【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.320 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020年度高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合22{|0},{|0}AxxxBxxx=−==+=,则集合AB=（）A.

0B.{}0C.D.1,0,1−【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A和集合B,再求交集即可.【详解】解:2{|0}{0,1}Axxx=−==2{|0}{0,1}Bxxx=+==−,所以0

AB=故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.2.若2yx=,12xy=,24yx=,51yx=+,()21yx=−,yx=,(1)xyaa=上述函数是幂函数的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】由幂函数的定义直接进行判断所给的函数中是幂函数

的是2yx=和yx=.【详解】解:形如()yxRaa=?的函数是幂函数,幂函数的系数为1,指数是常数,所以2yx=,12xy=,24yx=,51yx=+,()21yx=−,yx=,(1)xyaa=七个函数中,是幂函数的是2yx=和yx=.故选:C【点睛】本题考查

幂函数的定义,解题时要熟练掌握幂函数的概念.3.若第二象限角,则2在第几象限（）A.第一、三象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第二、四象限【答案】A【解析】【分析】先求出在第二象限时的表示,再求出2的表示,最后讨论k偶数和奇数的情况,即可得出结论.【详解】解:由题可知,

第二象限角所以22,2kkk++Z,所以,422kkk++Z,当为k偶数时,2在第一象限；当为k奇数时,2在第三象限.故选:A【点睛】本题主要考查任意角所在的象限,是基础题.4.已知a=log20.3，b=

20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cabC.bcaD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．【详解

】解：由对数和指数的性质可知，0.101.302log0.3022100.20.21abcacb=====，，，故选D．【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比

较大小的数字用不等号连接起来．5.函数sin()(0yAx=+，||2，)xR的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A.4sin()84yx=−+B.4sin()84yx=−C.4sin()84yx

=−−D.4sin()84yx=+【答案】A【解析】【分析】根据图像的最值求出A，由周期求出，可得4sin()8yx=+，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知4A=，6(2)8

2T=−−=，216T==，解得8=，因为函数4sin()8yx=+过点(2,4)−，所以4sin(2)48+=−，sin(2)18+=−，即22()82kkZ=−+

+，解得32()4kkZ=−+，因为||2，所以54=，54sin()4sin()8484yxx=+=−+.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.6.若3cos()45−=，

则sin2=（）A.725B.15C.15−D.725−【答案】D【解析】试题分析：2237cos22cos12144525−=−−=−=−，且cos2cos2sin242−=−=

，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、

互补”关系．7.已知偶函数()fx在区间)0,+上单调递增,则满足(21)(1)fxf−的x取值范围是（）A.1xB.1xC.01xD.0x【答案】C【解析】【分析】由()fx为偶函数且在)0,+上单调递增,便可由(21)(1)fxf−得211x−,解该绝对值不等式便

可得出x的取值范围.【详解】解：因为()fx为偶函数,所以由(21)(1)fxf−得(21)(1)fxf−;又()fx在)0,+上单调递增;211x−解得01x；x\的取值范围是01x.故选:C【点睛】本题考查函数的单调性解不等式,是基础题.8.如果函数3sin(2)6y

x=++的图象关于直线x=对称,那么取最小值时的值为（）A.6B.3−C.3D.6−【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性可得262k++=+,整理得162k−=+,结合取最小值时,即可得出的值.【详解】解:函数3si

n(2)6yx=++的图象关于直线x=对称,所以262k++=+,即162k−=+,取最小值时6π=.故选:A【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的对称性是解决本题的关键.9.已知锐角的终边上一点(1cos40,s

in40)P+，则锐角=（）A.80B.70C.20D.10【答案】C【解析】试题分析：sin4040tantantan20,201cos402====+.考点：三角函数概念.10.已知函数12()sin,,si

n63fxxxx=+,则函数()fx最小值为（）A.52B.12C.736D.2【答案】D【解析】【分析】先根据定义域求出sinx的取值范围,再用基本不等式求最小值,最后验证取等的情况.【详解】解:12()sin,,sin63fxxxx=+

,1sin12x,11()sin2sin2sinsinfxxxxx=+=,当且仅当1sinsin=xx,即sin1x=时等号成立.所以()fx最小值为2.故选:D【点睛】本题考查基本不等式求函数的极小值,要注意”一正二定三相等”.11.对实数m,n,定义运算“*”

:,(1),(1)mmnmnnmn−=−,设函数()2()3*(2),fxxxxR=−−.若函数()yfxc=+的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是（）A.(3,1)−B.(3,1]−C.(3,2](0,1]−−D.[2,3)[1,0)−【答

案】D【解析】【分析】由()23(2)1xx−−−,解得12x−；由()23(2)1xx−−−,解得2x或1x−.分别画出函数()yfx=与yc=−的图象,由图象即可以得到.【详解】解：由()23(2)1xx−−−,化为220xx−−,解得12x−

；由()23(2)1xx−−−,解得2x或1x−.画出函数()yfx=与yc=−的图象,由图象可以得到:当且仅当32c-<-?或01c<-?,即23c或10c-?<时,两个函数()yfx=与yc=−的图象由两个交点,即函

