【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第五章第一节　数列的概念与简单表示法 含解析【高考】.doc，共(8)页，579.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第一节数列的概念与简单表示法授课提示：对应学生用书第88页[基础梳理]1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝

f(n)表示，这个公式叫作数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫作数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图像法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式

使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类1．与函数的关系：-2-数列是一种特殊的函

数，定义域为N＋或其有限子集数列的图像是一群孤立的点．2．周期性：若an＋k＝an(n∈N＋，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．[四基自测]1．(基础点：数列的项)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各

数中，不是{an}的项的是()A．21B．33C．152D．153答案：C2．(基础点：数列递推关系)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a4＝()A.32B．53C.74D．85答案：B3．(基础点：数列的前n项和)设Sn为数列{an}的前n项和，已知S4

＝0，a5＝5，则S5为________．答案：54．(易错点：数列的通项公式)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an＝________．答案：n2n－1授课提示：对应学生用书第89页考点一数列的项与通项公式挖掘1判断通项公式/自主练透

[例1](1)下列公式可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…，的通项公式的是()A．an＝1B．an＝（－1）n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝（－1）n－1＋32[解析]由an

＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….故选C.[答案]C(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：①－1，7，－13，19，…；②0.8，0.88，0.888，…；③12，14，－58，1316，－29

32，6164，…；④32，1，710，917，…；⑤0，1，0，1，….[解析]①符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．-3-②将数列变形为89×(1－

0.1)，89×(1－0.01)，89×(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.③各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为

－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.④将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子

的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.⑤an＝0

，（n为奇数），1，（n为偶数）.[破题技法]1.已知数列的前n项写出一个通项公式，主要考查的是逻辑推理与归纳．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．由于只给出了部分规律，符合这几

个特殊项的通项公式并不唯一．2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)各项的符号特征和绝对值特征；(4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(5)对于正负号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)

k＋1，k∈N＋处理．挖掘2判断数列的项/自主练透[例2](1)已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第19项D．第11项[解析]数列即：2，5，8，11，…，据此可得数列的通项公式为：an＝3n－1，由3n－1＝25，解得：n＝7，即25是这个数列

的第7项．[答案]B(2)如果一个数列{an}的通项公式an＝n2＋2n＋3.①求a10；②83是否为该数列的项，如果是，是数列的第几项．[解析]①当n＝10，a10＝100＋2×10＋3＝123.②如果n2＋2n＋3＝83，即n2＋2n－80＝0.∴(

n＋10)(n－8)＝0，∴n＝8(n＝－10舍)，故83是这个数列的第8项．考点二已知递推关系求通项公式挖掘求通项公式/互动探究-4-[例]根据下列已知条件，求数列{an}的通项公式：累加法：(1)

a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n；累乘法：(2)a1＝12，an＝n－1n＋1an－1(n≥2)；构造法：(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；辅助数列法：(4)a1＝56，an＋1

＝13an＋12n＋1；取倒数：(5)a1＝1，an＝an－13an－1＋1；取对数：(6)a1＝3，an＋1＝a2n.[解析](1)因为an＋1＝an＋ln1＋1n，所以an＋1－an＝ln

n＋1n(n≥1)，所以an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，所以an－1－an－2＝lnn－1n－2，…，a2－a1＝ln21(n≥2)，所以an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnn(n≥2)，所以an＝lnn

＋a1(n≥2)，又a1＝2，所以an＝lnn＋2.(2)因为an＝n－1n＋1an－1(n≥2)，所以当n≥2时，anan－1＝n－1n＋1，所以anan－1＝n－1n＋1，…，a3a2＝24，a2a1＝13，以上n－1个式子相

乘得anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1＝n－1n＋1·n－2n·…·24·13，即ana1＝1n＋1·1n×2×1，所以an＝1n（n＋1）.当n＝1时，a1＝11×2＝12，也与已知a1＝12相符，

所以数列{an}的通项公式为an＝1n（n＋1）.(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且b

n＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.(4)在an＋1＝13an＋12n＋1两边分别乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝23(2n·an)＋1.-5

-令bn＝2n·an，则bn＋1＝23bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝23(bn－3)．所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列．所以bn－3＝－43·2

3n－1，即bn＝3－223n.于是，an＝bn2n＝312n－213n.(5)取倒数，得1an＝3an－1＋1an－1＝3＋1an－1.∴1an是等差数列，1an＝1a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)⇒an＝13n－2.(6)由题意知an

>0，将an＋1＝a2n两边取常用对数得到lgan＋1＝2lgan，即lgan＋1lgan＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，2为公比的等比数列．所以lgan＝(lg3)·2n－1，所以an＝32n－1.[破题技法]常见求通项公式的方法方法转化过程适合题型累加法(a2－a

