【文档说明】专题06 必刷填空题（压轴）-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）.docx，共(50)页，4.497 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1．（2021•丰润区校级模拟）如图，ABC中，8ABBCCA===．一电子跳蚤开始时在BC边的0P处，03BP=．跳蚤第一步从0P跳到AC边的1P（第1次落点）处，且10CPCP=；第二步从1P跳到AB边的2P（第2次落点）处，且21APAP=；第三步从2P跳到BC边的3P（第3次落

点）处，且32BPBP=；；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为(nPn为正整数），则点2012P与点2013P之间的距离为5．【分析】根据等边三角形的性质求出015PP=，123PP=，235PP=，343PP=，找出规律进行解答即可．【解答】解：ABC为等边三角形，

边长为8，根据跳动规律可知，10015PCPCPP===，123PP=，235PP=，343PP=，观察规律：当落点脚标为奇数时，距离为5；当落点脚标为偶数时，距离为3，故点2012P与点2013P之间的距离为5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了图形的变化类，通过列举几个

落点之间的距离，寻找一般规律是解题关键．2．（2021•越秀区校级二模）化简22144(23)xxx−+−−=2．【分析】先将2144xx−+化成2(12)x−，再根据2(23)x−有意义，即可求得x的取值范围，从而化简得出结果

．【解答】解：2(23)x−有意义，230x−…，1.5x…，21312x−−=…，22144(23)xxx−+−−2(12)23xx=−−+2123xx=−−+2=，故答案为2．【点评】本题考查

了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．3．（2021•蒙阴县模拟）阅读理解：符号||abcd称为二阶行列式，规定它的运算法则为：||abadbccd=−，例如35||3645246=−=−．问：若

||1kbac=−，则22()kcbabakc−+=1−．【分析】由已知条件可得kcba−=−，再把所求分式化为含有kcb−的形式，整体代入，再约分．【解答】解：由已知可得kcba−=−，22()()()

()1kcbabkcbkcbabakcbabakcakcakcakcakc−+−++−++−====−．【点评】此题难度稍大，首先会正确运用二阶行列式的运算法则，其次还要会整体代入，约分．4．（2020•利川市模拟）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文

（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，，z依次对应0，1，2，，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将10+除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母abcdefghijklm序号012345

6789101112字母nopqrstuvwxyz序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths”译成密文后是wkdrc．【分析】m对应的数字是12，121022+=，除以26的余数仍然是22

，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，01010+=，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，191029+=，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；，所以本题译成密文后是wkd

rc．【解答】解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．故答案为：wkdrc．【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是

读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．5．（2019•宝山区校级自主招生）设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0xxx

xxx++++++++=的两根为1x，2x，则12(1)(1)xx++=2003．【分析】先将方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0xxxxxx++++++++=化简，然后根据韦达定理得出12xx+和12xx的值，再化简要求的式子，最后将12xx+和12xx的值代入化简后的式

子即可．【解答】解：(1)(11)(11)(21)(1)(21)0xxxxxx++++++++=22212113223122210xxxxxx++++++++=23662630xx++=△26643263435631560=−=−由韦达定理得：1222xx+=−

，122633xx=121212263200(1)(1)()122133xxxxxx++=+++=−+=故答案为：2003．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及方程和代数式的化简，计算具有一定的难度．6．（20

19•潼南区模拟）某果蔬饮料由果汁、蔬菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1:2:2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁

的质量和与纯净水的质量之比为2:3．【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、蔬菜汁按一定质量比为:xy；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．【解答】解

；设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、蔬菜汁按一定质量比为::xyz，22(120%)2(115%)2(115%)axayazaxayaz++=−++++，0.20.3()xyz=+，():2:3yzx+=．故答案为：2:3．【点评】本题考查理解题意的能力

，关键是知道价格变化后，成本不变，以成本为等量关系可列方程求解．7．（2019•霞山区校级自主招生）按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是131或26或5或4

5．【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程51656x+=，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【解答】解：我们用逆向思维来做：第一个数就是直接输出其结果的：51656x+=，解得：131x=；第二个数是(51)

51656x++=，解得：26x=；同理：可求出第三个数是5；第四个数是45，满足条件所有x的值是131或26或5或45．故答案为：131或26或5或45．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．8．（2017•慈溪市校级自主招生）已知三个非负实数

a，b，c满足：325abc++=和231abc+−=，若37mabc=+−，则m的最小值为57−．【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据0a…，0b…，0c…，求得m的取值范围而求得m的最小值．【解答】解：由题意可得325

23137abcabcmabc++=+−==+−，解得7(2)33ma+=−，11(2)73mb+=−，23mc+=，由于a，b，c是三个非负实数，0a…，0b…，0c…，15117m−−厖．所以57m=−最小值．故本题答案为：57−．

【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．9．（2021•武汉模拟）如图，抛物线2(0)yaxbxca=++的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为1−，3，与y轴负半轴交于点C．下

