【文档说明】重庆市南开中学高2024-2025学年高三上学期12月初数学测试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.229 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-cc21f0021909d7bbc1eda02d96e01703.html

以下为本文档部分文字说明：

重庆南开中学高2025级高三（上）数学测试（12.1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知等差数列na的前n项和为nS，若24

66++=aaa，则7S=（）A.7B.14C.21D.42【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得：a4＝2，而由求和公式可得S7＝7a4，代入可得答案．【详解】由等差数列性质可得：2a4＝a2+a6

，又2466++=aaa，解得a4＝2，而S7()17477222aaa+===7a4＝14故选B．【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2.已知复数1i1i−=+z，则20242025zz−=（）A.2B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】

由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.【详解】1i1i−=+z()()()21ii1i1i−==−−+，所以20242025zz−=1i112+=+=故选：B3.已知直线12:30axyl++=和()2:110lxay+−+=，则“2a=”是“12//ll”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】的验证2a=时，12//ll是否成立；当12//ll时，2a=是否成立结合充分必要条件判定即可.【详解】解：当2a=时，可以推出12//ll；当12//ll时，可得2a=或1a=

−，所以“2a=”是“12//ll”的充分不必要条件.故选：A．【点睛】直线111222:0,:0lAxBymlAxByn++=++=平行、垂直公式：（1）平行：12120ABBA−=，注意验证；（2）垂直：

12120AABB+=.4.已知圆C：224xy+=，直线L：ykxm=+，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A.2B.2C.3D.3【答案】C【解析】【分析】由直线L过定点(0,)Mm，结合

圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.【详解】直线L：ykxm=+恒过点(0,)Mm，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是2222122||12OMm=+

=+，解得3m=.故选：C5.已知椭圆的左、右焦点分别为1F，2F，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得1215PFF=，275PFA=，则椭圆的离心率为（）A.12B.22C.23D.33【答案】B【解析】【

分析】根据题意求得21PFF、12FPF，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得a与c的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】由题意21105PFF=，1260FPF=，()62sin15sin6045sin60cos45cos60sin454−=−=

−=，()62sin105sin6045sin60cos45cos60sin454+=+=+=，由正弦定理得1212sin60sin105sin15FFFPFP==，又122FFc=，所以13263FPc+=，23263

FPc−=，又122FPFPa+=，可得2ac=，所以椭圆的离心率22cea==.故选：B.6.已知双曲线22:148xyC−=的左、右焦点分别为1F、2F，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若112FAFB=，则AB=（）A.47B.27C.4

3D.4【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出2AF、1FA长度，由直角三角形求解可得解.【详解】如图，因为双曲线22:148xyC−=，所以2,22,4823abc===+=，由双曲线的对称性知12FBAF=，所以11222

FAFBAF==，由双曲线定义可得12222224FAAFAFAFAFa−=−===，所以18FA=，又12243FFc==，所以2221212FAAFFF=+，即212AFFF⊥，所以2222121627OAOFAF=+=+=,故247ABOA==，故选：A7.已知抛物线C：24y

x=的焦点为F，直线1(1)2yx=+与C交于A，B两点，则FAFB+=（）A.18B.16C.6D.4【答案】B【解析】【分析】设出A，B两点坐标，直曲联立解出1214xx+=，再结合抛物线定义转化所求结果即可.【详解】设()1

1,Axy，()22,Bxy，联立方程组241(1)2yxyx==+，整理得21410xx−+=，则1214xx+=，所以由抛物线的定义可得：()()121116FAFBxx+=+++=.故选:B.8.设无穷等差数列na的公差为d，集合*sin,NnTtt

an==∣.则（）A.T不可能有无数个元素B.当且仅当0d=时，T只有1个元素C.当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D.当2π,2,Ndkkk=时，T最多有k个元素，且这k个元素的和为0

【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项，可取特殊数列验证即可；对于C可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于D，结合正弦函数的周期，即可判断.【详解】选项A，取nan=，则1d=，由sinnta=，因为na是无穷等差数列，正弦函数是周期为2π的函数，所以sinnta=在每个周期上的值不相同，

故A错误；选项B，取πnan=，即πd=，则sinsinπ=0ntan==，只有一个元素，故B错误；选项C，假设T只有2个元素1t，2t，这2个元素的乘积为12，如图可知当t等于1t或2t时，显然na不是等差数列，与已知矛盾，故C错误；选项D，当2πdk=时

