【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 选择性必修一 1-2 空间向量基本定理 Word版含解析.docx，共(15)页，1004.193 KB，由小赞的店铺上传

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第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理例1如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且12MNON=，34APAN=，用向量OA，OB，OC表示OP．图1.2-

2分析：OA，OB，OC是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{OA，OB，OC}，OP可以用基底{OA，OB，OC}表示出来．解：43OPOAAPOAAN=+=+3()4OAONOA=+−3344OAONOA=+−131

14433OAOBOC=++111444OAOBOC=++．练习1.已知向量,,abc是空间的一个基底，从a，b，c中选哪一个向量，一定可以与向量pab=+，qab=−构成空间的另一个基底？【答案】c【解析】【分析】易得1111,2222apqbpq=+=−，再根据是否与,pq共

面判断.【详解】因为pab=+，qab=−，所以1111,2222apqbpq=+=−，所以a与,pq共面，b与,pq共面，所以a与,pq不可以构成空间的一个基底，b与,pq不可以构成空间的一个基底，而c与,pq不共面，所以c与,pq可以构成空间的一个基底.故答案为：c.2.已知O，A，B，C为空

间的四个点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四点共面.【解析】【分析】根据基底的定义，即可判断.【详解】因为向量OA，OB，OC不构成空间的一个基

底，所以向量OA，OB，OC共面，由向量OA，OB，OC有公共点O，所以O，A，B，C四点共面.3.如图，已知平行六面体OABCOABC−，点G是侧面BBCC的中心，且OAa=，OCb=，OO

c=．（1）,,abc是否构成空间的一个基底？（2）如果,,abc构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：OB，BA，CA，OG．【答案】（1）能；（2）OBabc=++；BAcb=−；CAacb=+−；1122OGba

c=++【解析】【分析】（1）根据向量不在同一平面内可判断；（2）根据空间向量加减运算转化可求得.【详解】（1）OA，OC，OO不在同一平面内，且不为零向量，,,abc能构成空间的一个基底；（2）OBOBBBOCOAOOabc=+=+++=+，BABAAACOOO

cb=+=+−=，CACOOAAACOOAOOacb=++=++=−+，()111222OGOCCGOCCBOCOAOCOAOO=+=+++=+=11112222OCOAOObac=++=++.例2如图1.2-3，在平行六面体1111ABCDABCD−中，4AB=

，4=AD，15AA=，60DAB=，160BAA=，160DAA=，M，N分别为11DC，11CB的中点．求证1MNAC⊥．图1.2-3分析：要证1MNAC⊥，只需证明10MNAC=．由已知，{AB，AD，1AA}可构成空间的一个基底．

把MN和1AC分别用基底表示，然后计算1MNAC即可．证明：设ABa=，ADb=，1AAc=，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间一个基底，我们用它们表示MN，1ACuuur，则111122MNMCCNab=+=−，的11ACABBCCCabc=++=++，所以11

1()22MNACababc=−++111111222222aaabacbabbbc=++−−−222211111144cos6045cos604cos60445cos60222222=++−

−−0=所以1MNAC⊥．例3如图1.2-4，正方体ABCDABCD−的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点．图1.2-4（1）求证：//EFAC．（2）求C

E与AG所成角的余弦值．分析：（1）要证明//EFAC，只需证明EF与AC共线．设DAi=，DCj=，DDk=，则｛i，j，k｝构成空间的一个单位正交基底，把EF和AC分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求CE与AG所

成角的余弦值，只需求CE，AG所成角的余弦值即可．（1）证明：设DAi=，DCj=，DDk=，则｛i，j，k｝构成空间的一个单位正交基底．所以111()222EFDFDEijij=−=−=−CADADCij=−=−．所以12EFCA=．所以//EFA

C．（2）解：因12CECCCEjk=+=−+，12AGADDGik=+=−+，所以1122cos,||||5522jkikCEAGCEAGCEAG−+−+==25=．所以CE与AG所成角的余弦值为25．练习4.已知四面体O

ABC，OBOC=，AOBAOC==．求证：OABC⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用向量的运算，计算出=0OABC，从而证明OABC⊥【详解】因为BCOCOB=−,所以()coscosOABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOB=−=−=−,因为

OBOC=，AOBAOC==，所以=coscos0OABCOAOCOAOB−=，所以OABC⊥，即OABC⊥.5.如图，在平行六面体ABCDABCD−中，2AB=，2AD=，3AA=，为B

ADBAADAA==60=．求BC与CA所成角的余弦值．【答案】0【解析】【分析】第一步选好基底，第二步将向量BC与CA分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.【详解】取基底{,,}ABADAA，B

CBCBBADAA=+=+,CACAAACBCDAAADABAA=+=++=−−+,所以()()BCCAADAAADABAA=+−−+22()()ADADABADAAADAAABAAA

A=−−+−−+4239=−−−+0=.设BC与CA的夹角为，则cos|cos,|||0||||BCCABCCABCCA===，所以BC与CA所成角的余弦值为0.6.如图，已知正

