【文档说明】广东省湛江市2020届高三普通高考测试（一）数学（文）试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.062 MB，由小赞的店铺上传

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湛江市2020年普通高考测试（一）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,3,5,7,1

1}A，2|9Bxx，则AB（）．A.{3,5,7,11}B.{7,11}C.{11}D.{5,7,11}【答案】D【解析】【分析】求解二次不等式，由集合交运算即可容易求得结果.【详解】由29x，解得3x或3x，∴{|3Bxx或3}x．∴{5,7,11}

AB．故选：D．【点睛】本题考查二次不等式的求解，集合的交运算，属综合基础题.2.已知z是复数z的共轭复数，当1111iizii（i是虚数单位）时，zz（）．A.1B.2C.2D.22【答案】

C【解析】【分析】根据复数的四则运算，求得z，求其共轭，即可求得结果.【详解】∵21(1)1(1)(1)iiiiii，∴1||11iii，∴1zi，1zi．∴(1)(1)2zzii．故选：C．【点睛】本题考查复数的四则运算，以及共轭复数的求解，

属综合基础题.3.已知136a，2log22b，21.2c，则a，b，c的大小关系是（）．A.bcaB.acbC.abcD.bac【答案】C【解析】【分析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】∵32223

log22log22b，21.21.44c，136a，∴331366a．∵3327628，∴abc．故选：C．【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。4.在中国园林建筑中，花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式，既

具备实用功能，又带有装饰效果，体现了人们对美好生活的憧憬．苏州园林作为中国园林建筑的代表，在很多亭台楼阁中都采用了花窗的形式，下图就是其中之一．该花窗外框是边长为80cm的正方形，正中间有一个半径为20cm的圆，如果窗框的宽

度忽略不计，将一个小球（半径足够小）随机投在花窗上，则小球恰好从圆中穿过的概率为（）．A.6B.8C.16D.32【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得正方形面积和圆的面积，以及面积之比，即可求得结果.【详解】由题意可知正方形的面积216400cmS，花窗正中间圆的面积

22400cmS，所以将一个小球随机投向花窗，小球恰好从圆中穿过的概率21400640016SPS，故选：C．【点睛】本题考查几何概型的概率求解，属基础题.5.已知nS是等差数列na的前n项和．若1545S，则5353aa的值为（）．A.6B.15C.34D.

17【答案】A【解析】【分析】由1545S求得8a，结合基本量的计算，即可求得结果.【详解】∵1545S，∴81545a．∴83a．又∵311158535432272aaadadada，∴53536aa．故选

：A．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的性质，等差数列的基本量求解，属综合基础题.6.已知函数ln,1()2,1xaxxfxx，若()fx在R上为增函数，则实数a的取值范围是（）．A.[2,)B.[0,

2]C.(2,)D.(,2]【答案】A【解析】【分析】要满足题意，只需yalnx，2xy在对应区间单调递增，以及分割点处的函数值大小关系，即可求得结果.【详解】∵当1x时，1()222xfx

，当1x时，()lnfxaxa，∴当2a时，()fx在R上为增函数，∴[2,)a.故选：A．【点睛】本题考查由分段函数的单调性求参数值范围，涉及对数函数和指数函数的单调性，属综合基础题.7.已知(2,6)ar，(3,1)b，则向量ab在b方向上的投影为（）．A.6B.1

0C.2D.10【答案】D【解析】【分析】求得ab的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.【详解】∵(2,6)ar，(3,1)b，∴(5,5)ab．∴()53(5)110abbrrr，22||3110b

r．∴向量ab在b方向上的投影为()1010||10abbbrrrr．故选：D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.8.已知直线,ab，平面,,,ab，则//,//ab是//的（）A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线,,//,//abab不一定相交所以时,不一定平行,而//时平面内任意直线都平行平面,即//,//

ab,因此//,//ab是//的必要但不充分条件,选B.9.函数(1)yfx为奇函数，且在R上为减函数，若(2)1f，则满足1(1)1fx的x的取值范围是（）．A.[1,1]B.[1,3]C.[0,2]D.[2

