【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 选择性必修一 1-2 空间向量基本定理 Word版含解析.docx，共(15)页，1004.193 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c92d63c4d555ca69c43e038ae20ef471.html

以下为本文档部分文字说明：

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理例1如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且12MNON=，34APAN=，用向量OA，OB，OC表示OP．图1.2-2分析：OA，OB，OC是三个不共面的向量，它们构成空间

的一个基底{OA，OB，OC}，OP可以用基底{OA，OB，OC}表示出来．解：43OPOAAPOAAN=+=+3()4OAONOA=+−3344OAONOA=+−13114433OAOBOC=++

111444OAOBOC=++．练习1.已知向量,,abc是空间的一个基底，从a，b，c中选哪一个向量，一定可以与向量pab=+，qab=−构成空间的另一个基底？【答案】c【解析】【分析】易得1111,2222apqbpq=+=−，再根据是否与,p

q共面判断.【详解】因为pab=+，qab=−，所以1111,2222apqbpq=+=−，所以a与,pq共面，b与,pq共面，所以a与,pq不可以构成空间的一个基底，b与,pq不可以构成空间的一个基底，而c与,pq不共面，所以c与,pq可以

构成空间的一个基底.故答案为：c.2.已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四点共面.【解析】【分析】根据基底的定义，即可判断.【详解】因为向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，所以向

量OA，OB，OC共面，由向量OA，OB，OC有公共点O，所以O，A，B，C四点共面.3.如图，已知平行六面体OABCOABC−，点G是侧面BBCC的中心，且OAa=，OCb=，OOc=．（1）,,abc是否构成空间的一个基底？（2）如果

,,abc构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：OB，BA，CA，OG．【答案】（1）能；（2）OBabc=++；BAcb=−；CAacb=+−；1122OGbac=++【解析】【分析】（1）根据向量不在同一平面内可判断；（2）根据空间向量加减运算转化可求得.【详解】（1）O

A，OC，OO不在同一平面内，且不为零向量，,,abc能构成空间的一个基底；（2）OBOBBBOCOAOOabc=+=+++=+，BABAAACOOOcb=+=+−=，CACOOAAACOOAOOacb=++=++=−+，()111222OGOCCGOCC

BOCOAOCOAOO=+=+++=+=11112222OCOAOObac=++=++.例2如图1.2-3，在平行六面体1111ABCDABCD−中，4AB=，4=AD，15AA=，60DAB=，160BAA=

，160DAA=，M，N分别为11DC，11CB的中点．求证1MNAC⊥．图1.2-3分析：要证1MNAC⊥，只需证明10MNAC=．由已知，{AB，AD，1AA}可构成空间的一个基底．把MN和1AC分别用基底表示，然后计算1MNAC即可．证明：设

ABa=，ADb=，1AAc=，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间一个基底，我们用它们表示MN，1ACuuur，则111122MNMCCNab=+=−，的11ACABBCCCabc=++=++，所以111()22MNACababc=−++

111111222222aaabacbabbbc=++−−−222211111144cos6045cos604cos60445cos60222222=++−−−0=所以1MNAC⊥．例3如图1.2-4，正方体ABCDABCD−的

棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点．图1.2-4（1）求证：//EFAC．（2）求CE与AG所成角的余弦值．分析：（1）要证明//EFAC，只需证明EF与AC共线．设DAi=，DCj=，DDk=，则｛i，j，k｝构成空间的一个单位正交基底，把EF和AC分别用

基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求CE与AG所成角的余弦值，只需求CE，AG所成角的余弦值即可．（1）证明：设DAi=，DCj=，DDk=，则｛i，j，k｝构成空间的一个单位正交基底．所以111()222EFD

FDEijij=−=−=−CADADCij=−=−．所以12EFCA=．所以//EFAC．（2）解：因12CECCCEjk=+=−+，12AGADDGik=+=−+，所以1122cos,||||5522jkikCEAGCEAGCEAG

−+−+==25=．所以CE与AG所成角的余弦值为25．练习4.已知四面体OABC，OBOC=，AOBAOC==．求证：OABC⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析

】利用向量的运算，计算出=0OABC，从而证明OABC⊥【详解】因为BCOCOB=−,所以()coscosOABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOB=−=−=−,因为OBOC=，AOBAOC==，所以=coscos0OABCOAOCOAOB−=，所以OABC⊥，即OA

BC⊥.5.如图，在平行六面体ABCDABCD−中，2AB=，2AD=，3AA=，为BADBAADAA==60=．求BC与CA所成角的余弦值．【答案】0【解析】【分析】第一步选好基底，第二步将向量BC与CA分别用基底表示出

来，再用夹角公式即可.【详解】取基底{,,}ABADAA，BCBCBBADAA=+=+,CACAAACBCDAAADABAA=+=++=−−+,所以()()BCCAADAAADABAA=+−−+22()()ADADAB

ADAAADAAABAAAA=−−+−−+4239=−−−+0=.设BC与CA的夹角为，则cos|cos,|||0||||BCCABCCABCCA===，所以BC与CA所成角的余弦值为0.6.如图，已知正方体ABCDABCD−，CD和DC相

