【文档说明】数学人教A版2019必修第一册 2.2 基本不等式 教案含解析【高考】.docx，共(24)页，494.363 KB，由小赞的店铺上传

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12.2基本不等式考纲要求1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．理解基本不等式在实际问题中的应用．4．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值．知识解读知识点①基本不等式1．基本不等式：a

b≤a＋b22．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．4．其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．知识点②几个重要的不等式1．a2＋b2≥2ab(a，b∈

R)．2．ba＋ab≥2(a，b同号)．3．ab≤22+ba(a，b∈R)．4．a2＋b22≥22+ba(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点③利用基本不等式求最值1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y

时，和x＋y有最小值2P.2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就

是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；2(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这

也是最容易发生错误的地方．题型讲解题型一、基本不等式的理解例1．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC．ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23例2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋

b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b题型二、基本不等式求最值方法1．直接运用例3．已知x<0，则x＋1x－2有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4例4

．已知0a，0b且1ab+=，则ab的最大值为（）A．14B．12C．1D．2例5．已知0a，0b，且23abab+=，则ab的最小值为（）A．1B．89C．49D．223方法2．配凑法例6．若x<23，则y＝3x＋1＋93x－2有()A．最大值0B．最小值9C．最大值－3D．最

小值－33例7．(2022·长沙模拟)设0<x<32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A．94B．4C．92D．9例8．3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．3C．62D．62－3方法3．分离（分式型）例9．(2022·天津模拟)函数

y＝1)2)(5(+++xxx(x>－1)的最小值为________．例10．若a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为_________.方法4．常数代换（1代换）例11．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有

()A．最大值64B．最小值164C．最小值12D．最小值64例12．(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则2a＋12b的最小值是()A．1B．2C．94D．92方法5．消元法例13．(

2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．例14．若实数,xy满足133(0)2xyxx+=，则313xy+−的最小值为________．例15．(

2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1x－1＋12y－1的最小值为________．方法6．平方例16．已知,xy为正实数，3210xy+=，求=32Wxy+的最大值．4方法7．构建目标不等式例17．已知正实数,xy满足(31)(21)1xyxy+−+−=，则xy+的最小

值是________．例18．已知正实数,xy满足21()yxyx−=，则1xy+的最小值为_______________．题型三、基本不等式的实际应用例19．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍

惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与

宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm2.例20．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投

入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．达标训练1．已知0<a<1

，b>1，则下列不等式中成立的是()5A．a＋b<4aba＋bB．ab<2aba＋bC．2a2＋2b2<2abD．a＋b<2a2＋2b22．(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A．2a＋bB．1a＋1bC．2abD．2a2＋b23

．已知函数y＝22x－1＋x(2x>1)，则y的最小值为________．4．已知函数y＝－x2x＋1(x<－1)，则()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－45．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

则当x＋y取得最小值时，y等于()A．16B．6C．18D．126．已知非负数,xy满足1xy+=，则1912xy+++的最小值是（）A．3B．4C．10D．167．(2020·山东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy

＝1，则M＝11＋x＋11＋2y的最小值为_______.8．设a，b，c都是正数，试证明不等式：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.69．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与

年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销

售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

课后提升1．已知正数,ab满足2ab+=，则411abab+++的最大值是（）A．92B．114C．1D．7372．（多选题）设1,1ab，且()1abab−+=，那么（）A．+ab有最小值()221+B．+ab有最大值()221+C．ab

有最大值322+D．ab有最小值322+3．已知0x，0y，23xy+=，则23xyxy+的最小值为（）A．322−B．221+C．21−D．21+4．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是_________.5．已知x，y为

实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________.6．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xx－1＋2yy－1的最小值为________．7．设a>b>0，

则a2＋1ab＋)(1baa−的最小值是________．8．设a，b∈R，a2＋b2＝2，求1a2＋1＋4b2＋1的最小值2.2基本不等式考纲要求1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．理解基本不等式在实际问题中的应用．4．掌握公式，凑项，凑

系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值．知识解读知识点①基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b22．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．4．其中a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数

．知识点②几个重要的不等式81．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．2．ba＋ab≥2(a，b同号)．3．ab≤22+ba(a，b∈R)．4．a2＋b22≥22+ba(a，b∈R)．以上不

等式等号成立的条件均为a＝b.知识点③利用基本不等式求最值1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二