,4]【答案】B【解析】【分析】求得函数的对称性，结合函数值，利用函数单调性即可求得不等式.【详解】∵函数(1)yfx为奇函数，且在R上为减函数，∴函数()yfx的图象关于点(1,0)对称，且在R上为减函数．∴()(2)0fxfx．∴(

0)(2)1ff．∴由1(1)1fx，可得(2)(1)(0)ffxf．又∵函数()yfx在R上为减函数，∴012x．∴13x．故选：B．【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数对称性的求解，属综合中档题

.10.在三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC．若所有的棱长都是2，则异面直线1AC与BC所成的角的正弦值为（）．A.144B.23C.24D.223【答案】A【解析】【分析】由题可知，11ACB即为所求或所求角的补角，利用余弦定理即可求得结果.【详解

】如图，连接1AB，∵BC//11BC，∴11ACB就是异面直线1AC与BC所成的角．在11ACB中，1122ACAB,112BC,∴1112cos422ACB．∴1114sin4ACB．∴异面直线1AC与BC所成的角的正弦值为144．故选：A．【点睛】本题考查异面直线夹角的求

解，涉及余弦定理，属综合基础题.11.如图，1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xylabab的左、右焦点，过1F的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若115FQFPuuuruuur，M为PQ的中点，且12FQFMuuuruuuur，则双曲线的离心率为（）．

A.142B.72C.2D.2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用,ac表示出三角形2PMF的三条边，由余弦定理即可求得结果.【详解】连接2FP，2FQ，设1FPt，则由已知

可得||||2PMMQt．∵P，Q为双曲线上的点，∴12FPta，252FQta．∵M为PQ的中点，且12FQFMuuuruuuur，∴22FPFQ．∴252tata．∴ta．∴1FPa，||||

2PMMQa，223FPFQa．∵在直角2PMFV中，222cos33aMPFa．∴22212942cos233aacFPFaa．∴22414ca．∴142e．故选：A．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题

.12.已知6，23为函数()2sin()0,||2fxx的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标，将()fx的图象向左平移4个单位得到()gx的图象，A，B，C为两个函数图象的交点，则ABC面积的最小值为（）．A.22B.2C

.2D.【答案】B【解析】【分析】根据周期和函数经过的一点即可求得函数解析式，由函数图像变换求得gx，再根据题意，即可求得三角形的面积最值.【详解】∵2236T，∴2．将,06代入()2sin(2)fxx，得()3

kkZ．又∵||2，∴3，∴()2sin23fxx．∵()2sin22cos24233gxfxxx，由2sin22cos2

33xx，得2()34xkkZ，∴7()224kxkZ．∵相邻两个交点的横坐标之差为2，将7()224kxkZ代入()2sin23fxx

，得到交点的纵坐标为2，∴ABC面积的最小值为12222．故选：B．【点睛】本题考查利用正弦函数性质求解函数解析式，以及由函数图像变换求变换后函数的解析式，属综合性困难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.一组样本数据1

0，23，12，5，9，a，21，b，22的平均数为16，中位数为21，则ab________．【答案】0【解析】【分析】由平均数的求解，即可求得,ab的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得b，则问题得解.【详解】∵数据的平均数为16，∴10231259212216914

4ab．∴42ab．∵591012212223，且数据的中位数为21，∴21a，21b．∴21ab．∴0ab．故答案为：0.【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属

基础题.14.已知实数x，y满足0510060xyxyxy，则实数2zxy的最大值为________．【答案】5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得结果.【详解】根据线性约束条件画出可行域

，得到如图所示三角形区域ABC．∵2zxy可化为1122yxz，∴当直线1122yxz在y轴上的截距最小时，实数z取得最大值．在图中作出直线12yx，并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，且在y轴上的截距最小．由图可知，当直线过A

