【文档说明】北京八一学校2022届高三上学期开学考试数学试题含答案.doc，共(9)页，999.500 KB，由小赞的店铺上传

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北京市八一重点高中2022届高三年级数学摸底考试试卷一、选择题1.设集合3Axx=，14Bxx=，则RBA=ð（）A.)1,3B.(,4−C.3,4D.)1,+2.复数2i1iz+=−（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A第一象限B.

第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量()1,2a=r，()2,1b=r，则cos,ab等于（）A.15B.15−C.45D.45−4.下列函数中，是奇函数且在()0,+上为增函数的是（）A.()1fxx

=−B.()fxx=C.()fxx=D.()31fxx=+5.已知抛物线22xpy=上一点(),1Am到其焦点的距离为3，则p=（）A.2B.2−C.4D.46.已知数列na的前n项和为nS，且110a=−，13(*)nnaan+=+N，则nS取最小值时，n

的值是（）．A3B.4C.5D.67.直线1ykx=+被圆222xy+=截得的弦长为2，则k的值为A.0B.12C.D.228.设,ab是两个向量,则“abab+−”是“0ab”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设

函数()()2,024,0xxxeexfxxxx−−=−−−，若函数()()gxfxax=﹣恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A.(0，2)B.(0，2]C.(2，+∞)D.[2，+∞)10.如图，在棱长为4的正方体ABCDABCD−中，E、

F分别是AD、AD的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）A43

B.23C.6D.3二、填空题11.()621x−的展开式中2x的系数为__________（用具体数据作答）.12.设1212a=，lnπb=，9log3c=，则a，b，c的从小到大的顺序为______．13.设某工厂有两

个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．14.已知双曲线2222:1xy

Cab−=的一条渐近线l的倾斜角为π6，则C的离心率为________；若C的一个焦点到l的距离为2,则C的方程为_______.15.已知数列na的通项公式为lnnan=，若存在pR，使得napn对任意*nN都成立，则

p的取值范围为__________三、解答题16.设函数()fxmn=，其中向量()2cos,1mx=，()cos,3sin2nxx=．（1）求函数()fx的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别

是角A、B、C的对边，已知()2fA=，1b=，ABC的面积为32，判断ABC的形状，并说明理由．17.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID−病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科

学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与

上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数K的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周

期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.18.在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且2PAAD==，E、F分别是棱AD、PC的中点．（1）求

证：//EF面PAB；（2）求二面角EPCD−−的大小．19.已知函数()()22xfxxaxaea=−−+，aR．（1）若()fx在0x=处取得极值，求()fx的单调区间；（2）若关于x的不等式()0fx在()0,+上恒成立

，求a的取值范围．20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，长轴的一个顶点为A，短轴的一个顶点为B，O为坐标原点，且5OABS=.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线:lyxm=+与椭圆C交于,PQ两点，且直线l不经过点4

1M（，）.记直线,MPMQ的斜率分别为12,kk，试探究12kk+是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.21.给定无穷数列na，若无穷数列nb满足：对任意*Nn，都有1nnba−，则称nb与na

“接近”．（1）设na是首项为1，公比为12的等比数列，*n11Nnban+=+，，判断数列nb是否与na接近，并说明理由；（2）设数列na的前四项为：11a=，22a=，34a=，48a=，nb

是一个与na接近的数列，记集合1234iMxxbi===，，，，，求M中元素的个数m；（3）已知na是公差为d的等差数列，若存在数列nb满足：nb与na接近，且在21bb−，32bb−，…，201200bb−中至少有100个为正数

，求d的取值范围．北京市八一重点高中2022届高三年级数学摸底考试试卷答案版一、选择题1.设集合3Axx=，14Bxx=，则RBA=ð（）A.)1,3B.(,4−C.3,4D.)1,+答案：A2.复数2i1iz+=−（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A

第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A3.已知向量()1,2a=r，()2,1b=r，则cos,ab等于（）A.15B.15−C.45D.45−答案：C4.下列函数中，是奇函数且在()0,+上为增函数的是（）A.

