【文档说明】2023-2024学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试 数学答案.docx，共(25)页，1.602 MB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.设集合()()1,2,

2,1A=，()|,1Bxyxy=−=，则AB=（）A.2,1B.()2,1C.()1,2D.1,2【答案】B【解析】【分析】将集合A中的元素代入集合B，验证AB的元素即可.【详解】集合中元素为点，故排除A，D；当1x=，2y=时，1xy−=−，故()1,2AB，故C

错误；当2x=，1y=时，1xy−=，故()2,1AB，故B正确.故选：B2.已知条件1:1px，条件2:20qxx−，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】

D【解析】【分析】由题意分别求出条件,pq的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由题意()1011:1010xxxpxxxx−−或0x，2:202qxxx−或0x，若0x=，则条件2

:20qxx−成立，但条件1:1px不成立，若1x=，则条件1:1px成立，但条件2:20qxx−不成立，因此p是q的既不充分也不必要条件.故选：D.3.已知向量()0,4a=，()3,3b=−−，则a在b上的投影向量的坐标是（）A.()2,2−−B.()2,2C.()0,3−D.()

0,3【答案】B【解析】【详解】根据投影向量的定义，结合坐标运算即可求解.【分析】a在b上的投影向量为()()()22122cos,2,2333babbaabbbbbb−===−=−+−，故选：B4.已知数列12,2,0naaa==，且()221nnnaa+=+−，则数列na

的前2024项之和为（）A.1012B.2022C.2024D.4048【答案】C【解析】【分析】对n进行分类讨论，利用分组求和法求得正确答案.【详解】当n为奇数时，2222,nnnnaaaa++−−==−，所以数列na的奇数项

成首项为2，公差为2−的等差数列.当n为偶数时，22,22nnnnaaaa+++−==，所以数列na的偶数项成首项为0，公差为2的等差数列.所以前2024项和为：()101210111012101110122210120222+−++

2024=.故选：C5.已知定义在R上的偶函数()fx满足()(2)fxfx=−，当[0,1]x时，()fxx=.函数|1|()(13)xgxex−−=−，则()fx与()gx的图像所有交点的横坐标之和

为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】首先根据题干条件确定抽象函数()fx的对称性和周期性，然后根据()fx的性质及()gx的解析式画出()fx与()gx在()1,3−的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和.【详解】由

()(2)fxfx=−，可知函数()fx的图像关于直线1x=对称，又()fx为偶函数，()()()22fxfxfx=−=+，故函数()fx是周期函数，且周期2T=，|1|()(13)xgxex−−=−，()gx的图像也关于直线1x=对称，当12x

时，1()2,()xfxxgxe−=−=，设1()2,(12)xhxxex−=−−，则1()10xhxe−=−+，即函数()hx在[1,2]为减函数，又(1)0h=，即()0≤hx，即函数()

fx，()gx的图像在(1,2)无交点，则函数()fx，()gx在(1,3)−上的图像如图所示，可知两个图像有3个交点，一个在直线1x=上，另外两个关于直线1x=对称，则三个交点的横坐标之和为3.故选：A6.已知函数()(

)211sinsinR,R222xfxxx=+−．若()fx在区间()0,π内没有零点，则的取值范围是（）A.10,4B.10,4C.11,44−D.31,44−【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换公式以

及正弦函数的图象性质求解.详解】()211112πsinsinsincossin2222224xfxxxxx=+−=−=−,若0，因为()0,πx，所以πππ,π444x−−−，【因为

()fx在区间()0,π内没有零点，所以ππ04−，解得104；若0，因为()0,πx，所以ππππ,444x−−−，因为()fx在区间()0,π内没有零点，所以πππ4

−−，解得304−；综上，31,44−，故选:D.7.已知二面角l−−的平面角为π0,,,,,2ABClDlABl⊥，AB与平面所成角为π3．记ACD的面积为1S，BCD△的面积为2S，则12SS的取值范围为（）A.1

,12B.1,32C.3,32D.3,12【答案】A【解析】【分析】作出二面角的平面角以及AB与平面所成角，并表示出2π3BAE=−，结合三角形面积公式以及正弦定理表示出12312sinSAESBEBAE==，结合范围

