【文档说明】湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.184 MB，由小赞的店铺上传

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十堰市六校教学合作体2024—2025学年高二九月月考数学考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.给出

下列命题：①若空间向量a，b满足0ab，则a与b的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c，若acbc=，则ab=；④若,,abc为空间的一个基底，则,,abbcca+++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析

】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当a与b的夹角为π，满足0ab，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错

误；对于③，由acbc=，得到()0abc−=，所以ab=或ab−与c垂直，所以③错误；对于④，因为,,abc为空间向量的一个基底，所以,,abc不共面，故,,abbcca+++也不共面，所以,,abbcca+

++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.2.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（）A.A

与B是互斥事件B.A与B不是相互独立事件C.B与C是对立事件D.A与C是相互独立事件【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.【详解】根据题意可知，事件A和事件B可以同时发生，不是互斥事件，故A错；不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件A和事件

B不相互独立，故B正确；事件B的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；事件A与事件C为对立事件，故D错.故选：B.3.“21a=”是“直线0xy+=和直线0xay−=互相垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】B【解析】【分析】先求出两条直线垂直的充要条件，再根据所得条件和已知条件的关系可得两者的条件关系.【详解】直线0xy+=和直线0xay−=的充要条件为()1110a+−=即1a=，1a=可以推出21a=，但21a=推不出1a=，故“21a=”是“直线0xy+=和直线0xay−=互相

垂直”的必要而不充分条件，故选：B.4.在空间四边形OABC中，若,EF分别是,ABBC的中点，H是EF上的点，且13EHEF=，记OHxOAyOBzOC=++，则(,,)xyz等于（）A.111,,32

6B.111,,263C.111,,362D.111,,236【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理将OH用,,OAOBOC表示，从而可求出,,xyz的值，

进而可求得答案.【详解】连接,OEOF，因为13EHEF=，,EF分别是,ABBC的中点，所以()1133OHOEEHOEEFOEOFOE=+=+=+−()()212111333232OEOFOAOBOBOC=+=+++111326O

AOBOC=++，故111(,,),,326xyz=．故选：A5.在空间直角坐标系中，已知点()()()1,1,1,0,1,0,1,2,3ABC，则点C到直线AB的距离为（）A.3B.2C.22D.3【答案】A【

解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.详解】根据题意，()()1,0,1,0,1,2ABAC=−−=，则1012,0145ABAC=++==++=，设向量u是直线AB的单位方向向量，22,0,22ABuAB==−−，(

)2220,1,2,0,0022222ACu=−−=++−=−，则点C到直线AB的距离为()22523ACACu−=−=.故选：A.【6.已知动点Q在ABCV所在平面内运动，若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P，都有2

5PQPAPBmCP=−++，则实数m的值为（）A.0B.2C.1−D.2−【答案】B【解析】【分析】由三点共面得到系数之和为1，从而解出m的值.【详解】因为25PQPAPBmPC=−+−，动点Q在ABCV所在平面内运动，所以251m−+−=

，解得2m=．故选：B．7.已知正方体1111ABCDABCD−中，E是11AB的中点，则直线AE与平面11ABCD所成角的余弦值是（）A.155B.105C.55D.1010【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的方法求线面角.【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

，则𝐴(2,0,0)，()2,1,2E，()2,2,0B，()10,2,2C，()0,2,0AB=，()12,0,2BC=−，()0,1,2AE=，设平面11ABCD的法向量为n，则120220nABynBCxz===−+=∴可取(

)1,0,1n=.设直线AE与平面11ABCD所成角的，则10sincos,5AEnAEnAEn===，于是直线AE与平面11ABCD所成角的余弦值为155.故选：A.8.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）AB.C

.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．【详解】对B，2l斜率为正，在y轴上的截距也为正，故不可能有1l斜率为负的情况.故B错.当,0ab时，1l和2l斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选：D二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分；全部选对

得6分，多选对多得分，选错得0分）9.已知空间向量()2,1,3m=−，()4,2,nx=−，则下列选项中正确的是（）A.当mn∥时，6x=−B.当mn⊥时，2x=C.当4x=−时，6mn+=D.当1x=时，6cos

,6mn=−【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于B，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出mn+，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断..【详解】对A，//mn，存在

实数，使得nm=，则()()()4,2,2,1,3=2,,3x−=−−，即4223x−==−=，解得2=−，6x=−，故A正确；对B，mn⊥，0mn=，即()()241230x−+−+=，解得103x=，故B错误；对C，当4x=−时，()4,2,4n=−

−，()()()2,1,34,2,42,1,1mn+=−+−−=−−，()()2222116mn+=−++−=，故C正确；对D，当1x=时，()4,2,1n=−，()2,1,3m=−，()()()()222

2222412316cos,6421213mnmnmn−+−+===−−+++−+，故D正确.故选：ACD.10.下列描述正确的是（）A.若事件A，B相互独立，()0.6PA=，()0.3PB=，则()0.54=U

PABABB.若三个事件A，B，C两两独立，则满足()()()()PABCPAPBPC=C.若()0PA，()0PB，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立D.必然事件和不可能事件与任意事件相互独立【答案】ACD【解析】【分析】根据独立事件的概念

