【文档说明】【精准解析】专题54曲线与方程-（文理通用）【高考】.docx，共(38)页，1.744 MB，由小赞的店铺上传

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专题54曲线与方程最新考纲1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质．3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.基础知识融会贯通1．曲线与方

程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方

程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组

解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．重点难点突破【题型一】定义法求轨迹方程【典型例题】已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（

x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴

椭圆的方程是故选：B．【再练一题】动圆M与定圆C：x2+y2+4x＝0相外切，且与直线l：x﹣2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（）A．y2﹣12x+12＝0B．y2+12x﹣12＝0C．y2+8x＝0D．y2﹣8x＝0【解答】解：圆C的标准方程为（

x+2）2+y2＝4，圆心为C（﹣2，0），半径为2．如下图所示，设圆M的半径为r，则|MC|＝r+2，点M到直线l的距离为r，由题意可知，点M到点C的距离等于点M到直线x＝4的距离，设动点M的坐标为（x，y），则，化简得y2+12x﹣12＝0

．因此，动点M的轨迹方程为y2+12x﹣12＝0．故选：B．思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【题型二】直接法求轨迹方程【典型例题】已知△A

BC一边的两个端点是A（7，0），B（﹣7，0），另两边斜率的积是，那么顶点C的轨迹方程是（）A．x2+y2＝49（y≠0）B．1（y≠0）C．1（y≠0）D．1（y≠0）【解答】解：设顶点A的坐标为（x，y），则；kBC，由题意得，即1（y≠0），故选：D．【再练一题】已知

动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，

B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的

方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，联立消去y得．，，所以，，．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线

和直线符合题意．思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．【题型三】相关点法求轨迹方程【典型例题】已知长度为4的线段AB的两

个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3，记动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．【

解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），∵，∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），即，∴，∵|AB|＝4，∴m2+n2＝16，∴，∴曲线C的方程为：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+3

6tx+9（t2﹣1）＝0，由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，可得，又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1，又，，∴kHM+kHN＝41，解得t＝3，故t的值为3．【再练一题】在圆x2+

y2＝1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且PMPD，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（）A．y2＝1（y≠0）B．y2＝1（y≠0）C．x21（y≠0）D．x21（y≠0）【解答】解：设M（x，y），则P（x，），把P代入圆的方程

可得x21．故选：D．思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．基础知识训练1

．【广西2018届高三下学期第二次模拟】设为椭圆上任意一点，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为椭圆上任意一点,且A,B为椭圆的焦点，，又，所以点的轨迹方程为.选B.2．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】已知正方体1111ABCDABCD−中，2AB

=，E为AD的中点，P为正方形1111DCBA内的一个动点（含边界），且5PE，则111PAPBPC++的最小值为（）A．171−B．173−C．17D．171+【答案】B【解析】设11AD的中点为F，连接EF、PF，则在EFP中，E

FFP⊥，222EPEFFP=+，∴21FP.∴P是以F为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111ABCD内）.以1A为原点建系如图所示，则()10,0A，()12,0B，()()12,2,F0,

1C，设P的坐标为(),xy，则()()()111,,2,,2,2PAxyPBxyPCxy=−−=−−=−−,()11143,23yPAPBPCx++=−−.()()2222111424323333PAPBPCxyxy++=−

+−=−+−.设Q点的坐标为42,33，则()111331PAPBPCPQQF++=−173=−.故选：B3．【北京市第四中学2019届高三第三次调研考试】已知直线:(4)lykx=+与圆22(2)4xy++=相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则

点M到直线3460xy−−=的距离的最大值为A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】解：直线:(4)lykx=+经过定点（-4,0），设(,),(,)A40Mxy−，则点(,)B2x42y+，因为点B在圆22(2

)4xy++=上，故有()()222x422y4+++=，化简整理得：22(3)1xy++=，所以点M的轨迹是圆心为（-3,0），半径为1的圆，圆心（-3,0）到直线3460xy−−=的距离为||963916−−=+，所以点M到直线34

60xy−−=的最大距离为4。故选B。4．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD的距离

相等的点P（）A．不存在B．恰有1个C．恰有2个D．有无数个【答案】D【解析】解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，∴P到直线CD的距离为21y+，∴x=21y+，即x2-y2=1（x≥1

），∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，故选：D．5．【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试】在直角坐标平面内，已知以及动点的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵sinAs

inB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴，设C（x，y），又A（﹣

2，0），B（2，0），所以有，整理得，∴离心率是故选A．6．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，点C满足sinsin(0)CABCBA=，且在平面内运动

，则（）A．当1=时，点C的轨迹是抛物线B．当1=时，点C的轨迹是一条直线C．当2=时，点C的轨迹是椭圆D．当2=时，点C的轨迹是双曲线抛物线【答案】B【解析】在ABC中，∵sinsin(0)CABCBA=

，由正弦定理可得：BCAC=，当1=时，BCAC=，过AB的中点作线段AB的垂面，则点C在与的交线上，即点C的轨迹是一条直线，当2=时，2BCAC=，设B在平面内的射影为D，连接BD，CD，设BDh=，2ADa=，则22BCCDh=+，在平面内，以AD

所在直线为x轴，以AD的中点为y轴建立平面直角坐标系，设(,)Cxy，则22()CAxay=++，22()CDxay=−+，222()CBxayh=−++，∴22222()2()xayhxay−++=++，化简可得2222516393ahxay

++=+.∴C的轨迹是圆．故选：B．7．【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试】在平面直角坐标系中，(4,0),(1,0)AB−−，点(,)(0)Pabab满足||2||

APBP=，则2241ab+的最小值为（）A．4B．3C．32D．94【答案】D【解析】∵点(),Pab（0ab）满足2APBP=，∴2AP=2BP，即24)a（++2b=)241a+（+2b]，化简得a2+b2=4，则22241()(aa

b++2b)=4+1+224ba+222222452ababab+=5+4=9，（当且仅当222ab==83等号成立）∴2241ab+的最小值为94,故选D.8．【辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模】古希腊数学家阿波罗

尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，

则，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．故选：D．9．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】如图，直二面角AB−−，P，C，D，且ADAB⊥，BCAB⊥，5AD=，10=BC，6AB=，APDCPB=，则点P在平面

内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．一条直线D．两条直线【答案】A【解析】解：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设点(),Pxy，()3,0A−，()3,0B，ADAB⊥，BCAB⊥，则AD⊥，BC⊥，5AD=，10=BC，6AB=，

APDCPB=，RtAPDRtCPB，()()22223511023xyAPADBPBCxy++====−+，即()()2222343xyxy−+=++，整理得：()22516xy++=，故点P的轨迹是圆的一部分，故选A.10．【安徽省淮南市

2019届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：符合的点的轨迹围成的图形面积为8；设点是直线：上任意一点，则；设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；设点是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为A．B．C．D

．【答案】D【解析】，根据新定义得：，由方程表示的图形关于轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：四边形为边长是的正方形，面积等于8，故正确；为直线上任一点，可得，可得，当时，；当时，；当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；，当时，，满足题意；而，当时，，满足题意

，即都能“使最小的点有无数个”，不正确；是椭圆上任意一点，因为求最大值，所以可设正确．则正确的结论有：，故选D．11．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试】已知点，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线的斜率之积为.（1）求动点

的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当与点不重合时，，得，即，当与点重合时，.综上，动点的轨迹方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴

平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，，综上：.12．【西南名校联盟重庆市第八中

学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】设抛物线1C的方程为24xy=，点()()000,0Mxyx在抛物线22:Cxy=−上，过M作抛物线1C的切线，切点分别为A，B，圆N是以线段AB为直径的圆.（1）若点M的坐标为()2,4−，求此时圆N的半径长；（2）当M在2xy=−上运动时，

求圆心N的轨迹方程.【答案】（1）210；（2）22(0)3xyx=.【解析】解：（1）设22121212(,),,,,,44xxNxyAxBxxx，∴切线,MAMB的方程分别为()()22112212,2424xxxxyxxy

xx=−+=−+，得,MAMB的交点2213412xtyxy=−+=的坐标为1212002,424xxxxxy+====−，又2221012212212ABxxxxxppkxxpp−+====−，()221212||14

410ABkxxxx=++−=∴1||2102rAB==.（2）∵N为线段AB的中点，∴221212,28xxxxxy++==，点2213412xtyxy=−+=在2C上，即200xy=−，由（1）得2121224xxxx+

=−，则()()222212121228xxxxxx+−++=−，∴2248,08xyxx−=−，即22(0)3xyx=，∴圆心N的轨迹方程为22(0)3xyx=.13．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一)

