【文档说明】重庆市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.273 MB，由管理员店铺上传

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2023年重庆一中高2024届高三上期开学考试数学测试试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试

用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合()*Nln52Axyxx==−+−|的真子集个数为（）A.7B.8C.15D.16【答案

】A【解析】【分析】由对数函数定义域可求得*N252,3,4Axx==|<，根据元素个数即可求出真子集个数.【详解】根据题意可知5020xx−−，解得25x；即*N252,3,4Axx==|<，可知集合A中含有3个元素，所以其真子集个数为321

7−=个.故选：A2.已知符号函数()1,0,sgn0,0,1,0,xxxx==−则“()()sgnsgn1ab=−”是“0ab”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充要条件的定

义判断可得答案.【详解】若()()sgnsgn1ab=−，则,ab异号，所以0ab，故“()()sgnsgn1ab=−”是“0ab”的充要条件.故选：A.3.已知函数()()21,034,0fxxfxxxx+=−−，

则()()6ff−=（）A.6−B.0C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，可得答案.【详解】由题意可知：()()()()()()()()661551441331ffffffff−=−+=−=−+=−=−+=−=−+()()()()()()()2211110011fffff

ff=−=−+=−=−+==+=，()11346f=−−=−，()()()()6616ffff−=−==−.故选：A.4.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,,17,,22,26xy，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数

是20，则xy+=（）A.33B.34C.35D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位数和百分位数的定义得到16x=，20y=，求出答案.【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即16x=，5975%6.7=，故选取第7

个数为75%分位数，故20y=，所以162036xy+=+=.故选：D5.已知()fx是定义在R上的奇函数.()()220fxfx++−=，且当20x−时，()()3log2fxx=−，则()()()202220232024fff++=（）

A.0B.1−C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据对称性与奇偶性得到()fx的周期为4，再求出()20f=及()00f=，最后根据周期性计算可得.【详解】由()fx满足()()220fxfx++−=，可得()fx的对称中心为(2,0)，则()(4)0fxfx+

−=，又函数()fx为奇函数，所以()()0fxfx+−=，所以(4)()fxfx−=−，即()()4fxfx+=，所以函数()fx的周期为4，又()()220fxfx++−=，令0x=，则()20f=，()fx是

定义在R上的奇函数，则()00f=，又当(2,0)x−时，3()log(2)fxx=−，则()()()()320234505331log31ffff=+==−==，()()()20224505220fff=+==，()()()2024450600fff==

=所以()()()2022202320241fff++=．故选：C．6.已知()12341234,,,1,2,3,4,,,,aaaaNaaaa为1234,,,aaaa中不同数字的种类，如()()1,1,2,33,1.2,2,12NN==，记“()1234,,,

2Naaaa=”为事件A，则事件A发生的概率()PA=（）A.916B.2164C.332D.316【答案】B【解析】【分析】由题意给的定义求出1234(,,,)aaaa的排列有256种，当1234(,,,)2aaaa=时，即排列中有2个不同的数字，结合排

列组合的应用计算即可求解.【详解】由题意知，1234(,,,)aaaa的排列共有44256=种.当1234(,,,)2aaaa=时，即排列中有2个不同的数字：若有3个数字相同，有232442CCA48=种情况；若有2个数字相同，有2244CC36=种情况，此时共有483684+=种

情况，所以事件A的概率为：8421()25664PA==.故选：B.7.设12,FF分别为椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点，M为椭圆上一点，直线12,MFMF分别交椭圆于点A，B，若11222,3MFFAMFFB==，

则椭圆离心率为（）A.321B.37C.37D.217【答案】D【解析】【分析】设出()00,Mxy，根据向量的定比分点，将,AB两点的坐标表示成含00,xy的式子，再代入椭圆方程联立即可解得2237ac=，即可

求得离心率.【详解】如下图所示：易知()()12,0,,0FcFc−，不妨设()00,Mxy，()()1122,,,AxyBxy，易知2200221xyab+=，由112MFFA=可得()()01012020cxxcyy−−=+−=−，即0101322cxxyy−−=

=−同理由223MFFB=可得0202433cxxyy−==−；将()()1122,,,AxyBxy两点代入椭圆方程可得22002222002232214331cxyabcxyab−−−

