【文档说明】KS5U2024高考压轴卷——数学（文）（全国甲卷） Word版含解析.docx，共(21)页，1.071 MB，由小赞的店铺上传

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KS5U2024高考压轴卷数学（文科）全国甲卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22,

1,0,1,2,40ABxx=−−=−，则AB=（）A.1,0,1−B.0,1,2C.1,1−D.2,1,0,1,2−−2.已知复数()i,,izabab=+R是虚数单位，若2233iz

z−=+，则复数z的虚部为（）A.3B.23C.3iD.23i3.已知平面向量()2,3am=−，()1,bm=，若//ab，则m=（）A.2−B.1C.2D.44.已知函数()1221,0,,0,xxfxxx−=若()3fm=，则m的值为（）A.3B.2C.9D.2

或95.在区间()0,1与()1,2中各随机取1个数，则两数之和大于32的概率为（）A.18B.34C.78D.23326.函数22ln1xyxx=+在2,2−的图象大致为A.B.C.D.7.已知1F，2F为双曲线22143xy−=的左，右

焦点，过点2F向该双曲线的一条渐近线作垂线2PF，垂足为P，则12PFF△的面积为（）A.2B.3C.4D.238.设命题:Rpm，使()()2431mmfxmx−+=−是幂函数，且在()0,+上单调递减；命题()2:2,

,2xqxx+，则下列命题为真的是（）A.()pqB.()pqC.pqD.()pq9.已知数列na满足1122nnnaaa++−=，且13a=，则2023a=（）A.3B.12C.-2D.4310.设函数()fx为偶

函数，且当0x时，()cosxfxex=−，则不等式(21)(2)0fxfx−−−的解集为（）A.(1,1)−B.(,3)−−C.(3,)−+D.(1,)(,1)+−−11.将函数1π()sin(0)26fxx=−的图象上所有点

的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数()gx的图象．若()gx在π0,3上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（）A.511,22B.5,42C.114,2D.

11,7212.设1F，2F是双曲线C：()222210,0xyabab−=左、右焦点，以线段12FF为直径的圆与直线0bxay−=在第一象限交于点A，若2tan2AFO=，则双曲线C的离心率为（）A.53B.32

C.3D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.ccoos515s7=_______．14.直线yx=与圆22230xyx++−=交于AB，两点，则||AB=_____________.15.若函数()32113fxxaxx=−++存在极值点，则实数a的取值

范围为________．16.已知球O的表面积为36π，正四棱锥PABCD−的所有顶点都在球O的球面上，则该正四棱锥PABCD−体积的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他的们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超

过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为3:2，运动达标的女生与男生的人数比为2:1，运动欠佳的男生有5人.(1)根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.01=的独立性检验，分

析“运动达标情况”与“性别”是否有关?性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式：()()()()()22nad

bcabcdacbd−=++++，nabcd=+++.0.100.050.010.001x2.7063.8416.63510.82818．如图，在平面四边形ABCD中，已知点C关于直线BD的对称点'C在直线AD上，30CB

DCDB==，75ACD=．(Ⅰ)求sinsinBACABC的值；(Ⅱ)设3AC=，求2AB.19.已知球内接正四棱锥PABCD−的高为3，AC、BD相交于O，球的表面积为169π9，若E为PC中点.（1）求证：//OE平

面PAD；（2）求三棱锥CEOB−的体积.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN⊥，ADMN⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．21.已知函数()()2lnRf

xmxxxm=−−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若对任意的0x，不等式()22fxx恒成立，求m的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]2

2.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos2sin20−−−=，直线l的参数方程为2cos2sinxtyt=+=+（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2

）设直线l与曲线C交于A，B两点，定点()2,2P，若||||22PAPB+=，求直线l的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()1fxx=−．(Ⅰ)解不等式()()246fxfx++；(Ⅱ)若a、bR，1a，1b，证明：()()1fabfab−+．K