点时，截距最小．由05100xyxy，求得55,33A，代入到2zxy中，解得5z，即max5z．故答案为：5.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，属基础

题.15.已知nS为数列na的前n项和，且22nnSanN，则na________．【答案】23n【解析】【分析】利用nS与na之间的关系，即可求得na是等比数列，则问题得解.【详解】∵*22nnSanN，∴123a

．∴1122(2)nnSan．∴11220(2)nnnnSSaan．∴132(2)nnaan．∴12(2)3nnana．∴数列na是以23为首项，23为公比的等比数列，∴1222333nnna．

故答案为：23n.【点睛】本题考查利用,nnaS的关系求通项公式，涉及等比数列通项公式的基本量的求解，属综合基础题.16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，F是抛物线2:Cyx的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，

若||2AB，则OAB的面积为________．【答案】28【解析】【分析】根据题意，设出直线AB的方程，联立抛物线方程，由焦点弦公式即可容易求得k，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.【详解】由已知1,04F，不妨设11,Axy，22,

Bxy，10y，20y．若直线AB斜率不存在，||1AB，与已知矛盾；则直线AB斜率存在，设14ykx，与抛物线2:Cyx联立，得204kkyy，则121yyk，2114yy．由抛物线的定义，焦点弦长2221211121221111||212222ABx

xyyyyyyk．∴1k，∴点O到直线AB的距离为28d，∴12||28OABSABdV．故答案为：28.【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题.三、解答题：共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在ABC中，BD是AC边上的高，E为AB边上一点，CE与BD交于点O，135BOC，1CD，5DE．（1）求

BDE的正弦值；（2）若2BOODuuuruuur，求ADE的面积．【答案】（1）55；（2）3.【解析】【分析】（1）先求得,ODDE，利用余弦定理即可求得OE，再利用正弦定理即可求得结果；（2）根据几何关系，以及（1）中所求，结合三角形面积公式，即可求得结果.【详解】（1）∵135BO

C，BDAC，1CD，∴45DOC，∴1OD．又∵5DE，∴在DOE△中，由余弦定理，可得2251212OEOE，解得2OE，或22OE（舍）再由正弦定理，得

sin135sinDEOEBDE，得2252sin55BDE．（2）如图过点E作EFBD，垂足为F，则EF//AC．∵在直角EOF△中，2OE，45EOF，∴1OFEF．又∵2BOOD

uuuruuur，∴2BO．∴1BF．由EFBFADBD，得3AD．由（1）知，5cossin5ADEBDE．∴25sin5ADE．∴ADE的面积1125sin353225SADDEADE．【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.1

8.如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC底面ABC，E为1CC的中点，2AFFB．（1）求证：1BC∥平面1AEF；（2）若12ACAA，2ABBC，160AAC，求四棱锥111CBFAB的体积．【答案】（1）证明见详解；

（2）439.【解析】【分析】（1）连接1AC，与1AE交于点M，连接MF，只需证明MF//1BC，即可证明线面平行；（2）根据几何关系，推导出所求四棱锥的体积与整个棱柱体积之间的关系，再由体积公式计算即可.【详解】（1）连接1AC，与1AE交于点M，连

接MF，∵E为1CC的中点，∴1CE//1AA，且1112CEAA．∴1:2:1AMMC．又2AFFB，∴在1ABC中，MF//1BC．又∵MF平面1AEF，1BC平面1AEF，∴1BC//

平面1AEF．（2）解：∵侧面11AACC底面ABC，12ACAA，160AAC，∴三棱柱111ABCABC的高3h．∵V三棱锥11133ABCABCCShVV三棱柱111ABCABC，∴

V四棱锥11123ABBACV三棱柱111ABCABC．∵在侧面11ABBA中，2AFFB，∴S梯形1123FBBAS平行四边形11ABBA．∴V四棱锥11123CBFABV四棱锥11149CAB