+=−−+=；即222000222220002296144168199cxcxyabcxcxyab+++=+−+=，又2200221xyab+=，整理得220220322ccxaccxa

+=−=解得2237ac=，所以离心率2232177cceaa====；故选：D8.已知实数,,abc满足：1144133,ln3,4232abc−=−==−，则（）A.abcB.bcaC.bacD.cab【答案】

A【解析】【分析】构造()()21ln1xfxxx−=−+，1x，求导，得到函数单调性，得到()21ln1xxx−+，从而()2311ln3ln3423231−−+；构造()12lngtttt=+−，1t，求导后得到函数单调性，得到1

2lnttt−，设120xx，则121xx，从而得到121212lnlnxxxxxx−−，取123,1xx==得到114443113ln3332ln3−−−，从而求出答案.【详解】令()()21ln1xfxxx−=−+，1x，故()

()()()222114011xfxxxxx−=−=++在()1,x+上恒成立，故()()21ln1xfxxx−=−+在()1,x+上单调递增，故()()10fxf=，即()21ln1xxx−+，1x，所以()2311ln3ln3423231

−−+，bc，令()12lngtttt=+−，1t，则()()22212110tgtttt−−=−−=在()1,t+上恒成立，故()()10gtg=，所以12lnttt−，设120xx，则1

21xx，故1122212lnxxxxxx−，所以112212ln<xxxxxx−，即121212lnlnxxxxxx−−，由于120xx−，12lnln0xx−，故121212lnlnxxxxxx−−，取123,1

xx==得：114443113ln3332ln3−−−.所以abc.故选：A二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数,,abc满足

1,0abc，则（）A.2233abba−−B.abbaC.1ln1acb++D.aacbbc++【答案】CD【解析】【分析】根据指数函数单调性可得2323aabb++>，可判断A错误；构造函数()()ln,1,xgxxx=+可知，当(),1,eab时b

aab，即B错误；利用函数()1=lnhxxx+在()1,+上为单调递增可知C正确；利用作差法可判断D正确.【详解】对于A，根据指数函数()23xxfx=+在xR上单调递增，又1ab，所以()()fafb，即2323aabb++>，可得2233abba−−>，所以A错误；对于

B，构造函数()()ln,1,xgxxx=+,易知()221ln1lnxxxxgxxx−−==，当()1,ex时，()0gx，所以()gx在()1,e上单调递增，当()e,+x时，()0gx，所以()gx在()e,+上单调递减；所以可得(),1,eab时，ln

lnabab，此时lnlnbaab，即baab，所以B错误；对于C，令()1=ln,1hxxxx+，则()22111=0xhxxxx−−=，所以函数()hx在()1,+上为单调递增，即()()1=

1hxh，又0c，可得11lnln1acbcbb++++，即选项C正确；对于D，由1,0abc可得()()()()()0abcbacabcaacbbcbbcbbc+−+−+−==+++，即aacbbc++，所以D正确；

故选：CD10.某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（）A

.第二天去甲游乐场的概率为0.63B.第二天去乙游乐场概率为0.42C.第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为23D.第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为13的【答案】AC【解析】【分析】利用条件概率公式、全概

率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设1A：第一天去甲游乐场，2A：第二天去甲游乐场，1B：第一天去乙游乐场，2B：第二天去乙游乐场，依题意可得()10.3PA=，()10.7PB=，()210.7PAA=，()210.6PAB=，对A，()()()()(

)21211210.30.70.70.60.63PAPAPAAPBPAB=+=+=，A正确；对B，()()2210.37PBPA=−=，B错误；对C，()()()()1211220.70.620.633P

BPABPBAPA===，C正确；对D，()()()()()()()()121121122210.310.790.3737PAPAAPAPBAPABPBPB−−====，D错误，故选：AC.11.设0,0,1abab+=，则下列结论正确的是（）A.11ab++−

的最大值为622+B.22loglogab+的最大值为2−C.33+ab的最小值为14D.55abab+的最小值为14【答案】BCD【解析】【分析】运用消元法、平均值换元法，结合柯西不等式、基本不等式逐一判断即可【详解】A：因为1ab+=，所以101baa=−，即01a，111yab

aa=++−=++，显然该函数在01a时，单调递增，因此该函数此时没有最大值，因此本选项不正确；B：()22222logloglogloglog1ababab+=−−−=−，因为0,0,1abab+=，所以2211104log224abababab+=

