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第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.2向量的减法运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021北京海淀期中)𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=()A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案A解析𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−

𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.故选A.2.如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,则𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=()A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c答案D解析𝐸

𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b-c.3.(多选题)(2021江苏秦淮校级月考)下列四式可以化简为𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的是()A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+(𝑃

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗)B.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)C.𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗−𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗答案ABC解析对于A,𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗;对于B,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑄𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗;对于C,𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗−𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗;对于D,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗≠𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗

⃗.故选ABC.4.在矩形ABCD中,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=4,则|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=.答案4√5解析在矩形ABCD中,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+�

�𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,所以|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=4√5.5.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点

,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,则𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=.答案a+c-b解析由已知得𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a+c-b.6.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,试作向量:(1)a-b;(2)a-b+c.解(1)在正方形ABCD中,a-b=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.连接BD,箭头指向B,即可作出a-b.(2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形,∴a+c=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.在△ADF中,𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a+c-b=a-b+c,∴𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗即为所求.关键能力提升练7.(多选题)下列四式中能化简为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗的

是()A.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)-𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B.(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)C.(𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗)-𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗答案ABD解析对于A,(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)-𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗;对于B,(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+0=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗;对于C,(𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)-𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以C不能化简为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

;对于D,(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.8.平面上有三点A,B,C,设m=𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,n=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,若m,n的长度恰好相等,则有()A.A,B,C三点必在同一条直线上B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90°D.△

ABC必为等腰直角三角形答案C解析如图,因为m,n的长度相等,所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,即|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,所以ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠B=90°.9.已知A,B,C为三个

不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则下列结论正确的是()A.点P在△ABC内部B.点P在△ABC外部C.点P在直线AB上D.点P在直线AC上答案D解析∵𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+

𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗.故点P在边AC所在的直线上.10.如图,在正六边形ABCDEF中,与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量有.(填序号)①𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗;②𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗;③𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗;

④𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗;⑤𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗;⑥𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗;⑦𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.答案①④解析因为四边形ACDF是平行四边形,所以𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗

⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

.因为四边形ABDE是平行四边形,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.综上知与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量是①④.11.如图,在四边形ABCD中,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,对角线AC与BD交于点O,设𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,用a和b表示𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗和𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.解∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴四边形ABCD是平行四边形,∴点O是DB的中点,也是

AC的中点,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=-b-a.学科素养创新练12.如图,在▱ABCD中,𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b.(1)用a,b表示𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直?(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?(4)a+b与a-

b有可能为相等向量吗?为什么?解(1)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=a-b.(2)由(1)知,a+b=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,a-b=𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵a+b与a-

b所在直线互相垂直,∴AC⊥BD.又四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.(3)|a+b|=|a-b|,即|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|.∵矩形的两条对角线相等,∴当a与b

所在直线互相垂直,即AD⊥AB时,满足|a+b|=|a-b|.