S5U2024高考压轴卷数学（文科）全国甲卷答案1【KS5U答案】A【KS5U解析】因为240{22},2,1,0,1,2BxxxxA=−=−=−−，所以1,0,1AB=−.故选：A2【KS5U答案】A【KS5U解析】()2i2i3i233izzababab−=+−−=−+=+，

则2333ab−==，解得23ab=−=，则其虚部为3.故选：A.3【KS5U答案】B【KS5U解析】因为a//b，所以()230mm−−=，所以1m=.故选：B4【KS5U答案】C【KS5U解析】∵函数()1221,0,0xxfxxx−=

，()3fm=，∴2130mm−=或1230mm=，解得9m=.故选：C.5【KS5U答案】C【KS5U解析】设区间()0,1内取到的数是x，在()1,2内取到的数为y，则满足0112xy，作出不等式组对应你的平面区域ABCD，如图所示

，可得对应的图形的面积为1S=，由两数之和大于32，即32xy+，设直线32xy+=交,ABAD于点,FE，可得11,22AFAE==，则AEF△的面积为111112228S==，所以五边形BCDEF的面积为217188S=−=，则两数之和大于32的概率为278SPS=

=.故选：C.6【KS5U答案】C【KS5U解析】当0x时，21ln()xfxx+=，令21ln101xxxe+==，即在区间[0,2]只有一个零点，故应排除答案A、B、D，应选答案C．7【KS5U答案】D【KS5U解析】如图由题意可得双曲线的一条

渐近线方程为320xy−=，焦点()27,0F到渐近线的距离为221334PF==+，所以2OP=，12OFOF=，所以1222122232PFFPOFSSOPPF===△△.故选：D.8【KS5U答案】A【KS5U解析】对于命题p，当2m=时，函

数()1fxx−=，是幂函数，且在()0,+上单调递减，故命题p为真命题；对于命题q，当3x=时，3223，不满足()22,,2xxx+，故命题q为假命题．所以“()pq”为真命题，“()pq”为假命题，“pq”为假命题，“()pq”为假命题．故选：A．9【KS5U答

案】B【KS5U解析】由题意数列na满足1122nnnaaa++−=，则122nnaa+=−，故由13a=，得23452222,,1142,342322232232aaaa====−+−=−===

−，由此可知数列na的周期为4，故202345053312aaa+===，故选：B10【KS5U答案】D【KS5U解析】当0x时，()cosxfxex=−，所以()sinxfxex=+，因为0x，所以1xe

，即()1sin0fxx+，所以函数()fx在)0,+上单调递增，又因为函数()fx为R上的偶函数，所以函数()fx在(,0−上单调递减，在)0,+上单调递增，则不等式(21)(2)0fxfx−−−，等价于212xx−−，所以1x−或1x.故选：D.【点睛】对于

求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()fx为偶函数，则()()()fxfxfx−==．11【KS5U答案】C【KS5U解析】由题可知，π()sin26gxx=−，

当π03x时，ππ2ππ26636x−−−．因为()gx在π0,3上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362−，解得1142，所以的取值范围为：114,2

．故选：C.12【KS5U答案】A【KS5U解析】由题意可得2||||AOOFc==，即有2AOF△为等腰三角形，设22OAFAFO==，则22AOF=−，所以()222tantantan2tan2t

an1AOF=−=−=−2224213==−即为43ba=，所以221651193cbeaa==+=+=，故选：A【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF△为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,ab的方程，是求出离心率的关

键，属于中档题.13【KS5U答案】14【KS5U解析】()11cos75cos9015cos15sin15sin3024cos15cos15=−===．故答案为：1414【KS5U答案】14【KS5U解析】由圆22230

xyx++−=，得22(1)4xy++=，则圆心坐标为(1,0)−，半径为2．圆心到直线0xy−=的距离|1|222d−==，221||224142ABrd=−=−=．故答案为：14．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，利用垂径定理求弦长．15【K

