【文档说明】北京市东城区2023届高三综合练习数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.292 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学综合练习第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中只有一个正确答案）1.已知集合()lg2Mxyx==−，e1xNyy==+，则MN=（）A.(),−+B.()1,+C.)1,2D.()2,

+【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合()lg2202Mxyxxxxx==−=−=，即(2,)M=+，e11x+，则(1,)N=+，所以()1,MN=+U.故选：B2.已知向量()()1,3,2amb

==−，，且()abb+⊥，则m=A.−8B.−6C.6D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出ab+的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)ambabm==−+=−，又()abb+⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝

8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．3.下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）A.()sinfxx=B.()2xfx=C.()3fxxx=+D.

()()1ee2xxfx−=−【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A，函数()sinfxx=为奇函数，但在定义域R上函数不单调，故A不符合；对于B，()2xfx=的定义域为R，()()22xxfxfx−−===，则()2xfx=为偶函数

，故B不符合；对于C，()3fxxx=+的定义域为R，()()3fxxxfx−=−−=−，则()3fxxx=+为奇函数，又函数3,yxyx==在R上均为增函数，故()3fxxx=+在R上为增函数，故C不符合；对于D，()()1ee2xxfx−=−的定义域为R，()()()1

ee2xxfxfx−−=−=−，则()()1ee2xxfx−=−为奇函数，又函数exy−=在R上为减函数，exy=在R上为增函数，故()()1ee2xxfx−=−在R上为减函数，故D符合.故选：D.4.若实数a、b满足220ab，则下列不等式中成立的是（）A.abB.22ab

C.abD.2222loglogab【答案】D【解析】【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取2a=−，1b=-即可判断.【详解】由题意，220ab，所以2222loglogab，故D正确；当2a=−，1b=-时，220

ab，但ab，22ab，ab，故A，B，C错误.故选：D.5.已知322()nxx+的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A.60B.80C.D.【答案】B【解析】【分析】根据各项系数和求出n，再由二项展开式通项公式求解

即可.【详解】当1x=时，3243n=，解得5n=，则322()nxx+的展开式第1r+项351532155152552C()()C2C2rrrrrrrrrrrTxxxxx−−−−+===，令1550r−=，解得3r=，所以335C210880==，故选：B6.

过抛物线24yx=的焦点F的直线交抛物线于AB、两点，若F是线段AB的中点，则AB=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】依据题意可知线段AB为抛物线的通径可得结果.【详解】由题可知：

线段AB为抛物线的通径所以AB4=故选：D7.已知na为等比数列，nS为其前n项和，若213Sa=，223aa=，则4S=（）A.7B.8C.15D.31【答案】C【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，根据已知条件求出1a、q的值，再利用等比数列的求和公式可求得4S的值.【详解】设等比

数列na的公比为q，则21213Saaa=+=，则212aa=，所以，212aqa==，因为223aa=，即()21124aa=，10a，解得11a=，因此，()441411215112aqSq−−===−−.故选：C.8.已知非零向量a，b，则“a与b共线”是“||abab−−”

的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取,ab为方向相反的单位向量，得到不充分，根据()()22abab−−得到0=，得到必要性，得到答案.【详解】若a与b共线，取,ab为

方向相反的单位向量，则||2ab−=，0ab−=，abab−−，不充分；若||abab−−，则()()22abab−−，整理得到abab，若0a且0brr，设,ab夹角为，则0,π，即c

osabab，即1cos，即0=，故a与b共线，必要性成立.综上所述：“a与b共线”是“||abab−−”的必要不充分条件.故选：B9.血药浓度（PlasmaConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应

介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供信息，下列关于成人使用该药物的说法中：①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；②每次服用该药物1单位，两次服药间

隔小于2小时，一定会产生药物中毒；③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.其中正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．

【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；的②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔

5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：C．10.已知M是圆22:1Cxy+=上一个动点，且直线1:30lmxnymn−

−+=与直线222:30(,R,0)lnxmymnmnmn+−−=+相交于点P，则PM的取值范围是（）A.[31,231]−+B.[21,321]−+C.[21,221]−+D.[21,331]−+【答案】B【解析】【分析】根据给定条件确定出

