【文档说明】重庆市南开中学2025届高三上学期第三次质量检测（期中）数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，2.649 MB，由envi的店铺上传

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重庆市高2025届高三第三次质量检测数学试题注意事项：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，

用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。1.复数𝑧=1+𝑎1+𝑖(𝑎∈𝑅)的实部和虚部相等，则a

=A.1B.-1C.2D.-22.已知向量ā、b且|𝑎⃗|=|𝑏⃗⃗|=1,，若ā在b上的投影向量为12𝑏⃗⃗,则ā与b的夹角为A.π/6B.π/4C.π/3D.π23.已知数列|𝑎𝑛|的前n项和为.𝑆𝑛,𝑆𝑛=2ⁿ−𝜆,数列|𝑏𝑛|

的通项公式为𝑏𝑛,𝑏𝑛=1−𝜆𝑛,则“|𝑎𝑛|为等比数列”是“{𝑏𝑛}是递减数列”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.已知非零向量ā、b,且𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=0,函数𝑓(𝑥)=(𝑎⃗−𝑥𝑏⃗⃗)2(𝑥∈𝑅),若、f(m)>

f(1-m),则实数m的取值范围是𝐴.𝑚>12𝐵.𝑚<12𝐶.𝑚>−12𝐷.𝑚<−125.已知等比数列|𝑎𝑛|单调递增，前n项和为𝑆𝑛,𝑎₄𝑎₅=3,𝑎₃+𝑎₆=4,则𝑆6𝑆3=A.1B.2C.

3D.4—1—6.已知𝑎=ln23,𝑏=sin23,𝑐=𝑒−13,则a，b，c的大小关系为A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>b>c7.将正整数如图排列，第n行有n个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为a₁，再从a₁开始从

右往下碰到5，记为a₂，接着从a₂开始，从左往下碰到8，记为a₁……依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为(𝑎1,𝑎2⋯𝑎𝑛⋯,构成数列|an|.则𝑎₁₀=A.59B.60C.61D.628.在▱ABCD中,点E是对角线B

D上任意一点(点E与B,D不重合),且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=2,则▱ABCD的面积为A.√3B.2𝐶.2√2𝐷.2√3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知两个复数z₁与z₂，下列结论错误的是A.若𝑧₁

+𝑧₂∈𝑅,则z₁与z₂互为共轭复数B.若|𝑧₁|>|𝑧₂|,则𝑧₁>𝑧₂C.若|𝑧₁|=1,|𝑧₂|=2,则|𝑧₁+𝑧₂|=3D.若|𝑧₁−𝑖|=1,则|𝑧₁+1|的最大值为√2+110.设a，b，c分别是△ABC

的内角A，B，C的对边，则下列条件中能确定C为锐角的是𝐴.𝑎²+𝑏²−𝑐²=𝑎𝑏𝐵.𝑎𝑏=𝑐²C.(a+2b)cosC+ccosA=0D.sin(A-B)=1-2cosAsinB—2—

11.已知数列𝑎ₙ满足𝑎1=1,𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+cos𝑛𝜋,(𝑛∈𝑁∗).则下列选项正确的是𝐴.{𝑎2𝑛−1−13}是等比数列B.数列|𝑎𝑛|是单调递增数列C.若𝑏𝑛=1𝑎𝑛,则𝑏1+𝑏3+𝑏5+

⋯+𝑏2𝑛−1<2D.若𝑐𝑛=−3𝑛2+16𝑛−163𝑎𝑛+1,则𝑐2+𝑐4+𝑐6+⋯+𝑐2𝑛=𝑛24𝑛−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列|𝑎ₙ||与|bn|的前n项和分别为An与𝐵ₙ,若𝐴𝑛𝐵𝑛

=𝑛+32(𝑛+1),则𝑎5𝑏5=¯.13.若𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥²有两个极值点，则实数a的取值范围是.14.如图所示,四边形ABCD内接于圆O,𝐴𝐷𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐵𝐶=6,�

�𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,2𝑥+6𝑦=3则四边形ABCD的面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.--15.(13分)已知向量𝑎⃗=(cos�

�,sin𝑥),𝑏⃗⃗=(√3sin𝑥,sin𝑥),𝑐⃗=(−1,√3).(1)若𝑎⃗𝑏⃗⃗,且𝑥∈(0,𝜋2),求x的值；(2)设函数𝑓(𝑥)=2𝑏⃗⃗⋅(𝑎⃗+𝑐⃗)−|𝑐⃗|2,求函数f(x)在区