S5U答案】()(),11,−−+【KS5U解析】因为()32113fxxaxx=−++，可得()221fxxax=−+，因为函数()fx存在极值点，所以()0fx=有两不等实根，则2440a=−，解得1a−或1a，所以a的取值范围是()(),

11,−−+.故答案为：()(),11,−−+.16【KS5U答案】643【KS5U解析】由236π4πrS==表，故该球半径3r=，设正四棱锥PABCD−底面边长为ABa=，高为PMh=，则221222AMaaa=+=，3OMhrh=−=−，则有()2222332ah

+−=，化简得22212ahh=−+，()22321122124333PABCDVahhhhhh−==−+=−+，令()()322403fhhhh=−+，则()()22824fhhhhh=−+=−−，

故当04h时，()0fh，当4h时，()0fh，即()fh有极大值()32264444433f=−+=，即该正四棱锥PABCD−体积的最大值为643.故答案为：643.【点睛】关键点睛：本题关键在于得出体积的表达式

后构造函数，借助导数研究函数单调性后可得最值.17．【KS5U答案】(1)表格见解析，“运动达标情况”与“性别”无关.(2)815【分析】（1）由条件完成列联表，根据2公式代入计算可判断结果；（2）先根据分层抽样方法抽

取，然后由概率公式计算即可.【KS5U解析】（1）2×2列联表为：性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100假设0H：运动达标情况与性别无关.22100(2035540)505.5566.635

604025759−==.根据小概率值0.01=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，即认为“运动达标情况”与“性别”无关.（2）已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、女生分别抽到2人和4人，则选中2人中恰有一人

是女生的概率为114226CC8C15P==18【KS5U答案】.(1)63(2)1563−【KS5U解析】（1）因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，所以DB平分ADC，所以ADBCDB=，因为CBDCDB=，所以ADBCBD=，BC=CD

，所以AD‖BC，所以CADACB=，因为30CBDCDB==，75ACD=，所以45ACBCAD==，所以sinsinsin456sinsinsin603BACBCCDCADABCACACADC==

===．（2）因为在ACD△中，由正弦定理得sinsinCDACCADADC=,所以3sin45sin60CD=，32322CD=，所以6CD=，所以6CB=，在ABC中，由余弦定理得，2222cosAB

CBCACBCAACB=+−22(6)3263cos451563=+−=−．19【KS5U答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）依题意可得//OEAP，即可得证；（2）由球的表面积求出球的半径R，由正四

棱锥的性质可知球心1O必在PO上，连接1AO，利用勾股定理求出AO，即可求出BOCS，再由E为PC中点得到E到平面ABCD的距离为1322PO=，最后由CEOBECOBVV−−=计算可得.【小问1详解】依题意底面ABCD为正方形，AC、BD相交于O，所以O为AC的中点，又E为PC中

点，所以//OEAP，又OE平面PAD，AP平面PAD，所以//OE平面PAD.【小问2详解】设球的半径为R，由球的表面积公式21694ππ9SR==，解得136R=（负值舍去），设球心为1O，在正四棱锥PABCD−中，高为PO，则1O

必在PO上，连接1AO，则1136OP=，1156OOOPOP=−=，1136AO=，则在1RtOOA△，则22211OOOAOA+=，即22251366OA+=，解得2OA=（负值舍去），则2OBOCOA===，所以1

2222BOCS==△，又E为PC中点，PO⊥平面ABCD且3PO=，所以E到平面ABCD的距离为1322PO=，所以132132CEOBECOBVV−−===.20【KS5U答案】（1）22163xy+=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,abc

的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为ykxm=+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,mk的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确

定满足题意的点Q的位置.【KS5U解析】（1）由题意可得：2222222411caababc=+==+，解得：2226,3abc===，故椭圆方程为：22163xy+=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,MxyNxy，若直线MN斜率存在时，设

直线MN的方程为：ykxm=+，代入椭圆方程消去y并整理得：()222124260kxkmxm+++−=，可得122412kmxxk+=−+，21222612mxxk−=+，因为AMAN⊥，所以·0AMAN=

