【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 必修第二册 第六章测评含解析【高考】.doc，共(7)页，992.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于()A.(3,2)BC.(-3,-2)

D解析:=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),(-9,-6)=(-3,-2).答案:C2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于()A.4B.3C.2D.0解析:a·(2a-b)=2a2-a·

b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.答案:B3.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=(λ∈R),则λ等于()A.2B.3C.-2D.-3解析:因为=-,所以3=-+4,则3-3=-,即3,故=-3,则λ=-3.答案:D4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上

,且满足AP=2PM,则()等于()A.-B.-CD解析:由题意可知点P是△ABC的重心,则=0,故()=-=-=-答案:A5.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为()

A.2B.4CD.3解析:由三角形的面积公式,得2=acsinB=c,得c=4∵b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4=25,∴b=5.=2R(R为△ABC外接圆的半径),∴R=答案:C6.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2解析:|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9

b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.答案:C7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角

三角形C.钝角三角形D.不确定解析:由bcosC+ccosB=asinA及正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A.∵B+C=π-A,∴sinA=sin2A.又A为△ABC的内角,∴sinA=1,A=90°,∴△ABC为直角三

角形.答案:A8.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15min时,两船的距离是()AkmBkmCkmDkm解析:如图,由题意知AM=8=2,B

N=12=3,MB=AB-AM=3-2=1,由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3=13,故MN=km.答案:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给

出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.设向量a=(1,0),b=,则下列结论正确的是()A.|a|=|b|B.|a-b|=C.a-b与b垂直D.a∥(a-2b)解析:|a|=1,|b|=,故A不正确;∵a-b=,∴|a

-b|=,故B正确;∴(a-b)·b==0,∴(a-b)⊥b,故C正确;∵a-2b=(0,-1),∴a·(a-2b)=0,∴a⊥(a-2b),故D不正确.答案:BC10.在△ABC中,下列说法正确的是()A.>0”是“△ABC是锐角三

角形”的充分不必要条件B.<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件C.“||=||”是“A为直角”的充要条件3D.“||>||”是“A为锐角”的充要条件解析:>0,∴||||cosA>0,∴c

osA>0,∴A为锐角,但是并不能判定△ABC是锐角三角形,故A不正确.由<0,可得A为钝角,即△ABC是钝角三角形.反之,△ABC是钝角三角形不一定能得出A为钝角,故B正确.||=||⇔||=||⇔||2=||2

=0⇔A为直角,故C正确.同样地,||>||>0⇔A为锐角,故D正确.答案:BCD11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若,则点M是边BC的中点B.若=2,则点M在边BC的延长线上C.若=-,则点M是△ABC的重心D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面

积是△ABC面积的解析:A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;B项,=2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误;C项,如图,设BC的中点为D,则=-=2,由重心性质可知C正确;D项,=x+y,且x+y=2=2x+2y,2x+2y=1,设=

2,因为=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.答案:ACD12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,bsinA=acosB,sinC=2sinA,则()A.B=B.

a=C.△ABC的面积S=3D.△ABC的外接圆半径R=解析:A项中,∵bsinA=acosB,∴sinBsinA=sinAcosB,∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴tanB=∵0<B<π,∴B=故A正确.

B项中,∵sinC=2sinA,∴c=2a.由选项A知B=,又b2=a2+c2-2accosB,∴a2+(2a)2-2a·2a=9,∴a=,c=24故B正确.C项中,S△ABC=acsinB=2故C不正确.D

项中,2R==2,则R=故D正确.答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a=(1,0),b=(-1,m),若a⊥(ma-b),则m=.解析:∵a=(1,0),b=(-1,m),∴ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).由a⊥(ma-b),得

a·(ma-b)=0,则a·(ma-b)=m+1=0,即m=-1.答案:-114.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asinB=b,b+c=5,bc=6,则a=.解析:因为2asinB=b,所以2si

nAsinB=sinB,所以sinA=因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=因为bc=6,b+c=5,所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×6=7,所以a=(负值舍去).答案:15.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c

=2a-b,设a,c的夹角为θ,则cosθ=.解析:∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-a·b=2,∴cosθ=答案:16.在△ABC中,∠ABC=,AB

=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=,则BD=,cos∠ABD=.解析:在△ABD中,由正弦定理,得因为AB=4,∠ADB=,AC==5,所以sin∠BAC=,cos∠BAC=,所以BD=5cos

∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=答案:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<α<β<π.(1)求|a|

的值;(2)求证:a+b与a-b互相垂直.(1)解:∵|a|==1,∴|a|=1.(2)证明:∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,又|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=sin2β+cos2β=1,∴(a-b)·

(a+b)=0,∴a+b与a-b互相垂直.18.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)当m=8时,将表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.解:(1)当m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,则(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,

0)=(2λ1+3λ2,-λ1),得解得故=-3(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有不共线,又=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),则有1×4-(m-2)×1≠0,得m≠6.19.(12分)已知向量a=3e1-

2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:(1)a·b,|a+b|;(2)a与b的夹角的余弦值.解:(1)∵a=3e1-2e2=3(1,0)-2(0,1)=(3,0)-(0,2)=(3,-2),b=4e1+e2=4(

1,0)+(0,1)=(4,0)+(0,1)=(4,1),∴a·b=4×3+(-2)×1=10.∵a+b=(7,-1),∴|a+b|==5(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=20.(12分)在①3c2=16S+3(b2-a2);②5bcosC+4c=5a这两个条

件中任选一个,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题目.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知.(1)求tanB的值;(2)若S=42,a=10,求b的值.注:如果选择多个条件分别解答,那么按

第一个解答计分.解:选择条件①:(1)由题意得8acsinB=3(a2+c2-b2),即4sinB=3,整理可得3cosB-4sinB=0,因为sinB>0,所以cosB>0,6所以tanB=(2)由tanB=,得

sinB=,因为S=42,a=10,所以S=acsinB=10c=42,解得c=14.将S=42,a=10,c=14代入6c2=16S+3(b2+c2-a2)中,得6×142=16×42+3(b2+142-102),解得b=6选择条件②:(1)因为5bcosC+4c=5a,由正弦

定理,得5sinBcosC+4sinC=5sinA,5sinBcosC+4sinC=5sin(B+C),即sinC(4-5cosB)=0.因为在△ABC中,sinC≠0,所以cosB=,又0<B<π,si

nB=,所以tanB=(2)由S=acsinB=10c=42,解得c=14.又a=10,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即b2=100+196-2×140=72,得b=621.(12分)如图,A,B两个小岛相

距21海里,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛出发,以9海里/时的速度向B岛方向行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间时,两船相距最近?求出两船的最近距离.解:设行驶t时后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t

海里到达D处.①当9t<21,即t<时,C在线段AB上,此时BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t=63t2-252t+441=63(

t-2)2+189.当t=2时,CD取得最小值3②当t=时,C与B重合,则CD=6=14>3③当t>时,BC=9t-21,则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t·cos60°=63t2-252

t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知,当t=2时,CD取最小值3故行驶2时时,甲、乙两船相距最近,为3海里.722.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.

(1)求角A的大小;(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.解:(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,则cosA=,∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)∵A+B+

C=180°,∴B+C=180°-60°=120°.∵sinB+sinC=,得sinB+sin(120°-B)=,∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=,sinB+cosB=,即sin(B+30°)=1.∵0°<B<1

20°,∴30°<B+30°<150°.∴B+30°=90°,B=60°.∴A=B=C=60°,△ABC为正三角形.