间[0,𝜋2]上的最大值以及相应的x的值.16.(15分)新能源车性能测试，分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测通过后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入生产，这两个检测阶段能否通过相互独立.其中实验室检测阶段.包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环

节都通过才能通过实验室检测，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发组研发出甲、乙丙三种车型、现对其进行性能检测，实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ.Ⅱ环节的概率分别为13,23,，乙车通过I、Ⅱ环节的概率分别为1223,丙车

通过I、Ⅱ环节的概率分别为23,34.路面测试环节中三款车通过测试的概率分别为12,12,23.(1)求甲、乙、丙三款车型中恰有一款车通过实验室检测的概率；(2)记随机变量X为甲、乙、丙三种车型通过性能测试的种

数，求X的分布列和数学期望.17.(15分)已知数列|𝑎𝑛|的前n项和为𝑆𝑛，满足2𝑆𝑛₊₁−𝑆𝑛=2,𝑎₁=1.(1)求|𝑎𝑛|的通项公式；(2)若数列|𝑏𝑛|⋅|𝑐𝑛|满足𝑏𝑛=−2log2𝑎𝑛,𝑐𝑛=𝑏𝑛+2𝑎𝑛,|�

�𝑛|的前n项和为𝑇𝑛,若不等式𝑇𝑛−2≥𝜆𝑐𝑛对一切正整数n恒成立，求λ的取值范围.18.(17分)如图所示，𝐴𝑛(𝑥𝑛,𝑦𝑛),𝐵𝑛(𝑥𝑛,−𝑦𝑛)是抛物线𝑦²=𝑥上的一系列点，其中𝐴1(1,1),𝐴2(259,53),记直线𝐵𝑛₋₁𝐴�

�、𝐵𝑛𝐴𝑛₊₁的斜率分别为(1)证明|𝑦𝑛₊₁−𝑦𝑛|是等比数列，并求出数列|𝑦𝑛|通项公式；(2)记△𝐴𝑛𝐴𝑛₊₁𝐴𝑛₊₂的面积为𝑇𝑛,求𝑇𝑛,求𝑇ₙ;(3)若𝑎𝑛=ln95𝑇𝑛,𝑏𝑛+1=𝑏𝑛2

+𝑏𝑛,;(3)若𝑎𝑛=ln95𝑇𝑛,𝑏𝑛+1=𝑏𝑛2+𝑏𝑛,𝑏1=1.求证：1𝑏1−𝑎1+22𝑏2−𝑎2+33𝑏3−𝑎3+⋯+𝑛𝑛𝑏𝑛−𝑎𝑛<1.注:△ABC中,若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(�

�2,𝑦2),则△𝐴𝐵𝐶面积𝑆𝐴𝐵𝐶=12|𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1|.重庆市高2025届高三第三次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项BCAADACDABC

ABACD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B【解析】复数𝑧=1+𝑎2−𝑎2𝑖,因为实部和虚部相等，所以1+𝑎2=−𝑎2,即a=-1.2.C【解析】设<𝑎⃗,𝑏⃗⃗>=𝜃∈[0,𝜋],由题意有|𝑎⃗|cos𝜃𝑏⃗⃗|𝑏⃗⃗|=cos𝜃𝑏=

12𝑏⃗⃗,∴cos𝜃=12,∴𝜃=𝜋3.3.A【解析】{an}是等比数列,即λ=1,{bₙ}是递减数列,即λ>0,所以是充分不必要条件.4.A【解析𝑓(𝑥)=𝑎⃗2+𝑏⃗⃗2𝑥2,是偶函数且开口向上，∵𝑓(𝑚)>𝑓(1−𝑚),∴|𝑚|>|

1−𝑚|,∴𝑚>12.5.D【解析】因为{an}是等比数列,.∴𝑎₄𝑎₅=𝑎₃𝑎₆=3,又𝑎₃+𝑎₆=4,因{an}是递增数列，则𝑎₃=1,𝑎₆=3,所以𝑞³=3,所以𝑆6𝑆3=1+𝑞3=4.6.A【解析】�

�=ln23<0,因为sinx≤x,所以sin23<23,即0<𝑏<23,又因为(𝑒ˣ≥𝑥+1,所以𝑒−13>1−13=23,即𝑐>23,所以a<b<c.7.C【解析】由题意得𝑎2−𝑎1=3,𝑎3−𝑎

