【文档说明】天津市和平区2021届高三上学期期中考试数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.268 MB，由小赞的店铺上传

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天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．

答第Ⅰ卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题.每小题5分.共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一

项是符合题目要求的.1.设全集为7UxNx=.集合A={1，3，6}，集合B={2，3，4，5}．则集合UAB=Ið（）．A.3B.1,3,6C.2,4,5D.1,6【答案】D【解析】【分析】求出全集U，再由集合的运算法则计算．【详解】由题意{0,1,2,3,4,

5,6}U=，所以{0,1,6}UB=ð，{1,6}UAB=ð．故选：D．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算法则是解题关键．2.设x∈R.则“3x”是“230xx−”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】3x时，例如1x=−，则2340xx−=，不是充分的，230033xxxx−，必要性成立．因此应是必要不充分条件．故选：

B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合的包含角度求解．3.函数()()311xxefxxe+=−（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】

【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由x→+时,()fx的趋向性判断选项即可【详解】由题,()fx的定义域为|0xx,因为()()()()331111xxxxeefxfxxexe−−++−===−−−,所以(

)fx是偶函数,图象关于y轴对称,故排除A、C；又因为()()()33311211xxxefxxxexe+==+−−,则当x→+时,3x→+,1xe−→+,所以()0fx→,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象4.设0.22113loglg332abc−==

=，，.则a.b.c的大小关系是（）．A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】容易得出0.22log0,0113131g,l23−，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】2

21loglog103=，30lg1lglg1012==，0.20.2033113−==；acb．故选：A．【点睛】本题主要考查比较三个数的大小，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合

理运用，属于基础题.5.已知函数()()()sin0,0fxAx=+−的部分图象如图所示.则()fx的解析式为（）．A.()2sin12fxx=−B.()2sin23fxx=−C.()2sin26fxx=−

D.()32sin34fxx=−【答案】B【解析】【分析】根据函数图象得到3532,41234TA==−−=，进而求得2,2TT===，然后由函数图象过点5,212

求解.【详解】由函数图象知：3532,41234TA==−−=，所以2,2TT===，又函数图象过点5,212，所以522,122kkZ+=+，解得2,3kkZ=−

，又因为0−，所以3=−，所以()fx的解析式为：()2sin23fxx=−.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6.设数列na的前n项和21nSn=+.则8a的值为（）．A.65B.16C.15D.14【答案

】C【解析】【分析】利用()12nnnaSSn−=−得出数列na的通项公差，然后求解8a.【详解】由21nSn=+得，12a=，()2111nSn−=−+，所以()221121nnnaSSnnn−=−=−−=−，所以2,121,2nnann==−，

故828115a=−=.故选：C.【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12nnnaSSn−=−求解即可.7.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()()2f21xlogx=+−，则()6

f−=（）A.2B.4C.-2D.-4【答案】C【解析】【分析】先求出()6f的值，再由函数()yfx=的奇偶性得出()()66ff−=−可得出结果．【详解】由题意可得()()26log6212f=+−=，由于函数()yfx=是定义在R上

的奇函数，所以，()()662ff−=−=−，故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题．8.若将函数()()()sin20fxx=+的图象向左平移3个单位长度后.得

到的函数图象关于,02对称.则函数()()cosgxx=+在,26−上的最小值是（）．A.1−B.32−C.12−D.0【答案】D【解析】【分析】写出平移后图象的函数解析式，由对称性求得，再由余弦函数性质得最小值

．【详解】将函数()()()sin20fxx=+的图象向左平移3个单位长度后.得到图象解析式为2()sin2sin233hxxx=++=++，它的图象关于点,02对称，则22,23kkZ++=，

又0，所以3=，所以()cos3gxx=+，,26x−时，,362x+−，所以()cos3gxx=+最小值为0，此时6x=．故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象平移变

换，考查正弦函数的对称性，余弦函数的最值．掌握正弦函数与余弦函数性质是解题关键．9.已知函数()21+log4010axa,x>fxxx+=−.，,≤在R上单调递增.且关于x的方程()3fxx=+恰有两个不相等的实数解.则实数a的取值

范围是（）．A.1313,4416∪B.1313,4416∪C.113,416D.3130,416∪【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的

问题，数形结合即可确定a的取值范围.【详解】由函数的解析式可知函数在区间()0,+上单调递增，当0x时，函数1yx=−单调递减，由复合函数的单调性法则可知：01a，且函数在0x=处满足：2041log01aa++−，解得：14a，故11

4a，方程()3fxx=+恰有两个不相等的实数解，则函数()fx与函数3yx=+的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数()fx的图像如图中虚线所示，令1log10ax+−=可得：11xa=，由114a可知111a+，113a−−，则直线3yx=+与函数()fx的图像在区间(

,0−上存在唯一的交点，原问题转化为函数3yx=+与二次函数24114ayxa=+在区间()0,+上存在唯一的交点，很明显当43a，即34a时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为

()200,xxa+，亦即()00,3xx+，由函数的解析式可得：当0x时，2yx=，故：00121,2xx==，则0732x+=，切点坐标为17,22，从而：20742xa+=，即17134,4216aa+==.据此可得：a的取值范围是1313,4416