数()yfxc=+的图象与x轴恰有两个公共点.故选:D【点睛】本题考查了新定义、通过画出函数的图象的交点求出函数零点的个数,考查了数形结合的思想方法属于中档题.12.如果函数()fx在其定义域内存在实数0x，使得()()()0011fxfxf+=+成立，则称函数()fx为“可拆分

函数”，若()lg21xafx=+为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A.13,22B.3,32C.3,32D.(3,+【答案】B【解析】【分析】根据条件将问题转化为方程0021213(21)xxaa+=++在0xR上有解的问题

即可得解．【详解】解：()21xafxlg=+,0xRa函数()21xafxlg=+为“可拆分函数”，存在实数0x，使00021321213(21)xxxaaaalglglglg+=+=+++成立，方程0021213(21)xxaa+=++在0xR上有解，即000113(21)33

1222121xxxa+++==+++在0xR上有解，0xR，011(0,1)21x++，3,32a，a的取值范围为：3,32．故选B【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．第Ⅱ卷（非选

择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.化简：tan(3)cos(4)sin()2cos()sin(5)−+−=−−−−________．【答案】1；【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系化简求解即可

.【详解】解:tan(3)cos(4)sin()2cos()sin(5)−+−−−−−tan()coscostancoscoscos()sin()cossin−−=

=+−−−sincoscos1sin==故答案为:1【点睛】本题考查诱导公式,和同角三角函数商的关系,考查运算能力.14.已知关于x的二次方程22210xmxm+++=，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)−内，另一根在区间(1,2)内，则m的取值范围

是__________．【答案】．【解析】试题分析：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m的范围．解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f

（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m＜﹣，故m的范围是，故答案为．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．15.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外

)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【答案】61e−【解析】由题意可得12000=2000ln(1)Mm+，ln(1)Mm+=6，解得611

0Mm+=，所以6101Mm=−，填6101.−【点睛】本题易错在没有注意单位，函数关系式中速度v的单位是(米/秒)，问题当中的单位是火箭的最大速度可达12千米/秒，所以需要统一单位为(米/秒)，再利用对数式与指数式互化．16.定义:关于x的两个不等式()0fx和

()0gx的解集分别为(,)ab和11(,)ba,则称这两个不等式为对偶不等式,如果不等式243sin20xx−+与不等式224cos10xx++为对偶不等式,且(,)2,则=_______.【答案】56【解析】【分析】根据对偶不等式的定义,以及不

等式的解集和方程之间的关系,即可得到结论.【详解】解:设不等式243sin20xx−+的解集为(,)ab,由题意不等式224cos10xx++的解集为11(,)ba,即,xaxb==是方程243sin20xx−+=的两根,11,xxba==是方程224co

s10xx++=的两根.由一元二次方程与不等式的关系可知43sin211-2cosabababbaab+==++==,整理可得:sin3cos3qq=-,即3tan3=−.又因为(,)2所以56=.故答案为:56【点睛】本题以新定义为载体,考查了一元二次方程

与一元二次不等式的相互转化关系方程的根与系数的关系是一道综合性比较好的试题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知tan22=，求（1）tan()4+的值；（2）6sincos3sin2cos+−

的值.【答案】（1）17−；（2）76.【解析】【详解】（1）∵tan2=2,∴22tan2242tan1431tan2===−−−；所以tantantan14tan()41tan1tantan4+++==−−=41

134713−+=−+；（2）由（1），tanα=－,所以6sincos3sin2cos+−=6tan13tan2+−=．18.设函数22()(sincos)2cos(0)fxxxx=++的最小正周期为23．

（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数()ygx=的图象是由()yfx=的图象向右平移2个单位长度得到，求()ygx=的单调增区间．【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）227[,]()34312kkkZ++【解析】【详解】(1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2

ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋sin2ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin24x＋＋2，依题意得2223＝，故ω的值为32.(2)依题意得g(x)＝2sin324x－＋＋2＝2sin

53x4−＋2，由2kπ－2≤3x－54≤2kπ＋2(k∈Z)，得23kπ＋4≤x≤23kπ＋712(k∈Z)，故y＝g(x)的单调增区间为227,34312kk++(k∈Z)19.在ABC中,角,,ABC的对

边分别为,,abc,已知274sincos222ABC+−=.（1）求角C的大小；（2）若三角形的外接圆半径为2,求+ab最大值.【答案】（1）3;（2）43.【解析】【分析】（1）由三角形的内角和公式及二倍角公式整理可得()21cos742cos122CC+?-

=,解方程可求cosC,进而求角C.（2）由（1）得23AB+=,代入化简可得3sinsinsin6AAB++=,利用正弦函数的性质可求出sinsinAB+的最大值,最后利用正弦定理求得+ab最大值.【详解】解:（1）,,ABC为三角形的内角.ABC++=,274sincos

222ABC+-=,274coscos222CC\-=()21cos742cos122CC+\?-=即212cos2cos02CC-+=,1cos2C=,0C,3C=（2）由（1）得23AB+=,又因为三角

形的外接圆半径为2R=,所以()2sinsinabRAB+=+,2sinsiin3snnsiAABA+−=+33sincos3sin226AAA=+=+当62A+=,时即3A=,sinsinAB+取得最大值3.