确定sinBAE范围，即可求得答案.【详解】作AECD⊥，垂足为E，连接BE，因为ABl⊥，即ABCD⊥，,,AEABAAEAB=平面AEB，故CD⊥平面AEB，BE平面AEB，故CDBE⊥，又CD，故平面AEB⊥，平面AEBBE=，则AB在内的射影在

BE上，则ABE为AB与平面所成角，即π3ABE=，由于AECD⊥，CDBE⊥，故AEB为二面角l−−的平面角，即π02AEB=，121212AECDSAESBEBECD==，在ABE中，sinsinsinAEBEABABEBAE

AEB==，则sin31sin2sinAEABEBEBAEBAE==，而π02，则π2ππ33BAE=−−=−，则π2π1sin(1,]632,,BAEBAE，故sin31sin2si3,32nAEABEBEBAEBAE==

，故选：C8.已知0.21.112ln21,225,abc=+=+=，则（）A.abcB.bacC.cbaD.acb【答案】D【解析】【分析】利用作差法比较大小以及函数的导数与单调性及最值的关系比较大小求解.【详解】因为()()1220.10.10.2.10.1222121012

2bc−=+=−=−+−，所以bc；1.10.10.20.10.1122ln2222ln22(21ln2)5ca−=+=−−−−=−，设函数()1ln,fxxx=−−11()1xfxxx−=−=，所以(0,1)x时，()0fx，函数(

)fx单调递减，()1,x+时，()0fx，函数()fx单调递增，所以()(1)0fxf=，而0.121，所以0.10.10.1(2)21ln20f=−−，所以ca，所以acb，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线l：120mxym+−−=与圆O：222xyr+=有两个不同的公共点A，B，则（）A.直线l过定点()2,1B.当4r=时，线段AB长的最小值为211C.半径r的取值范围是(0,5D.当4r=时，

OAOB有最小值为16−【答案】ABD【解析】【分析】化简直线为(2)(1)0mxy−+−=，进而可判定A正确；利用弦长公式，求得AB的最小值，可判定B正确；根据直线l与圆O有总有两个公共点，可得点()2,1M在圆O内部，可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置

关系，可判定D正确.【详解】由直线:120lmxym+−−=，可化为(2)(1)0mxy−+−=，由方程组2010xy−=−=，解得2,1xy==，即直线l过定点()2,1M，所以A正确；当4r=时，圆O的方程为2216xy+=，可得圆心(0,0)O，则5OM=，可得线段AB长的最

小值为222211rOM−=，所以B正确；因为直线l与圆O有总有两个公共点，可得点()2,1M在圆O内部，所以22221r+，解得05r，所以C不正确；当4r=时，圆O的方程为2216xy+=，则

cos16cosOAOBOAOBAOBAOB==，当直线l过圆心(0,0)O，此时πAOB=，可得cosAOB的最小值1−，所以OAOB有最小值为16−，所以D正确.故选：ABD.10.已知等比数则na的公比为()0qq，前n项积为nT，若768TTT，

则（）A.01qB.1qC.13141TTD.14151TT【答案】AC【解析】【分析】利用数列的基本性质可得出71a，7801aa，求出q的取值范围，可判断AB选项；利用等比数列的性质可判断CD选项.

【详解】因为数列等比数则na的公比为()0qq且768TTT，则6123456156123456110Taaaaaaaqaq++++===，所以，7761TaT=，87861TaaT=，又因为27870aaaq=，则278701aaa，所

以，7810aa，从而10a，故对任意的nN，110nnaaq−=，由7870aaaq=可得01q，A对B错；1313121371Taaaa==，()7141214781Taaaaa==，即13141TT，C对D错.故选：AC.11.如图，在棱长为1的正方

体1111ABCDABCD−中，点P满足1BPBCBB=+，其中,0,10,1，则（）A.当1==时，1BPAD⊥B.当12λμ==，时，点P到平面1ABD的距离为32C.当1+=时，1//DP平面1ABDD.当12+=时，三棱锥1APBD−的体积恒

为112【答案】ACD【解析】【分析】根据正方体的几何性质，确定各选项下点P的位置，根据线线关系判断A；根据线面平行确定点到平面的距离来判断B；由面面平行的性质得线面平行来判断C；利用等体积转换法确定三棱锥的体积可判断D.【详解】对于A，当1==时，此时点P与点1C重