面五个结论：①20ab+=；②242baca−；③对任意实数x，2axbxa−−„；④1(Mx，1)y，2(Nx，2)y是抛物线上两点12()xx，若122xx+，则12yy；⑤使ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有①③④．（

填序号）【分析】由抛物线与x轴的交点坐标判断系数a、b、c之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断．【解答】解：①抛物线2(0)yaxbxca=++与x轴交于(1,0)A−、(3,0)B，2

,3bcaa−==−，20ab+=．故①正确．②：由①分析知：2,3bcaa−==−，2ba=−，3ca=−，2224(2)4(3)16bacaaaa−=−−−=，若242baca−，即21

62aa，18a．根据题目已有条件，无法推断出18a，②无法定论．③对于任意实数x，2axbxa−−„成立，即对于任意实数x，20axbxa−−−„成立．令2(0)gaxbxaa=−−−−．0a，0a−，关于实数x的二次函数2gaxbxa=−−−图象开口向下．若对于任意

x，20gaxbxa=−−−„，故需判断△2()4()()baa=−−−−与0的数量关系．2ba=−，3ca=−，△22(2)40aa=−=，对于任意实数x，0g„．故③正确．④22111222:,

yaxbxcyaxbxc=++=++由题意知，12121212()()()yyaxxxxbxx−=+−+−．2ba=−，121212121212()()2()()(2)yyaxxxxaxxaxxxx−=+−−−=−+−．0a，12xx，122

xx+，120xx−，1220xx+−，1212()(2)0axxxx−+−，120yy−，12yy．故④正确．⑤：经分析，ACBC，4AB=．若ABC为等腰三角形，则ACAB=或ABBC

=．1OA=，3OCca==−，3OB=，22219ACOAOCa=+=+，22299BCOBOCa=+=+．当4ACAB==时，则2194a+=，151533aa==−或（不合题意，舍去）．当4ABBC==时，则2994a+=，7733aa==−或（不合题意，舍去）．

综上所述：a值有两个．故⑤不正确．故答案为①③④．【点评】主要考查抛物线的顶点坐标、根与二次函数系数的关系、二次函数图象特点以及等腰三角形的定义．10．（2021•罗湖区模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线kyx=上，顶点C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线kyx=经过AD的中

点E，若3OC=，则k的值为2．【分析】设A点坐标为(,)ab，则kab=，用a、b的代数式表示B、C、D、E坐标，根据双曲线kyx=经过AD的中点E，列方程求出2b=，再由矩形ABCD对角线相等列方程求出a，即可得A坐标，从而求出k

．【解答】解：设A点坐标为(,)ab，则kab=，abyx=，如图，过点A作AMx⊥轴于点M，过点B作BNy⊥轴于点N，过点E作EFx⊥轴于点F，四边形ABCD是矩形，ADBC=，90ADMCDO+=，90BCNDCO+=，9

0CDODCO+=，90ADMBCN+=，90ADMDAM+=，BCNDAM=，在ADM和CBN中，90DAMBCNAMDCNBADCB====，()ADMCBNAAS

，CNAMb==，BNMD=，3OC=，3ONb=−，即3Byb=−，且B在abyx=图象上，(3abBb−，3)b−，||3BabBNDMxb===−，点E是AD的中点，62abMFb=−，62abOFab=+−，3abODab=+−，(62abEab+−，1)2b，双曲线k

yx=经过AD的中点E，1()622abababb+=−，解得2b=，(,2)Aa，(2Ba−，1−，(3,0)Da，而(0,3)C−，且矩形ABCD有ACBD=，2222(0)(23)(23)(10)aaa−++=−−+−

−，解得1a=或1a=−（舍去），(1,2)A，代入kyx=得：2k=．故答案为：2．【点评】本题考查反比例函数、矩形的性质及应用，解题的关键是设(,)Aab，用a、b的代数式表示B、C、D、E坐标列方程．11．（2021•兴庆区校级二模）已知二次函

数22yxxc=−+的顶点在x轴上，则c=1．【分析】顶点在x轴上，则抛物线与x轴只有一个交点，故对应的一元二次方程的判别式△0=，据此可解．【解答】解：二次函数22yxxc=−+的顶点在x轴上，令220xxc−+=△24440bacc

=−=−=1c=故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系，本题属于中档题，难度不大．12．（2021•平邑县模拟）已知点A、B分别在反比例函数2(0)yxx=，8(0)yxx=−的图象上，且OAOB

⊥，则tanB为12．【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC

与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tanABO的值．【解答】解：过A作ACy⊥轴，过B作BDy

⊥轴，可得90ACOBDO==，90AOCOAC+=，OAOB⊥，90AOCBOD+=，OACBOD=，AOCOBD∽，点A、B分别在反比例函数2(0)yxx=，8(0)yxx=−的图象上，1AOCS=

，4OBDS=，:1:4AOCOBDSS=，即:1:2OAOB=，则在RtAOB中，1tan2ABO=．故答案为：12【点评】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13

