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第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积课后篇巩固提升必备知识基础练1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9B.0C.-3D.-9答案D解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.2.已知|a|=4,

|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=()A.√13B.√26C.13D.21答案A解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a

·b+|b|2=13,所以|a+b|=√13.3.(2021江苏南京期末)已知正方形ABCD的边长为3,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3B.-3C.6D.-6答案A解析如图,因为正方形ABCD的边长为3,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗2−13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=32-23×32=3.故选A.4.(2020全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos

<a,a+b>=()A.-3135B.-1935C.1735D.1935答案D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos<a,a+b>=𝑎·(𝑎+𝑏)|𝑎||𝑎+𝑏|=1

95×7=1935.5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有()A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|答案ABC

解析A.∵a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且

以上各步均可逆.故B正确.C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过

来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹

角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.6.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.答案0或4解析|2a-b|=√4𝑎2-4𝑎·𝑏+𝑏2=√8-4𝑎·𝑏.又a,b

为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.故|2a-b|=0或4.7.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值是.答案-1解析(方法一)�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos(180°-∠B)=-|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠B=-|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2=-1.(方法二)|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=1,即𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗为单位向量,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ABC,而|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ABC=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2=-1.

8.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=1×1×(-12)-1×1×(-12)=0,故

(a-b)⊥c.9.已知向量a,b满足|a|=√2,|b|=1.(1)若a,b的夹角θ为π4,求|a+b|;(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.解(1)由已知,得a·b=|a||b|cosπ4=√2×1×√22=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·

b=2+1+2=5,所以|a+b|=√5.(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0.所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1,所以cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=1√2=√22.又θ∈[0,π],所以θ=π4,即a与

b的夹角为π4.关键能力提升练10.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为()A.1B.2C.3D.5答案C解析∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=√(𝑎-𝑏)2=√𝑎2-2𝑎·𝑏+

𝑏2=√5-2𝑎·𝑏,又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3],∴|a-b|的最大值为3.11.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有()A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a

-(c·a)·b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案ACD解析根据向量数量积的分配律知,A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b

·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.12.已知|

a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.答案(-∞,-2-√3)∪(-2+√3,1)∪(1,+∞)解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+

b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-√3或λ>-2+√3.当λ=1时,a+λb与λa+b同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-√3)∪(-2+√3,1)∪(1,+∞).13.如图,在四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=a,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=c,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?解∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·

d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,

即|b|=|d|,|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴a=-c.又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0.∴a·b=0,∴𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.故四边形ABCD为正方形.14.如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)试用a,b表示向量𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若|b|=1,求𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.解(1)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=√3BC=√3AC.∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3b,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a+√3b,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a+(√3-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=√2,a·b=√2cos45°=1,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a·[a+(√3-1)b]=a2+(√3-1)a·b

=2+√3-1=√3+1.学科素养创新练15.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()A.𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃1𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃1𝑃4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑃1�

�2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃1𝑃5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃1𝑃6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案A解析由于𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑃1𝑃5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,故其数量积是0;𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃1�

�6⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角是2π3,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃1𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃1𝑃3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°=32a2,𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃1𝑃4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

|𝑃1𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃1𝑃4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60°=a2.故选A.16.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·(𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)的最小值是()A.-2B.

-32C.-43D.-1答案B