【文档说明】重庆市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题 含解析.docx,共(25)页,1.273 MB,由管理员店铺上传
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2023年重庆一中高2024届高三上期开学考试数学测试试题卷注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试
用时120分钟.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合()*Nln52Axyxx==−+−|的真子集个数为()A.7B.8C.15D.16【答案
】A【解析】【分析】由对数函数定义域可求得*N252,3,4Axx==|<,根据元素个数即可求出真子集个数.【详解】根据题意可知5020xx−−,解得25x;即*N252,3,4Axx==|<,可知集合A中含有3个元素,所以其真子集个数为321
7−=个.故选:A2.已知符号函数()1,0,sgn0,0,1,0,xxxx==−则“()()sgnsgn1ab=−”是“0ab”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充要条件的定
义判断可得答案.【详解】若()()sgnsgn1ab=−,则,ab异号,所以0ab,故“()()sgnsgn1ab=−”是“0ab”的充要条件.故选:A.3.已知函数()()21,034,0fxxfxxxx+=−−,
则()()6ff−=()A.6−B.0C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式,可得答案.【详解】由题意可知:()()()()()()()()661551441331ffffffff−=−+=−=−+=−=−+=−=−+()()()()()()()2211110011fffff
ff=−=−+=−=−+==+=,()11346f=−−=−,()()()()6616ffff−=−==−.故选:A.4.一组数据按从小到大的顺序排列如下:9,10,12,15,,17,,22,26xy,经计算,该组数据中位数是16,若75%分位数
是20,则xy+=()A.33B.34C.35D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位数和百分位数的定义得到16x=,20y=,求出答案.【详解】一共有9个数,故从小到大的第5个数为中位数,即16x=,5975%6.7=,故选取第7
个数为75%分位数,故20y=,所以162036xy+=+=.故选:D5.已知()fx是定义在R上的奇函数.()()220fxfx++−=,且当20x−时,()()3log2fxx=−,则()()()202220232024fff++=()
A.0B.1−C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据对称性与奇偶性得到()fx的周期为4,再求出()20f=及()00f=,最后根据周期性计算可得.【详解】由()fx满足()()220fxfx++−=,可得()fx的对称中心为(2,0),则()(4)0fxfx+
−=,又函数()fx为奇函数,所以()()0fxfx+−=,所以(4)()fxfx−=−,即()()4fxfx+=,所以函数()fx的周期为4,又()()220fxfx++−=,令0x=,则()20f=,()fx是
定义在R上的奇函数,则()00f=,又当(2,0)x−时,3()log(2)fxx=−,则()()()()320234505331log31ffff=+==−==,()()()20224505220fff=+==,()()()2024450600fff==
=所以()()()2022202320241fff++=.故选:C.6.已知()12341234,,,1,2,3,4,,,,aaaaNaaaa为1234,,,aaaa中不同数字的种类,如()()1,1,2,33,1.2,2,12NN==,记“()1234,,,
2Naaaa=”为事件A,则事件A发生的概率()PA=()A.916B.2164C.332D.316【答案】B【解析】【分析】由题意给的定义求出1234(,,,)aaaa的排列有256种,当1234(,,,)2aaaa=时,即排列中有2个不同的数字,结合排
列组合的应用计算即可求解.【详解】由题意知,1234(,,,)aaaa的排列共有44256=种.当1234(,,,)2aaaa=时,即排列中有2个不同的数字:若有3个数字相同,有232442CCA48=种情况;若有2个数字相同,有2244CC36=种情况,此时共有483684+=种
情况,所以事件A的概率为:8421()25664PA==.故选:B.7.设12,FF分别为椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点,M为椭圆上一点,直线12,MFMF分别交椭圆于点A,B,若11222,3MFFAMFFB==,
则椭圆离心率为()A.321B.37C.37D.217【答案】D【解析】【分析】设出()00,Mxy,根据向量的定比分点,将,AB两点的坐标表示成含00,xy的式子,再代入椭圆方程联立即可解得2237ac=,即可