．（2021•罗湖区校级模拟）如图，A、B分别是x轴和y轴上的点，以AB为直径作M，过M点作AB的垂线交M于点C，C在双曲线(0)kyxx=上，若4OAOB−=，则k的值是4−．【分析】作CDx⊥轴于D，

CEy⊥轴于E，连接AC、BC，由AB为M的直径，根据圆周角定理的推论得到90ACB=，而CMAB⊥，则ACB为等腰直角三角形，可得到CACB=，2ABBC=，再根据圆周角定理得到CAOCBO=，易证得RtACDRtBCE，则CDCE

=，于是可设C点坐标为(,)tt−，A点坐标为(,0)a，B点坐标为(0,)b，由4OAOB−=，则4ab=−，得到222(4)816abbb=−=−+①，再利用勾股定理有222ABab=+，222BCCEBE=+，则22221()()2abttb+=+−②，由①②得2420tbtb−−

+=，分解变形后可解得2t=，然后把C点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值．，也可以利用()24OAOBADODBEOEADODBEOEOD−=+−−=+−+==，则2OD=，所以(2,2)C−．【解答】解：作CDx⊥

轴于D，CEy⊥轴于E，连接AC、BC，如图，AB为M的直径，90ACB=，又CMAB⊥，ACB为等腰直角三角形，CACB=，2ABBC=，CAOCBO=，在ACD和BCE中ADCBECCADCBEACBC=

==，()ACDBCEAAS，CDCE=，设C点坐标为(,)tt−，A点坐标为(,0)a，B点坐标为(0,)b，4OAOB−=，即()4ab−−−=，4ab=−，222(4)816

abbb=−=−+①，222ABab=+，222BCCEBE=+，22221()()2abttb+=+−②，由①②得2420tbtb−−+=，(2)(2)(2)0ttbt+−−−=，(2)(2)0

ttb−+−=，而20tb+−，20t−=，解得2t=，C点坐标为(2,2)−，把(2,2)C−代入kyx=得224k=−=−．故答案为4−．另一种解法：前面解法相同，OAADOD=+，OBBEOE=−，()24OAOBADODBEOEADODBEOEOD−=+−−=+−+==，2OD

=C点坐标为(2,2)−，把(2,2)C−代入kyx=得224k=−=−．故答案为4−．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足其解析式；熟练掌握圆周角定理；会运用三角形全等和等腰直角三角形的性质得到线段之间的关系，利用勾股定理建立等量关系．14．（

2021•临沂模拟）如图，M为双曲线1yx=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线yxm=−+于D、C两点，若直线yxm=−+与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则ADBC的值为2．【分析】先设M点的坐标为1(,)aa，则把1ya=代入直线yxm=−+即可求出

C点的横坐标，同理可用a表示出D点坐标，再根据直线yxm=−+的解析式可用m表示出A、B两点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出ADBC的值．【解答】解：设M点的坐标为1(,)aa，则1(Cma−，1)a、(,)Dama−，直线yxm=−+与y轴交

于点A，与x轴相交于点B，(0,)Am、(,0)Bm，2222112(0)()()(0)22ADBCammammaaaa=−+−+−++−==．故答案为：2．【点评】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．15．（2020秋

•番禺区校级期中）若函数265yxx=−+，当26x剟时的最大值是M，最小值是m，则Mm−=9．【分析】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出Mm−的值．【解答】解：原式可化为2(3)4yx=−−，可知函数顶点坐标为(3,4)−，当0y=时，2650xx−+=，即(1)(

5)0xx−−=，解得11x=，25x=．如图：4m=−，当6x=时，363655y=−+=，即5M=．则5(4)9Mm−=−−=．故答案为9．【点评】本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值．16．（2020•宁德二模）如

图，点A，B，C在反比例函数4yx=−的图象上，且直线AB经过原点，点C在第二象限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若BOD的面积为9，则ACCD=52．【分析】利用12AODASODy=，求出点4(18mA，18)m−，进而求出直线A

D的表达式和Cy，证明DNCDMA∽，则7ACyADAMDCCNy===，进而求解．【解答】解：直线AB经过原点，则AByy=−，则9BODAODSS==，设点(,0)Dm，则11()922AODAASODymy

==−=，解得18Aym=−，将点A的纵坐标代入4yx=−①并解得：418Amx=，故点4(18mA，18)m−，设直线AD的表达式为ykxb=+，则018418kmbmkbm=+−=+，

解得2221621627716216277kkmmbbmm===−=−，故直线AD的表达式为2216216277yxmm=−②，联立①②并整理得：2281812077xxmm++=，

则24817ACxxm=，即24481187Cmxm=，解得79Cmx=，将点C的横坐标代入反比例函数表达式并解得：367Cym=−；分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，则DNCDMA∽，则7:2ACyADAMDCCNy===，则52ACCD=，解法二：延长DA交

y轴于E，过点A作AJOE⊥于J，ANOD⊥于N，过点C作CMOD⊥于M，连接OC，MJ．||22AOJCOMkSS==，又//AJOD．//CMOE，AOJAJMSS=，CMOCMJSS=，AJMCMJSS=，//DEMJ，四边形AJMD是