交于点O，连接AO，求证AOCD⊥．【答案】证明见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量即可得证.【详解】在正方体ABCDABCD−，可建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()0,0,0,1,2,1,

2,2,0,0,2,2AOCD,所以()()1,2,1,2,0,2AOCD==−，()1220120AOCD=−++=，所以AOCD⊥即AOCD⊥.习题1.2复习巩固7.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么a，b间应有什么关系？【答

案】共线.【解析】【分析】直接利用基底的定义判断即可.【详解】因为向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，所以a，b一定共线.8.若,,abc构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.bc+rr，b，bc

−rrB.a，ab+，ab−C.ab+，ab−，cD.ab+，abc++，c【答案】ABD【解析】【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.【详解】对于A，因为()()12bcbbc=++−

，故bc+，b，bc−共面；对于B，因为()()12abaab=++−，故a，ab+，ab−共面；对于D，因为()cabcab=++−+，故ab+，abc++，c共面；对于C，若ab+，ab−，c共面，则存在实数,，使得：，()()(

)()cababab=++−=++−，故,,abc共面，这与,,abc构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD9.在空间四边形OABC中，已知点M、N分别是OA、BC的中点，且OAa=，OBb=，OCc=，试用向量a、b、c表示向量MN．

【答案】111222MNabc=−++【解析】【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图象即可得出答案.【详解】解：如下图所示：()11112222ONOBBNOBBCOBOCOBOBOC=+=+=+−=+，所以，𝑀𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑−�

�𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(𝑏⃑+𝑐)−12𝑎=−12𝑎+12𝑏⃑+12𝑐.10.如图，在三棱柱ABCABC−中，已知AAa=，ABb=，ACc=，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底,,abc表示向量AM，AN.【答案】()12AMabc

=++，1122cAabN++=.【解析】【分析】连接AN，根据空间向量线性运算法则计算可得；【详解】解：连接AN所以()1122AMABBCABBCCC=+=++1122ABBCCC=++()1122ABACABAA=+−+111222ABACAA=+

+uuuruuuruuur()11112222abcabc=++=++()()11112222ANAAANAAABACAAABACabc=+=++=++=++综合运用11.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，M是AC与BD的交点．若112DA=，112DC=，13DD

=，求1BM的长．【答案】11【解析】【分析】以D1为原点，11111,,DADCDD为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】以D1为原点，11111,,DADCDD为x、y、z轴正方向建立空间直

角坐标系，则()()()()()110,0,0,2,2,0,0,0,3,2,2,3,1,1,3,DBDBM所以()1=11,3BM−−，，所以()()2221=113=11BM−+−+即1BM的长为11.12.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABC

D是菱形，且1160CCBCCDBCD===，1CDCC=，求证：1CA⊥平面1CBD．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用空间向量的数量积计算得出10CABD=，可得出1CABD⊥，同理可得出11CABC⊥，结合线面垂直的判

定定理可证得结论成立.【详解】设CBa=，CDb=，1CCc=，由于四边形ABCD为菱形，则1CBCDCC==，即abc==，所以，21cos602cacaa==，同理可得212abbca==，由题意可得1CAabc=++，BDba=−，所以，()()2210CABD

abcbabacbca=++−=−+−=，所以，1CABD⊥，同理可证11CABC⊥，因为1BDBCB=，因此，1CA⊥平面1CBD.拓广探索13.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分

别为1DD，BD的中点，点G在CD上，且14CGCD=．（1）求证：1EFBC⊥；（2）求EF与CG所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明1EFBC⊥；（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值【详解】（1）建立以D点

为坐标原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,)2E，11(,,0)22F，1(1,1,1)B，(0,1,0)C，则111(,,)222EF=−uuur，1(1,0,1)B

C=−−，所以()()111101022EFBC=−++−−=，即1EFBC⊥，所以1EFBC⊥.（2）由（1）知，3(0,,0)4G，1(0,,0)4CG=−，则1100324cos,3||||3124EFCGEFCGEFCG+−

+===−，因为EF与CG所成角的范围为0,2，所以其夹角余弦值为33.14.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据题目写出已知和求证，设SAa=，SBb

=，SCc=，由EFGH=可得()()1122bcaabc+−=−+−，从而()0bca−=，即0SBAC=.所以SBAC⊥，即SBAC⊥，同理可证SABC⊥，SCAB⊥.【详解】已知：四面体SABC中，E、F、G、H、M、N分别是

对应各棱的中点，且EFGHMN==.求证：SABC⊥，SBAC⊥，SCAB⊥.证明：设SAa=，SBb=，SCc=，则()()111222EFSFSEbcabca=−=+−=+−，()()111222GHSHSGcababc=−=−+=−+−，由EFGH=可得EFGH=，则()()1122bcaa

bc+−=−+−，所以()()22bcaabc+−=+−，由此可得()()()2204bcaabcbca=+−−+−=−，所以()0bca−=，即0SBAC=.所以SBAC⊥，即SBAC⊥，同理可证SABC⊥，SCAB⊥.故若四面体

中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.