合，由正方体性质可得11BCBC⊥，1111////,ABABCDABCD=，所以四边形11ABCD为平行四边形，从而11//BCAD，又因11BCBC⊥，所以11BCAD⊥，即1BPAD⊥，故A正确；对于B，当12λμ==时，此时点P为1BC的中点，为由A选项分析可知11

//BCAD，1BC平面1ABD，1AD平面1ABD，所以1//BC平面1ABD，从而得点P到平面1ABD的距离等于点C到平面1ABD的距离，设为d，因为三棱锥1ABCD−与三棱锥1CABD−是同一个三棱锥，且1ABD为边长为2的等边三角形，所

以11ABCDCABDVV−−=，从而得()2111311123234d=，解得33d=，故B错误；对于C，当1+=时，此时1,,PCB三点共线，由B选项分析可知1//BC平面1ABD，同理可证11//BD平面1ABD，又因为111,BCBD平面11BCD，1111B

CBDB=，111,BCBD平面11BCD，所以平面11//BCD平面1ABD，又1DP平面11BCD，从而得1//DP平面1ABD，故C正确；对于D，当12+=时，点P在1BBC△中与1BC平行的中位线MN上，即1//MNBC，由B选项分析可知1//BC平面1ABD，

且MN平面1ABD，所以//MN平面1ABD，从而点P到平面1ABD的距离为定值，为点C到平面1ABD的距离的一半，即1326d=，底面为边长为2的等边三角形，所以113322222ABDS==，则1PABD−的体积为13313

2612V==，故D正确.故选：ACD.12.定义在)0,+的函数()fx满足()()6fxfx+=，且()()ln2,02sinπ,23xxfxxx−=．(0,3x都有()()60fxfx−+=，若方程()()fxaa=R的解构成

单调递增数列nx，则下列说法中正确的是（）A.()20230fB.若数列nx为等差数列，则公差为6C.若()121223xxxx+=+，则0ln2aD.若11ln2a−．则()2323116niiixxnn−−=+=+【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据题意结合周期性运

算求解；对于B，根据题意结合图象分析判断；对于C，整理可得()()12ln2ln2xx−=−，结合图象分析判断；对于D，根据图象结合对称性分析可得数列3231iixx−−−是以首项为7，公差为12的等差数列，进而利用等差数列知识运算求解.【详解】因(0

,3x都有()()60fxfx−+=，所以()fx关于()3,0对称，令3x=，则()()330ff+=，即()30f=．因为定义在)0,+的函数()fx满足()()6fxfx+=，所以()fx的周期为6，作出函数()fx在)0,6

内的图象如图：对于A，(2023)(63371)(1)0fff=+==，故A错误．对于B，由图象可知：若数列nx为等差数列，则(,1)(1,)a−−+，此时()yfx=与ya=在)0,6

内有且仅有一个交点，因为()fx周期是6，即16nnxx+−=，即数列nx的公差为6，故B正确.对于C，若()121223xxxx+=+，即()()12221xx−−=，可得()()()()1212ln

22ln2ln20xxxx−−=−+−=，则()()12ln2ln2xx−=−，即()yfx=与ya=在)0,2内有且仅有2个交点，结合图象可得0ln2a，故C错误.对于D，若11lnln22a−=−，则()yfx

=与ya=在)0,6内有且仅有3个交点，且127xx+=，因为()()6fxfx+=，则()()()()()31323231313132316612iiiiiiiixxxxxxxx++−−−−−−−−−=+−+−−=，为∴数列3231iixx−

−−是以首项为7，公差为12的等差数列，可得()32317121125iixxnn−−−=+−=−，()()()2323117125122622niiinnnnxxnn−−=+−++===+，故D正确．故选：BD．【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法

：（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若复数z满足()34i2iz+=+（i为虚数单位），则z=________．【答案】55【解析】

【分析】根据复数除法运算结合复数模的公式即可得到答案.【详解】由题意得()()()()2i34i2i105i21i34i34i34i2555z+−+−====−++−，则22215555z=+=

，故答案为：55.14.已知π,02−且πtan3cos24−=，则sin2=________．【答案】23−【解析】【分析】利用同角的三角函数关系结合诱导公式化简得πsin()π43sin(2)π2cos()4

−=−−，再利用二倍角公式化简得出2π12cos()43−=，即可求得答案.【详解】由πtan3cos24−=得πsin()π43cos23sin(2)π2cos()4−==−−，即πsin()ππ46sin()cos