平行四边形，四边形CMJE是平行四边形，AJDM=，EJCM=，90AJEDMC==，()AJEDMCSAS，CDAE=，设:ACCDk=，4(,)Axx−，////CMANOE，CDAE=

，DMONx==−，MNkDMkx==−，9AODOBDSS==，14()()92xkxxx−−−−=，52k=故答案为52．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方

程思想，综合性较强．17．（2020•浙江自主招生）如图，已知点(1,3)在函数(0)kyxx=的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数(0)kyxx=的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为6．【分析】把已知点的坐标代入函

数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的两点坐标代入到函数解析式中得到①和②，联立即可求出a和b的值，得到E的坐标．【解答】解：把(1,3)代入到kyx=得：3k=，故函数解析式为3yx

=，设(Aa，3)(0)aa，根据图象和题意可知，点3(2Eaa+，3)2a，因为3yx=的图象经过E，所以将E代入到函数解析式中得：33()322aaa+=，即232a=，求得：62a=或62a=−（不合题意，舍去），62a=

，362aa+=，则点E的横坐标为6．故答案为：6．【点评】此题考查学生会根据一点的坐标求反比例的解析式，灵活运用正方形及反比例函数的性质解决实际问题，是一道中档题．18．（2020•浙江自主招生）如果函数yb=的图象与函数23|1|43yxxx=−−−−的图象恰有三个交点

，则b的可能值是6−、254−．【分析】按1x…和1x分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．【解答】解：当1x…时，函数223|1|

437yxxxxx=−−−−=−，图象的一个端点为(1,6)−，顶点坐标为7(2，49)4−，当1x时，函数223|1|436yxxxxx=−−−−=−−，顶点坐标为1(2，25)4−，当6b=−或254b=−时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：6−，254−．【点评】本题考查了分段

的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．19．（2020•成都模拟）已知点(,)Pab是双曲线21(cycx+=为常数）和直线114yx=−+的一个交点，则222abc++的值是174．【分析】将(,)Pab分别代入两解析式，根

据纵坐标相等，建立等式，找到a、c之间的关系式，利用非负数的性质解答即可．【解答】解：将(,)Pab分别代入两解析式得，21cba+=，114ba=−+；于是21114caa+=−+；整理得，224(2)0ca+−=；根据非负数的性质

，0c=，2a=．见2a=代入114yx=−+得，112142y=−+=，即12b=．于是2222221172()024abc++=++=．故答案为：174．【点评】此题综合性较强，不仅考查两个函数交点的坐标满足这两个函数关系

式，还考查了非负数的性质．在解题时要注意，先将数值代入，然后根据式子特点，找到合适的方法（利用非负数的性质）解答．20．（2019•仙游县一模）如图一次函数122yx=−的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC

为AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数(0)kykx=的图象于Q，32OQCS=，则Q点的坐标为3(2,)2．【分析】先根据A点在一次函数122yx=−的图象上求出A点坐标，再由PC是AOB的中位线可知点C是线段OA的中点，//PCy轴，故可得出C点坐标及QPx⊥轴，再由，32OQCS

=可得出Q点的纵坐标．【解答】解：点A是次函数122yx=−的图象与x轴的交点，(4,0)A，PC是AOB的中位线，点C是线段OA的中点，即(2,0)C，//PCy轴，QPx⊥轴，点Q的横坐标为2

，设其纵坐标为y，则1322OCy=，即13222y=，解得：32y=，3(2,)2Q．故答案为：3(2,)2．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到三角形中位线定理及三角形的面积公式，先根据题意得出A点坐标是解答此题的关键．21．（2019•中

山市模拟）已知二次函数2yaxbxc=++的图象如图所示，有以下结论：①0abc++；②1abc−+；③0abc；④420abc−+；⑤1ca−．其中所有正确结论的序号是①②③⑤．【分析】根据

函数图象可得各系数的关系：0a，0b，0c，再结合图象判断各结论．【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：0a，0b，0c，则①当1x=时，0yabc=++，正确；②当1x=−时，1yabc=−+，

正确；③0abc，正确；④对称轴1x=−，则2x=−和0x=时取值相同，则4210abc−+=，错误；⑤对称轴12bxa=−=−，2ba=，又1x=−时，1yabc=−+，代入2ba=，则1ca−，正确．故所有正确结论的序号是①②③⑤．【点评】本题考查了二次函

数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断．22．（2018•合肥模拟）已知双曲线4yx=与直线14yx=交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BCAP⊥于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则222AEBFEF+的值是1．【分析】方法1：由所求的式子联想到勾股定理