.故选:A.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题.共105分.二、填空题：本大题共6个小题

.每小题5分.共30分.10.设i是虚数单位.复数()231i=−_______．【答案】3i2【解析】【分析】先将分母展开，再利用复数的除法运算即可求解.【详解】()22233333122221iiiiiii====+−−−−，故答案为：3i2【点睛】本题主要

考查了复数的除法运算，属于基础题.11.220xaxax+−R，都成立.则a的取值范围是__________．【答案】(8,0−【解析】【分析】分类讨论，0a=，0a时结合二次函数性质得解．【详解】0a=时，不等式为20−，恒成立，0a时，则2080aaa=+，

解得80a−，综上有80a−．故答案为：(8,0]−．【点睛】本题考查二次不等式性成立问题，解题时需对最高次项系数分类讨论，否则易出错．12.在ABC中.7260ACBCB===，，.则ABC的面积等于______

__．【答案】332【解析】【分析】由余弦定理求得AB，然后由三角形面积得结论，【详解】由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC=+−，即2744cos60ABAB=+−，解得3AB=（1AB=−舍去），所以1133sin32sin60222ABCSABBC

ABC===△．故答案为：332．【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，解三角形问题中要根据条件选择恰当的公式运算，本题也可先用正弦定理求BAC，然后求出sinC，再得结论．13.已知na为等差数列，nS为其前n项

和.nN.若3201180aS==−，．则10S的值为_________．【答案】60【解析】【分析】由等差数列的通项公式和前n项和公式求得首项和公差，然后再求和．【详解】设数列{}na的公差为d，则3120121120192080

2aadSad=+==+=−，解得1152ad==−，所以10110910101559(2)602Sad=+=+−=．故答案为：60．【点睛】本题考查求等差数列的前n项，解题方法是等差数列的基本量法．即求出首项和公差，然后由等差数列的前n项和公式得结论．14

.已知xy，均为正实数.1xy+=.则1yxy+的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】xy，均为正实数，1xy+=，可得10xy=−，所以01y，()11111yfyxyyy+=+−=−再利用导数研究单调性极值与最值即可求解.【详解】因为1xy+=，所以1xy=−，所以

()11111111111yyyxyyyyyyy−−++=+=+=+−−−−，令()1111fyyy=+−−，则()()()222211211yfyyyyy−=−+=−−令()0fy，即210y−，解得112y，此时()fy单调递增，令()0fy，

即210y−，解得102y，此时()fy单调递减，所以12y=时，()min11131122fy=+−=，所以12xy==时1yxy+的最小值为3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.15.若函数()()2log4afxax=−

在()0,1上为减函数.则实数a的取值范围是________．【答案】(1,4【解析】【分析】由题意可得0a，24tax=−在()0,1单调递减，且0,1ta，即4101aa−，即可求解.【详解】()()2log4afxax=−是由2

4tax=−，logayt=复合而成，因为0a，24tax=−开口向下，对称轴为0x=，所以24tax=−在()0,1上为减函数，因为函数()()2log4afxax=−在()0,1上为减函数，所以logayt=为增函数，所以1a，又因为240tax=−对于()0,1恒成立了，所以(

)min1410tta=−，解得：4a，综上所述：实数a的取值范围是(1,4，故答案为：(1,4【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题.三、解答题：本大题共5题.共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.16.已知函数()fx为二次函数.(

)fx的图象过点()0,2.对称轴为1x=−.函数()fx在R上的最小值为1−.（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）当2,xaaa−R，时.求函数()fx的最小值（用a表示）.【答案】（Ⅰ）()2362fxxx=++；（Ⅱ）当1a−时.()

fx的最小值为2362aa++；当11a−时.函数()fx的最小值为1−；当1a时.()fx的最小值为2362aa−+．【解析】【分析】(Ⅰ)设二次函数()2fxaxbxc=++,根据题意可得()02121

2fbabfa=−=−−=−，，，，解出可得答案.（Ⅱ）由()2362fxxx=++，则其对称轴方程为1x=−，分对称轴与区间2,aa−的相对位置关系进行讨论可得答案

.【详解】（Ⅰ）解：设二次函数()fx的解析式为()2fxaxbxc=++.其中0a．由题意可知.()021212fbabfa=−=−−=−，，，解得362abc===，，．所以()fx的解析式为()2362fxxx=++．（Ⅱ）由()2362fxxx=+

+，则其对称轴方程为1x=−.当1a−≤时.函数()fx在2,aa−上单调递减.此时()fx的最小值为()2362faaa=++；当21aa−−.即11a−时.函数()fx在2,1a−−上单调递减.在

1,a−上单调递增.此时()fx的最小值为()11f−=−；当21a−−≥.即1a≥时.函数()fx在2,aa−上单调递增.此时()fx的最小值为()22362faaa−=−+．综上所述.当1a−≤时.()fx的最小值为2362a

a++；当11a−时.函数()fx的最小值为1−；当1a≥时.()fx的最小值为2362aa−+．【点睛】本题考查根据条件求二次函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.1