，即()()()()121222110xxyy−−+−−=，根据1122,kxmykxmy=+=+,代入整理可得：()()()()22121212140xxkmkxxkm++−−++−+=，所以()()()22222264121401212mkmkkmkmkk−

++−−−+−+=++，整理化简得()()231210kmkm+++−=，因为(2,1)A不在直线MN上，所以210km+−，故23101kmk++=，，于是MN的方程为2133ykx=−−()1k，所以直线过定点直线过定点21,33P−.当直线MN的斜

率不存在时，可得()11,Nxy−，由·0AMAN=得：()()()()111122110xxyy−−+−−−=，得()1221210xy−+−=，结合2211163xy+=可得：2113840xx−+=，解得：123x=或22x=（舍）.此时直线MN过点21,33P−.令

Q为AP的中点，即41,33Q，若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP△的斜边，故12223DQAP==，若D与P重合，则12DQAP=，故存在点41,33Q，使得DQ定值.［方法二］【最优解】：平移

坐标系将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163xy+++=，设直线MN的方程为4mxny+=．将直线MN方程与椭圆方程联立得224240xxyy+++

=，即22()2()0xmxnyxymxnyy+++++=，化简得22(2)()(1)0nymnxymx+++++=，即2(2)()(1)0yynmnmxx+++++=．设()()1122,,,MxyNx

y，因为AMAN⊥则1212AMANyykkxx=112mn+==−+，即3mn=−−．代入直线MN方程中得()340nyxx−−−=．则在新坐标系下直线MN过定点44,33−−，则在原坐标

系下直线MN过定点21,33P−．又ADMN⊥，D在以AP为直径的圆上．AP的中点41,33即为圆心Q．经检验，直线MN垂直于x轴为时也成立．故存在41,33Q，使得122||||23DQAP==．［方法三］：建立

曲线系A点处的切线方程为21163xy+=，即30xy+−=．设直线MA的方程为11210kxyk−−+=，直线MB的方程为22210kxyk−−+=，直线MN的方程为0kxym−+=．由题意得121kk?-．则过A，M，N三点的二次曲线

系方程用椭圆及直线,MAMB可表示为()()22112212121063xykxykkxyk+−+−−+−−+=（其中为系数）．用直线MN及点A处的切线可表示为()(3)0kxymxy

−++−=（其中为系数）．即()()22112212121()(3)63xykxykkxykkxymxy+−+−−+−−+=−++−．对比xy项、x项及y项系数得()()()121212(1),4(3),21

(3).kkkkkmkkkm+=−++=−+−=+①②③将①代入②③，消去,并化简得3210mk++=，即2133mk=−−．故直线MN的方程为2133ykx=−−

，直线MN过定点21,33P−．又ADMN⊥，D在以AP为直径的圆上．AP中点41,33即为圆心Q．经检验，直线MN垂直于x轴时也成立．故存在41,33Q，使得122||||23DQAP==．［方法四］：设()()1122,,,MxyNxy．若直线MN

的斜率不存在，则()()1111,,,MxyNxy−．因为AMAN⊥，则0AMAN=，即()1221210xy−+−=．由2211163xy+=，解得123x=或12x=（舍）．所以直线MN的方程为23x=．若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为ykxm=+，则()()()222122(

)6120xkxmkxxxx++−=+−−=．令2x=，则()()1222(21)(21)2212kmkmxxk+−++−−=+．又()()221221262ymyyyyykk−+−=+−−，令1y=，则()()122(21)(21)

1112kmkmyyk+−−+−−−=+．因为AMAN⊥，所以()()()()12122211AMANxxyy=−−+−−2(21)(231)12kmkmk+−++=+0=，即21mk=−+或2133mk=−−．当21mk=

−+时，直线MN的方程为21(2)1ykxkkx=−+=−+．所以直线MN恒过(2,1)A，不合题意；当2133mk=−−时，直线MN的方程为21213333ykxkkx=−−=−−，所以直线MN恒过21,33P−．综上，直线MN