，故过A作AGy⊥轴于G，过B作BHx⊥轴于H，设FHa=，则有4OFa=+，221BFa=+．易证AEGBFH∽，从而有4AEEGAGBFFHBH===，就可用a的代数式表示2AE、2EF，然后代入所求的式子就可解决问题；方法2：过点A作//AGBF，交x轴于点G，连接EG，易证A

OGBOF，则有AGBF=，OGOF=．根据线段的垂直平分线的性质可得EGEF=，在RtGAE中运用勾股定理可得222AGAEGE+=，然后通过等量代换就可解决问题．【解答】解1：过A作AGy⊥轴于G，过B作BHx⊥

轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图，联立414yxyx==，解得：1141xy=−=−，2241xy==．点A在点B的左侧，(4,1)A−−，(4,1)B．4AG=，1OG=，4OH=，1BH=．设FHa=，则有4OFOHFHa=

+=+，22221BFFHBHa=+=+．ACCF⊥，OEOK⊥，90CFKCKFOEK=−=．AGy⊥轴，BHx⊥轴，90AGEBHF==．AEGBFH∽．4AEEGAGBFFHBH===．2

221616(1)AEBFa==+，44EGFHa==．|41|OEEGOGa=−=−．2222(41)(4)17(1)EFaaa=−++=+．22222216(1)(1)117(1)AEBFaaEFa++++==+．故答案为：1．

解2：过点A作//AGBF，交x轴于点G，连接EG，如图．则有90GACFCA==，AGOBFO=．双曲线4yx=与直线14yx=都关于点O成中心对称，它们的交点也关于点O成中心对称，即OAOB=．在AOG和BOF中，AGOBFOAOGBOFOAOB===，

AOGBOF，AGBF=，OGOF=．OEGF⊥，EGEF=．90GAC=，222AGAEGE+=，222BFAEEF+=，2221AEBFEF+=．故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函

数交点问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，而由线段的平方联想到勾股定理是解决本题的关键．23．（2021•广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且3BE=，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD

于点F、G，DF与AE交于点H．并与A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有（1）（3）（4）（填写所有正确结论的序号）．（1）H是FK的中点（2）HGDHEC（3）:9:16AHGDH

CSS=（4）75DK=【分析】（1）先证明ABEDAF，得90AFDBAEAEBBAE+=+=，AHFK⊥，由垂径定理，得：FHHK=，即H是FK的中点；（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；（3）分别过H分别作HMAD⊥于M，HNBC⊥于N，由余弦三

角函数和勾股定理算出了HM，HT，再算面积，即得:9:16AHGDHCSS=；（4）余弦三角函数和勾股定理算出了FK，即可得DK．【解答】解：（1）在ABE与DAF中，ADABDAFABEAFBE===，()ABEDAFSAS，AFDAEB=

，90AFDBAEAEBBAE+=+=，AHFK⊥，由垂径定理，得：FHHK=，即H是FK的中点，故（1）正确；（2）如图，过H分别作HMAD⊥于M，HNBC⊥于N，4AB=，3BE=，225AEABBE=+=，BAEHAFAHM==，coscoscos

BAEHAFAHM==，45HMAHABAHAFAE===，125AH=，4825HM=，485242525HN=−=，即HMHN，//MNCD，MDCN=，22HDHMMD=+，22HCHNCN=+，HCHD，HGDHEC是错误的，故（2）不正确

；（3）过H分别作HTCD⊥于T，由（2）知，223625AMAHHM=−=，366442525DM=−=，//MNCD，6425MDHT==，1921162AHGHCDAGHMSSCDHT==，故（3）正确；（4）由（2）知，2295HFAFAH=−=，1825FKHF==，7

5DKDFFK=−=，故（4）正确．【点评】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．24．（2021•南通）如图，在ABC中，ACBC=，90ACB=，以点A为圆心，AB长为半径画

弧，交AC延长线于点D，过点C作//CEAB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为22．【分析】通过点A作CE的垂线交EC延长线于F，连AE，由ACBC=，90ACB=，得45CAB=，设AFx=，则C

Fx=，求出ABAE=，在RtAFE中用勾股定理求出EF，得(31)CEx=−，再证四边形FAGE为矩形，得AFEGx==，3EFAGx==，在RtBEG中用勾股定理求出(62)BEx=−，即得22CEBE=．【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，过E作

EGAB⊥交AB于G，连AE，ACBC=，90ACB=，45CAB=，//CEAB，90FAB=，45FAC=，AFC为等腰直角三角形，设AFx=，则CFx=，222ACAFCFx=+=，2222ABACBCACx=+==，AE、AB均为的半径，2AEx=，22

3EFAEAFx=−=，(31)CEx=−，90FFABAGE===，四边形FAGE为矩形，AFEGx==，3EFAGx==，(23)BGABAGx=−=−，22(62)BEEGBGx