BAV三棱柱111ABCABC∴V四棱锥114143223929BABF．【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，涉及面面垂直推证线面垂直，以及棱锥棱柱体积的求解，属综合中档题.19

.我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计

有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：年龄区间[24,26][27,29][30,32][33,35][36,38][39,41][42,44][45,47][48,50]有意愿数808187868483837066（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程

，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数）；（2）从[24,26]，[33,35]，[39,41]，[45,47]，[48,50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二

孩的夫妻的概率．（参考数据和公式：12211iiinnniiiixxyyrxxyy，121ˆniiiniixxyybxx，ˆˆaybx，999111i

iiiiiiixxyyxyxy，9126340iiixy，224640473.96）【答案】（1）ˆ0.56100.72yx．-0.63（2）35【解析】【分析】（1）根据题意，结合参考数据和

公式，代值计算即可求得结果；（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】解：（1）由题意可求得：333379x，91720iiy，80y，9126640iixy，9126340iiixy，∴9991

112634026640300iiiiiiiixxyyxyxy．又∵229221222221296336912540iixx，9210149361699100196416iiyy

，∴992211540416224640iiiixxyy．∴300ˆ0.56540b．∴ˆˆ100.72aybx．∴回归直线方程为ˆ0.56100.72yx．∴919922113003000

.63473.96224640iiiiiiixxyyrxxyy．（2）由题意可知，在[24,26]，[33,35]，[39,41]年龄段中，超过半数的夫要有生育二孩意愿，在[45,47]，[

48,50]年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩意愿．设从[24,26]，[33,35]，[39,41]年龄段中选出的夫妻分别为1A，2A，3A，从[45,47]，[48,50]年龄段中选出的夫妻分别为

1B，2B．则从中选出2对夫妻的所有可能结果为12,AA，13,AA，11,AB，12,AB，23,AA，21(,)AB，22(,)AB，31(,)AB，32(,)AB，12(,)BB，共10种情况．其中恰有一对不愿意生育二孩的夫

妻的情况有11,AB，12(,)AB，21(,)AB，22,AB，31,AB，32,AB，共6种．∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率63105P．【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，

计算量相对较大，需认真计算即可.20.已知1F，2F是椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，椭圆与y轴正半轴交于点B，直线1BF的斜率为33，且2F到直线1BF的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆C上任意一点，过1F，2F分别作直线1l，2l，

且1l与2l相交于x轴上方一点M，当123FMF时，求P，M两点间距离的最大值．【答案】（1）2214xy（2）4323【解析】【分析】（1）设出1BF的方程，根据其斜率以及点到直线的距离，即可列出方程，求得结果；（2）根据题意，得到1221tan331MFMFMFMFkkkk

，从而求得M点的轨迹方程，将问题转化为求一点到圆上任意一点距离的最大值，则问题得解.【详解】解：（1）由题意，可知1(,0)Fc，2(,0)Fc，(0,)Bb．∴33bc①．∵直线1BF的方程为1xyc

b，即0bxcybc．∴由题意有23bca②．又222abc③．由①②③得2a，1b，3c．∴椭圆C的方程为2214xy．（2）由（1）可知：1(3,0)F，2(3,0)F．设00,Pxy，(,)Mxy且

0y．则当1l，2l都不垂直于x轴时，13MFykx，23MFykx．∵123FMF，∴123MFxMFx．∴1221tan331MFMFMFMFkkkk．化简，得22(1)4(3,0)xyxy

．当1l或2l垂直于x轴时，得(3,2)M，也满足上式．∴M点的轨迹方程为22(1)4(0)xyy．∴当P与圆心(0,1)距离最大时，P，M两点间距离取得最大值．∵20222000014421xyyyy200325yy201

33316y．又∵011y，∴220043013xy．∴P，M两点间距离的最大值为4323．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中动点的轨迹问题，涉及圆外一点到圆上一点距离的最值问题，属综合中档题.

