【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练24 两角和与差的三角函数.docx，共(6)页，36.708 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十四两角和与差的三角函数(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)sin15°cos75°+cos1

5°sin105°等于()A.0B.12C.1D.√32【解析】选C.sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90°=1.2.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,

cos47°),则sin(α-13°)等于()A.12B.√32C.-12D.-√32【解析】选A.由三角函数的定义,得sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin4

7°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12.3.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°1+tan15°的值为()A.1B.√3C.√33D.√22【解析】选C.1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45

°-15°)=tan30°=√33.4.(5分)已知12sinα+√32cosα=45,则sin(α+4π3)的值为()A.-2√35B.2√35C.-45D.45【解析】选C.因为12sinα+√32cosα=45,所以sin(α+π3)=45,则sin(α+4π3)=sin(

π+α+π3)=-sin(α+π3)=-45.5.(5分)(2023·西安模拟)已知2cos(α+π6)=sinα,则sinαcosα等于()A.-√34B.√34C.-2√37D.2√37【解析】选D.2cos(α+π6)=sinα,即2cosαcosπ6-2sinαsinπ6=sinα

,即√3cosα-sinα=sinα,则tanα=√32,所以sinαcosα=sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan𝛼tan2𝛼+1=2√37.6.(5分)(多选题)下列结论正确的是()A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=c

os(α-γ)B.3√15sinx+3√5cosx=3√5sin(x+π6)C.f(x)=sin𝑥2+cos𝑥2的最大值为√2D.sin50°(1+√3tan10°)=1【解析】选CD.对于A,左边=-[cos(α-β)cos(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]=-c

os[(α-β)+(β-γ)]=-cos(α-γ),故A错误;对于B,3√15sinx+3√5cosx=6√5(√32sinx+12cosx)=6√5sin(x+π6),故B错误;对于C,f(x)=sin𝑥2+cos𝑥2=√2sin(𝑥2+π4),所以f(x)的最大值为√2,

故C正确;对于D,由sin50°(1+√3tan10°)=sin50°·(1+√3sin10°cos10°)=sin50°·cos10°+√3sin10°cos10°=2sin50°cos50°cos10°=sin100°cos10°=cos10°cos10°=1,

故D正确.7.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组____________.【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得1+tanβ+tanα+

tanαtanβ=2,所以tanβ+tanα=1-tanαtanβ,所以tan𝛽+tan𝛼1-tan𝛼tan𝛽=1,所以tan(α+β)=1,所以α+β=kπ+π4,k∈Z,所以α可以为0,β可以为π4(答案不唯一).答案:(0,π4)(答案不唯一)8.(5分)(2023·青岛质检)已

知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=2425,则cos(α+π4)=________.【解析】由题意知,α+β∈(3π2,2π),sin(α+β)=-35<0,所以cos(α+β)=45,

因为sin(β-π4)=2425,β-π4∈(π2,3π4),所以cos(β-π4)=-725,所以cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin

(β-π4)=-45.答案:-459.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+α)中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问

题.已知0<β<α<π2,________,cos(α+β)=-√55.(1)求sin(α-π4);(2)求β.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)若选①,tan(π+α)=tanα=sin𝛼cos𝛼=3

,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=3√1010,cosα=√1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=3√1010×√22-√1010×√2

2=√55.若选②,因为sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α),化简得sinα=3cosα,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=3√1010,cosα=√1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=

3√1010×√22-√1010×√22=√55.若选③,因为3sin(π2+α)=cos(3π2+α),化简得3cosα=sinα,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=3√1010,

cosα=√1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=3√1010×√22-√1010×√22=√55.(2)因为0<β<α<π2,且cos(α+β)=-√55,所以π2<α+β<π,所以sin(

α+β)=√1-cos2(𝛼+𝛽)=2√55,所以sinβ=sin[(α+β)-α]=2√55×√1010-(-√55)×3√1010=√22,又因为0<β<π2,所以β=π4.【能力提升练】10.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通