=+=−，312262CEBE−==−．故答案为：22．【点评】本题是圆综合性题，考查了平行线的性质、勾股定理、矩形的判定，通过作垂线将所求线段转化成直角三角形的边或边的一部分是本题关键．25．（2021•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点(0,2)A为圆心，2为半径的圆交

y轴于点B．已知点(2,0)C，点D为A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则BCE面积的最小值为410−．【分析】设出点(,)Emn，先构造出()CMEENDAAS，进而确定出点(,2)Dmnnm++−，再利用2AD=，建立方程，利用两

点间的距离得出点E是以O为圆心，2为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：如图，设(,)Emn，过点E作EMx⊥轴于M，过点作DNEM⊥，交ME的延长线于N，90CMEEND==，90MCEMEC+=，CDE是等腰直角三角形，CEDE=，9

0CED=，90NEDMEC+=，MCENED=，()CMEENDAAS，EMDNn==，2CMENm==−，(,2)Dmnnm++−，点D在以(0,2)A为圆心半径为2的圆上，连接AD，则2AD=，22()(22)2mnnm+++−−=，222mn+=，即22(

0)(0)2mn−+−=，点E在以点O为圆心，2为半径的圆上，（到定点(0,0)的距离是2的点的轨迹），以点(0,2)A为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，(0,4)B，4OB=，(2,0)C，2OC=

，25BC=，过点O作OHBC⊥于H，455OBOCOHBC==，设点E到BC的距离为h，1125522BCESBChhh===，h最小时，BCES最小，而45225hOH=−=−最小，SBCE

最小455(2)4105=−=−，故答案为：410−．【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点．26．（2021•顺城区二模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点

A作AE的垂线交DE于点P．若1AEAP==，5PB=．下列结论：①APDAEB；②点B到直线AE的距离为2；③EBED⊥；④16APDAPBSS+=+；⑤46ABCDS=+正方形．其中正确结论的序号

是①③⑤．【分析】①利用同角的余角相等，易得EABPAD=，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；②过B作BFAE⊥，交AE的延长线于F，利用③中的90BEP=，利用勾股定理可求BE，结合AEP是等腰直角三角形，可证BEF是等腰直角三角形，再利用

勾股定理可求EF、BF；③利用①中的全等，可得APDAEB=，结合三角形的外角的性质，易得90BEP=，即可证；④连接BD，求出ABD的面积，然后减去BDP的面积即可；⑤在RtABF中，利用勾股定理可求2AB，即是正方形的面积．【解答】

解：①90EABBAP+=，90PADBAP+=，EABPAD=，又AEAP=，ABAD=，在APD和AEB中，AEAPEABPADABAD===，()APDAEBSAS；故此

选项成立；③APDAEB，APDAEB=，AEBAEPBEP=+，APDAEPPAE=+，90BEPPAE==，EBED⊥；故此选项成立；②过B作BFAE⊥，交AE的延长线于F，AEAP=，90EAP=，45AEPAPE==，又③中EBED⊥，

BFAF⊥，45FEBFBE==，又22523BEBPPE=−=−=，62BFEF==，故此选项不正确；④如图，连接BD，在RtAEP中，1AEAP==，2EP=，又5PB=，3BE=，APDAEB，3PDBE==，()6111

114633222222ABPADPABDBDPABCDSSSSSDPBE+=−=−=+−=+正方形．故此选项不正确．⑤62EFBF==，1AE=，在RtABF中，222()46ABAEEFBF=++=+，246ABCDSAB==+正方形，故此选项正确．故答案为：①③⑤

．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．27．（2020•婺城区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2,0)−、(0,1)，C的圆心坐标为(0,1)−

，半径为1．若D是C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是113．【分析】当射线AD与C相切时，ABE面积的最大．设EFx=，由切割线定理表示出DE，可证明CDEAOE∽，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得ABE面积．【解答

】解：当射线AD与C相切时，ABE面积的最大．连接AC，90AOCADC==，ACAC=，OCCD=，RtAOCRtADC(HL)，2ADAO==，连接CD，设EFx=，2DEEFOE=，1CF=，(2)DExx=+，CDEAOE∽，

CDCEAOAE=，即1122(2)xxx+=++，解得23x=，22(12)113223ABEBEAOS++===．故答案为：113【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与C相切时，ABE

面积的最大．28．（2020•浙江自主招生）如图，E、F分别是ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若210APDScm=，220BQCScm=，则阴影部分的面积为230cm．【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出EFCBCFSS

=，EFDADFSS=，所以EFGBCQSS=，EFPADPSS=，因此可以推出阴影部分的面积就是APDBQCSS+．【解答】解：连接E、F两点，四边形ABCD是平行四边形，//ABCD，EFC的FC边上的高与BCF的FC边上的高相等，EFC

BCFSS=，EFQBCQSS=，同理：EFDADFSS=，EFPADPSS=，210APDScm=，220BQCScm=，230EPFQScm=四边形，故阴影部分的面积为230cm．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在

于求出各三角形之间的面积关系．29．（2020•浙江自主招生）如图，MN是O的直径，2MN=，点A在O上，30AMN=，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB+的最小值为2．【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短