及乘法公式直接可判断.【详解】A选项：由()0.6PA=，()0.3PB=，则()10.60.4PA=−=，()10.30.7PB=−=，又事件A，B相互独立，则()()()()()()()0.60.70.004.534.P

ABPABPAPBPAPPABBAB==+=+=+U，A选项正确；B选项：若三个事件A，B，C两两独立，由独立事件的乘法公式()()()PABPAPB=，()()()PACPAPC=，()()()PBCPBPC=，无法确定()()()()PABCPAPBPC=，B选项错误；C选项：()0P

A，()0PB，若事件A，B相互独立则()()()0PABPAPB=，若事件A，B互斥，则()0PAB=，C选项正确；D选项：设任意事件A发生的概率为P，必然事件事件B发生的概率为1，不可能事件C发生的概率为0，则()()()PABPPAPB==，()()()0PACPAPC==

，D选项正确；故选：ACD.11.下列说法正确的是（）A.直线:130lmxym++−=恒过点()3,1−B.经过点()1,1P，且在,xy轴上截距相等的直线方程为20xy+−=C.已知()()2,3,1,1AB−，点P在x轴上，则PAPB+的最小值是5D.若直线l过点()3,2，且与,xy轴的正

半轴分别交于,AB两点，O为坐标原点，则AOBV面积的最小值为12【答案】ACD【解析】【分析】对于A，将直线化简，列出方程，求得定点；对于B，设出直线方程根据截距相等列出方程，求解即可；对于C，找对称点进行转化；对于D，设出直线方程，把三角形的面积表示出来，求最值即可.【详解】对于A，

整理130mxym++−=，得()310mxy−++=，令3010xy−=+=，解得3,1,xy==−所以直线l恒过点()3,1−，故A正确.对于B，可知所求直线的斜率存在且不为0，设为k，则

它的方程为()11ykx−=−.令0x=，得1yk=−，即该直线在y轴上的截距为1k−；令0y=，得11xk=−，即该直线在x轴上截距为11k−.的因为该直线在,xy轴上的截距相等，所以111kk−=−，解得1k=，所以

所求直线的方程为0xy−=或20xy+−=，B错误.对于C，点B关于x轴的对称点为()1,1B−−，连接AB交x轴于点0P，点P是x轴上任意一点，连接0,,,BPAPBPPB，于是0000PAPBPAPBABAPB

PAPBP+=+==++，当且仅当点P与0P重合时，等号成立，因此22min()345PAPBAB=++==，C正确.对于D，直线l与,xy轴的正半轴分别交于,AB两点，可知直线l的斜率为负数，设直线():23,0ly

kxk−=−，令0x=，得23yk=−，令0y=，得23xk=−，可知2230,30kk−−，可得()()()121412339122361212222AOBSkkkk=−−=−+++=−

，当且仅当49kk−=−，即23k=−时，等号成立，所以AOBV面积的最小值为12，D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()2,2,0a=−，(),0,3bk=，a，b夹角为2π3，则k=__________

．【答案】3−【解析】【分析】利用空间向量数量积，结合空间向量夹角公式列式求解作答.【详解】由()2,2,0a=−，(),0,3bk=，得2||22,||9abk==+，2abk=，由a，b夹角为2π3，得22π21cos32||||229ab

kabk===−+，解得3k=−，所以3k=−.故答案为：3−13.已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______.【答案】0.45##920【解析】【分析】利用独立

事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则没有人命中的概率为(10.7)(10.5)(10.4)0.09−−−=，恰有一人命中的概率为0.7(10.5)(10.4

)(10.7)0.5(10.4)(10.7)(10.5)0.40.36−−+−−+−−=，所以至多有一人命中的概率为0.090.360.45+=.故答案为：0.4514.已知点()3,1A，()

4,1B−−，直线l是过点(2,3)P−且与线段AB相交且斜率存在，则l的斜率k的取值范围是____________【答案】)2,2,5−−+【解析】【分析】利用斜率计算公式可得PAk，PBk，根据直线l过

点()2,3P−且与线段AB相交，数形结合即可求出直线l的斜率k的取值范围．【详解】因为()2,3P−，()3,1A，()4,1B−−，所以()132325PAk−==−−−，()13242PBk−−==−−−．直

线l过点(2,3)P−且与线段AB相交，如下图所示：25lPAkk=−或2lPBkk=，直线l的斜率k的取值范围是：)2,2,5−−+．故答案为：)2,2,5−−+．四、解答题（本题共5

小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（1）已知()4,7A−，()10,3B，求AB边的垂直平分线的方程.（2）求过点()2,3M且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线l的方程.【答案】（1）35110xy+−=（2

）32yx=或10xy−+=【解析】【分析】（1）先求得中点坐标,根据垂直的斜率关系可求得直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程,化简为一般式即可.（2）讨论截距是否为0:当截距为0时,可设正比例函数,代入点求