此时223ab+=,所以+ab的最大值为43.【点睛】本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的性质、正弦定理的应用,属于基础知识的简单综合运用,属于中档试题.20.在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，且

coscos2BbCac=−+．（1）求B的大小；（2）若13,4bac=+=，求ABC的面积．【答案】（1）23B=（2）13sin3.24ABCSacB==【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关

系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac=，再利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）由coscos2BbCac=−+cossincos2sinsinBBCAC=−+2sincoscossi

nsincosABBCBC+=−2sincoscossinsincosABBCBC=−−()2sincossinABBC=−+2sincossinABA=−1cos2B=−又0πB，所以2π3B=.（Ⅱ）由余弦定理有()22222π2cos22cos3ba

cacBacacac=+−=+−−，解得3ac=，所以133sin24ABCSacB==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的()22222π2cos22cos3bacacBacacac=+−=+−−.21.已知函

数2()21(0)fxxaxa=−+,在区间0,2上的值域为[]0,1.（1）求a的值；（2）若不等式(2)4xxfm对任意的)1,x+恒成立,求实数m的取值范围.【答案】（1）1a=;（2）14m【解

析】【分析】（1）先求函数()fx的开口和对称轴,根据对称轴结合”函数在区间0,2上的值域为[]0,1”分情况讨论,即可得a的值.（2）将（1）中的a代入函数()fx,结合(2)4xxfm,分离常数()()22221444xxxxxm−+,设新函数()mgx,利用二次

函数的性质求出()mingx,从而从求得m的取值范围.【详解】解:（1）已知函数2()21(0)fxxaxa=−+,开口向上,对称轴2022baxaa-=-=-=>,有因为()fx在区间0,2上的值域为[]0,1.①当01a时,()()22221022411faaafaì=-+=ïíï=

-+=î,解得1a=,②当12a时,()()222210002011faaafaì=-+=ïíï=-?=î,解得1a=不符舍去,③当2a,()()22222210002011fafaì=-?=ïíï=-?=î,解得54a=不符舍去,综上所述:1a=.（2）由（1）得1a=,

所以2()21fxxx=−+,不等式(2)4xxfm,即()()222214xxxm−+.()()22221444xxxxxm−+,设()mgx,()()()()()22222222114444xxxxxxxxgx−+=−+=,令22xt=,则()2222

11111211gtttttt=−+=−+=−,2t,1102t,则11112t−−−,即211114t−,所以()min14gt=,所以()()minmin14gxgt==()min14mgx=,故m的取值范围为14m.

【点睛】本题考查利用一元二次函数的定义域和值域求参数,考查换元法求不等式的最值,是一般的综合题.22.已知xR,定义:()fx表示不超过x的最大整数,例如:(2)1=f,(0.5)1f−=−.（1）若()2020fx=

,写出实数x的取值范围；（2）若0x,且()12()(7)21xfxfxf+=++,求实数x的取值范围；（3）设()()fxgxxkx=+,()21log32hxx=−,若对于任意的)123,,7,9xxx,都有()()()123gxhxhx−,求实数k的取值范围.

【答案】（1）20202021x（2）532x；（3）6k−【解析】【分析】（1）由()fx表示不超过x的最大整数,可得x的取值范围为20202021x；（2）由指数函数的单调性,可得11021

2x+,则1(7)721xf+=+,即有72()8xfx+,考虑23x,解不等式即可得到所求范围；（3）化简得()hx在)7,8单调递减,在)8,9单调递增.求得()hx的最值,可得所以(

)11gx在)7,9恒成立,讨论当[)7,8xÎ时,当[)8,9xÎ时,由新定义和二次函数的最值求法,即可得到所求k的范围.【详解】解:（1）若()2020fx=,则x表示不超过20201+的最大整数,所以202020201x?+,故x的取值范围为2

0202021x；（2）若0x,可得110212x+,()12()(7)721xfxfxf+=+=+,则()2()7fxfx+=,72()8xfx+,72()82xfxx−−,当1x=时,(

)5fx=,不符合.当2x=时,()3fx=,不符合.则3x=时,()1fx=,不符合.当23x时()2fx=,所以72282xx−−,解得532x.所以实数x的取值范围为532x；（3）()2221log3,7821log321log3,8

92xxhxxxx−−=−=−Q()hx在)7,8单调递减,在)8,9单调递增.可得()()max71hxh==,()()min80hxh==,则()()()()23781hxhxhh−=−=,所以()

11gx在)7,9恒成立,即()1fxxkx+,整理得()2kfxxx−在)7,9恒成立,当[)7,8xÎ时,27kxx−在)7,8恒成立,即6k−,当[)8,9xÎ时,28kxx−在)8,9恒成立,即7k−,综上可得:实数k的取值范围为6k

−.【点睛】本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.