，当且仅当12ab==时取等号，所以21log2ab−−，即22loglogab+的最大值为2−，因此本选项正确；C：因为0,0,1abab+=，所以不妨设ab，设111,[0,)222atbtt=+=−，333321114224ya

bttt=+=++−=+，函数()2144ftt=+在1[0,)2t时，单调递增，故()()min104ftf==，因此本选项正确；D：因为0,0,1abab+=，所以𝑎5+

𝑏5𝑎𝑏=𝑎4𝑏+𝑏4𝑎=(𝑎4𝑏+𝑏4𝑎)(𝑎+𝑏)≥[(𝑎2√𝑏⋅√𝑏)+(𝑏2√𝑎⋅√𝑎)]2=(𝑎2+𝑏2)2，而(𝑎2+𝑏2)2≥[(𝑎+𝑏)22]2=14，当且仅当12ab==时，取等号，即55abab+的最小值为14，因此本选项

正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：本题关键在于运用柯西不等式和平均值换元法.12.已知函数()()elnRxfxmxm−=+（）A.若1em=，则()yfx=是增函数B.若120xx，则121121ee1xxxx−−−−C.若2m=−，则()yfx=可能

有两个零点D.若1212120,eexxxxxxm==，则()()2101fxfx【答案】ABD【解析】【分析】利用导数即可判断A；根据不等式的性质及指数函数的单调性即可判断B；易得函数()e2lnxfxx−=−在()0,+单调递减，即可判断C；由1212eexxxxm==，得12

12110eexxmmxx−=−=，则()10exmfxx=−=有两个不同的正根12,xx，构造函数()()e0xpxxx=，利用导数求出12,xx的具体关系，再构造函数()ln1(0)exxxgxx+=，利用导数判

断其单调性，进而可判断D.【详解】对于A选项，若1em=，()()lne0exxfxx−=+，则()11eeeeeexxxxfxxx=−=−，令()()ee0xhxxx=−，则()()ee0xhxx=−，当01x时，()0hx，当1x时，()0hx，所以()

hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()ee10xhxxh=−=，所以eexx，故()0fx，所以()yfx=在()0,+上是增函数，故A对；对于B选项，120xx，则121121ee0,1xxxx−−−

，故2110xx−，从而121121ee1xxxx−−−−，故B对；对于C选项，若2m=−，则()e2lnxfxx−=−，因为函数e,2lnxyyx−==−在()0,+都是减函数，所以函数()e2lnxfxx−=−在()0,+单调递

减，故函数()fx最多只有一个零点，故C错；对于D选项，1212eexxxxm==，则1212110eexxmmxx−=−=，又()1exmfxx=−，则()10exmfxx=−=有两个不同的正根12,

xx，由()100exmxx−=，得1exmx=，令()()e0xpxxx=，则()()()21e0xxpxxx−=，当01x时，()0px，当1x时，()0px，所以()px在()0,1上单调递减，在(

)1,+上单调递增，所以()()min1epxp==，又当0x→时，()px→+，当x→+时，()px→+，作出函数()px的大致图像，如图所示，由图可得，要使()10exmfxx=−=有两个不同的正根12

,xx，则1em，又120xx，则1201xx，而()1111111111ln111lnlneeeexxxxxxxfxmxx+=+=+=，同理()2222ln1exxxfx+=，构造函数()ln1(0)ex

xxgxx+=，则()()1ln0exxxgx−=恒成立，故()gx在()0,+单调递减，1201xx，则()()()211gxggx，即()()2110efxfx，令()1lntxxx=−

−，则()()1110xtxxxx−=−=，当01x时，()0tx，当1x时，()0tx，所以函数()tx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()10txt=，即1lnxx−，当且仅当1x=时取等号，又101x，则()11111ln1111e

xxxxx+−+，故()1111ln11exxxfx+=，故()()2101fxfx，故D对.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转

化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助

函数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若随机变量()24,XN，且(2)0.2PX=，则(6)PX=________.【答案】0.2##15【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果.【详解】由随机变量()2

