】设aMA=，bMB=，cMC=，如图：∵向量a，b的夹角为钝角，∴当a与bta−垂直时，bta−取最

小值3，即12aba⊥+．过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD3=，∵|b|＝MB＝2，∴MD＝1，∠AMB＝120°，即a与b夹角为120°．∵12aba⊥+，∴a（12

ba+）＝0，∴|a|•|b|•cos120°12+|a|2＝0，∴|a|＝2，即MA＝2，∵()()cacb−⊥−，∴c的终点C在以AB为直径的圆O上，∵O是AB中点，∴ab+=2MO，∴当M，O，C三点共线时，()cab+取最大值，∵AB22ADBD=+=23，∴OB＝0C132

AB==，∵MA＝MB＝2，O是AB中点，∴MO⊥AB，∴∠BOC＝∠MOA＝90°，∴|cb−|＝BC2=OB6=．故选：A．考点：向量运算、两个向量垂直．【思路点晴】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目的已知条件，结合向量运算的几何意义作出符合

条件的图形是解题的关键.作出图象后，寻找bta−在什么位置取得最小值，计算出向量,ab的夹角，及a.由()()cacb−⊥−可知c的终点C在以AB为直径的圆O上，结合图象，找出当()cab+取得最大值时C的位置，由此求得结果.二、填空题11.双曲线2214xy−=的焦距为_____

_____；渐近线方程为__________．【答案】(1).25(2).12yx=【解析】由双曲线2214xy−=可知，224,1,ab==故2225cab=+=,焦距225c=,渐近线:12byxxa==,故答案为(1)25，(2)12yx=.12.等差数列na的前n

项和为nS，若11a=，36Sa=，且3a，6a，ka成等比数列，则nS=________，k=________．【答案】(1).22nn+(2).12【解析】【分析】根据条件11a=，36Sa=，求出等差数列na的通项公式，再求出前n项和，再根据

3a，6a，ka成等比数列求出k.【详解】设等差数列的公差为d，则由36Sa=得11335adad+=+，即3315dd+=+，解得1d=，则nan=，(1)2nnnSn−=+=22nn+．由3a，6a，ka成等比数列得263kaaa=，即263k=，

解得12k=．故答案为：22nn+；12【点睛】本题考查等差数列的概念与求和公式及等比数列的性质，根据题意确定等差数列的通项是解题的关键．13.已知点O为ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若3450OAO

BOC→→→→++=，cosBOC的值为______，OAOB→→=______.【答案】(1).45−；(2).0.【解析】【分析】设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O为三角形的外

心，得到OAOBOCR→→→===，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cosBOC的值；由4533OAOBOC→→→=−−，利用平面向量的数量积运算，即可求出OAOB→→的值.【详解】解：设外接圆半径为R，则OAOBOCR→

→→===，由3450OAOBOC→→→→++=，得：453OBOCOA→→→+=−，平方得：2221640259ROBOCRR→→++=，则245OBOCR→→=−，即224cos5RBOCR=−则4cos5BOC

=−；因为4545333OBOCOAOBOC→→→→→+==−−−，4533OAOOBOCOBB→→→→→−−=24533OBOCOB→→→−−=2245cos33RRBOC−−=22454335RR−−−

=0=.即0OAOB→→=.故答案为：45−；0.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和利用平面向量的数量积求夹角，以及向量在几何中的运用，考查化简运算能力．14.对于函数()()321332afxxxaxb=−+−+，若()27f=，则()2f−=______.若()fx有六个不同的

单调区间，则a的取值范围为______.【答案】(1).7(2).()2,3【解析】【分析】利用定义判断出函数()fx为偶函数，可求得()2f−的值，令()()321332agxxxaxb=−+−+，可知函数()gx在(

)0,+上有两个极值点，即函数()gx在()0,+上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.【详解】()()321332afxxxaxb=−+−+，该函数的定义域为R，()()()()(

)332211333232aafxxxaxbxxaxbfx−=−−−+−−+=−+−+=，所以，函数()fx为偶函数，则()()227ff−==.令()()321332agxxxaxb=−+−+，则()(

)fxgx=，由于函数()fx有六个不同的单调区间，则函数()gx在()0,+上有两个极值点，即函数()gx在()0,+上有两个不同的零点，且()()23gxxaxa=−+−，由二次函数的零点分布得()202412

0030aaaga=+−=−，解得23a.因此，实数a的取值范围是()2,3.故答案为：7；()2,3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC=，ABC的平分线交AC于点D，且1BD=，则3+ac的最小值为______.【答案】423+【解析】【分析】由ABCABDCBDSSS=+可推出acca=+，即1