7.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,.abc已知sinsin3aCcA=+.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设6b=，4c=.求a和()cos2AC−的值.【答案】（Ⅰ）π3A=；（Ⅱ）27a=．()13cos214AC−=.【解析】【分析】

（1）利用正弦定理进行边角互化，利用三角恒等变换公式求解即可；（2）先利用余弦定理得出a，再利用正弦定理得出sinC,得出cosC，然后将()cos2AC−展开求值.【详解】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得πsinsinsinsin3ACCA=+．因为()0,πC.所以s

in0C.故πsinsin3AA=+.即ππsinsincoscossin33AAA=+．整理得sin3cosAA=.所以tan3A=．因为()0,πA.所以π3A=．（Ⅱ）根据余弦定理.2222cosabcbcA=+−，将6b=

，4c=，1cos2A=代入解得：228a=．因为0a，所以27a=．根据正弦定理有：sinsinacAC=，解得21sin7C=．又因为ca，所以π3C，则227cos1sin7CC=−=，可求得：43sin22sinco

s7CCC==，221cos2cossin7CCC=−=．则()13cos2coscos2sinsin214ACACAC−=+=．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，考查三角函数和差角公式、二倍角公式的运用，难度一般.18.已知函数()()1cos

sincos2fxxxx=+−．（Ⅰ）若0,2且1sin3=.求()f；（Ⅱ）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间.【答案】（Ⅰ）42718+；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88kk−+，.kZ.【解析】【分析】（Ⅰ）根据1sin

3=以及的范围，得到cos，代入到()f中，得到答案；（Ⅱ）对()fx进行整理化简，得到()2πsin224fxx=+，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】（Ⅰ）解：因为π02.且1sin3=.

所以222cos1sin3=−=．故()()1427cossincos218f+=+−=．（Ⅱ）解：因为()21sincoscos2fxxxx=+−11cos21sin2222xx+=+−112πsin2cos2sin22224xxx

=+=+.所以函数()fx的最小正周期为π．设π24tx=+.由2sin2yt=的单调递增区间是ππ2π2π22kk−+，.kZ.令πππ2π22π242kxk−++≤≤.解得3ππππ88kxk−+≤≤.kZ．故函数()fx的单调递增区间为3ππππ88kk

−+，.kZ．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.19.已知函数2()()xfxexaxa=+−，其中

a是常数.(Ⅰ)当1a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程()fxk=在[0,)+上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【答案】（Ⅰ）43yexe=−（Ⅱ）24(,]eaaa

++−【解析】【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由点斜式可求得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x

＝0，对﹣（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．【详解】解：(Ⅰ)由2()()xfxexaxa=+−可得2'()e[(2)]xfxxax=++.当

1a=时,(1)fe=,'(1)4fe=.所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为()41yeex−=−，即43yexe=−（Ⅱ）令2'()((2))0xfxexax=++=，解得(2)xa=−+或0x=当(2)0a−+，即2a−时，在区间

[0,)+上，'()0fx，所以()fx是[0,)+上的增函数.所以方程()fxk=在[0,)+上不可能有两个不相等的实数根.当(2)0a−+，即2a−时，()'(),fxfx随x的变化情况如下表x0(0,(2))a−+(2

)a−+((2),)a−++'()fx0−0+()fxa−↘24aae++↗由上表可知函数()fx在[0,)+上的最小值为24((2))aafae++−+=.因为函数()fx是(0,(2))a−+上的减函数，是((

2),)a−++上的增函数，且当xa−时，有()fx()aeaa−−−.所以要使方程()fxk=在[0,)+上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是24(,]eaaa++−.【点睛】本题考查利用导数研究曲

线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．20.已知数列na的前n项和22nnnS+=，数列nb满足：122bb==，()

112nnnbbnN++=.（Ⅰ）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）求()*21121niiiiabnNb−=−．【答案】（Ⅰ）nan=；12222nnnnbn+=，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()

12122nnnn++−+．【解析】【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列na的通项公式，再根据递推关系式求出数列nb的通项公式；（Ⅱ）先根据212122iiiiiiabib−−=−，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果．【详解】

解：（Ⅰ）当2n时，()221(1)122nnnnnnnaSSn−−−−+=−=−=，当1n=时，111aS==，适合上式，所以：nan=；∵122bb==，()112nnnbbnN++=，∴()122nnnbbn−=，∴()112,2nnbbn+−=，∴数列nb的奇数

项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222nnnnbn+=，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，iai=，且21122122iiib−+−==，22222iiib==，212122i

iiiiiabib−−=−，设()()2311231,0,1nnMxxxnxnxx−=++++−+，①∴()23411231nnxMxxxnxnx+=++++−+，②①﹣②得()()2311111nnnnxxxMxxxxnxnxx++−−=++++−

=−−，∴()()1211nxnxnxMx++−−=−，∴()()112122122122(12)nnininnin++=+−−==−+−，12111122222122(1)2nnininnin+=+−−+==−−，∴()12112121

22nniiniinabnb+−=+−=−+．【点睛】本题考查由na和nS的关系求数列通项公式，由数列递推公式证明等比数列，以及错位相减求和的应用，计算量较大．