点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【详解】依题意，直线1:(3)(1)0lmxny−−−=恒过定点(3,1)A，直线2:(1)(3)0lnxmy−+−=恒过定点()1,3B，显然直线12ll⊥，因此，直线1

l与2l交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2xy−+−=，圆心(2,2)N，半径22r=，而圆C的圆心(0,0)C，半径11r=，如图：12||22NCrr=+，两圆外离，由圆的几何性质

得：min12||||21PMNCrr=−−=−，max12||||321PMNCrr=++=+，所以PM的取值范围是：[21,321]−+.故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关

系，一般不采用代数法.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知a，b均为实数.若()iiiba+=+，则ab=_____________.【答案】1−【解析】【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()iiii1baa

==++−，故1,1ab==−，1ab=−.故答案为：1−.12.已知1F、2F分别是双曲线()222:109xyCaa−=的左、右焦点，P是C上的一点，且12216PFPF==，则12PFF△的周长是___________，双曲线的离心率

是___________.【答案】①.34②.54【解析】【分析】利用双曲线定义求出a的值，可求得c的值，进而可求得12PFF△的周长以及该双曲线的离心率的值.【详解】因为12216PFPF==，则28PF=，由双曲线的定义可

得1221688aPFPF=−=−=，则4a=，则291695ca=+=+=，所以，12210FFc==，故12PFF△的周长为12121681034PFPFFF++=++=，该双曲线的离心率为54cea==.故答案为：34；54.13.在ABC中，

26a=，2bc=，1cos4A=−，则ABCS=______.【答案】15【解析】的【分析】由余弦定理求解,bc，由同角函数基本关系求出sinA，代入面积公式求解即可.【详解】由余弦定理2222cosabcbcA=+−可得222212444()6

4cccc=+−−=，解得2c=，则24bc==，又215sin1cos4AA=−=，所以41511sin222451ABCSbcA===.故答案为：1514.若函数sin(0,0)yAxA=

在[0,1]上取到最大值A，则的最小值为___________.若函数sin(0,0)yAxA=的图象与直线yA=−在[0,1]上至少有1个交点，则的最小值为__________.【答案】①.2②.32

【解析】【分析】利用正弦函数的图象和周期即可求解.【详解】要使sin(0)yAx=在区间0,1上取到最大值A，则12，2，则的最小值为π2；又函数sin(0,0)yAxA=与yA=−在0,1上至少有

1个交点，即函数sin(0)yAx=在区间0,1上至少出现1次最小值，332144T=，解得：32，则的最小值是32.故答案为：2；32.15.在数列na中，对任意的*nN都有0na，且211nnnaaa++−=，给出下列四个结论：①对于任意的3n

，都有2na；②对于任意10a，数列na不可能为常数列；③若102a，则数列na为递增数列；④若12a，则当2n时，12naa.其中所有正确结论的序号为_____________.【答案】③④【解析】【分析

】对数列递推关系变形得到()()211112122nnnnnaaaaa++++−=−−=−+，得到2na−与12na+−同号，当102a时，02na，①错误；当12a=时，推导出此时na为常数列，②错误；作差法结合102a时，1

02na+，求出数列na为递增数列，③正确；由2na−与12na+−同号，得到当12a，有2na，结合作差法得到na为递减数列，④正确.【详解】因为211nnnaaa++−=，所以()()2111121

22nnnnnaaaaa++++−=−−=−+，因为任意的Nn都有0na，所以110na++，所以2na−与12na+−同号，当102a，则3n时，都有02na，①错误；当12a=时，1222201aaa−=+=−，所以22a=，同理得：()23nan

=，此时na为常数列，②错误；()221111211nnnnnaaaaa++++−=−−=++−，由A选项知：若102a，则102na+，所以()221111211110nnnnnaaaaa+++++=−−−+−+

−==，则数列na为递增数列，③正确；由2na−与12na+−同号，当12a，则2n时，都有2na，且此时()221111211110nnnnnaaaaa+++++=−−−+−+−==，所以数列na为递减数列，综上：若12a，则当2,n时，12naa，④正确.故