2=3,𝑎4−𝑎3=5,⋯,所以𝑎₂ₙ−𝑎₂ₙ₋₁=2𝑛+1,𝑎₂ₙ₊₁−𝑎₂ₙ=2𝑛+1.因此𝑎10=𝑎1+(𝑎2−𝑎1)+(𝑎3−𝑎2)+⋯+(𝑎10−𝑎9)=61.8.D【解析】𝐴𝐵2=𝐴𝐸2+𝐵𝐸⋅𝐸𝐷⇒𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗)(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗3

.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0即:AB=AD,所以▱ABCD为菱形.由𝐴𝐵=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2可得角𝐴=60°,所以𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=2√3

.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.ABC【解析】A选项:若𝑧₁=1−𝑖,𝑧₂=𝑖,𝑧₁与z₂并不互为共轭复数；B选项：虚数不能比较大小；C选项:|𝑧₁+𝑧₂|≤|𝑧₁|+|𝑧

₂|,不一定能取等；D选项：设z₁在复平面对应的点为Z₁，由|𝑧₁−𝑖|=1可知点𝑍₁的集合是以(0，1)为圆心，1为半径的圆.|𝑧₁+1|表示点Z₁到(-1,0)的距离,所以|𝑧₁+1|最大值为√2+1.数学试题参考答案第1页(共5页)10.AB【解析】A

选项:cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=𝑎𝑏2𝑎𝑏=12,即𝐶=𝜋3;B选项:∵𝑐2=𝑎𝑏=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶≥2𝑎𝑏(1−cos𝐶),∴12≥1−cos𝐶,∴co

s𝐶≥12∴𝐶≤𝜋3C选项:∵(a+2b)cosC+ccosA=0,∴(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0,∴sin(𝐴+𝐶)+2sin𝐵cos𝐶=0,∴1+2cos𝐶=0,∴𝐶=2𝜋3.D选项:∵sin(A-B)=1-2cosA

sinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,∴sin(A+B)=1,∴𝐶=𝜋2.11.ACD【解析】A选项:13(22𝑛−1+1),易得𝑎2𝑛=13(22𝑛−1),所以选项A

正确；B选项：𝑎2=13<𝑎1,所以选项B错误；C选项：n为奇数时，1𝑎𝑛=32𝑛+1<32𝑛,所以D选项：n为偶数时，𝑐𝑛=−3𝑛2+16𝑛−163𝑎𝑛+1=𝑛2−(𝑛−2)22𝑛=𝑛22�

�−(𝑛−2)22𝑛−2,所以三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.35【解析】𝑎5𝑏5=9𝑎59𝑏5=𝛬9𝐵9=9+32(9+1)=3513.0<𝑎<12【解析𝑓′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1−2𝑎𝑥=0有两个变号正根，∴2𝑎=ln𝑥+1

𝑥,令(𝑥)=ln𝑥+1𝑥(𝑥⟩0),∴′(𝑥)=−ln𝑥𝑥2,∴𝑥∈(0,1)时𝜑′(𝑥)>0,∴𝑥∈(1,+∞)时𝜑′(𝑥)<0,,即φ(x)在(0,1)单调递增，在(1，

+∞)单调递减.又(1𝑒)=0,(1)=1,𝑥∈(1,+∞)时𝜑(𝑥)>0,所以(0<2𝑎<1,即0<𝑎<12.数学试题参考答案第2页(共5页)14.16√2【解析】在延长线上取点N，使BN=9，取AB中点M，由2𝑥+6𝑦=3知直线MN过圆心O,在Rt△MBC

中,BN=9,BM=3,所以cos𝐵=13,sin𝐵=2√23,所以梯形ABCD高为𝐴𝐵⋅sin𝐵=4√2,𝐴𝐷=𝐵𝐶−2𝐴𝐵cos𝐵=2,所以梯形ABCD面积为𝐴𝐷+𝐵𝐶2⋅4√2=16√2.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.(13分)解：(1)𝑎⃗

//𝑏̅,∴cos𝑥⋅sin𝑥=√3sin2𝑥,∵𝑥∈(0,𝜋2),∴sin𝑥≠0,∴cos𝑥=√3sin𝑥,∴tan𝑥=√33,∴𝑥=𝜋6.·6分(2)由题意得.f(x)=2√3sinx(cos-1)+2sinx(√3+sinx)-4=2√3

sinxcosx+2sin²x-4=√3sin2𝑥+1−cos2𝑥−4=2sin(2𝑥−𝜋6)−3,∴𝑥∈[0,𝜋2],∴2𝑥−𝜋6∈[−𝜋6,5𝜋6],∴f(x)的最大值为--1，此时𝑥=𝜋3.…………