4,XN，(2)0.2PX=，利用正态分布的对称性计算可知(6)(2)0.2PXPX==><，故答案为：0.214.二项式1231xx−展开式的常数项是__________.【答案】220−【解析】【分析】先求出通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，

即可求得展开式中的常数项的值.【详解】由于1231xx−的展开式的通项公式为：()()1231121C1rrrrrTxx−+=−()36412C1rrrx−=−，令3640r−=，解得9r=，则其展开式的常数项

为()9912C1220−=−.故答案为：220−15.已知函数()fx满足1(e)21xfx−=−，若1()()()gxfxmxx=−−在其定义域内单调递减，则正实数m的取值范围为_________.【答案】m1【解析】【

分析】先求得()fx解析式，然后根据()gx的单调性，由()0gx分离参数m，结合基本不等式求得m的取值范围.【详解】依题意，1(e)21xfx−=−，令1e0xt−=，则1ln,1lnxtxt−==+，所以()(

)21ln12ln1fttt=+−=+，所以()()2ln10fxxx=+.所以()12ln1gxxmxx=+−−，()gx的定义域是()0,+，依题意()gx在()0,+上单调递减，若0m=，则()2ln1gxx=+在(

)0,+上单调递增，不符合题意.当0m时，由于2ln1yx=+和1ymxx=−−在()0,+上单调递增，所以()12ln1gxxmxx=+−−在()0,+上单调递增，不符合题意.的当

0m时，()22221210mxxmgxmxxx−+−=−+=，在()0,+上恒成立，即()222120mxxmmxx−+−=−++在()0,+上恒成立，即22211xmxxx=++在()0

,+上恒成立，由于1122xxxx+=，当且仅当1,1xxx==时等号成立，所以22112xx=+，所以m1.故答案为：m116.已知函数()fx定义域为R，()0fx，且满足1()()0()fxfxfx+，其中()fx为()f

x的导函数，若不等式()()22111lne1lnlnlne1xaxffxxfxxfaxax+−++−+恒成立，则正实数a的最小值为_________.【答案】2e【解析】【分析】构造函数()lngxxx=+，讨论单

调性可得()211e1lnaxffxxax++，进而可得211e1lnaxxxax++，再构造函数()()e1xhxx=+讨论单调性可得22lnln2lnxaxxxax=，从而构

造函数2lnxyx=求最大值即可求解.【详解】由()()()()10,0fxfxfxfx+可知()()0fxfx单调递增.不等式变形为()()221111lne1e1lnlnlnaxaxfffxxfxxaxax++++++

，构造()lngxxx=+，()110gxx=+在定义域()0,+恒成立，所以()lngxxx=+在()0,+上单调递增，故()211e1lnaxffxxax++

，即211e1lnaxxxax++，进一步变形得：()()22e1ln1axaxxx++()*，构造()()()()e11e1,xxhxxhxx=+=++设()()()()1e1,()2exxHxhxxHxx==++=+，当

<2x−时，()0Hx，当2x−时，()0Hx，所以()hx在(),2−−单调递减，在()2,−+单调递增，故()()()221e0hxhhx−−=−单调递增（*）等价于()()2lnhaxhx，即22lnln2ln

xaxxxax=恒成立，构造函数2lnxyx=，21ln2xyx−=，令0y解得0ex，令0y解得ex，所以2lnxyx=的最大值为2e，所以2ea，即正实数a的最小值为2e.故答案为:2e.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造两个函数()lng

xxx=+，()()e1xhxx=+，以及二次求导研究函数的单调性及最值，是一道有难度的题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为

2，设,PQ分别为棱1111,CDAD的中点.（1）证明：AQ//平面PBD；.（2）求二面角PBDC−−的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值.【

小问1详解】证明：连接,ACBD交于点R，连接11,,PQPRAC，由中位线可知11//PQAC且1112PQAC=，又因为11//ARAC且1112ARAC=，所以//PQAR且PQAR=，所以PQAR平行四边形，所以//AQPR.结合AQ

平面,PBDPR平面PBD可知，//AQ平面PBD.【小问2详解】以D为原点，1,,DCDADD为坐标轴建立如图坐标系.此时()()()()()0,0,0,2,2,0,1,0,2,2,2,0,1,0,2DBPDBDP==，设平面PBD的法向量为