()1fxx=−B.()fxx=C.()fxx=D.()31fxx=+答案：A5.已知抛物线22xpy=上一点(),1Am到其焦点的距离为3，则p=（）A.2B.2−C.4D.4答案：C6.已知数列na

的前n项和为nS，且110a=−，13(*)nnaan+=+N，则nS取最小值时，n的值是（）．A3B.4C.5D.6答案：B7.直线1ykx=+被圆222xy+=截得的弦长为2，则k的值为A.0B.12C.D.22答

案：A8.设,ab是两个向量,则“abab+−”是“0ab”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：C9.设函数()()2,024,0xxxeexfxxxx−−

=−−−，若函数()()gxfxax=﹣恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A.(0，2)B.(0，2]C.(2，+∞)D.[2，+∞)答案：A10.如图，在棱长为4的正方体ABCDABCD−中，E、F分别是AD、AD的中点，长为2的线段MN

的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）A43B.23C.6D.3答案：D二、填空题11.()621x−的展开式中2x的系

数为__________（用具体数据作答）.答案：6012.设1212a=，lnπb=，9log3c=，则a，b，c的从小到大的顺序为______．答案：cab13.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车

间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．答案：0.86814.已知双曲线2222:1xyCab−=的一条渐近线

l的倾斜角为π6，则C的离心率为________；若C的一个焦点到l的距离为2,则C的方程为_______.答案：①.233②.221124xy−=15.已知数列na的通项公式为lnnan=，若存在pR，使得napn对任意*nN都成立，则p的取值范围为__________答案：l

n3,3+三、解答题16.设函数()fxmn=，其中向量()2cos,1mx=，()cos,3sin2nxx=．（1）求函数()fx的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角

A、B、C的对边，已知()2fA=，1b=，ABC的面积为32，判断ABC的形状，并说明理由．答案：（1）最小正周期是，单调递减区间是2[,],63kkkZ++；（2）直角三角形，理由见解析．17.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID−病毒基因序列公布后，科学家们便开

始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次

接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数K的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周期内出现2次或3次

抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.答案：（1）分布列见解析；（2）①825元；②选择方案二.18.在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且2PAAD==，E、F分别是棱AD

、PC的中点．（1）求证：//EF面PAB；（2）求二面角EPCD−−的大小．答案：（1）证明见解析；（2）6.19.已知函数()()22xfxxaxaea=−−+，aR．（1）若()fx在0x=处取得极值，求()fx的单调区间；（2

）若关于x的不等式()0fx在()0,+上恒成立，求a的取值范围．答案：（1）单调递增区间是()--2，和()0+，，单调递减区间是()-2,0；（2）)0ln2,20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，长轴的一个顶点为A，短轴的一个顶点

为B，O为坐标原点，且5OABS=.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线:lyxm=+与椭圆C交于,PQ两点，且直线l不经过点41M（，）.记直线,MPMQ的斜率分别为12,kk，试探究12kk+是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请

说明理由.答案：(1)221205xy+=;(2)12kk+为定值，该定值为0.21.给定无穷数列na，若无穷数列nb满足：对任意*Nn，都有1nnba−，则称nb与na“接近”．（1）设na是首项为1，公比为12的等比数列，*n11Nnban

+=+，，判断数列nb是否与na接近，并说明理由；（2）设数列na的前四项为：11a=，22a=，34a=，48a=，nb是一个与na接近的数列，记集合1234iMxxbi===，，，

，，求M中元素的个数m；（3）已知na是公差为d的等差数列，若存在数列nb满足：nb与na接近，且在21bb−，32bb−，…，201200bb−中至少有100个为正数，求d的取值范围．答案：（1）见解析；（2）M中元素的个数3m=或4；（3）()2−+，.