方体ABCDABCD−，CD和DC相交于点O，连接AO，求证AOCD⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量即可得证.【详解】在正方体ABCDABCD−，可建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()

0,0,0,1,2,1,2,2,0,0,2,2AOCD,所以()()1,2,1,2,0,2AOCD==−，()1220120AOCD=−++=，所以AOCD⊥即AOCD⊥.习题1.2复习巩

固7.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么a，b间应有什么关系？【答案】共线.【解析】【分析】直接利用基底的定义判断即可.【详解】因为向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，所以a，b一定共线.8.若,,abc构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.b

c+rr，b，bc−rrB.a，ab+，ab−C.ab+，ab−，cD.ab+，abc++，c【答案】ABD【解析】【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A，因为()()12bcbbc=++−，故bc+，b，bc−共面

；对于B，因为()()12abaab=++−，故a，ab+，ab−共面；对于D，因为()cabcab=++−+，故ab+，abc++，c共面；对于C，若ab+，ab−，c共面，则存在实数,，使得：，()()()()cababab=++−=++−，故,,abc共面，这与

,,abc构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD9.在空间四边形OABC中，已知点M、N分别是OA、BC的中点，且OAa=，OBb=，OCc=，试用向量a、b、c表示向量MN．【答案】111222MNabc=−++【解析】【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图象即可得出答

案.【详解】解：如下图所示：()11112222ONOBBNOBBCOBOCOBOBOC=+=+=+−=+，所以，𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(𝑏⃑+𝑐)−12𝑎=−12𝑎+12𝑏⃑+12𝑐.10.如图，在三棱柱ABCABC

−中，已知AAa=，ABb=，ACc=，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底,,abc表示向量AM，AN.【答案】()12AMabc=++，1122cAabN++=.【解析】【分析】连接AN，根据空间向量线性运算法则

计算可得；【详解】解：连接AN所以()1122AMABBCABBCCC=+=++1122ABBCCC=++()1122ABACABAA=+−+111222ABACAA=++uuuruuuruuur()11112222abc

abc=++=++()()11112222ANAAANAAABACAAABACabc=+=++=++=++综合运用11.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，M是AC与BD的交点．若112DA=，112DC=，13DD=，求1BM的长．【答案】

11【解析】【分析】以D1为原点，11111,,DADCDD为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】以D1为原点，11111,,DADCDD为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()110,0,0,2,2,0,0,0,3,2,2,3,1,1,3,DBDB

M所以()1=11,3BM−−，，所以()()2221=113=11BM−+−+即1BM的长为11.12.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是菱形，且1160CCBCCDBCD===，1CDCC=，求证：1CA⊥

平面1CBD．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算得出10CABD=，可得出1CABD⊥，同理可得出11CABC⊥，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】设CBa=，CDb

=，1CCc=，由于四边形ABCD为菱形，则1CBCDCC==，即abc==，所以，21cos602cacaa==，同理可得212abbca==，由题意可得1CAabc=++，BDba=−，所以，()()2210CABDabcbabac

bca=++−=−+−=，所以，1CABD⊥，同理可证11CABC⊥，因为1BDBCB=，因此，1CA⊥平面1CBD.拓广探索13.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为1DD，BD的中点，点G在

CD上，且14CGCD=．（1）求证：1EFBC⊥；（2）求EF与CG所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明1EFBC⊥；（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值【详解】（1）建立以D点为

坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,)2E，11(,,0)22F，1(1,1,1)B，(0,1,0)C，则111(,,)222EF=−uuur，1(1,0,1)BC=

−−，所以()()111101022EFBC=−++−−=，即1EFBC⊥，所以1EFBC⊥.（2）由（1）知，3(0,,0)4G，1(0,,0)4CG=−，则1100324cos,3||||3124EFC

GEFCGEFCG+−+===−，因为EF与CG所成角的范围为0,2，所以其夹角余弦值为33.14.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据题目写出

已知和求证，设SAa=，SBb=，SCc=，由EFGH=可得()()1122bcaabc+−=−+−，从而()0bca−=，即0SBAC=.所以SBAC⊥，即SBAC⊥，同理可证SABC⊥，SCAB⊥.【详解】已知：四面体SAB

C中，E、F、G、H、M、N分别是对应各棱的中点，且EFGHMN==.求证：SABC⊥，SBAC⊥，SCAB⊥.证明：设SAa=，SBb=，SCc=，则()()111222EFSFSEbcabca=−=+−=+−，()()111222GHSHSGcababc=−=−+=−+−，由EF

GH=可得EFGH=，则()()1122bcaabc+−=−+−，所以()()22bcaabc+−=+−，由此可得()()()2204bcaabcbca=+−−+−=−，所以()0bca−=，即0SBAC=.

所以SBAC⊥，即SBAC⊥，同理可证SABC⊥，SCAB⊥.故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.