定、三相等”．(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”

是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．题型讲解题型一、基本不等式的理解例1．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC．ab≥a＋b2D．x2

＋3x2≥23【答案】D【解析】a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab<a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．例2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a

＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞b9C．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b【答案】B【解析】a＝a＋a2＞a＋b2＞ab＞b·b＝b，因此B项正确．题型二、基本不等式求最值方法1．直接运用例3．已知x<0，则x＋1x－2有()A．最大值为0B．最小值

为0C．最大值为－4D．最小值为－4【答案】C【解析】∵x＜0，∴x＋1x－2＝－−+−)(1)(xx－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．例4．已知0a，0b

且1ab+=，则ab的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【答案】A【解析】由基本不等式知；2124abab+=（当且仅当12ab==时取等号），ab的最大值为14.例5．已知0a，0b，且23abab+=，则ab的最小值为（）A．1B．89C．49D．223【答案

】B【解析】因为0a，0b，且23abab+=，所以123ba+=，所以12232baab=+，所以223ab，即89ab10当且仅当1223baabab=+=即43a=，23b=时等号

成立，故ab的最小值89．方法2．配凑法例6．若x<23，则y＝3x＋1＋93x－2有()A．最大值0B．最小值9C．最大值－3D．最小值－3【答案】C【解析】∵x<23，∴3x－2<0，y＝3x－2＋93x－2＋3＝−+−−)32(9)32(xx＋3≤)

32(9)32(2xx−−−＋3＝－3.当且仅当2－3x＝92－3x，即x＝－13时取“＝”．例7．(2022·长沙模拟)设0<x<32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A．94B．4C．92D．9【答案】C【解析】

y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·22232−+xx＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取等号，∴当x＝34时，ymax＝92.例8．3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32

－3B．3C．62D．62－311【答案】D【解析】3(x2＋1)＋6x2＋1－3≥23（x2＋1）·6x2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x2＝2－1时等号成立，故选D.方法3．分离（分式型）例9．(2022·天津模拟)函数y＝1)2)

(5(+++xxx(x>－1)的最小值为________．【答案】9【解析】因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝1)11)(41(+++++xxx＝14)1(5)1(2+++++xxx＝(x＋1)＋4x＋1＋5≥21

4)1(++xx＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.例10．若a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为_________.【答案】4【解析】因为ab＞

0，所以a4＋4b4＋1ab≥24a4b4＋1ab＝4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，ab＝12，即a2＝22，b2＝24时取等号，故a4＋4b4

＋1ab的最小值是4.方法4．常数代换（1代换）例11．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值164C．最小值12D．最小值6412【答案】D【解析】由题意xy＝+yx82xy＝2y＋8x≥22y·8x＝8xy，∴xy≥8，即xy有最小值

64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.例12．(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则2a＋12b的最小值是()A．1B．2C．94D．92【答案】C【解析】因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以a＋b2＝

1，所以2a＋12b＝12(a＋b)+ba212＝12++2522baab≥12×+252＝94，当且仅当a＝43，b＝23时，等号成立．方法5．消元法例13．(2

022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．【答案】6【解析】方法一(换元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·223+yx，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝

1时取等号．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，13所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝yyyy+++−1)1(339＝9＋3y21

＋y＝yyy+++−+112)1(6)1(32＝3(1＋y)＋121＋y－6≥2yy++112)1(3－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.例14．若实数,xy满足133(0)2xyxx+=，则313xy+−的

最小值为________．【答案】8【解析】∵实数,xy满足133(0)2xyxx+=，∴33xy=+，∴31032y+，解得3y.则3111336333yyxyyy+=++=−++−−−12(3)683yy−+=−，当且仅当34,7yx==时，等号成立．例15．(20

22·襄阳模拟)若实数x>1，y>12且x＋2y＝3，则1x－1＋12y－1的最小值为________．【答案】4【解析】令x－1＝m,2y－1＝n，则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，∴1x－1＋12y－1＝1m＋1n＝+nm11(m＋n)14＝2＋nm＋

mn≥2＋2＝4，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝12时取“＝”．∴1x－1＋12y－1的最小值为4.方法6．平方例16．已知,xy为正实数，3210xy+=，求=32Wxy+的最大值．【答案】25【解析】∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋

2y＋2yx23≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝53，y＝52时，等号成立．∴W≤25，即W的最大值为25.方法7．构建目标不等式例17．已知正实数,xy满足(31)(21)1xyxy+−+−=，则xy+的最小值是__

______．【答案】3225+【解析】由已知得0x，0y，则311xy+−−，211xy+−−，因为(31)(21)1xyxy+−+−=，所以310xy+−，210xy+−，因此()()()

()123233121231322521555255xyxyxyxyxy+=+−++−+++=+−+−，当且仅当12(31)(21)55xyxy+−=+−，即3122212xyxy+−=+−=，即22510132510

xy=+=+时，等号成立；15所以xy+的最小值是3225+.例18．已知正实数,xy满足21()yxyx−=，则1xy+的最小值为_______________．【答案】2【解析】正实数x，y满足21yxyx−=，221144424xyxyxxxyyyxyxy

+=−+=+=，当且仅当4yxxy=等号成立，12xy+，故1xy+的最小值为2.题型三、基本不等式的实际应用例19．某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，

该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm2.【答案】72600【解析】设

矩形栏目的高为acm，宽为bcm，由题意可得3ab＝60000，所以ab＝20000，即b＝20000a，所以该海报的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，所以整个矩形海报面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋

60016＝30(a＋2b)＋60600＝30+aa40000＋60600≥30×2a·40000a＋60600＝30×400＋60600＝72600，当且仅当a＝40000a，即a＝200时等号成立，所以当广告栏目的高为200cm，宽为100cm时，

能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm2.例20．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体

验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品

的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．【答案】37.5【解析】由题意知t＝23－x－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝+xt2%15032x－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－1

3－x＋12－3＝45.5－−+−xx31)3(16≤45.5－216＝37.5，当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．达标训练1．已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a＋b<4aba＋bB．ab<2aba＋bC

．2a2＋2b2<2abD．a＋b<2a2＋2b2【答案】D【解析】对于选项A，因为0<a<1，b>1，17所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；对于选项B，ab>21a＋1b＝2aba＋b，故选项B错误；对于选项C，2a2＋b2>2×2ab＝2

ab，故选项C错误；对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以a＋b<2a2＋2b2，故选项D正确．2．(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A．2a＋bB．1a＋1bC．2abD

．2a2＋b2【答案】B【解析】∵a，b为互不相等的正实数，∴1a＋1b>2ab，2a＋b<22ab＝1ab<2ab，2a2＋b2<22ab＝1ab<2ab，∴最大的是1a＋1b.3．已知函数y＝22x－1＋x(2x>1)，则y的最小值为________．【答案

】52【解析】∵2x>1，∴x－12>0，y＝22x－1＋x＝1x－12＋x－12＋12≥2−−21211xx＋12＝2＋12＝52，当且仅当1x－12＝x－12，即x＝32时取“＝”．18∴y的最小值为52.4．已知函数y＝－x2

x＋1(x<－1)，则()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－4【答案】A【解析】y＝－x2x＋1＝－x2－1＋1x＋1＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2＝－(x＋1)＋)1(1+−x＋2.因为x

<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以y≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝)1(1+−x，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.5．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于()A．16B．

6C．18D．12【答案】B【解析】因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，所以2y＋8x＝1，所以x＋y＝(x＋y)+xy82＝10＋2xy＋8yx≥10＋22xy·8yx＝10＋2×4＝18，当且仅当2xy＝8yx，2x＋8y－xy＝

0，即x＝12，y＝6时取等号，19所以当x＋y取得最小值时，y＝6.6．已知非负数,xy满足1xy+=，则1912xy+++的最小值是（）A．3B．4C．10D．16【答案】B【解析】由1xy

+=，可得124xy+++=，19119()(12)12412129(1)129(1)(19)(102)4412412xyxyxyyxyxxyxy+=++++++++++++=++++=++++当且仅当(21)3yx+=+取等号．7．(2020·山

东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy＝1，则M＝11＋x＋11＋2y的最小值为_______.【答案】22－2【解析】由正数x，y满足xy＝1，可得0＜x＝1y，则M＝11＋x＋11＋2y＝11＋1y＋11＋2y＝y1＋y＋11＋2y＝1－11＋y＋11＋2y＝1－)21)