的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN

于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．此时PAPB+最小，且等于AC的长．连接OA，OC，30AMN=，60AON=，ABBN=30AOBBON==，MNBC⊥，NBCN=，30CONNOB==，则90AOC=，又1OAOC==，则2AC=．【点

评】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用．30．（2021秋•张店区期末）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且22OABCS=矩形，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C落在第四象限，

过M点的反比例函数(0)kykx=的图象恰好过MN的中点，则k的值为22，点C的坐标为．【分析】利用()BQMOQNAAS，得到点Q是MN的中点，利用RtOHQRtOCB∽得到21()4OHQOBCSQH

SBC==，求出k的值，设AMa=，则3BMaOM==，求得22OAa=，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得2OCBCOA===，32ONBNOM===，根据三角形面积求得CG，再根据勾股定理

即可求得OG，从而求得C的坐标．【解答】解：如图，连接OB，交MN于点Q，矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，QBQO=，MBMO=，//ABCO，ABQNOQ=，MQBNQO=，而OQBQ=，(

)BQMOQNAAS，QMQN=，即点Q是MN的中点，过点Q作QHBC⊥于点H，则QH是OBC的中位线，则RtOHQRtOCB∽，则21()4OHQOBCSQHSBC==，而122OBCAOCBSS==矩形，则1212442OHQSk===，解

得22k=，点M是反比例函数上的点，则1224AOMSk==，而1242ABOAOMAOCBSSS===矩形，故14AMAB=，设AMa=，则3BMaOM==，则2222OAOMAMa=−=，则21122422AOMSAMAOaa===，解得12a

=（负值已舍去），则42ABAM==，12AMa==，连接BN，作CGON⊥于G，QOBQ=，QMNQ=，四边形MONB是平行四边形，ONBNOM==，OCBCOA==，RtAOMRtCBNRt△()CONHL，24CONAOMSS==，32ONO

M==，222OCOAa===，1224ONCG=，132224CG=，23CG=，222224(2)()33OGOCCG=−=−=，C为4(3，2)3−，故答案为：22，4(3，2)3−．【点评】此题考查了翻折变换，反

比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换−对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大．31．（2021•襄城区模拟）如图，点M为矩形ABCD的边BC上一点，将矩形

ABCD沿AM折叠，使点B落在边CD上的点E处，EB交AM于点F，在EA上取点G，使EGEC=．若6GF=，4sin5GFE=，则AB=65．【分析】连接CF，过点G作GHEF⊥于点H，根据6GF=，4sin5GHGFEGF==，可得245GH=，然

后根据勾股定理可得FH，证明GEFCEF，可得GFCF=，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得162CFBEEFBF====，利用勾股定理可得GE，证明EGHEAF∽，由EGEHAEEF=，得到AE，进而可以解决问题．【解

答】解：如图，连接CF，过点G作GHEF⊥于点H，6GF=，4sin5GHGFEGF==，245GH=，222224186()55FHFGGH=−=−=，四边形ABCD是矩形，//ABDC，ABECEB=，由

翻折可知：AEAB=，ABEAEB=，AEBCEB=，在GEF和CEF中，GECEGEFCEFEFEF===，()GEFCEFSAS，GFCF=，F是BE的中点，162CFBEEFBF====，1812655EHEFFH=−=−=，22222

412125()()555GEGHEH=+=+=，由翻折可知：AM垂直平分BE，//GHAM，EGHEAF∽，EGEHAEEF=，12512556AE=，65AE=．65ABAE==．故答案为：65．【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，考查了翻折

变换的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．32．（2021•市南区二模）如图，正方形A

BCD中，12AD=，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EFAE⊥，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接AM，交EF于点N，若点F是BC边的中点，则线段AM的长是102．【分析】利用勾股定理求出65AF=，再

证明AGDFGB∽，得出2AGFG=，进而求得25FG=，再根据180ABCAEF+=，判断出点A，B，F，E四点共圆，进而得出45EFGABD==，由翻折得出：FGFM=，EFMEFG=，可得90AFM=，再运用勾股定理即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD是正方

形，//ADBC，12ABBCAD===，点F是AB的中点，162BFBC==，在RtABF中，222212665AFABBF=+=+=，//ADBC，AGDFGB∽，AGADFGBF=，1226AGFG==，2AGFG=，AGFGAF+=，265FGFG+=，25FG

=，BD是正方形ABCD的对角线，45ABD=，EFAE⊥，90AEFABC==，180ABCAEF+=，点A，B，F，E四点共圆，45EFGABD==，将EFG沿EF翻折，得到EFM，FGFM=，EFMEFG=，25FM=，45EFME

FG==，454590AFMEFMEFG=+=+=，2222(65)(25)102AMAFFM=+=+=．故答案为：102．【点评】本题是几何综合题，也是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形

的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键．33．（2021•绵阳模拟）已知：如图，ABC中，45A=，6AB=，42AC=，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则DEF周长的最小值是12105．【分析】如图，