,11sinta=，212πsintak=+，312πsin2tak=+，L，()12πsin1ktakk=+−，1112πsinsinktakak+=+=，L，所以T最多有k个元素，又因为正弦函数的周期为2π，数列na的公差为2πdk=，

所以()2,Nkakk把周期2π平均分成k份，所以k个元素的和为0，故D正确.故选:D.【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中

，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.在数列na和nb中，111ab==，11nnaan+−=+，*11,nnbbn+−=N，下列说法正确的有（）A.2nbn=B.()()122nnna++=C.36是na与nb的公共项D.11112

niiiba=++−【答案】ACD【解析】【分析】A：根据等差数列定义求nb的通项公式，则nb可求；B：累加法求na的通项公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明.【详解】对于A：因为*11,nnbbn+−=N，所以nb是以1为首项，1为公差的等差

数列，所以()111nbnn=+−=，所以2nbn=，故正确；对于B：因为()*213212,3,,2,nnaaaaaannn−−=−=−=N，所以123nana=+−++，所以()()112322nnnann+=++++=，当1n=时，11a=符

合条件，所以()12nnna+=，故错误；对于C：令()1362nn+=，解得8n=(负值舍去)，所以836a=，令236n=，解得6n=(负值舍去)，所以66b=，所以86ab=，即36是na与nb公共项，故正确；的对于D：因为()()()211111121211

2nnnnbannn++==−++−++−，所以11111111112121222311niiibannn=++=−+−++−=−−++，故正确；故选：ACD.10.已知椭圆

2214xy+=，不经过原点O、斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是（）A.直线AB与OM垂直B.若点M坐标为11,2，则直线l方程为220xy+−=C.若直线l方程为1yx=+，则点M坐标为12,33

−D.若直线l方程为2yx=+，则425AB=【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的中点弦的性质22ABOMkkba=−判断ABC；将直线l方程与椭圆方程联立，求出交点，进而可求出弦长.【详解】当直线l的斜率存在且不为零时，直线l与椭圆

22221xyab+=相交于不同A，B两点，M为线段AB的中点，对于椭圆，有熟知的结论22ABOMkkba=−，（证明过程参见点睛），于是对于本题，有14ABOMkk=−.对于A项，当直线的斜率0k=时，由椭圆的对

称性可知线段AB的中点M在y轴上，直线AB与OM垂直，当直线的斜率0k时，根据椭圆的中点弦的性质114ABOMkk=−−，而当两直线的斜率存在且不为零时，它们垂直的充分必要条件是斜率之积为-1，故直线AB与OM不垂直，故A错误；对于B项，由于点M的横坐标，纵坐标都不在坐标轴上

，可知直线l的斜率存在且不为零，根据14ABOMkk=−，12OMk=，所以12ABk=−，由直线方程的点斜式可得直线l方程为11(1)22yx−=−−，即220xy+−=，故B正确；对于C项，若直线l方程为1yx=+，点M12

,33−，则11(2)4ABOMkk=−−，所以C错误；对于D项，若直线l方程为2yx=+，与椭圆方程2214xy+=联立，消去y,得到224(2)40xx++−=，整理得：2516120xx++=，解得1262,5x

x=−=−，所以264211255AB=+−+=，所以D正确；故选：BD.【点睛】本题考查椭圆中点弦问题，在选择填空题中熟记关系式22ABOMkkba=−可减少计算，证明如下：对于方程22(0,mxnypmnp+=当,mn同号时，与p也同号),设直线l与方程22mxnyp+=的曲

线交于()()1122,,,,AxyBxy线段AB的中点为()00,Mxy.直线l即直线AB的斜率记为2121AByykxx−=−,直线OM的斜率为00OMykx=.由,AB坐标满足曲线的方程，所以22112222m

xnypmxnyp+=+=,所以()()222221210mxxnyy−+−=，即()()()()212121210mxxxxnyyyy−++−+=,由于1201202,2xxxyyy+=+=,∴()()2102100mxxxnyyy−

+−=当直线l的斜率存在且不为零时，()2100xxx−，可得021210,yyymxxxn−=−−即ABOMmkkn=−,由此即得关于椭圆或双曲线的有关结论.11.已知直线l经过点(4,2)A−−，曲线2222

4)(():xyxy+=+，下列说法正确的（）A.当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为17(,)1723−B.当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个C.当直