()πco)444s(−=−−−，由于π,02−，故3πππ,444−，则πsin()04−，故1π6cos()4πcos()4=−−，即2π12cos()43−=，则

π1()231cos2−=+，即11sin23+=，即2sin23=−，故答案为：23−15.已知曲线()fxx=与曲线()lngxax=（aR）相交，且在交点处有相同的切线，则=a______.【答案】e2

【解析】【分析】可先设交点为()00,Pxy，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求a的值.详解】易知：必有0a.设两曲线的交点为()00,Pxy，()12fxx=，()agxx=()0x，

由题意：0000ln12xaxaxx==，两式相除得：0002lnxxx=，∵00x，∴200ln2exx==.代入00lnxax=得：e2a=解得𝑎=e2.故答案为：e216.四棱锥PA

BCD−的底面ABCD是平行四边形，点E、F分别为PC、AD的中点，平面BEF将四棱锥PABCD−分成两部分的体积分别为12,VV且满足12VV，则12VV=________．【答案】75【解析】【分析】利用椎体的体积公式求解.【【详解】如图，延长,BFC

D交于点G，连接GE交PD于点M，因为底面ABCD为平行四边形，所以FDG△与FAB全等，且FDG△与BCG相似，相似比为12，设FDG△的面积为S，则四边形BCDF的面积为3S，设点P到底面ABCD的距离为h，则1113322EBCDFVShSh−==，又因为E为PC的中

点，所以1122EDFMCDFMGDFMVVV−−−==，所以1113326EDFGEDFMVShShV−−===，所以118EDFMVSh−=，所以259MECBFDEBCDFEDFMVVVVSh−−==+=，所以121574399PAB

CDVVVShShSh−=−=−=，所以1275VV=，故答案为:75.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知直线1l：()260mxmy++−=和直线2l：30mxy+−=，其中m为实数．（1）若12ll⊥，求m的值

；（2）若点()1,2Pm在直线2l上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．【答案】（1）3m=−或0（2）20xy−=或10xy−+=．【解析】【分析】（1）根据垂直得

到方程，求出m的值；（2）将()1,2Pm代入2l中，解得1m=，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出2k=或1k=，得到直线l的方程.【小问1详解】由题意得()20mmm++=，解得3m=−或0；【小问2详解

】由()1,2Pm在直线2l上，得230mm+−=，解得1m=，可得()1,2P，显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为()21ykx−=−，令0x=，可得2yk=−，再令0y=，可得2kxk−=，所以()22kkk−=−−，解得2k=或1k=，所以直线l的方

程为()221yx−=−或21yx−=−，即20xy−=或10xy−+=．18.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,abcABC的面积为S，已知24coscostanSaBabAB=+.（1）求角B；（2）若3,bABC=△的周长为l，求Sl的最大值.【答

案】18.π319.34【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得()3312Sacl=+−，再由基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为24coscostanSaBabAB=+，所以214sincos2cosc

ossinacBBaBabAB=+，即2coscoscoscBaBbA=+，由正弦定理，得()2sincossincossincossinCBABBAAB=+=+，因为ABC+=−，所以2sincossinCBC=，因为()0,C，所以sin0C，

所以1cos2B=，又()0,B，所以3B=.【小问2详解】由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即229acac=+−，所以()293acac=+−，即()2193acac=+−，因为13sin24SacBac==，3lac=++，所以()()()2393431

23acSaclacac+−==++++，所以()3312Sacl=+−，又()24acac+（当且仅当ac=时取等号），所以()()22934acacac+=+−（当且仅当3ac==时取等号），所以6ac+（当且仅当3ac==时取等号），所以()()3

3336312124Sacl=+−−=（当且仅当3ac==时取等号），即Sl的最大值为34.19.如图，在棱长为2的正方体ABCDEFGH−中，点M是正方体的中心，将四棱锥MBCGF−绕直线CG逆时针旋转(0π)后，得到四棱锥MBC

GF−．（1）若π2=，求证：平面MCG//平面MBF；（2）是否存在，使得直线MF⊥平面MBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分

析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；（2）假设存在，使得直线MF⊥平面MBC，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面平面MBC法向量，则求出MF的坐标，由MFm∥可得cossin0cossin1−=+==，此方程组无