求得离心率.【详解】如下图所示:易知()()12,0,,0FcFc−,不妨设()00,Mxy,()()1122,,,AxyBxy,易知2200221xyab+=,由112MFFA=可得()()01012020cxxcyy−−=+−=−,即0101322cxxyy−−=
=−同理由223MFFB=可得0202433cxxyy−==−;将()()1122,,,AxyBxy两点代入椭圆方程可得22002222002232214331cxyabcxyab−−−
+=−−+=;即222000222220002296144168199cxcxyabcxcxyab+++=+−+=,又2200221xyab+=,整理得220220322ccxaccxa
+=−=解得2237ac=,所以离心率2232177cceaa====;故选:D8.已知实数,,abc满足:1144133,ln3,4232abc−=−==−,则()A.abcB.bcaC.bacD.cab【答案】
A【解析】【分析】构造()()21ln1xfxxx−=−+,1x,求导,得到函数单调性,得到()21ln1xxx−+,从而()2311ln3ln3423231−−+;构造()12lngtttt=+−,1t,求导后得到函数单调性,得到1
2lnttt−,设120xx,则121xx,从而得到121212lnlnxxxxxx−−,取123,1xx==得到114443113ln3332ln3−−−,从而求出答案.【详解】令()()21ln1xfxxx−=−+,1x,故()
()()()222114011xfxxxxx−=−=++在()1,x+上恒成立,故()()21ln1xfxxx−=−+在()1,x+上单调递增,故()()10fxf=,即()21ln1xxx−+,1x,所以()2311ln3ln3423231
−−+,bc,令()12lngtttt=+−,1t,则()()22212110tgtttt−−=−−=在()1,t+上恒成立,故()()10gtg=,所以12lnttt−,设120xx,则1
21xx,故1122212lnxxxxxx−,所以112212ln<xxxxxx−,即121212lnlnxxxxxx−−,由于120xx−,12lnln0xx−,故121212lnlnxxxxxx−−,取123,1
xx==得:114443113ln3332ln3−−−.所以abc.故选:A二、选择题:本题共4题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知实数,,abc满足
1,0abc,则()A.2233abba−−B.abbaC.1ln1acb++D.aacbbc++【答案】CD【解析】【分析】根据指数函数单调性可得2323aabb++>,可判断A错误;构造函数()()ln,1,xgxxx=+可知,当(),1,eab时b
aab,即B错误;利用函数()1=lnhxxx+在()1,+上为单调递增可知C正确;利用作差法可判断D正确.【详解】对于A,根据指数函数()23xxfx=+在xR上单调递增,又1ab,所以()()fafb,即2323aabb++>,可得2233abba−−>,所以A错误;对于
B,构造函数()()ln,1,xgxxx=+,易知()221ln1lnxxxxgxxx−−==,当()1,ex时,()0gx,所以()gx在()1,e上单调递增,当()e,+x时,()0gx,所以()gx在()e,+上单调递减;所以可得(),1,eab时,ln
lnabab,此时lnlnbaab,即baab,所以B错误;对于C,令()1=ln,1hxxxx+,则()22111=0xhxxxx−−=,所以函数()hx在()1,+上为单调递增,即()()1=
1hxh,又0c,可得11lnln1acbcbb++++,即选项C正确;对于D,由1,0abc可得()()()()()0abcbacabcaacbbcbbcbbc+−+−+−==+++,即aacbbc++,所以D正确;
故选:CD10.某儿童乐园有甲,乙两个游乐场,小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7,如果他第一天去甲游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.7;如果第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.6,则王同学()A
.第二天去甲游乐场的概率为0.63B.第二天去乙游乐场概率为0.42C.第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为23D.第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为13的【答案】AC【解析】【分析】利用条件概率公式、全概
率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设1A:第一天去甲游乐场,2A:第二天去甲游乐场,1B:第一天去乙游乐场,2B:第二天去乙游乐场,依题意可得()10.3PA=,()10.7PB=,()210.7PAA=,()210.6PAB=,对A,()()()()(