】已知圆229xy+=，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ＝90，M是PQ的中点。（1）求点M的轨迹曲线C的方程；（2）设9111(,),(,)2222ED对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点F，使HEHF是常数，若存在

，求出点F的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）2211422xy−+−=；（2）见解析.【解析】（1）设点(,)Mxy，由90PAQ=，得21||||||9||2AMPQPMOM===−，

化简得22702xyxy+−−−=，即2211422xy−+−=.（2）点91,22E，11,22D，直线ED方程为12y=，假设存在点19,22Ftt，满足条件，设(,)Hxy，则有2211422xy

−+−=，22291||22HExy=−+−2291424822xxx=−+−−=−，2221||()2HFxty=−+−222115()4(

12)24xtxtxt=−+−−=−++，当||||HEHF是常数，2215(12)||4||248txtHEHFx−++=−是常数，∴212815244tt−=−+，∴32t=或29=t（舍），∴32t=，∴存在31,22F满足条件.14．【广东省韶关市2

019届高考模拟测试（4月)】已知点M到抛物线242yx=的焦点F的距离和它到直线22x=的距离之比是22．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过圆O：2243xy+=上任意一点P作圆的切线l与轨迹C交于A，B两点，求证：OAOB⊥．

【答案】(1)22142xy+=(2)见证明【解析】解：（1）抛物线242yx=的焦点(2,0)F，设(,)Mxy，由题意可得22(2)22|22|xyx−+=−，两边平方可得()22212228422xxxxy+−+=+−，化为22142xy+=，点M的轨迹C的方程为椭圆22

142xy+=；（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为233x=或233x=−，当切线方程为233x=时，切线与椭圆的两个交点为2323(,)33和2323(,)33−，此时222323()()033OAOB=−=，即OAOB⊥；当233x=−时，同理可证得.当切线l斜率存

在时，可设l的方程为ykxm=+，与椭圆方程联立，可得()222124240kxkmxm+++−=，则22328160km=−+，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则122412kmxxk+=−+，212

22412mxxk−=+，∴2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++222222441212mkmkkmmkk−=+−+++222412mkk−=+，∵l与圆2243xy+=相切，∴22331dkm==+，∴22344m

k=+，∴2221212222441212mmkOAOBxxyykk−−=+=+++222344012mkk−−==+，即OAOB⊥．综上可得，OAOB⊥．15．【广东省梅州市2019届高三总复习质检】已知

过定点(1,0)N的动圆是P与圆22:(1)8Mxy++=相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）设动圆圆心P的轨迹为曲线C，,AB是曲线C上的两点，线段AB的垂直平分线过点1(0,)2D，求OAB面积的最大值（O是坐标原点）.【答案】(1)221.

2xy+=(2)2.2【解析】解:(1)圆()22:12Nxy++=的圆心为()1,0M−,半径为22,设圆P的半径为R,由题意知点()1,0N在圆M内.可得22,,222,PMRPNRPMPNMN=−=+==所

以点P的轨迹是以()1,0M−,()1,0N为焦点,长轴长为222a=的椭圆,得2,1.ab==所以动圆圆心P的轨迹方程为221.2xy+=(2)显然AB不与x轴垂直,设AB所在直线方程为.ykxb=+可得22,.12ykxbxy=++=可得()()222124210.kxkbxb+++

−=……①设()()1122,,,AxyBxy,则12,xx是方程①的两不相等的实根,得()()()()22222221212222141681218210,,.1212bkbkbkbkbxxxxkk−=−+−=−++=−=++得()()()()222

2212121114ABkxxkxxxx=+−=++−()()()()()()2222222222228121211612.121212bkkbkbkkkk−+−+=+−=+++又

点O到直线AB的距离2.1bdk=+所以OAB的面积()()()()()22222222222212122112.211212kkbbkbbSkkk+−+−+==+++由题意知,2222112211,,22DADBxyxy=+−=+−

得()()()()1212121210,xxxxyyyy−++−+−=又()()()12121212,2,yykxxyykxxb−=−+=++代入上式得()()212120,kxxkbk+++−=得()22

24120,02210.12kbkkbkkkbk−++−==++=+得或(也可直接用垂直平分线过点10,2D得到,kb关系)当0k=时,()2222112212.242Sbbb=−=−