解;当截距不为0时,设截距式,代入点坐标即可求得参数,进而得直线方程.【详解】（1）因为()4,7A−,()10,3B则中点坐标为()7,2−53ABkk==根据垂直直线的斜率关系可得3'5k=−所以由点斜式可得()3275yx+=−−化

简得35110xy+−=（2）当截距为0时,设直线方程为ykx=代入()2,3M可得32k=则32k=此时32yx=当截距不为0时,设直线方程为1xyaa+=−代入()2,3M可得231aa+=−解得

1a=−,即1xy−+=化简可得10xy−+=综上可知,直线方程为32yx=或10xy−+=【点睛】本题考查了点斜式方程的用法,截距相同时,注意讨论截距是否为0,属于基础题.16.在试验6E“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球

除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为1w，2w，3w，摸到黑球的结果分别记为1b，2b．求：（1）取到的两个球都是白球的概率；（2）取到的两个球颜色相同的概率；（3）取

到的两个球至少有一个是白球的概率．【答案】（1）310；（2）25；（3）910.【解析】【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验6E的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.【小问1详解】由前面的分析可知试验6E的样本空间12131112212

32122313231321112131221222321Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,wwwwwbwbwwwwwbwbwwwwwbwbbwbwbwbbbwbwbwbb=，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．设事件

A表示“取到的两个球都是白球”，则121321233132,,,,,Awwwwwwwwwwww=，共含有6个样本点，所以63()2010PA==，即取到的两个球都是白球的概率为310；【小问2详解】设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则12

13212331321221,,,,,,,Bwwwwwwwwwwwwbbbb=，共含有8个样本点，所以82()205PB==，即取到的两个球颜色相同的概率为25；【小问3详解】设事件C表示“取到的两个球至

少有一个是白球”，则121311122123212231323132111213212223,,,,,,,,,,,,,,,,,Cwwwwwbwbwwwwwbwbwwwwwbwbbwbwbwbwbwbw=，共含有18个样本点，所以189()2010PC==，即取到的

两个球至少有一个是白球的概率为910.17.如图，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PDEA∥，22ADPDEA===，,,FGH分别为,,BPBEPC的中点．（1）求证：//FG平面PDE；（2）求平面FGH与平

面PBC夹角的大小；（3）求点E到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）π4；（3）22【解析】【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系利用空间向量来求解即可；（3）在（2）建立的坐标系下利用向量法求解即可.【小

问1详解】由题意,FG分别为,BPBE中点，所以FG是BPE的中位线，即FGPE，又FG平面PDE，PE平面PDE，所以//FG平面PDE；【小问2详解】由于四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，所以,,DADCDP两两垂直，以D为坐标原点，,,DADCDP所在直线分别为,,xyz轴建立

空间直角坐标系，如图所示：又22ADPDEA===，,,FGH分别为,,BPBEPC的中点，则(0,0,2),(2,0,1),(2,2,0),(0,2,0)PEBC，所以12,1,,(1,1,1),(0,1,1)2GFH；1(0,2,2),(2,0,0),1,0,,(1

,0,0)2PCBCGFFH=−=−=−=−设平面PBC的一个法向量𝑚⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则11122020PCmyzPCmBCmxBCm=−=⊥=−=⊥，的解得10x

=，令11y=，得11z=；即()0,1,1m=，设平面FGH的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则2221020GFnxzGFnFHnFHnx=−+=⊥⊥=−=，解得220,0xz==，令21y=，即(0,1,0)n=；设平面FGH与

平面PBC夹角的大小为，所以12coscos,221mnmnmn====，又π0,2，所以π4=；即平面FGH与平面PBC夹角的大小为π4；【小问3详解】由（2）平面PBC的一个法向量为()0,1,1m=；又(0,2,1)BE=−，所以点B

到与平面PBC的距离距为：1222BEmdm===.18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该

企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，得到如下频率分布直方图.的（1）求出直方图中m的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所

生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再

随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）0.030m=（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程求解，即可得出答案；（2）根据平均数公式计算即可得出平均数；根据已知得出质量指标

值位于)40,70、)40,80之间的频率，然后列出方程，求解即可得出答案；（3）先根据已知得出一等、二等品口罩的个数，求出抽样比，得出各品级口罩应抽取的数目.进而列举得出所有可能的样本点以及事件“这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品”包含的样本点个数，根据古典概型公式，即可得

出答案.【小问1详解】由()100.0100.0150.0150.0250.051m+++++=，得0.030m=.【小问2详解】平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x=++++

+=.设中位数为n，质量指标值位于)40,70之间的频率为0.4，位于)40,80之间的频率为0.7，所以，7080n，且700.40.30.58070n−+=−，解得22073.333n=.故可以估计该企业所生产口

罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.【小问3详解】由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6，所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个.又抽样比为5110020=，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品

有160320=个、二等品有140220=个.记这3个一等品为,,abc，2个二等品为,de，则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：(),ab，(),ac，(),ad，(),ae，(),bc，(),b

d，(),be，(),cd，(),ce，(),de，共10个等可能的样本点，其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：(),ad，(),ae，(),bd，(),be，(),cd，(),ce，共6种.根据古典概

型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P==.