)21211210.30.70.70.60.63PAPAPAAPBPAB=+=+=,A正确;对B,()()2210.37PBPA=−=,B错误;对C,()()()()1211220.70.620.633P
BPABPBAPA===,C正确;对D,()()()()()()()()121121122210.310.790.3737PAPAAPAPBAPABPBPB−−====,D错误,故选:AC.11.设0,0,1abab+=,则下列结论正确的是()A.11ab++−
的最大值为622+B.22loglogab+的最大值为2−C.33+ab的最小值为14D.55abab+的最小值为14【答案】BCD【解析】【分析】运用消元法、平均值换元法,结合柯西不等式、基本不等式逐一判断即可【详解】A:因为1ab+=,所以101baa=−,即01a,111yab
aa=++−=++,显然该函数在01a时,单调递增,因此该函数此时没有最大值,因此本选项不正确;B:()22222logloglogloglog1ababab+=−−−=−,因为0,0,1abab+=,所以2211104log224abababab+=
,当且仅当12ab==时取等号,所以21log2ab−−,即22loglogab+的最大值为2−,因此本选项正确;C:因为0,0,1abab+=,所以不妨设ab,设111,[0,)222atbtt=+=−,333321114224ya
bttt=+=++−=+,函数()2144ftt=+在1[0,)2t时,单调递增,故()()min104ftf==,因此本选项正确;D:因为0,0,1abab+=,所以𝑎5+
𝑏5𝑎𝑏=𝑎4𝑏+𝑏4𝑎=(𝑎4𝑏+𝑏4𝑎)(𝑎+𝑏)≥[(𝑎2√𝑏⋅√𝑏)+(𝑏2√𝑎⋅√𝑎)]2=(𝑎2+𝑏2)2,而(𝑎2+𝑏2)2≥[(𝑎+𝑏)22]2=14,当且仅当12ab==时,取等号,即55abab+的最小值为14,因此本选项
正确,故选:BCD【点睛】关键点睛:本题关键在于运用柯西不等式和平均值换元法.12.已知函数()()elnRxfxmxm−=+()A.若1em=,则()yfx=是增函数B.若120xx,则121121ee1xxxx−−−−C.若2m=−,则()yfx=可能
有两个零点D.若1212120,eexxxxxxm==,则()()2101fxfx【答案】ABD【解析】【分析】利用导数即可判断A;根据不等式的性质及指数函数的单调性即可判断B;易得函数()e2lnxfxx−=−在()0,+单调递减,即可判断C;由1212eexxxxm==,得12
12110eexxmmxx−=−=,则()10exmfxx=−=有两个不同的正根12,xx,构造函数()()e0xpxxx=,利用导数求出12,xx的具体关系,再构造函数()ln1(0)exxxgxx+=,利用导数判
断其单调性,进而可判断D.【详解】对于A选项,若1em=,()()lne0exxfxx−=+,则()11eeeeeexxxxfxxx=−=−,令()()ee0xhxxx=−,则()()ee0xhxx=−,当01x时,()0hx,当1x时,()0hx,所以()
hx在()0,1上单调递减,在()1,+上单调递增,所以()()ee10xhxxh=−=,所以eexx,故()0fx,所以()yfx=在()0,+上是增函数,故A对;对于B选项,120xx,则121121ee0,1xxxx−−−
,故2110xx−,从而121121ee1xxxx−−−−,故B对;对于C选项,若2m=−,则()e2lnxfxx−=−,因为函数e,2lnxyyx−==−在()0,+都是减函数,所以函数()e2lnxfxx−=−在()0,+单调递
减,故函数()fx最多只有一个零点,故C错;对于D选项,1212eexxxxm==,则1212110eexxmmxx−=−=,又()1exmfxx=−,则()10exmfxx=−=有两个不同的正根12,
xx,由()100exmxx−=,得1exmx=,令()()e0xpxxx=,则()()()21e0xxpxxx−=,当01x时,()0px,当1x时,()0px,所以()px在()0,1上单调递减,在(
)1,+上单调递增,所以()()min1epxp==,又当0x→时,()px→+,当x→+时,()px→+,作出函数()px的大致图像,如图所示,由图可得,要使()10exmfxx=−=有两个不同的正根12
,xx,则1em,又120xx,则1201xx,而()1111111111ln111lnlneeeexxxxxxxfxmxx+=+=+=,同理()2222ln1exxxfx+=,构造函数()ln1(0)ex
xxgxx+=,则()()1ln0exxxgx−=恒成立,故()gx在()0,+单调递减,1201xx,则()()()211gxggx,即()()2110efxfx,令()1lntxxx=−
−,则()()1110xtxxxx−=−=,当01x时,()0tx,当1x时,()0tx,所以函数()tx在()0,1上单调递减,在()1,+上单调递增,所以()()10txt=,即1lnxx−,当且仅当1x=时取等号,又101x,则()11111ln1111e
xxxxx+−+,故()1111ln11exxxfx+=,故()()2101fxfx,故D对.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式()()fxgx(或()()fxgx)转