解，即可得出结论.【小问1详解】证明：若π2=，则平面DCGH、平面CBFG为同一个平面，连接,BHBF，则M是BH中点，M是BF中点，故MM是BHF的中位线，所以1//,2MMGFMMHFGF==．因为//,MMGFMMGF=，

所以平面四边形MMFG是平行四边形，所以//MGMF．又MG平面,MBFMF平面MBF，所以MG//平面MBF同理MC//平面BMF，且MG平面,MCGMC平面,M

CGMGMCM=，所以，平面MCG//平面MBF．的【小问2详解】假设存在，使得直线MF⊥平面MBC．以C为原点，分别以,,CBDCCG为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0)CB，(1,1,1)

M−，故(2,0,0),(1,1,1)CBCM==−．设(,,)mxyz=是平面MBC的法向量，则00mCBmCM==，所以200xyz=−+=，取1y=，得(0,1,1)m=是平面MBC的一个法向量，取CG中

点P，BF中点Q，连接,PQPM，则,,PMCGPQCGPMCG⊥⊥⊥．于是MPM是二面角MCGM−−的平面角，MPQ是二面角MCGQ−−的平面角，QPM是二面角QCGM−−的平面角，于是π,4MPMM

PQ==，所以π4MPQ−=，且CG⊥平面,2MPMMP=，故ππ2cos,2sin,144M−−，同理(2cos,2sin,2)F，所以ππ2cos2cos,2sin2sin,144MF

=−−−−，因为πππ2cos2cos2cos2coscos2sinsincossin444−−=−−=−，πππ2sin2sin2sin2sincos2cossincossin444−−=−+=+

，所以(cossin,cossin,1)MF=−+．若直线MF⊥平面MBC，m是平面MBC的一个法向量，则//mMF．即存在R，使得MFm=，则cossin0cossi

n1−=+==，此方程组无解，所以，不存在，使得直线MF⊥平面MBC．【点睛】关键点点睛：是否存在，使得直线MF⊥平面，明确点线面的位置关系，建立空间直角坐标系后，关键点在于确定ππ2cos2cos,2sin2sin,144MF

=−−−−，并结合三角恒等变换化简，从而结合向量的共线的坐标表示，判断结论.20.设数列na的前n项和为nS，已知()*111,21NnnaSSn+=−=.（1）求数列

na的通项公式；（2）若数列nb满足()()12411nnnnabaa++=−−，数列nb的前n项和为*,NnTn，都有243nmmT−，求m的取值范围.【答案】（1）12nna−=（2）2,23−【解析】【分析】（1）首先

可以根据已知得到()*212Nnnaan++=，其次注意到212aa=，结合等比数列的定义即可求解.（2）由（1）可知12nna−=，先将数列nb的通项公式裂项得11122121nnnb+=−−−，从而可求得其前n项和

为nT，若*Nn，都有243nmmT−，则只需()2min43nmmT−，研究nT的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解.【小问1详解】一方面：因为()*121NnnSSn+−=，所以()*211N122n

nnnSSSSn+++−=−=，所以()()*2112NnnnnSSSSn+++−=−，即()*212Nnnaan++=；另一方面：又1n=时，有2121SS−=，即211aa−=，且11a=，所以此时212aa=；结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列na是首先为11a=

，公比为2q=的等比数列，所以数列na的通项公式为11122nnna−−==.【小问2详解】由（1）可知12nna−=，又由题意()()()()11124221121121212121nnnnnnnnnabaa++++=

==−−−−−−−，数列nb的前n项和为122311111111122121212121212121nnnnT++−+−++−=−−−−−−−−=，又*Nn，都有243nm

mT−，故只需()2min43nmmT−，而1121ny+=−关于n单调递增，所以21121ny+=−关于n单调递减，3112121nnyT+==−−关于n单调递增，所以当1n=时，有()12min1421213nTT=

=−=−，因此()2min4433nmmT−=，即()2203mm+−，解得223m−，综上所述：m的取值范围为2,23−.21.在梯形ABCD中，ABCD，π3B

AD=，224ABADCD===，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将ACD沿AC折起到ACD△位置，使得平面DAC⊥平面BAC（如图2）.（1）求二面角ABDC−−的余弦值；（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68?若

存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）77（2）存在，13PQPD=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；（2）设()'01PQPD=，表示出CQ，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.【小问1详解】因为在梯形ABCD中，//A