线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为711(,)(,1)2322D.存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2【答案】ACD【解析】【分析】将曲线方程转化为两个圆的方程，结合图像利用直线和圆的位置关系逐项

分析即可.【详解】曲线22224)(():xyxy+=+，变形得：22220()(22)xyxy++−=，即2222(22)(22)0xyxyxyxy++++−−=，则22220xyxy+++=或22220xyxy+−−=，于是()()2

2112xy+++=或()()22112xy−+−=，所以曲线表示以()()1,1,1,1MN−−为圆心，2为半径的两个圆，如图，由(4,2)A−−，得直线AO的斜率为12，设过点A与圆N相切的直线方程为()42ykx=+

−，则125321kdk−==+，解得1271,23kk==，即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为723，设过点A与圆M相切的直线方程为()42ytx=+−，则223121tdt−==+，解得1211,7tt==−，对于A：

由图知，当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为17(,)1723−，A正确；对于B：由图知，直线AO与曲线的公共点个数为3，直线AD与曲线的公共点个数也为3，直线()1427yx=−+−与曲线的公共点个数为1，因此当直线l与

曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，B错误；对于C：直线AC的方程为2yx=+，点M到直线AC的距离22d=，则直线AC与圆M相切于点B，在直线l绕着点(4,2)A−−从直线AC顺时针旋转到直线AO的过程中，直线l与曲线的公共点个数都为4（不包括直线AC与直线AO

的位置）；在直线l绕着点(4,2)A−−从直线AO顺时针旋转到直线AD的过程中，直线l与曲线的公共点个数也都为4（不包括直线AO与直线AD的位置）．因此当直线l与曲线的公共点个数为4时，直线l斜率的取值范围为

711(,)(,1)2322，C正确；对于D：因为过原点O的任意直线与曲线的公共点的个数为1或3，因此存在定点Q（Q与O重合），使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2，D正确.故选：ACD．关键点点睛：解决本题的关键是

变形给定方程，作出图形，数形结合求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过抛物线2:4Cyx=焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且3AFFB=，则直线AB的倾斜角为___________.【答案】3##60【解析】【

分析】设出直线的方程与抛物线方程联立，根据已知等式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】因为3AFFB=，所以直线AB存在斜率，设为(0)kk，抛物线2:4Cyx=焦点F的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为：(1)ykx=−，与抛物线联立为：224440(1)yxkyykykx

=−−==−，设1122()AxyBxy,,(,)，11220,0,0,0xyxy，所以有12124,4yyyyk+==−，因为点A在第一象限，且3AFFB=，所以1122123(1,)3(1,)3

AFFBxyxyyy=−−=−=−，因此有22222222443,3420,340,33yyyyyykkkkk−+=−=−−=−=−==，设直线AB的倾斜角为，所以tan3=，解得：3=故答案为：313.已知圆22

:4Cxy+=，直线:10lmxym+−−=，直线l被圆C截得的最短弦长为________．【答案】22【解析】【分析】先求出直线l过定点()1,1A，数形结合得到当AC与故直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10lmxym+−−=变形为()110mxy−+−=，故直

线l过定点()1,1A，故当AC与故直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，其中22:4Cxy+=的圆心为()0,0C，半径为2，此时弦长为22422AC−=.故答案为：2214.椭圆C：2214xy+=的左右焦点分别为1F、2F，点M为其上的动点

.当12FMF为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________【答案】2626,33−【解析】【分析】设点(,)Mxy，由余弦定理得12cos0FMF，再结合22x−即可求解.【详解】设(,)Mxy，焦

点1(3,0)F−，2(3,0)F.因为12FMF为钝角，所以22212121212cos02MFMFFFFMFMFMF+−=，即()()222222212123312MFMFFFxyxy++++−+.