过图来构造无理数√2,√3,√5,…,如图,则cos∠BAD=()A.2√6-3√36B.2√3-√66C.2√3+√66D.2√6+3√36【解析】选B.记∠BAC=α,∠CAD=β,由题图知:sinα=cosα=√22,sinβ

=√33,cosβ=√63,所以cos∠BAD=cos(∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷)=cos(𝛼+𝛽)=cosαcosβ-sinαsinβ=√22×√63-√22×√33=2√3-√66.11.(5分)(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cos

α+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是()A.cos(β-α)=√32B.cos(β-α)=12C.β-α=π6D.β-α=-π3【解析】选BD.由已知可得{sin𝛾=sin𝛼-sin𝛽,cos𝛾=cos𝛽-cos𝛼

,所以1=sin2γ+cos2γ=(sinα-sinβ)2+(cosβ-cosα)2=2-2(cosβcosα+sinβsinα)=2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=12,因为α,β,γ∈(0,π2),则-π2<β-α<π2,因

为sinγ=sinα-sinβ>0,函数y=sinx在(0,π2)上单调递增,则α>β,则-π2<β-α<0,故β-α=-π3.12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+√3tanαtanβ=√3,则α+β=________.【解析】由tanα+t

anβ+√3tanαtanβ=√3得tan(α+β)=tan𝛼+tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽=√3,又α,β∈(-π2,0),则α+β∈(-π,0),所以α+β=-2π3.答案:-2π313.(5分)(

2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时,|𝐴𝐵|=________;当|𝐴𝐵|=√3时,α-β的一个取值为________.【解析】根据题意可得当α=π,β=π2时,可得A(-1,0),B(0,2),所以

|𝐴𝐵|=√(-1-0)2+(0-2)2=√5;当|𝐴𝐵|=√3时,即(cos𝛼-2cos𝛽)2+(sin𝛼-2sin𝛽)2=3,整理可得5-4(cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽)=3,即cos(𝛼-𝛽)=12,可得α-β=±π3+2kπ,所以α

-β的一个取值为π3.答案:√5π3(答案不唯一)14.(10分)已知A,B均为钝角,且sinA=√55,sinB=√1010,求A+B的值.【解析】因为A,B均为钝角,且sinA=√55,sinB=√1010,所

以cosA=-√1-sin2𝐴=-2√55,cosB=-√1-sin2𝐵=-3√1010,所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22.又因

为π2<A<π,π2<B<π,所以π<A+B<2π,所以A+B=7π4.15.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13.(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)已知0<α+β<π2,0<α-β

<π2,求cos2α的值.【解析】(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,所以2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,①3sinαcosβ-3c

osαsinβ=1,②②-①得sinαcosβ-5cosαsinβ=0,则sinαcosβ=5cosαsinβ.(2)因为sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,0<α+β<π2,0<α-β<π2,所以cos(α+β)=√

32,cos(α-β)=2√23,则cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=√32×2√23-12×13=2√6-16.【素养创新练】16.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),

则cos(θ-π4)=________.【解析】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=-1615cosθ,又sin2θ+cos2θ=1,所以cosθ=-35或cosθ=53(舍去),又θ∈(0,π),所以sinθ=√

1-cos2𝜃=45,因此cos(θ-π4)=cosθcosπ4+sinθsinπ4=-35×√22+45×√22=√210.答案:√21017.(5分)已知α,β都是锐角,且tanβ=sin𝛼-cos𝛼sin

𝛼+cos𝛼,则sin𝛽sin𝛼-cos𝛼的值为________.【解析】显然cosα≠0,则tanβ=sin𝛼cos𝛼-1sin𝛼cos𝛼+1=tan𝛼-tanπ41+tan𝛼tanπ4=tan(α-π4).因为α,β都是锐角,所以β=α-π4

,所以sin𝛽sin𝛼-cos𝛼=sin(𝛼-π4)√2sin(𝛼-π4)=√22.答案:√22