BCD，224ABADCD===，π3BAD=，P为AB的中点，所以，//CDPB，CDPB=，所以ADP△是正三角形，四边形DPBC为菱形，可得ACBC⊥，ACDP⊥，而平面'DAC⊥平面BAC，平面'

DAC平面BACAC=，'DO平面'DAC，'DOAC⊥，'DO⊥平面BAC，所以OA，OP，'OD两两互相垂直，如图，以点O为坐标原点，OA，OP，'OD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A，()3,0,0C−，()3,2

,0B−，()'0,0,1D，()0,1,0P，()'3,0,1AD=−，()23,2,0AB=−，()'3,2,1BD=−，()'3,0,1CD=，设平面'ABD的一个法向量为()111,,mxyz=，则00mADmAB==

，即1111302320xzxy−+=−+=，令11x=，则113yz==，()1,3,3m=，设平面'CBD的一个法向量为()222,,xnyz=，则00nBDnCD==，即2222232030xyzxz−+=+=

，令21x=，则20y=，23z=−，()1,0,3n=−，()1130337cos,713313mnmnmn++−===−+++，所以二面角'ABDC−−的余弦值为77.【小问2详解】线段'PD上存在点Q，使得CQ与

平面'BCD所成角的正弦值为68.设()'01PQPD=，因为()3,1,0CP=，()'0,1,1PD=−，所以()'3,1,CQCPPQCPPD=+=+=−，设CQ与平面'BCD所成角为，则()2316sincos,82224CQ

nCQnCQn−====−+，即23720−+=，01，解得13=，所以线段'PD上存在点Q，且'13PQPD=，使得CQ与平面'BCD所成角的正弦值为68.22.已知函数()2121eln2xf

xaxx−=−+（1）若0a=，证明:()232xfxx−;（2）设()()2exxgxxfx=+，若lnln1,11xxxxxggxx−−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,e

+．【解析】【分析】（1）证明()232xfxx−，即证ln1−xx，令()ln1rxxx=−+，利用导数求函数的最值，证明()0rx即可；（2）令12lnln,11xxxxxxx==−−，不等式恒成立等价于21eln0xax

xx−−−对于0x恒成立，利用分离常数，构造函数求最值的方法求实数a的取值范围.【小问1详解】若0a=，则()21ln2fxxx=−+，要证()232xfxx−，即证ln1−xx．令()ln1rxxx=

−+，函数定义域为()0,+，则()111xrxxx−=−=，当01x时，()0rx，()rx单调递增，当1x时，()0rx，()rx单调递减，()()max1rxr=，()()10rxr

=，即ln1−xx，得证．【小问2详解】令12lnln,11xxxxxxx==−−，则2121lnxxxxxx=−=，消x得，2121exxxx−=，∴1212eexxxx=，∵1x，∴210x

x，原不等式等价于()()2121xgxgxx，即()()1212gxgxxx，即()()121212eexxxxfxfx++，∵1212eexxxx=，∴等价于12()()fxfx，∵210xx，当()fx在区间()0

,+上单调递增时，()0fx在区间()0,+上恒成立，∵()()212elnxfxaxxx−=−−，∴21eln0xaxxx−−−对于0x恒成立．方法1：即()21e1lnxaxx−+，即()2e1lnexxxa

+由（1）知ln1xx+，∴eexx≤，∴()22eexx，∴()()()()222e1lne1lne1eeeexxxxxxxxx++=，当1x=时取等号，∴1ea，符合题意；当1ea时，()()211,2eln0xxfxaxxx+−

→=−−，此时21xx→，不满足12()()fxfx，不合题意，即实数a的取值范围为1,e+.方法2：()21e1lnxaxx−+即()2eelnexaxx，左右同乘以2x，则有()2222eelnexaxxx，∴()()222e2eeln

exaxxx，令()exhxx=，则()()2e2lneahxhx，∵()()1exhxx=+，当(),1−−时，()0hx，∴()hx单调递减，当()1,−+时，()0hx，∴()hx单调递增，∵()()2lne21ln2xxx=+，当1x

=时取等号，20x，∴()()2lne2hxhx，且()20hx，∴e1a，∴1ea，符合题意；当1ea时，()()211,2eln0xxfxaxxx+−→=−−，此时21xx→，不满足12()()fxf

x，不合题意，即实数a的取值范围为1,e+.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非

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