整理得：223xy+.因为点𝑀(𝑥,𝑦)在椭圆2214xy+=上，2214xy=−代入得283x解得262633x−又因为22x−，所以点M纵坐标x的取值范围262633x−.故答案为：2626

,33−.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆C的半径为1，圆心既在直线24yx=−上又在直线1yx=−上.（1）求圆C的标准方程（2）过点()2,0A作圆

C的切线，求切线方程．【答案】（1）()()22321xy−+−=；（2）2x=和3460xy−−=【解析】【分析】(1)由圆心既在直线24yx=−上又在直线1yx=−上，所以条直线的交点即为圆心．（2）分别讨论斜率存在和不存在时两种情

况，再利用相切时点到直线的距离等于半径即可．【详解】（1）联立241yxyx=−=−，得32xy==，则圆C的圆C坐标为(3,2)．因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：22(3)(2)1

xy−+−=．（2）如果k不存在，则方程为2x=，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：(2)ykx=−，即20kxyk−−=．运用距离公式2|2|11kdk−==+，解得34k=．方程为34120xy+−=．综上所述切线方程为：2x=和3

460xy−−=．【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系．属于中等题．16.已知双曲线()222:0Cxyaa−=与椭圆22184xy+=有相同的焦点.()1求双曲线C的方程；()2以()

1,2P为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.【答案】()1222xy−=()2230xy−+=【解析】【分析】()1根据椭圆的方程和题意，得到双曲线C的焦点坐标，求出2c=，再由等轴双

曲线的性质，以及222cab=+，即可求出结果；()2先讨论AB所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论AB所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.【详解】()1由已知椭圆22184xy+=得

双曲线C的焦点为()()122,0,2,0FF−，即2c=，由等轴双曲线的性质ab=及222cab=+，则2a=所求双曲线C的方程为222xy−=()2当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为()1,2

P，故此时不满足题意;当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为ykxm=+，联立方程组222ykxmxy=+−=得()()2221220kxkmxm−−−+=122221kmxxk+==−①点()1,2P在AB所在的直线ykxm=

+上，即2km=+②.联立①②两式，解得13,22km==，经检验，直线方程230xy−+=即为所求.【点睛】本题主要考查求双曲线的标准方程，以及双曲线的中点弦所在直线方程，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.17.某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.

为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量x和年销售额y，该团队建立了两个函数模型：①2yx=+，②exty+=，其中,,,t均为常数，e为自然对数的底数.

经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令()2,ln1,2,,12iiiiuxvyi===，计算得到如下数据.xy()1221iixx=−()1221iiyy=−()()121iiixxvv=−−206677020014uv()1221iiuu=−()

1221iivv=−()()121iiiuuyy=−−4604.2031250000.30821500（1）设变量u和变量y的样本相关系数为1r，变量x和变量v的样本相关系数为2r，请从样本相关系数的角度，选择一个y与x相关性较强的模型.（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y

关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.附：4.3820808.9443,e80；样本相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−；经验回归方程ˆˆˆyabx=+，其

中()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−.【答案】（1）模型exty+=中y与x的相关性较强.（2）（i）0.023.84ˆexy+=；（ii）27.1亿元.【解析】【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出r，比较大小即可判断；（2）（i）由e

xty+=取对数，换元得vtx=+，由表中数据分别求和t，得经验回归方程ˆ0.023.84vx=+，利用指数式和对数式的互化，即得0.023.84ˆexy+=；（ii）将80y=代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量.【小问1

详解】由题意知()()()()121112122211iiiiiiiuuyyruuyy===−−==−−21500215000.86,250003125000200==()()()()12121212221114140.9115.47

700.308iiiiiiixxvvrxxvv===−−===−−.因为0.860.91，所以12rr，故从样本相关系数的角度，模型exty+=中y与x的相关性较强.【小问2详解】（i）由exty+=，得lnytx=+，即vtx=+.因()()()12

11221140.02,770ˆiiiiixxvvxx==−−==−，所以144.20203.84770tvx=−=−，故v关于x的经验回归方程为ˆ0.023.84vx=+，即ˆln0.023.84yx=+,所以

0.023.84ˆexy+=.（ii）将80y=代入0.023.84ˆexy+=得0.023.8480ex+=.4.3820e80，故得0.023.844.382x+=，解得27.1x=，故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.18.已知椭圆2222:1xyC

ab+=（0a，0b）的左、右焦点分别为()13,0F−、()23,0F，左顶点为A，点P、Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且12PQFF=，且四边形12PFQF的面积为212a.（1）求椭圆C标准方程；为

的（2）若斜率不为0的直线l过椭圆C的右焦点2F且与椭圆C交于G、H两点，直线AG、AH与直线4x=分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根

据椭圆的定义与勾股定理列式求解,,abc即可得椭圆方程；（2）直线与椭圆相交确定交点坐标关系，根据坐标运算即可得结论.【小问1详解】因为点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且12PQFF=，所以四边形12PFQF为矩形