−+当22b=时,S有最大值2.2当222210,212kbkb即++=+=−时,()()()()222222222221221211.42212bkbbbbSbbk−+−−===−+++当1b=−时,S有最大值22,.22k=此时所以OAB面积

的最大值为2.2能力提升训练1．过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为___.【答案】x2+4y2=4【解析】设点为M(x，y)，则点P(x，2y)．∵点P(x，2y)在圆x2+y2=4上，∴x

2+4y2=4．∴线段PH的中点M的轨迹方程为x2+4y2=4．2．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】在长方体1111ABCDABCD−中，已知底面ABCD为正方形，P为11AD的中点，1AD=，13AA=，

点Q为正方形ABCD所在平面内的一个动点，且满足2QCQP=，则线段BQ的长度的最大值是________.【答案】6【解析】在正方形ABCD所在平面内建立平面直角坐标系，设(,)Qxy，则有2223(1)PQxy=+

+−，222(2)(2)QCxy=−+−，因为2QCQP=，所以2222(2)(2)622(1)xyxy−+−=++−，整理得22(2)4xy++=，所以点Q的轨迹是以(2,0)−为圆心，以2为半径的圆，所以

线段BQ长度的最大值为2226+=.故答案为63．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】

设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m的取值范围为.故答案为：4．【福建省三明

市2019届高三上学期期末质量检测】在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．【答案】【解析】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距离，故动点M的轨迹为，由可

得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心E,半径r=过M做M垂直准线，垂足为则故答案为：5．【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷】在棱长为1的透明密闭的正方形容器1111ABCDA

BCD−中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD旋转，并始终保持1BD所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．【答案】2【解析】如图所示，在棱长为1的正

方体1111ABCDABCD−中，点E在11AB上，点F在CD上，满足1AECF=，则原问题等价于求解四边形1BFDE的最大值.作1EGBD⊥于点G，当EG最大时，四边形1BFDE有最大值.建立如图所示的空间直角坐标系，设()(),0,101Emm

，设(),,Gxyz，由于()()11,0,0,0,1,1BD，由1BGBD=可得：()()1,,1,1,1xyz−=−，则：1xyz=−+==，故()1,,G−+,故：()()11,,1,1,1,1GEmBD=+−−−=−，由1110GEBDm=

−−+−+−=可得：21,133mm−+=−=.故：2221221333mmmGEm+−−=−++−()21613mm=−+，结合二次函数的性质可知：当0m=或1m=时，GE取得最大值，此时S取得最大值，最大值为：11max2BD

DBSS==.6．【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在平面直角坐标系xOy中,圆()22:11Fxy−+=外的点P在y轴的右侧运动,且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离,记P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）过点F的直线交E于A,B两点,以AB为直径的圆D与平行于y轴的直

线相切于点M,线段DM交E于点N,证明：AMB的面积是AMN的面积的四倍.【答案】（1）()240yxx=（2）见解析【解析】解法一：（1）设(),Pxy，依题意0x，()1,0F.因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为

1PF−依题意得1PFx−=，即()2211xyx−+−=，化简得E的方程为()240yxx=.（2）设()00,Nxy，()11,Axy，()22,Bxy，则1212,22xxyyD++.依题意可设直线AB的方程()()10ykxk=−，由()21,4ykxyx=−=得

()2222240kxkxk−++=.因为()224224416160kkk=+−=+，所以212224kxxk++=，则有124yyk+=，故2222,kDkk+，由抛物线的定义知2122442kABxxk+=++=.设(),MMMxy，依题意得2M

yk=，所以222MkMDxk+=−.又因为2ABMD=，所以222222Mkxkk+−=+，解得1Mx=−，所以21,Mk−.，因为02,Nxk在抛物线上，所以021xk=，即212,Nkk，所以212122112AMBkSMDyyyyk+=−=

−，211212211112224AMNDkSMNyyMNyyyyk+=−=−=−，故4.AMBAMNSS=解法二：（1）设(),Pxy，依题意0x.因为P在圆F外，所以P到圆F上的点的最小距离为1PF−.依题意得，点P到圆()1,0F的距离PF等于P到直线1x=−的距离，所

以P在以()1,0F为焦点，1x=−为准线的抛物线上.所以E的方程为()240yxx=..（2）设()11,Axy，()22,Bxy，因为直线AB过()1,0F，依题意可设其方程()10xtyt=+由21,