11ac+=，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出3+ac的最值.【详解】由题可知ABCABDCBDSSS=+，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：111sin120sin60sin60222acca=+，化简得acca=+，即111ac+=，所以()113334423acacacac

ca+=++=+++，当且仅当3acca=即331ca==+时取等号.故答案为：423+.【点睛】本题考查了三角形和基本不等式的综合应用，属于中档题，在应用基本不等式时，注意遵循“一正二定三相等”原则.16.双曲线()2

22210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为e，过2F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则2e=______.【答案】522−【解析】【分析】可设2AF

m=，122FFc=，根据双曲线的定义及1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，得12AFam=+，14BFa=，112BFAF=，求得m.再在12RtFAF中，用勾股定理，得到关于ac、的方程，运用离心率公式计算即

可.【详解】解：设2AFm=，122FFc=，由122AFAFa−=，12AFam=+，又1222AFABAFBFmBF==+=+，22BFa=，又122BFBFa−=，14BFa=，1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，112BFAF=，即()422a

am=+，()221ma=−，在12RtFAF中，222124AFAFc+=，()22282224aac+−=，即222522caa=−，2522e=−.故答案为：522−.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的

求法，考查学生的计算能力，属于中档题.17.已知()fx是函数()()322113fxmxmxnx=−+−+的导函数，若函数()xyff=在区间,1mm+上单调递减，则实数m的范围是______.【答案】1,0−

【解析】【分析】求出函数()fx的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22fxxm=−，从而得到()fx的单调区间，由导函数在区间[m，1]m+上单调递增求出其值域1,0−，将函数的单调性把问题转化为1,01,1mm−−+，即可列出不等式即可

求出m的范围.【详解】解：由函数3221()(1)3fxxmxmxn=−+−+，得222()21()1fxxmxmxm=−+−=−−，由2()10xm−−，得1xm−或1xm+，函数()fx的增区间为(,1)m−−，(1

,)m++，由2(1)0xm−−，得11mxm−+，函数()fx单调减区间为1,1mm−+，由()22fxxm=−，则()0fx时，xm；()0fx时，xm，得()fx的单调增区间为),m+，单调减区间为(,m−，函数()fx在,

1mm+上单调递增，函数()fx在,1mm+上的值域为1,0−，又函数[()]yffx=在区间,1mm+上单调递减，也就是函数()yfx=在区间1,0−上单调递减，因此要满足条件1,01,1mm−−+，即1110mm−−+，解得：10m−，实数m的范

围是1,0−.故答案为：1,0−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.三、解答题18.（1）()2sin50cos1013t

an101cos10+++（2）在ABC中，已知2AC=，1AB=，且角A，B，C满足2cos22sin12BCA++=.求角A的大小和BC边的长；【答案】（1）2；（2）60A=，3BC=.【解析】【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式

等三角恒等变换化简求值；（2）对2cos22sin12BCA++=利用倍角公式，降次公式化简，可得1cos2A=，从而求得60A=，再求余弦定理可求得BC的长.【详解】解：（1）()2sin50cos1013tan101cos10+++

=2sin50cos103sin101cos10+++22222(sin40cos402sin502sin40221cos102cos5++=+=2sin85cos5=2=（2）由

2cos22sin12BCA++=，得cos2cos()ABC=+，又180ABC++=，得cos2A=cos(180)A−，得22cos1cosAA−=−，得(cos1)(2cos1)0AA+−=，由cos10A+，得1cos2A=，又(0

,180)A，得60A=，2222cosBCABACABACA=+−211221232=+−=，得3BC=，即60A=，3BC=【点睛】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二

倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题.19.已知：二次函数()21fxaxbx=+−的图象过点()1,0−，且对任意实数均有()0fx成立.（1）求()fx的表达式；（2）

若奇函数()hx的定义域和值域都是区间,kk−，且0xk−，时，()()1hxfx=+，求k的值.【答案】（1）()221fxxx=−−−；（2）1k=或3k=.【解析】【分析】（1）根据函数过点()1,0−和0计算得到答案.（2）根据奇函数得到函数解析式，讨论01k

和1k两种情况，计算得到答案.【详解】（1）()21fxaxbx=+−，()110fab−=−−=，故1ab−=，对任意实数均有()0fx成立.，故240ba=+，即()224420bbb++=+，故2b=−，1a=−，即()221fxxx=−−−.（

2）当0xk−，时，()()()221211xxfxhxx=−−=−+++=，0k，当(0,xk时，)0xk−−，，故()()22hxhxxx−=−−=，当1k时，函数()hx在,kk−上单调递减，故()()2max2hxhk

kkk=−=−+=，()()2min2hxhkkkk==−=−，解得1k=；当1k时，()()()()maxmax1,max1,fxffkfkk=−==，故()fkk=，即22kkk−=，解得3k=，验证满足()()minfxfkk=

