【文档说明】上海市大同中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(8)页，322.604 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021年上海市大同中学高二下开学考一、填空题1.准线方程为10y+=的抛物线标准方程为2.已知圆225xy+=和点A（1，2），则过点A圆的切线方程为3.若椭圆221369xy+=的弦被点（4，2）平分，则此弦

所在直线的斜率为4.已知椭圆22214xya+=(0)a与双曲线22193xy−=有相同的焦点，则a的值为5.设F1和F2为双曲线22421xy−=的两个焦点，点P在双曲线上，且满足1260FPF=，则12FPF△的面积是6.已知抛物线24yx=

的焦点F和点A（1，1），点P为抛物线上的动点，则|||PAPF+∣取到最小值时点P的坐标为7.椭圆2211612xy+=上的点到直线2120xy−−=的距离最大值为8.双曲线22214xyb−=的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，且16PF=，120PFPF=，则双曲线渐近

线为9.已知定点(4,0)P−和定圆22:8Qxyx+=，动圆M和圆Q外切，且经过点P，求圆心M的轨迹方程10.设直线l与抛物线24yx=相交于A、B两点，与圆222(5)xyr−+=(0)r相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是二.选择题11.当0ab时，

方程22axayb−=所表示的曲线是（）A.焦点在x轴的椭圆B.焦点在x轴的双曲线C.焦点在y轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线12.已知圆O的方程222xyr+=(0)r，点(,)Pab(0)ab是圆O内一点，以P为中点的

弦所在的直线为m，直线n的方程2axbyr+=，则（）A.mn∥，且n与圆O相离B.mn∥，且n与圆O相交C.m与n重合，且n与圆O相离D.mn⊥，且n与圆O相离13.椭圆2211615xy+=上有n个不同的点123,,,,nPPPP，椭

圆的右焦点F，数列nPF是公差大于12018的等差数列，则n的最大值为（）A.2017B.2018C.4036D.403714.如图，过抛物线22ypx=(0)p的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的

圆与准线l的公共点为M，若60AMF=，则MFO的大小为（）A.15B.30C.45D.不确定三.解答题15.已知抛物线2:4Cyx=与直线l交于A、B两点.（1）若直线l的方程为24yx=−，求弦AB的长度；（2）O为坐标原点，直线l过抛物线的焦点，且AOB△面积为22

，求直线l的方程.16.已知双曲线22:143xyC−=.（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程；（2）P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是（4，0），求||PA的最小值.17

.已知曲线22:4Cxy+=，点N是曲线C上的动点，O是坐标原点.（1）已知定点(3,4)M−，动点P满足OPOMON=+，求动点P的轨迹方程；（2）如图，设点A为曲线C与x轴的正半轴交点，将点A绕原点逆时针旋转23得到点B，点N在曲线C上运动，若ONmOA

nOB=+，求mn+的最大值.18.如图，已知双曲线222:1(0)xCyaa−=的右焦点为F，点A、B分别在C的两条渐近线上，AFx⊥轴，ABOB⊥，BFOA∥（O为坐标原点）.（1）求双曲线C的

方程；（2）过C上一点P()()000,0xyy的直线002:1xxlyya−=与直线AF相交于点M，与直线32x=相交于点N，证明：当点P在C上移动时，||||MFNF恒为定值，并求此定值.19.已知

椭圆2222:1xyCab+=(0)ab，四点1(1,1)P、2(0,1)P、33(1,)2P−、43(1,)2P中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）椭圆C上是否存在不同的两点M、N关于直线1xy+=对称？若存

在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由；（3）设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，求证：l过定点.2020-2021年上海市大同中学高二下开学考答案一、填空题1.准线方程为1y=−，开口向上，24xy=2.点A（1，2）在圆上，所以切线方

程为25xy+=3.由中点弦结论21222914362bkkkka=−=−=−4.24934aa−=+=5.由双曲线焦点三角形面积公式213cotcot30222Sb===6.过点P作PB垂直

于准线，过A作AH垂直于准线，PAPFPAPBAH+=+，此时最小，点P与点A的坐标为相同，所以点P为1(,1)47.最大值45d=8.由题意得22PF=，由焦点三角形面积公式2121cot4562SbPFPF===，所以26b=，渐近线为62yx=.9.

结合图像可得，4MQMP−=，M的轨迹为双曲线221412xy−=的左支10.设()11,Axy、()22,Bxy、()00,Mxy，点差可得02ABky=，设圆心为O，则005OMykx=−，因为ABOM⊥，所以00002135yxyx=−=

−，在(3,0)M处和(3,23)M处，确定r的范围为（2，4）.二、选择题11.D化简得22byxa−=−，选D12.A由题意得，OPm⊥，m的法向量为（a，b），排除D，点O到直线n的距离为222rdrab

=+，所以与圆O相离，选A13.C设公差为d，2153(1)403712018ndnn=+−−，选C14.B取AB中点C，连结MC，根据抛物线性质，所以MC平行于x轴，且MFAB⊥，因为60AMF=，所以30CAMCMA

==，所以30CMFMFO==，选B三、解答题15.（1）联立方程，求出(1,2)A−、(4,4)B，所以35AB=（2）根据题意，1242yy−=，设直线方程1xmy=+，所以2440ymy−−=，所以12y4ym+=，124

yy=−，所以21616321mm+==，所以1xy=+16.（1）设22143xymm−=，当0m，410025mm==；当0m，10031003mm−==−，所以标准方程为22110075xy−=或224001

0013yx−=（2）设(,)Pxy，所以2222727(4)81347PAxyxx=−+=−+，即最小值为321717.（1）设(,)Pxy，(3,4)ONOPOMxy=−=+−，所以22(3)(4)4xy++−=（2）(2,3)ONmOAnOBmnn=+=−

2222(2)341mnnmnmn−+=+−=22222222222mnmnmnmn+−=++所以()222()242mnmnmn+++，当且仅当1mn==时等号成立18.（1）由题意得,cAca，设,tBta−，因为ABOB⊥，BFOA∥，所以11ct

acta+−=−−，1()taact=−，整理得2ct=，3a=，所以双曲线C的方程为2213xy−=；（2）由（1）的232,3A，直线l的方程为0013xxyy−=，又(2,0)F，直线l与直线AF相交与点M，与直线32x=相较于

点N，解得00232,3xMy−，0023,22xNy−，所以()()000022222000000233223223||||3221312342xyxxMFNFxyxxxy−−−===+−−−+−+002232323333xx−

==−，所以当点P在C上移动时，||||MFNF恒为定值，此定值为233.19.（1）结合椭圆几何特征，可得P2、P3、P4在椭圆上，解得方程为22141xy+=（2）设直线MN为yxm=+，线段MN中点为D，根据椭圆中点弦性质2122

bkka=−，11:44MNOFODkklyx=−=−，联立1xy+=解得中点41(,)33D，所以5:3MNlyx=−（3）当直线l的斜率不存在时，易得不成立，设:lykxb=+，联立得221()2104kkbxb+++−=，()2212121212(1)1122211PAPBbxxyykb

kkkkxxxxb−+−−+=+=+=−=+21bk=−直线:21lykxk=+−，经过定点(2,1)−−