答案为：③④三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.已知函数()()223sincos2sin102fxxxx=−+.在下面两个条件中选择其中

一个，完成下面两个问题：条件①：在()fx图象上相邻的两个对称中心的距离为π2；条件②：()fx的一条对称轴为π6x=.（1）求ω；（2）将()fx的图象向右平移π3个单位（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，求函数()gx在ππ,33−上的值域.【答案】（1）1=（

2）2,1−【解析】【分析】（1）由三角函数的恒等变换对()fx进行化简，再分别由条件①②求的值．（2）由三角函数的平移变换得()gx的解析式，再由函数的定义域求值域即可．【小问1详解】()223sincos2sin1fxxxx=−+3sin2cos2

xx=+π2sin(2)6x=+选①：()fx图象上相邻两个对称中心的距离为π2，则2ππ2T==，则1=，选②：()fx一条对称轴为π6x=，则πππ2πZ662kk+=+，，31k=+，又02，则1=，于是

()2sin26fxx=+【小问2详解】将()2sin(2)6fxx=+的图象向右移π3个单位长度（纵坐标不变），得到函数πππ()2sin[2()]2sin(2)2cos2362gxxxx=−+=−=−的图象的ππ[,]33x−，2π2π2[,]33x−，cos2[,

1]12x−，()gx的值域为2,1−．17.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD∥，90ADC=，112BCCDAD===，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD

相交于点G.（1）求证：BEFG∥；（2）若PC与AB所成的角为π4，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定

理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】证明：因为E为AD中点，所以112DEAD==．又因为BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DE//BC，所以四边

形BCDE为平行四边形．所以BE//CD．又因为BE⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，所以BE//平面PCD．因为BE⊂平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BE//FG．.【小问2详解】因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE⊂平面ABCD，所以PE⊥AE，且PE⊥B

E．因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，所以AE⊥BE．以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E﹣xyz．则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0EABCD−−．设()()0,

0,0Pmm，所以()1,1,CPm=−，()1,1,0AB=−uuur．因为PC与AB所成角为π4，所以22π2cos,cos4222CPABCPABCPABm====+．所以2m=．则()0,0,2P，112,,222F−．所以()0,1,0EB=，112,,222

EF=−，()0,1,2PB=−．设平面BEF的法向量为(),,nxyz=，则00nEBnEF==，即01120.222yxyz=−++=令2x=，则1z=，所以()2,0,1n=．所以22cos,333PBnPBnPBn−===．所以直线

PB与平面BEF的所成角的正弦值为23．18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．

某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用频率估计概

率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x

作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数1x和观众评分的平均数2x，用122xx+作为该选手最终得分．请直接写出x与122xx+的大小关系．【答案】（1）10.3,2；（2）见解析；（3）122xxx+＜.【解

析】【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望．（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知10.20.50.3a=−−=，某场外观众评分不小于9的概率是12．（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=2141

3535CCC=；P（X=3）=343525CC=．所以X的分布列为X23P3525所以E（X）=2×32123555+=．由题意可知，132YB～，，所以E（Y）=np=32．（3）122xxx+＜．【点睛】本题

考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．19.已知函数()(1)ln(1)fxxxax=+−−.（I）当4a=时，求曲线()yfx=在()1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x+时，()0fx＞，求a取值范围.【答案】（1）

220.xy+−=（2）(,2.−【解析】的【详解】试题分析：（Ⅰ）先求()fx的定义域，再求()fx，(1)f，(1)f，由直线方程的点斜式可求曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线方程为220.xy+−=（Ⅱ）构造新函数(1)(

)ln1axgxxx−=−+，对实数a分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）()fx的定义域为(0,)+.当4a=时，1()(1)ln4(1),()ln3fxxxxfxxx=+−−=+−，(1)2,(1)0.ff=−=

曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线方程为220.xy+−=（II）当(1,)x+时，()0fx等价于(1)ln0.1axxx−−+设(1)()ln1axgxxx−=−+，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)axaxgxgxxx

x+−+=++=−=，（i）当2a，(1,)x+时，222(1)1210xaxxx+−+−+，故()0,()gxgx在(1,)+上单调递增，因此()0gx；（ii）当2a时，令()0gx=得22121(1)1,1(1)1

xaaxaa=−−−−=−+−−.由21x和121=xx得11x，故当2(1,)xx时，()0gx，()gx在2(1,)x单调递减，因此()0gx.综上，a的取值范围是(,2.−【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y

＝f（x）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点

分别为AB，，||4AB=，离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点（异于端点）.当NDEDBF=时，求||||ANAE的值.【答案】（1）

22142xy+=（2）23【解析】【分析】（1）根据题意，可得2a=，再由离心率可得2c=，再由椭圆中,,abc的关系即可得到b，从而得到椭圆的方程；（2）根据题意，设出点,EF的坐标，然后表示出点N的坐标，再由tantanNDE

DBF=列出方程，即可得到结果.【小问1详解】由已知||4AB=，可得24a=，则2a=，因为22cea==，所以2c=，且222422bac=−=−=，所以椭圆的方程为22142xy+=.【小问2详解】设||||ANAE=，则()01ANAE

=，由已知可得()()2,0,2,0AB−，设(),Emn，则(),Fmn−，(),NNNxy，则()()2,,2,NNANxyAEmn=+=+，所以22Nxm=+−，Nyn=，即()22,Nmn+−，又因90N

DEDBF=，所以tantanNDEDBF=，所以222mmnnm−−+=−，即122mnnm−+=−，为化简可得2214nm−=−，又因为22142mn+=，所以2242mn−=，所以112

−=，解得23=或2=（舍），所以||2||3ANAE=.【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，难度较难，解答本题的关键是利用好ND与BF之间的关系，然后由tantanNDEDBF=列出方程，再通过计算，即可求解.21.对非空数集A，

B，定义,ABxyxAyB−=−，记有限集T的元素个数为T.（1）若13,5A=,，1,2,4B=，求AA−，BB−，AB−；（2）若4A=，*AN，1,2,3,4B=，当AB−最大时，求A中最大元素的最小值；（3）若5AB==，21AABB−=−=

，求AB−的最小值.【答案】（1）5,7,7AABBAB−=−=−=；（2）13；（3）15【解析】【分析】（1）根据新定义求出,,AABBAB−−−，进而可得答案；（2）设,,,AabcdN=，abcd，当A中元素与B中元素的差均不

相同时，AB−可取到最大值，进而可求出最大值，再通过4,4,4bacbdc−−−得到12da−，可得A中最大元素的最小值；（3）对非空数集T，定义运算|,,TxyxyTxy=−，首先确定A中不同的元素的差均不相同，B中不同的元素的差均不相同，由12ABABAB−

−可得AB−的最小值，然后验证最小值可以取到即可.【详解】解：（1）13,5A=,，1,2,4B=，4,2,0,2,4,3,2,1,0,1,2,3,3,1,0,1,2,3,4AABBAB−=−

−−=−−−−=−−，5,7,7AABBAB−=−=−=;（2）设,,,AabcdN=，abcd，①4AB==，2416AB−=，当A中元素与B中元素的差均不相同时等号成立，所以AB−最大值为16；②当16AB−=时，A中元素与B中元素的差均不相同，()()0

AABB−−=，又因为3,2,1,0,1,2,3BB−=−−−，4,4,4bacbdc−−−，12da−，则13d，综上，AB−最大值为16，A中最大元素的最小值为13；（3）对非空数

集T，定义运算|,,TxyxyTxy=−，①5A=,()551121AA−−+=，当且仅当()55120A=−=时取等号，又因为21AA−=，所以A中不同的元素的差均不相同，同理，B中不同的元素的差

均不相同，若,,,aaAbbB因为ababaabbaabb−=−−=−−=−，1155201522ABABAB−−−=，②令1,2,4,8,16A=，1,2,4,8,1

6B=−−−−−，所以5AB==，A中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同，所以21AABB−=−=，经检验，15AB−=符合题意，综上AB−的最小值为15.【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生

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