，又12PQFF=，所以12PFPF⊥.所以1212PFQFSPFPF=矩形，由椭圆定义与勾股定理知122221224PFPFaPFPFc+=+=，所以2122PFPFb=，所以()22221222abac==−，所以32ca=.又3

c=，解得2a=.所以2221bac=−=，故椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】因为()23,0F，所以可设直线l的方程为3xmy=+.联立方程组22314xmyxy=++=，消去x化简并整理得()2242310mymy++−=.设()11,Gxy，()

22,Hxy，可得122234myym−+=+，12214yym−=+.因为𝐴(−2,0)，所以直线AG的方程为𝑦=𝑦1𝑥1+2(𝑥+2).设点M、N的纵坐标分别为My，Ny，令4x=，可得1162Myyx=+，同理可得2262Nyyx=+.

所以()()()()121212123636222323Nmyyyyyyxxmymy==++++++()()()12221212362323yymyymyy=+++++()()22222136436363123232344mmmmmm−+==−−−++++++.所以M、N两点的纵坐标之积

为定值.19.已知函数()()12e,Rxfxaxaxbab+=+−−．（1）若曲线()yfx=和直线yaxb=−−相切，求a的值；（2）若存在两个不同的a，使得()fx的最小值为0，求证：0eb．【答案】（1）3e4a=−

（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设切点为(𝑥1,𝑓(𝑥1))，结合导数的几何意义可得111e20xax++=，结合题设可得1121e0xax++=，进而求解即可；（2）求出导数后，分0a=、0a与0a讨论函数的调性后，构造函数()1e12xgxx+=−，结合

导数可得存在两个不同的a，使得()fx的最小值为0等价于存在两个不同的0x，使得()01200031e12xxxbx+−+=−，再构造函数()()2131e12xxxhxx+−+=−，利用导数研究其单调性后即可得证.【小问1详解】由()12exfxaxaxb+=+−−，则()1e2xfx

axa+=+−，设切点为(𝑥1,𝑓(𝑥1))，则()1111e2xfxaxaa+=+−=−，即111e20xax++=，又112111exaxaxbaxb++−−=−−，即1121e0xax++=，则2

112axax=，解得10x=或12x=，当10x=时，111e2e0xax++=，不符合题意，舍去；当12x=时，由1131e2e40xaxa++=+=，即3e4a=−.综上所述，3e4a=−.【小问2详解】证明：由()12exfxaxaxb+=+−

−，则()1e2xfxaxa+=+−，令()1e2xxaxa+=+−，则()1e2xxa+=+，当0a=时，()1e0xfx+=，()fx单调递增，没有最小值，不满足题意；当0a时，考虑0x这一侧，有()2efxaxb++，则当ebxa−−=−时，()0fx，不满足题意

；当0a时,()0x恒成立,𝑓′(𝑥)在𝑅上单调递增，取12x=即有𝑓′(𝑥)>0；当12x时，有()32e2fxaxa+−，则当32e2axa−=时，𝑓′(𝑥)<0；所以存在

唯一的320e1,22axa−，使得()00fx=，此时()fx在()0,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，且有010e20xaxa++−=，也即010e12xax+=−，于是，

()()()00120012000min031ee12xxxxfxfxaxaxbbx++−+==+−−=−−，记()1e12xgxx+=−，则()()()1232e12xxgxx+−−=，当12x时，()0gx恒成

立，()gx单调递增，所以存在两个不同a，使得()fx的最小值为0，也即存在两个不同的0x，使得()01200031e12xxxbx+−+=−；记()()2131e12xxxhxx+−+=−，则()()()()12123e12xxxxhxx+−−−−=，易知ℎ(�

�)在(),0−上单调递增，在10,2上单调递减，所以()()0ehxh=；若0b，当0x时，()0hxb，而当0x时，ℎ(𝑥)单调递减，方程()hxb=至多有一个解，不满足题意；若eb，则有()()0ehxhb=

，方程()hxb=至多有一个解，满足题意；综上所述，0eb.【点睛】关键点点睛：本题第2问关键在于利用导数分析函数()fx的调性后，构造函数()1e12xgxx+=−，结合导数可得存在两个不同的0x，使得()01200031e12xxxbx+

−+=−，进而再构造函数()()2131e12xxxhxx+−+=−，利用导数研究其单调性后即可得证.的