1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1an＋1－an＝f(n)(f(n)可求和)累乘法a2a1×a3a2×…×an－1an－2×anan－1＝ana1an＋1an＝f(n)，f(n)可求积构造法由an＋1＝pan＋q化为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为等比

数列an＋1＝pan＋q辅助数列法由an＋1＝pan＋qn化为an＋1qn＋1＝p·anq·qn＋1q，放入辅助数列{bn}，bn＋1＝pqbn＋1q，再构造数列an＋1＝pan＋rqn取倒数法an＝man－1k（an－1＋b）取

倒数得1an＝kbm·1an－1＋km，令bn＝1anan＝man－1k（an－1＋b）取对数对an＝parn－1化为lgan＝rlgan－1＋lgp令bn＝lganan＝parn－1(n≥2，p>0)考点三Sn与an的关系的应用挖

掘1已知Sn求an/自主练透[例1](1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a2·a6＝()A.164B．116-6-C．16D．64[解析]a2＝S2－S1＝(22－1)－(21－1)＝2，a6＝S6－S5＝(26－1)－(25－1)＝25＝32，∴a2·a6＝64.[答案]

D(2)(2020·广东化州第二次模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．[解析]由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时

，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝3，n＝1，2n，n≥2.[答案]an＝3，n＝12n，n≥2挖掘2已知Sn与an的关系/互动探究[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{a

n}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．[解析]∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1为－1，公

比q为2的等比数列，∴Sn＝a1（1－qn）1－q＝－1（1－2n）1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.[答案]－63(2)(2020·广东江门模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若任意n∈N＋，2Sn＝an＋1，则a2020＝______

__．[解析]∵2Sn＝an＋1，∴2Sn－1＝an－1＋1(n≥2)，∴2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，即an＝－an－1(n≥2)，又2S1＝2a1＝a1＋1，∴a1＝1，∴a20

20＝a2＝－a1＝－1.[答案]－1[破题技法]Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．

在例2(2)中，{an}的通项公式an＝________．答案：(－1)n＋12．在例1(1)中，可否求通项公式an?解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，a1＝1适合an＝2n－1，故a

n＝2n－1.-7-考点四数列的性质[例]已知数列{an}满足an＋1－ann＝2，a1＝20，则ann的最小值为()A．45B．45－1C．8D．9[解析]由an＋1－an＝2n知：a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，以上各式相加得an－

a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，当n＝1时，a1＝20符合上式，所以an＝n2－n＋20，n∈N＋，所以ann＝n＋20n－1，n∈N＋，所以n≤4时ann单调递减，n≥5时ann单调递增，因为a44＝a55，所以ann的最小值为a44＝a55＝8，故选C

.[答案]C[破题技法]1.类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T(T∈N＋)，使得对于任意的正整数n＞n0，恒有an＋T＝an成立，那么称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列．若n0＝1，则称数

列{an}为纯周期数列；若n0≥2，则称数列{an}为混周期数列．T的最小值称为最小正周期，简称周期．2．解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性地出现后，便可由此确定该数列的最小正周期T，再根据公式an＋T＝an将所求项转化为

较小的项，从而求得该项的值．3．求数列的最大项、最小项的常见方法(1)利用“两边夹”思想设an为数列{an}中的最大项，则有an≥an＋1，an≥an－1(n≥2)．解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项．类似地，设an为数列{an}中的最小项，则有an≤

an＋1，an≤an－1(n≥2)．解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的最小项．(2)利用函数思想①数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数．②根据条件构造相应

的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项．③给出一个数列{an}，若能够判断数列{an}为递增数列，则该数列具有以下性质：a1＜a2＜…＜an＜…，故(an)min＝a1.反之，若该数列为递减数列，则有a1＞a2

＞…＞an＞…，故(an)max＝a1.1．在数列{an}中，a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N＋)，则a2020的值为()A．－14B．5-8-C.45D.54解析：在数列{an}中，a1＝－

14，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N＋)，所以a2＝1－1－14＝5，a3＝1－15＝45，a4＝1－145＝－14，所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2020＝a673×3＋1＝a1＝－14.答案：A2．(

2020·江西宜春期末测试)已知函数f(x)＝x＋12，x≤12，2x－1，12＜x＜1，x－1，x≥1，若数列{an}满足a1＝73，an＋1＝f(an)(n∈N＋)，则a2019＝()A.73B.43C.56D.13解析：由题意，知a2＝f(73)＝43，a3＝f(43)＝13，a

4＝f(13)＝56，a5＝f(56)＝23，a6＝f(23)＝13，a7＝f(13)＝56，…，故数列{an}从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a2019＝a3＝13.故选D.答案：D