(),,mxyz=，则由0,0DBmDPm==，可知：22020xyxz+=+=，设()2,2,12,2,1xyzm==−=−=−−，为所以平面BCD的法向量为()0,0,1n=，设二面角PBDC−−的平面角为，则为锐角.所以()()2020111co

s3441001mnmn+−+−===++++.18.设等差数列na的前n项之和为nS，且满足：4415,36aS==.（1）求na的通项公式；（2）设11nnnnabSS++=，求证：1

2313nbbbb++++.【答案】（1）41nan=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的的基本量计算求解；（2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设na的公差为d，则由已知11315,434362adad+=+=，解得13,4ad==,所

以41nan=−.【小问2详解】由于1111111nnnnnnnnnnaSSbSSSSSS+++++−===−，所以121223111111111111113nnnnbbbSSSSSSSSS+++++=−+−++−=−=.19.已知()fx、()g

x分别为定义域为R偶函数和奇函数，且()()exfxgx+=.（1）求()fx的单调区间；（2）对任意实数x均有()()230gxafx+−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()fx的增区间为()0,+，减区间为(),0−（2）

(,22−的【解析】【分析】（1）对于()()exfxgx+=将x换成x−结合奇偶性求出()fx、()gx的解析式，在利用导数求出函数的单调区间；（2）设eexxt−=+，则问题转化为243042tta−+−在2t时恒成立，参变分离可

得82att+，再利用基本不等式求出8tt+的最小值，即可求出a的取值范围.【小问1详解】因为()()exfxgx+=①，()fx、()gx分别为定义域为R的偶函数和奇函数，所以()()fxfx−=，()()gxgx−=−，所以()()exfxgx−−+−=，即()()exfxg

x−−=②，①②解得()()1ee2xxfx−=+，()()1ee2xxgx−=−，所以()()1ee2xxfx−=−，()()1ee02xxgx−=+，所以()fx（()gx）在定义域R上单调递增，又()()0010ee02f=−=，所以当0x时()0f

x¢>，即()fx的单调递增区间为()0,+，当0x时()0fx，即()fx的单调递减区间为(),0−.【小问2详解】设eexxt−=+，因为ee2ee2−−+=xxxx，当且仅当0x=时取等号，所以2t，不等式()()230gxafx+−恒

成立，转化为243042tta−+−在2t时恒成立，分离参数得82att+在2t时恒成立，由均值不等式88242tttt+=，当且仅当22t=时取等号，故8tt+的最小值为42，所以24222aa，故实数a的取值范围为(,22−.2

0.甲、乙两人轮流投篮，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球n次时投篮结束，其中n为给定正整数.设甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）当3n=时，求甲获胜的概率；（2）设投篮结束时

甲恰好投篮次，求的数学期望()E.（答案用含n的最简式子表示）.【答案】（1）1327（2）331223n−【解析】【分析】（1）分甲投球1次获胜、甲投球2次获胜和甲投球3次获胜三种情况，计算相应的概率相加即可；（2

）根据投篮次数的取值，计算相应的概率，由公式求数学期望，借助数列求和的错位相减法化简.【小问1详解】甲投球1次获胜的概率113p=，甲投球2次获胜的概率221113239p==，甲投球3次获胜的概率3212111323

2327p==，所以甲获胜的概率12311113392727pppp=++=++=.【小问2详解】记“甲第i次投中”为事件iA，“乙第i次投中”为事件iB，其中1in，当11jn−时，投篮结

束时甲恰好投篮j次的概率为：1121121211232332323jjj−−+=，投篮结束时甲恰好投篮n次的概率为：112211112211()()nnnnnnnppABABABApABABABA−−−−=+……111

21121213233233nnn−−−=+=，所以()11111233jnnnjnjjEjpnpjn−===+=+，设()21111111213333jnnjSjn−=

==+++−，则()1123nESn−=+，则()2311111213333nSn=+++−，错位相减得：()231211111111

333113333332234243nnnnSnnSn−=++++−−=−+=−+，所以()133311331242433223nnnEnn−

=−++=−.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为()1,0F，设O为坐标原点，线段OA的中点为D，且满足BD