…………………………………………………………13分16.(15分)解：(1)设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，事件C表示丙车通过实验室测试，则𝑃(𝐴)=13×23=29,𝑃(𝐵)=12×23=13,𝑃(𝐶)=23×34=12则甲、乙、丙中恰有一款车通过实验

室测试的概率为𝑃(𝐴𝐵̅𝐶̅+𝐴̅𝐵𝐶̅+𝐴̅𝐵̅𝐶)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)……………7分(2)随机变量X可能的取值为:X=0,1,2,3𝑃(𝑋=0)=89×56×23=80162,𝑃(𝑋=1)19×5

6×23+89×89×13=𝑃(𝑋=2)=19×16×23+19×56×13+89×16×13=15162,𝑃(𝑋=3)=19×13=1162,所以随机变量X的分布列如下表x0123P⁸⁰/162⁶⁶/16215161162所以数学

期望𝐸(𝑋)=0×80162+1×66162+2×15162+3×1162=99162=1118.15分数学试题参考答案第3页(共5页)17.(15分)解：当n=1时,𝑎₁=1符合，∴𝑎𝑛=(12)𝑛−1(𝑛∈𝑁∗).(2)由题意得𝑏𝑛=−2log2(1

2)𝑛−1=2(𝑛−1)=2𝑛−2,𝑐𝑛=2𝑛−2+2(12)𝑛−1=𝑛2𝑛,所以Tn=1×2¹+1×2²+…+n×2",①,2Tn=1×2²+1×2³+…+(n-1)×2"+n×2"+¹,②,②-①得𝐵𝑇𝑛=−1×21−(22+⋯2𝑛)+𝑛×2𝑛+1=−

2−22(1−2𝑛−1)1−2+𝑛2𝑛+1=2+(𝑛−1)2𝑛+1∴𝑇𝑛−2=(𝑛−1)2𝑛+1≥𝜆𝑛2𝑛,∴𝜆≤2(1−1𝑛),∀𝑛∈𝑁∗,∴𝜆≤0…15分18.(17分)解：(1)𝑘

𝐵𝑛−1𝐴𝑛=𝑦𝑛−(−(−𝑦𝑛−1)𝑥𝑛−𝑥𝑛−1=𝑦𝑛+𝑦𝑛−1𝑦𝑛2−𝑦𝑛−1,同理𝑘𝐵𝑛𝐴𝑛+1=1𝑦𝑛+1−𝑦𝑛,由𝑘𝐵𝑛𝐴𝑛+1=32𝑘𝐵𝑛−1𝐴𝑛得𝑦𝑛+1−𝑦𝑛=23(𝑦𝑛−𝑦𝑛−1)

,又𝑦2−𝑦1=23,所以𝑦𝑛+1−𝑦𝑛=(23)𝑛,则𝑦ₙ₊₁−𝑦ₙ是首项为23,，公比为23的等比数列，所以𝑦𝑛=((𝑦𝑛−𝑦𝑛−1)+((𝑦𝑛−1−𝑦𝑛−2)+𝑦2−𝑦1)+𝑦1=(23)𝑛−1+(23

)𝑛−1(23)1+1=3−3(23)𝑛…………6分(2)由(1)可得:𝐴𝑛𝐴𝑛+1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑥𝑛+1−𝑥𝑛,𝑦𝑛+1−𝑦𝑛)=(𝑦𝑛+12−𝑦𝑛2,𝑦𝑛−

𝑦𝑛)=(6(23)𝑛−5(23)2𝑛,(23)𝑛)令𝑡=(23)𝑛∈(0,23],则𝐴𝑛𝐴𝑛+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6𝑡−5𝑡2,𝑡),同理𝐴𝑛𝐴𝑛+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4𝑡−209𝑡2,23𝑡),所以𝑆𝐴𝑛𝐴𝑛+1𝐴𝑛+2=12|23𝜄(6𝑡−5𝑡2)−𝑡(4𝑡−209𝑡2)||59𝑡3,即𝑇𝑛=59(23)3𝑛.……………………12分(3)所以𝑎𝑛=ln95𝑇𝑛

=3𝑛ln23,则所以…………17分数学试题参考答案第4页(共5页)5分