4xtyyx=+=得2440yty−−=，因为216160t=+，所以124yyt+=，则有()()212121142xxtytyt+=+++=+.因为D是AB的中点，所以()221,2Dtt+.由抛物线的定义得()()2121144ABxxt=+++=+.，设

圆D与:lxm=相切于M，因为DM与抛物线相交于N，所以0m，且DMl⊥，所以12DMAB=，即()22121442tmt+−=+，解得1m=−，设()00,Nxy，则02yt=，且()2024tx=，所以20xt=，因为()222112tt++−=，所以N为DM的中点，所以2A

MDAMNSS=，又因为D为AB的中点，2AMBAMDSS=，所以4AMBAMNSS=.解法三：（1）同解法一.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，连结MF，NF.因为直线AB过()1,0F，依题意可设其方程()

10xtyt=+由21,4xtyyx=+=得2440yty−−=.，因为216160t=+，所以124yyt+=，所以2MDyyt==.因为2ABMD=，122ABxx=++，又因为122MxxMDx+=−，所以1212222Mxxxxx+++=−，解

得1Mx=−，所以()1,2Mt−，所以21111MFABtkkt==−−−，故90MFD=.又因为NMNF=，所以NFND=，从而MNND=.所以12AMNAMDSS=，又12AMDAMBSS=，所以4AMBAMNSS=.7．【陕西省汉中市2019届高三年级

教学质量第二次检测】圆O的方程为：229xy+=，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且23DQDP=.（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）过点(5,0)F−的直线与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为(3,0)，MAB的面积为S

，求S的最大值，及直线AB的方程.【答案】（1）22194xy+=（2）15955+，直线AB的方程为225yx=+或225yx=−−.【解析】（1）设()11,Pxy，则()1,0Dx，设(),Qxy，()10,DPy=，()0,

DQy=，因为23PQDP=，所以1132xxyy==，把()11,Pxy代入圆的方程得22994xy+=，所以Q的轨迹C的方程为22194xy+=.（2）由题意易知直线的斜率不为0，设直线AB的方程为5x

ty=−，设()11,Axy，()22,Bxy，联立()22225498516049360xtytytyxy=−+−−=+−=，1228549tyyt+=+，1221649yyt−=+，()121352MABSyy=+−223524

1249tt++=+()()22221235111235549411tttt++==+++++()()1235115951235522045+++==.当且仅当12t=时取等号，所以MAB

面积有最大值为15955+.所以MAB的面积为最大时，直线AB的方程为225yx=+或225yx=−−.8．【陕西省延安市2019届高考模拟试题（一)】已知两直线方程12:2lyx=与22:2lyx=−，点A在1l上运动，点B在

2l上运动，且线段AB的长为定值22.（Ⅰ）求线段AB的中点C的轨迹方程；（Ⅱ）设直线1:lykxm=+与点C的轨迹相交于M，N两点，O为坐标原点，若54OMONkk=，求原点O的直线l的距离的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214xy+=（Ⅱ）21407

，【解析】（Ⅰ）∵点A在12:2lyx=上运动，点B在22:2lyx=−上运动，∴设1122Axx，，2222Bxx，−，线段AB的中点(),Cxy，则有1212222222xxxxxy−+==，，∴12122

22xxxxxy+=−=，，∵线段AB的长为定值22，∴()212xx−+2122222xx+=8，即()222y+2(2x)=8，化简得2214xy+=.∴线段AB的中点C的轨迹方程为2214xy+=.（Ⅱ）设()11Mxy，，()22Nxy，

，联立2214xyykxm+==+得()22418kxkmx++2440m+−=，()()228441kmk=−+()2440m−，化简得2241mk+①.122841kmxxk+=−+，21224441mxxk−

=+()()1212yykxmkxm=++()221212kxxkmxxm=+++，若54OMONkk=，则121254yyxx=，即121245yyxx=，所以()2121244kxxkmxx++21245mxx

+=，即()222444541mkk−−++22844041kmkmmk−+=+，化简得2254mk+=②，由①②得2605m，215204k，因为O到直线l的距离21mdk=+，所以222225411kmd

kk−==++()29141k=−++又因为215204k，所以2807d，所以O到直线l的距离的取值范围是21407，.9．【广东省广州市2019届高三第二次模拟考试】从抛物线236yx=上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满

足2PMMQ=(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线)1(xmymR=+与轨迹c交于AB，两点，T为C上异于AB，的任意一点，直线AT，BT分别与直线1x=−交于DE，两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)