化为证明()()0fxgx−(或()()0fxgx−),进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助
函数.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若随机变量()24,XN,且(2)0.2PX=,则(6)PX=________.【答案】0.2##15【解析】【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果.【详解】由随机变量()2
4,XN,(2)0.2PX=,利用正态分布的对称性计算可知(6)(2)0.2PXPX==><,故答案为:0.214.二项式1231xx−展开式的常数项是__________.【答案】220−【解析】【分析】先求出通项公式,再令x的幂指数等于0,求得r的值,
即可求得展开式中的常数项的值.【详解】由于1231xx−的展开式的通项公式为:()()1231121C1rrrrrTxx−+=−()36412C1rrrx−=−,令3640r−=,解得9r=,则其展开式的常数项
为()9912C1220−=−.故答案为:220−15.已知函数()fx满足1(e)21xfx−=−,若1()()()gxfxmxx=−−在其定义域内单调递减,则正实数m的取值范围为_________.【答案】m1【解析】【
分析】先求得()fx解析式,然后根据()gx的单调性,由()0gx分离参数m,结合基本不等式求得m的取值范围.【详解】依题意,1(e)21xfx−=−,令1e0xt−=,则1ln,1lnxtxt−==+,所以()(
)21ln12ln1fttt=+−=+,所以()()2ln10fxxx=+.所以()12ln1gxxmxx=+−−,()gx的定义域是()0,+,依题意()gx在()0,+上单调递减,若0m=,则()2ln1gxx=+在(
)0,+上单调递增,不符合题意.当0m时,由于2ln1yx=+和1ymxx=−−在()0,+上单调递增,所以()12ln1gxxmxx=+−−在()0,+上单调递增,不符合题意.的当
0m时,()22221210mxxmgxmxxx−+−=−+=,在()0,+上恒成立,即()222120mxxmmxx−+−=−++在()0,+上恒成立,即22211xmxxx=++在()0
,+上恒成立,由于1122xxxx+=,当且仅当1,1xxx==时等号成立,所以22112xx=+,所以m1.故答案为:m116.已知函数()fx定义域为R,()0fx,且满足1()()0()fxfxfx+,其中()fx为()f
x的导函数,若不等式()()22111lne1lnlnlne1xaxffxxfxxfaxax+−++−+恒成立,则正实数a的最小值为_________.【答案】2e【解析】【分析】构造函数()lngxxx=+,讨论单
调性可得()211e1lnaxffxxax++,进而可得211e1lnaxxxax++,再构造函数()()e1xhxx=+讨论单调性可得22lnln2lnxaxxxax=,从而构
造函数2lnxyx=求最大值即可求解.【详解】由()()()()10,0fxfxfxfx+可知()()0fxfx单调递增.不等式变形为()()221111lne1e1lnlnlnaxaxfffxxfxxaxax++++++
,构造()lngxxx=+,()110gxx=+在定义域()0,+恒成立,所以()lngxxx=+在()0,+上单调递增,故()211e1lnaxffxxax++
,即211e1lnaxxxax++,进一步变形得:()()22e1ln1axaxxx++()*,构造()()()()e11e1,xxhxxhxx=+=++设()()()()1e1,()2exxHxhxxHxx==++=+,当
<2x−时,()0Hx,当2x−时,()0Hx,所以()hx在(),2−−单调递减,在()2,−+单调递增,故()()()221e0hxhhx−−=−单调递增(*)等价于()()2lnhaxhx,即22lnln2ln
xaxxxax=恒成立,构造函数2lnxyx=,21ln2xyx−=,令0y解得0ex,令0y解得ex,所以2lnxyx=的最大值为2e,所以2ea,即正实数a的最小值为2e.故答案为:2e.【点睛】关键点点睛:本题解题关键是构造两个函数()lng
xxx=+,()()e1xhxx=+,以及二次求导研究函数的单调性及最值,是一道有难度的题.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为
2,设,PQ分别为棱1111,CDAD的中点.(1)证明:AQ//平面PBD;.(2)求二面角PBDC−−的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)13【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明;(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值.【
小问1详解】证明:连接,ACBD交于点R,连接11,,PQPRAC,由中位线可知11//PQAC且1112PQAC=,又因为11//ARAC且1112ARAC=,所以//PQAR且PQAR=,所以PQAR平行四边形,所以//AQPR.结合AQ