21.已知函数()ln1fxaxbx，()lngxaxx，1a．（1）求函数()fx的极值；（2）直线21yx为函数()fx图象的一条切线，若对任意的1(0,1)x，2[1,2]x都有12gxfx

成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当0b时没有极值；当0b时，有极大值，极大值为1lnafbb；（2）(,)e.【解析】【分析】（1）求导，对参数b进行分类讨论，根据导数的正负，即可判断函数的单调性，根据单调性求极值；（2

）设出切点为00,xy，利用导数几何意义求得,ab与0x之间的关系，将问题转化为在对应区间满足11maxmingxfx，即可求得参数范围.【详解】解：（1）∵1a，∴函数()fx的定义域为(0,)．∵()ln1lnln1fxaxbxaxbx，∴11()b

xfxbxx．①当0b时，()0fx，()fx在(0,)上为增函数，无极值；②当0b时，由()0fx，得1xb．∵10,xb时，()0fx，()fx为增函数，1,xb时，()0fx，()fx为减函数，∴()fx在定义域

上有极大值，极大值为1lnafbb．（2）设直线21yx与函数()fx图象相切的切点为00,xy，则0021yx．∵1()fxbx，∴0012fxbx．∴012xb．∴0012bxx．又∵000ln121axbxx

，∴0ln1ax．∴0axe．∴0exa．∴2abe．∵对任意的1(0,1)x，2[1,2]x都有12gxfx成立，∴只需11maxmingxfx∵11()axgxaxx，∴由()0gx，得1xa．∵1a，∴101a

．∴10,xa时，()0gx，()gx为减函数，1,1xa时，()0gx，()gx为增函数．∴1()1lngxgaa，即min11lngxa．∵221fxbx在2[1,2]x上为减函数，∴

max2(1)13afxfbe．∴1ln3aae．即ln20aae．设()ln2ahaae，易知()ha在(1,)上为增函数．又∵()0he，∴实数a的取值范围为(,)e

．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，涉及导数的几何意义，以及利用导数研究恒成立问题求参数，属压轴题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4

-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为143xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为222sin104．（1）

求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）设直线()4R与曲线C交于A，B两点（A点在B点左边）与直线l交于点M．求AM和BM的值．【答案】（1）222210xyxy，3430xy．（2

）42||17AM，42||17BM．【解析】【分析】（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数t，则参数方程即可转化为普通方程；（2）设出,,ABM的极坐标点，联

立()4R与曲线C的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间的距离.【详解】解：（1）∵222222sin122sincos142222

sin2cos10，又∵cosx，siny，∴曲线C的直角坐标方程为222210xyxy∵143xtyt（t为参数），消去t，得3430xy．∴直线l的普通方程为3430xy．（2）设点1,4A

，2,4B，3,4M．∵曲线C的极坐标方程为222sin104，将()4R代入，22210．∴121，221．∵直线l的极坐标方程为3

cos4sin30，∴333cos4sin3044，解得3327．∴3142||17AM，3242||17BM．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，属综合中档题.[选修4-5

：不等式选讲]23.已知函数()|||3|fxxax．（1）若1a，解不等式()3fxx；（2）若对任意,axR，求证：()2|1|fxa．【答案】（1）(,2]（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）分类讨论，即可求得不等式

的解集；（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.【详解】（1）解：∵1a，∴22,3()134,3122,1xxfxxxxxx．∴3223xxx

或3143xx或1223xxx，解得3x或31x或12x．∴不等式()3fxx的解集为(,2]．（2）证明：∵()|||3||3|fxxaxa

，又∵|3||1|2aa，∴|3|2|1|aa．∴()2|1|fxa成立．【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式的解集，以及利用绝对值三角不等式证明不等式，属综合基础题.