−=−.综上所述：1k=或3k=.【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据函数的值域求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，分类讨论是解题的关键.20.已知等差数列na的公差为1−，前n项和为nS，且27126aaa++=−．（1）求数列na的通项公式na与前n项和nS；（2）将数列

na的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列nb的前三项，记数列nnab的前n项和为n，若存在m，使得对任意n，总有nmS+成立，求实数的取值范围．【答案】（1）5nan=−，2922nnnS=−（2）29,2−+【解析】

【详解】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126aaa++=−利用等差数列性质得736a=−，72a=−，再根据等差数列广义通项公式得：()77275naandnn=+−=−−+=−，最后利用等差数列和项公式求前n项和

nS，（2）先根据题意确定数列na的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列nb通项，然后利用错位相减法求数列nnab的前n项和为n，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()m

axmaxnmST+，nS为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n，而n的最值，需根据数列单调性确定.试题解析：解：（1）na为等差数列，且27126aaa++=−，736a=−，即72a=−，又公差1d=−，()77275naa

ndnn=+−=−−+=−，n．()()214592222nnnaannnnS++−===−，n．（2）由（1）知数列na的前4项为4，3，2，1，等比数列nb的前3项为4，2，1，，()1

1452nnnabn−=−，()()01211111443652222nnnTnn−−=+++−+−，①()()1211111

14436522222nnnTnn−=+++−+−，②①−②得()12111111444522222nnnTn−

=−+++−−()()111212111645122612212nnnnn−−−=−−−=+−−．()11244122nnTn−=+−

，n．()11214112412204222nnnnnnnnTT−−−−−−−−−=−=，12345TTTTT=，且56nTT，*n时，()45max492nTTT===．又2922nnnS=−，*n时，()45max10nSSS===，存在*m

，使得对任意*n，总有nmST+成立．()()maxmaxnmST+，49102+，实数的取值范围为29,2−+．考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和【名师点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n

项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．21.如图，已知()1,1P

为抛物线2yx=上一点，斜率分别为k，k−()2k的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）.（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）若△ABP的内切圆半径为265−.（i）求△ABP的周长

（用k表示）；（ii）求直线AB的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）22125kkk++；（ii）224yx=−+.【解析】【分析】（1）首先设直线PA的方程为()11ykx=−+，与抛物线2yx=联立，求得点A的坐标，将kk=−，求得点B的坐标

，再求直线AB的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P到直线AB的距离，再利用等面积公式转化方程求k，最后求直线AB的方程.【详解】（1）设直线PA的方程为()11ykx=−+，与抛物线2yx=联立

，得210xkxk−+−=，易知()()21,1Akk−−，()()21,1Bkk−−+，所以直线AB的斜率2ABk=−（定值）.（2）由（1）得直线AB的方程为()()2211yxkk=−−++−，所以点P到直线AB的距离24

5kd−=.()212APkk=+−，()212BPkk=++，25ABk=.（ⅰ）求ABP的周长22125lkkk=++；（ⅱ）设ABP的内切圆半径为r，则265r=−，22241515ABdkrklk−===+−+

+，即215265k+−=−，解得5k=.所以直线AB的方程为224yx=−+.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求

出点,AB的坐标.22.已知函数()()1xfxxe=−.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若方程()(),fxaxbabR=+有非负实数解，求2+4ab的最小值.【答案】（1）()0,+；（2）()24ln21−−.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数()xfxxe=，直接求函数

的单调递增区间；（2）设()()gxfxaxb=−−，求函数的导数()xgxxea=−，当0a时，判断函数在()0,+上单调性，当有非负实数解时，求24ab+的最小值，当0a，转化为存在00x使()00gx=，即00xaxe=，且()gx在00,x

上单调递减，在)0,x+上单调递增转化为()002222000441xxabxexxe+−−+，通过构造函数()()22241xxhxxexxe=−−+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()xfxxe=，所以函数()fx的单调递增区间为()0,+.

（2）设()()1xgxxeaxb=−−−，则()xgxxea=−.①当0a时，因为()0gx，所以()gx在)0,+单调递增，所以()010gb=−−，得1b−，故244ab+−.②当0a时，存在

00x使()00gx=，即00xaxe=，且()gx在00,x上单调递减，在)0,x+上单调递增.所以()()000010xgxxeaxb=−−−，解得()()0002000011xxxbxeaxxexe−−=−−，因此()002222000441xxabx

exxe+−−+.设()()22241xxhxxexxe=−−+，则()()()222xxxhxxee=+−，所以()hx在0,ln2上单调递减，在)ln2,+上单调递增，所以()()ln204hh=−，()()2ln24ln28ln28hxh=−+−.所以当2

ln2a=，22ln22ln22b=−+−时，24ab+取到最小值()24ln21−−，此时方程()fxaxb=+有零点ln2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问0a时的讨论，通过转化，变形构造函

数，转化为求函数的最小值.