平面,PBDPR平面PBD可知,//AQ平面PBD.【小问2详解】以D为原点,1,,DCDADD为坐标轴建立如图坐标系.此时()()()()()0,0,0,2,2,0,1,0,2,2,2,0,1,0,2DBPDBDP==,设平面PBD的法向量为
(),,mxyz=,则由0,0DBmDPm==,可知:22020xyxz+=+=,设()2,2,12,2,1xyzm==−=−=−−,为所以平面BCD的法向量为()0,0,1n=,设二面角PBDC−−的平面角为,则为锐角.所以()()2020111co
s3441001mnmn+−+−===++++.18.设等差数列na的前n项之和为nS,且满足:4415,36aS==.(1)求na的通项公式;(2)设11nnnnabSS++=,求证:1
2313nbbbb++++.【答案】(1)41nan=−(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差数列的的基本量计算求解;(2)利用裂项相消法求和.【小问1详解】设na的公差为d,则由已知11315,434362adad+=+=,解得13,4ad==,所
以41nan=−.【小问2详解】由于1111111nnnnnnnnnnaSSbSSSSSS+++++−===−,所以121223111111111111113nnnnbbbSSSSSSSSS+++++=−+−++−=−=.19.已知()fx、()g
x分别为定义域为R偶函数和奇函数,且()()exfxgx+=.(1)求()fx的单调区间;(2)对任意实数x均有()()230gxafx+−成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)()fx的增区间为()0,+,减区间为(),0−(2)
(,22−的【解析】【分析】(1)对于()()exfxgx+=将x换成x−结合奇偶性求出()fx、()gx的解析式,在利用导数求出函数的单调区间;(2)设eexxt−=+,则问题转化为243042tta−+−在2t时恒成立,参变分离可
得82att+,再利用基本不等式求出8tt+的最小值,即可求出a的取值范围.【小问1详解】因为()()exfxgx+=①,()fx、()gx分别为定义域为R的偶函数和奇函数,所以()()fxfx−=,()()gxgx−=−,所以()()exfxgx−−+−=,即()()exfxg
x−−=②,①②解得()()1ee2xxfx−=+,()()1ee2xxgx−=−,所以()()1ee2xxfx−=−,()()1ee02xxgx−=+,所以()fx(()gx)在定义域R上单调递增,又()()0010ee02f=−=,所以当0x时()0f
x¢>,即()fx的单调递增区间为()0,+,当0x时()0fx,即()fx的单调递减区间为(),0−.【小问2详解】设eexxt−=+,因为ee2ee2−−+=xxxx,当且仅当0x=时取等号,所以2t,不等式()()230gxafx+−恒
成立,转化为243042tta−+−在2t时恒成立,分离参数得82att+在2t时恒成立,由均值不等式88242tttt+=,当且仅当22t=时取等号,故8tt+的最小值为42,所以24222aa,故实数a的取值范围为(,22−.2
0.甲、乙两人轮流投篮,约定甲先投,先投中者获胜,直到有人获胜或每人都已投球n次时投篮结束,其中n为给定正整数.设甲每次投中的概率为13,乙每次投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)当3n=时,求甲获胜的概率;(2)设投篮结束时
甲恰好投篮次,求的数学期望()E.(答案用含n的最简式子表示).【答案】(1)1327(2)331223n−【解析】【分析】(1)分甲投球1次获胜、甲投球2次获胜和甲投球3次获胜三种情况,计算相应的概率相加即可;(2
)根据投篮次数的取值,计算相应的概率,由公式求数学期望,借助数列求和的错位相减法化简.【小问1详解】甲投球1次获胜的概率113p=,甲投球2次获胜的概率221113239p==,甲投球3次获胜的概率3212111323
2327p==,所以甲获胜的概率12311113392727pppp=++=++=.【小问2详解】记“甲第i次投中”为事件iA,“乙第i次投中”为事件iB,其中1in,当11jn−时,投篮结
束时甲恰好投篮j次的概率为:1121121211232332323jjj−−+=,投篮结束时甲恰好投篮n次的概率为:112211112211()()nnnnnnnppABABABApABABABA−−−−=+……111
21121213233233nnn−−−=+=,所以()11111233jnnnjnjjEjpnpjn−===+=+,设()21111111213333jnnjSjn−=
==+++−,则()1123nESn−=+,则()2311111213333nSn=+++−,错位相减得:()231211111111
333113333332234243nnnnSnnSn−=++++−−=−+=−+,所以()133311331242433223nnnEnn−
=−++=−.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为()1,0F,设O为坐标原点,线段OA的中点为D,且满足BD