24yx=(2)见解析【解析】（1）设(),Mxy，()00,Pxy，则点Q的坐标为(),0x0．因为2PMMQ=，所以()()000,2,xxyyxxy−−=−−，即00,3.xxyy==，因为点P在抛物线236yx=上，所以20036yx=，即()2336y

x=．所以点M的轨迹C的方程为24yx=．（2）解法1：设直线1xmy=+与曲线C的交点坐标为A211,4yy，222,4yBy骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫，由21,4,xmyyx=+=得2440ym

y−−=．由韦达定理得1y+2y=4m，1y2y=4−．设点200,4yTy，则10220101444ATyykyyyy−==+−．所以直线AT的方程为2000144yyyxyy−=−+．令

1x=−，得点D的坐标为010141,yyyy−−+．同理可得点E的坐标为020241,yyyy−−+．如果以DE为直径的圆过x轴某一定点(),0Nn，则满足•0NDNE=．因为0102010244•1,?1,yyyy

NDNEnnyyyy−−=−−−−++()()()2212001220012124161++yyyyyynyyyyyy−++=+++．所以()2200200416161++044ymynymy−−+=+−．即()2140n+−=，解得1n=或3n=−．故

以DE为直径的圆过x轴上的定点()1,0和()3,0−．解法2：直线1x=与曲线C的交点坐标为()1,2A，()1,2B−，若取()0,0T，则AT，BT与直线1x=−的交点坐标为()1,2D−−，()1,2E−

，所以以DE为直径的圆的方程为()2214xy++=．该圆与x轴的交点坐标为()1,0和()3,0−．所以符合题意的定点只能是()11,0N或()23,0N−．设直线1xmy=+与曲线C的交点坐标为A211,4yy，222,4yBy骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫，由21,4,x

myyx=+=得2440ymy−−=．由韦达定理得12124,4yymyy+==−设点200,4yTy，则10220101444ATyykyyyy−==+−．所以直线AT的方程为2000144yyyxyy−=−+．令1x=−，得点D的坐标为010141,y

yyy−−+．同理可得点E的坐标为020241,yyyy−−+．若点()11,0N满足要求，则满足11•0NDNE=．因为010211010244•2,?2,yyyyNDNEyyyy−−=−−++

()()212001220012124164+yyyyyyyyyyyy−++=+++20020041616=4+044ymyymy−−+=+−．所以点()11,0N满足题意．同理可证点()23,0N−也满足题意．故以DE

为直径的圆过x轴上的定点()1,0和()3,0−．10．【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆C：221189xy+=的短轴端点为1B，2B，点M是椭圆C上的动点，且不与1B，2B重合，点N满足11NBM

B⊥，22NBMB⊥.（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形21MBNB面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()2210992yxx+=；（Ⅱ）2722.【解析】（Ⅰ）法一：设(),Nxy，()()000,0Mxyx，11,MBNB⊥22MBNB⊥直线010:33xNByxy+

=−+①直线020:33xNByxy−=−−②①②得22202099xyxy−=−又22001189xy+=，2022221819929oyyxxy−−==−−，整理得点N的轨迹方程为()2210992yxx+=法二：设(),Nx

y，()()000,0Mxyx，11,MBNB⊥22MBNB⊥直线010:33xNByxy+=−+①直线020:33xNByxy−=−−②由①,②解得：2010109yxxyy−==−，又22001189xy+=

，012xx=−故01012xxyy=−=−，代入22001189xy+=得22111992yx+=.点N的轨迹方程为()2210992yxx+=法三：设直线()1:30MBykxk=−，则直线11:3NByxk=−−①直线1MB与椭圆22:1189xyC+=的交点M的坐标为

22212632+12+1kkkk−，.则直线2MB的斜率为222263312+11222+1MBkkkkkk−−==−.直线2:23NBykx=+②由①②解得:点N的轨迹方程为：()2210992yxx+=（Ⅱ）法一：设()11,N

xy，()()000,0Mxyx由（Ⅰ）法二得：012xx=−四边形21MBNB的面积()1212013322SBBxxx=+=，20018x，当2018x=时，S的最大值为2722.法二：由（Ⅰ）法三得：四边形21MBNB的面积()1212MNSBBxx=+=

2221265432+12+12+1kkkkkk+=54272122kk+当且仅当22k=时，S取得最大值2722.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com