DF=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点()()2,RTtt，圆T过O且交直线2x=于,MN两点，直线,AMAN分别交C于另一点,PQ（异于点A）.证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析，()1,0【解

析】【分析】（1）根据题意求出22,ab即可得解；（2）设()()()()11223344,,,,,,,PxyQxyMxyNxy，先求出圆T的方程，令2x=，利用韦达定理求出34yy，设直线PQ的方程为xmyn=+，联立方程，利用韦达定理求出1212,yyyy+，再根据,,A

PM三点共线得//APAM，求出3y，同理求出4y，整理可得出答案.【小问1详解】由题意1c=，由BDDF=可知：22142aab+=+，整理得221202baaaa=+−−==，所以223bac=−=，所以椭圆C的方程为22143xy+

=；【小问2详解】设()()()()11223344,,,,,,,PxyQxyMxyNxy，依题意，圆T的方程为222(2)()4xytt−+−=+，令2x=，则2240yty−−=，24160t=+，由韦达定理可得344yy=−，由已知

直线PQ不与y轴垂直，设直线PQ的方程为xmyn=+，与椭圆联立得：()2223463120mymnyn+++−=，由韦达定理可得21212226312,3434mnnyyyymm−−+==++，由,,APM三点共线得//APA

M，所以()11131311442422yyxyyyxmyn+===+++，同理24242yymyn=++，所以()()12341216422yyyymynmyn==−++++，去分母整理得：()()(

)22121242(2)0myymnyyn++++++=，将韦达定理带入得：()()22222312642(2)03434nmnmmnnmm−−+++++=++，整理得2201nnn+−==或2n=−，当2n=−时，直线PQ过点A

，不合题意，所以1n=，所以直线PQ的方程为1xmy=+，恒过定点()1,0.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立

一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,xy，常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明.22.已知函数()3ln2fxxxaxx=−+.（1）设0a=，经过点()0

,1−作函数()yfx=图像的切线，求切线的方程；（2）若函数()fx有极大值，无最大值，求实数a的取值范围.【答案】（1）31yx=−（2）35ee,26【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()fx，再由导数的几何意义，即可得到结果；（2）根据题意，求导得()fx，

令()()gxfx=，然后分0a与0a两种情况，分别讨论，即可得到结果.【小问1详解】0a=时()()ln2ln3fxxxxfxx=+=+，，设切点为()0000,ln2xxxx+，则切线斜率为()0

0ln3kfxx==+，切线方程：()()()00000ln2ln3yxxxxxx−+=+−，将点()0,1−带入得：()()()0000001ln2ln31xxxxxx−−+=+−=，此时斜率3k=，所以切线方程为31yx=−.【

小问2详解】函数()fx的定义域为()()20,,3ln3fxxax+=−+，令()()gxfx=，则()16gxaxx=−（1）当0a时()()0gxfx在()0,+单调递增，注意到0x→时，()fx→−，注意到x→+时，()fx→+，故存在()

00,x+，使得()00fx=，在()00,xx时()()0,fxfx单调递减，在()0,xx+时，()()0,fxfx单调递增，函数()fx有极小值，无极大值，不符合题意.（2）当0a

时，令()100,6gxxa，令()10,6gxxa+，所以()fx在10,6a单调递增，在1,6a+单调递减.当0x→时()fx→−，当x→+时()151,ln6622fxfaa→−=−

，所以max51()ln622fxa=−，若51ln6022a−，则()0fx恒成立，()fx在()0,+单调递减，无极值和最值.若51ln6022a−，即5e6a，此时存在12106x

xa，使得()()120fxfx==，且在()()120,,,xx+有()()0,fxfx单调递减；在()12,xx有()()0,fxfx单调递增，此时()2fx为()fx的极大值.注意到0x→时()0fx→，要使()

fx无最大值，则还应满足()20fx，即()32222ln20*xxaxx−+，同时()22222223ln03ln303xfxxaxax+=+−==，带入()*整理得32222ln30exx−+.由于216xa，且

()fx在1,6a+单调递减，故()33222ee0fxff−−，即333e3e022aa−−，综上实数a的取值范围为35ee,26.获得更多资源请扫码加入享学资

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