(1(yyy++＝1－12y＋1y＋3≥1－13＋22y·1y＝1－13＋22＝22－2.当且仅当y＝22，x＝2时，取得最小值22－2.8．设a，b，c都是正数，试证明不等式：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥

6.【答案】见解析【解析】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以6+++++cbaccaacbaab，当且仅当ba＝ab

，ca＝ac，cb＝bc，即a＝b＝c时，等号成立．20所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.9．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不举行促销活动

，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2019年该产品的利润y

(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？【答案】y＝－+++)1(116mm＋29(m≥0)【解析】(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－2m＋1，又每件

产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y＝x+xx1685.1－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8+−123m－m＝－+++)1(116mm＋29(m≥0)．(2)∵m≥0，16m＋1＋(m

＋1)≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．课后提升1．已知正数,ab满

足2ab+=，则411abab+++的最大值是（）A．92B．114C．1D．7321【答案】B【详解】4114(1)4145()111111ababababab+−+−+=+=−+++++++，因为2ab+=，所以(1)(1)4a

b+++=，因此141141144()[(1)(1)]()11411411abababab+=+=++++++++++114(1)114(1)9[5][52]4114114babaabab++++=+++=++++，（当且仅当14(1)11baab++=+

+时取等号，即21ba=+时取等号，即15,33ab==时取等号），所以4114(1)4149115()511111144ababababab+−+−+=+=−+−=++++++.2．（多选题）设1,1ab，且()1abab−

+=，那么（）A．+ab有最小值()221+B．+ab有最大值()221+C．ab有最大值322+D．ab有最小值322+【答案】AD【解析】解：①由题已知得：22abab+,故有2()4()40abab

+−+−,解得222ab++或222ab+−+（舍）,即222ab++（当且仅当21ab==+时取等号）,A正确;②因为2abab+,所以()2abab−+−,()2abababab−+−又因为()1abab−+=12

abab−221abab−+,22()221ab−12ab−21ab+322ab+ab有最小值322+,D正确.3．已知0x，0y，23xy+=，则23xyxy+的最小值为（）A．322−B．221+C．2

1−D．21+【答案】B【解析】已知0x，0y，23xy+=，则22223(2)222121221xyxxyyxxyyxyxyxyxyxyyxyx+++++===+++=+…，当且仅当222xy=时，即当323x=−，且6322y−=，等号成立，故23xyxy+的最小值

为122+，4．若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是_________.【答案】3【解析】∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0.∴4a＋1＋1b＋c＝13·(a＋1＋b＋c)·

4a＋1＋1b＋c＝13++++++cbaacb11)(45≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立．5．已知x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x

＋y的最大值是________.【答案】2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2

x＋y≤21056．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xx－1＋2yy－1的最小值为________．【答案】3＋22【解析】因为x>0，y>0且x＋y＝xy，23则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，由x＋y＝xy得，(x

－1)(y－1)＝1，于是得xx－1＋2yy－1＝1＋1x－1＋2＋2y－1＝3＋1x－1＋2y－1≥3＋21x－1·2y－1＝3＋22，当且仅当1x－1＝2y－1，即x＝1＋22，y＝1＋2时取

“＝”，所以xx－1＋2yy－1的最小值为3＋22.7．设a>b>0，则a2＋1ab＋)(1baa−的最小值是________．【答案】4【解析】∵a>b>0，∴a－b>0，∴a(a－b)>0，a2＋1ab＋)(1baa−＝a2＋ab－ab＋1ab＋)(1baa−＝

a2－ab＋)(1baa−＋ab＋1ab＝a(a－b)＋)(1baa−＋ab＋1ab≥2＋2＝4，当且仅当=−=−ababbaabaa1)(1)(即a＝2，b＝22时等号成立．∴a2＋1ab＋)(1baa−的最小值是4.248．设a，b∈R，a2＋b2＝

2，求1a2＋1＋4b2＋1的最小值．【答案】94【解析】由题意知a2＋b2＝2，a2＋1＋b2＋1＝4，∴1a2＋1＋4b2＋1＝14(a2＋1＋b2＋1)1a2＋1＋4b2＋1＝14+++

+++1)1(41152222baab≥94，当且仅当b2＋1a2＋1＝1)1(422++ba，即a2＝13，b2＝53时等号成立，∴1a2＋1＋4b2＋1的最小值为94