恒过21,33P−，所以42||3AP=．又因为ADMN⊥，即ADAP⊥，所以点D在以线段AP为直径的圆上运动．取线段AP的中点为41,33Q，则122||||23DQAP==．所以存在定点Q，使得||DQ为定值．【整

体点评】（2）方法一：设出直线MN方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P，再根据平面几何知识可知定点Q即为AP的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线MN的方程

为4mxny+=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,mn的关系，从而可知直线过定点P，从而可知定点Q即为AP的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MNykxm=+，再利用过点,,AMN的曲线系，根据比较对应项系数可求出,mk的关系，从而求出直线过定点P，故

可知定点Q即为AP的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222−−xx以及()()1211yy−−的计算．21【KS5U答案】（1）答案见解析（2）()3,+【分析】（1）求出导函数()fx，按照m的正负分类讨论，由

()fx的正负可得单调性；（2）将不等式变形为21ln2xmxx++，令()21ln2xgxxx=++，对()gx求导，再令()12lnhxxx=−+−，由()hx的单调性判断()gx的符号，进而确定()gx的单调性，求出()gx的最大值即可求出m的

取值范围.【小问1详解】由题意知()fx的定义域为(0,)+，()212121mxxfxmxxx−−=−−=，当0m时，()0fx，()fx在(0,)+上单调递减；当0m时，令2210mxx−−=，180m=+

，故方程2210mxx−−=有两个不同的实数根，分别为11184mxm−+=，21184mxm++=，且10x，20x，当20xx时，()0fx，()fx单调递减，当2xx时，()0fx¢>，(

)fx单调递增.综上可知，当0m时，()fx在(0,)+上单调递减；当0m时，()fx在118(0,)4mm++上单调递减，在118(,)4mm+++上单调递增；【小问2详解】由()22fxx可得22ln2mxxxx−−，即21ln2xmxx++，设()21

ln2xgxxx=++，()0,x+，则()233112ln12lnxxxgxxxx−−+−=−+=，设()12lnhxxx=−+−，()0,x+，因为()210hxx=−−，则()hx在(0,)+

上单调递减，且()10h=，所以当()0,1x时，()0hx，即()0gx，所以()gx在()0,1上单调递增，当(1,)x+时，()0hx，即()0gx，所以()gx在(1,)+上单调

递减，所以()gx的最大值为()13g=，所以3m，即m的取值范围为(3,)+.22【KS5U答案】（1）22(1)(1)4xy−+−=（2）3π4【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可得解；（2）联立直线l参数方程与曲线C

的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义即可得解.【小问1详解】将222,cos,sinxyxy=+==代入曲线C的极坐标方程22cos2sin20−−−=中，得曲线C的直角坐标方程为222220xyxy+−−−=，即22(1)(1)4xy−+−=；【小问2详解

】因为点(2,2)P在直线l上，将直线l的参数方程2cos2sinxtyt=+=+(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，整理得22(cossin)20tt++−=，满足24(sincos)40=++，设点,AB对应的参数分别为12,tt，则12122(cossin),20

tttt+=−+=−，由参数t的几何意义，不妨令12||,||tPAtPB==，所以()212121212||||44sin212PAPBtttttttt+=+=−=+−=+，当||||22PAPB+=时，4

sin21222+=，sin21=−，所以π22π(Z)2kk=−，则ππ(Z)4kk=−，所以直线l的倾斜角为3π4.23．解：（1）由()()246fxfx++得：2136xx−++，当3x−时，2136xx−+−−，解得3x

−；当132x−时，2136xx−+++，解得32x−−；当12x时，2136xx−++，解得43x；综上，不等式的解集为4{|2}3xxx−或.（2）证明：()()11fabfababab−+−−＞，因为1a，1b

，即21a，21b，所以221||abab−−−=2222212ababaabb−+−+−=22221abab−−+=()()22110ab−−，所以221||abab−−＞，即1abab−−，所以原不等式成立.