DF=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点()()2,RTtt,圆T过O且交直线2x=于,MN两点,直线,AMAN分别交C于另一点,PQ(异于点A).证明:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1)22143xy+=(2)证明见解析,()1,0【解
析】【分析】(1)根据题意求出22,ab即可得解;(2)设()()()()11223344,,,,,,,PxyQxyMxyNxy,先求出圆T的方程,令2x=,利用韦达定理求出34yy,设直线PQ的方程为xmyn=+,联立方程,利用韦达定理求出1212,yyyy+,再根据,,A
PM三点共线得//APAM,求出3y,同理求出4y,整理可得出答案.【小问1详解】由题意1c=,由BDDF=可知:22142aab+=+,整理得221202baaaa=+−−==,所以223bac=−=,所以椭圆C的方程为22143xy+
=;【小问2详解】设()()()()11223344,,,,,,,PxyQxyMxyNxy,依题意,圆T的方程为222(2)()4xytt−+−=+,令2x=,则2240yty−−=,24160t=+,由韦达定理可得344yy=−,由已知
直线PQ不与y轴垂直,设直线PQ的方程为xmyn=+,与椭圆联立得:()2223463120mymnyn+++−=,由韦达定理可得21212226312,3434mnnyyyymm−−+==++,由,,APM三点共线得//APA
M,所以()11131311442422yyxyyyxmyn+===+++,同理24242yymyn=++,所以()()12341216422yyyymynmyn==−++++,去分母整理得:()()(
)22121242(2)0myymnyyn++++++=,将韦达定理带入得:()()22222312642(2)03434nmnmmnnmm−−+++++=++,整理得2201nnn+−==或2n=−,当2n=−时,直线PQ过点A
,不合题意,所以1n=,所以直线PQ的方程为1xmy=+,恒过定点()1,0.【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立
一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,xy,常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明.22.已知函数()3ln2fxxxaxx=−+.(1)设0a=,经过点()0
,1−作函数()yfx=图像的切线,求切线的方程;(2)若函数()fx有极大值,无最大值,求实数a的取值范围.【答案】(1)31yx=−(2)35ee,26【解析】【分析】(1)根据题意,求导得()fx,再由导数的几何意义,即可得到结果;(2)根据题意,求导得()fx,
令()()gxfx=,然后分0a与0a两种情况,分别讨论,即可得到结果.【小问1详解】0a=时()()ln2ln3fxxxxfxx=+=+,,设切点为()0000,ln2xxxx+,则切线斜率为()0
0ln3kfxx==+,切线方程:()()()00000ln2ln3yxxxxxx−+=+−,将点()0,1−带入得:()()()0000001ln2ln31xxxxxx−−+=+−=,此时斜率3k=,所以切线方程为31yx=−.【
小问2详解】函数()fx的定义域为()()20,,3ln3fxxax+=−+,令()()gxfx=,则()16gxaxx=−(1)当0a时()()0gxfx在()0,+单调递增,注意到0x→时,()fx→−,注意到x→+时,()fx→+,故存在()
00,x+,使得()00fx=,在()00,xx时()()0,fxfx单调递减,在()0,xx+时,()()0,fxfx单调递增,函数()fx有极小值,无极大值,不符合题意.(2)当0a
时,令()100,6gxxa,令()10,6gxxa+,所以()fx在10,6a单调递增,在1,6a+单调递减.当0x→时()fx→−,当x→+时()151,ln6622fxfaa→−=−
,所以max51()ln622fxa=−,若51ln6022a−,则()0fx恒成立,()fx在()0,+单调递减,无极值和最值.若51ln6022a−,即5e6a,此时存在12106x
xa,使得()()120fxfx==,且在()()120,,,xx+有()()0,fxfx单调递减;在()12,xx有()()0,fxfx单调递增,此时()2fx为()fx的极大值.注意到0x→时()0fx→,要使()
fx无最大值,则还应满足()20fx,即()32222ln20*xxaxx−+,同时()22222223ln03ln303xfxxaxax+=+−==,带入()*整理得32222ln30exx−+.由于216xa,且
()fx在1,6a+单调递减,故()33222ee0fxff−−,即333e3e022aa−−,综上实数a的取值范围为35ee,26.获得更多资源请扫码加入享学资
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