作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AHBC⊥于H，CKAB⊥于K．由对称性可知：DEDM=，FEFN=，AEAMAN==，推出DEF的周长DEEFFDDMDFFN++=++，推出当点E固定时，此

时DEF的周长最小，再证明MNA是等腰直角三角形，推出2MNAE=，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题；【解答】解：如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交

AB于D，交AC于F，作AHBC⊥于H，CKAB⊥于K．由对称性可知：DEDM=，FEFN=，AEAMAN==，DEF的周长DEEFFDDMDFFN++=++，当点E固定时，此时DEF的周长最小，45BAC=，BA

EBAM=，CAECAN=，90MAN=，MNA是等腰直角三角形，2MNAE=，当AE的值最小时，MN的值最小，42AC=，4AKKC==，6AB=，2BKABAK=−=，在RtBKC中，90BKC=，2BK=，4CK=，2

225BCBKCK=+=，1122BCAHABCK=，1255AH=，根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为1255，MN的最小值为12105，DEF的周长的最小值为12105．故答案为12105．【点评】本题考查了轴对称问题，能根据等腰直角三角形的

性质和垂线段最短作出辅助线是解此题的关键．34．（2021•唐山一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若CEF的面积为6，则ADF的面积为24．【分析】根据E为BC边的中点可得出CE和AD的比，进而根据

面积比等于相似比的平方可得出ADF的面积．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，12CEAD=，:1:4CFEADFSS=，又CEF的面积为6，ADF的面积为24．故答案为：24．【点评】本题考查平行四边形的性质，属于基础的应

用题，难度不大，解答本题的关键是掌握面积比等于相似比的平方．35．（2020•牡丹江）如图，在RtABC中，CACB=，M是AB的中点，点D在BM上，AECD⊥，BFCD⊥，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BFCE=；②AEMDEM=；③2AECEME−=；④222

2DEDFDM+=；⑤若AE平分BAC，则:2:1EFBF=；⑥CFDMBMDE=，正确的有①②③④⑤⑥．（只填序号）【分析】证明BCFCAE，得到BFCE=，可判断①；再证明BFMCEM，从而判断EMF为等腰直角三角形，

得到2EFEM=，可判断③，同时得到45MEFMFE==，可判断②；再证明DFMNEM，得到DMN为等腰直角三角形，得到2DN=，DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DEEM=，再证明ADEACE，得到DECE=，则有22EFEFEFEMBFCEDE

DE====，从而判断⑤；最后证明CDMADE∽，得到CMDMAEDE=，结合BMCM=，AECF=，可判断⑥．【解答】解：90ACB=，90BCFACE+=，90BCFCBF+=，ACECBF=，又90BFD

AEC==，ACBC=，()BCFCAEAAS，BFCE=，故①正确；由全等可得：AECF=，BFCE=，AECECFCEEF−=−=，连接FM，CM，点M是AB中点，12CMABBMAM===，CMAB⊥，在BDF和CDM中，BFDCMD=，BDFC

DM=，DBFDCM=，又BMCM=，BFCE=，()BFMCEMSAS，FMEM=，BMFCME=，90BMC=，90EMF=，即EMF为等腰直角三角形，2EFEMAECE==−，故③正确，45

MEFMFE==，90AEC=，45MEFAEM==，故②正确，设AE与CM交于点N，连接DN，DMFNME=，FMEM=，45DFMDEMAEM===，()DFMNEMASA，DFEN=，DMMN=，DMN为等腰

直角三角形，2DNDM=，而90DEA=，22222DEDFDNDM+==，故④正确；ACBC=，90ACB=，45CAB=，AE平分BAC，22.5DAECAE==，67.5ADE=，45DEM=，67.5EMD=，即DEE

M=，AEAE=，AEDAEC=，DAECAE=，()ADEACEASA，DECE=，MEF为等腰直角三角形，2EFEM=，22EFEFEFEMBFCEDEDE====，故⑤正确；CDMADE=，90CMDAED==，

CDMADE∽，CDCMDMADAEDE==，BMCM=，AECF=，BMDMCFDE=，CFDMBMDE=，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较

大，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．36．（2020•营口模拟）已知关于x的一元二次方程20(13xaxnbn++=剟，n为整数），其中a是从2、4、6三个数中任取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程

有实数根”为事件(1nAn=，2，3)，当nA的概率最小时，n的所有可能值为2或3．【分析】算出相应的概率，判断n的值即可．【解答】解：（1）当1n=时，△24ab=−，①2a=，1b=，△24440ab=−=−=，有实根，②2a=

，3b=，△2441280ab=−=−=−，无实根，③2a=，5b=，△24420160ab=−=−=−，无实根，④4a=，1b=，△24164120ab=−=−=，有实根，⑤4a=，3b=，△2416124

0ab=−=−=，有实根，⑥4a=，5b=，△24162040ab=−=−=−，无实根，⑦6a=，1b=，△24364320ab=−=−=，有实根，⑧6a=，3b=，△243612240ab=−=−=，有实根，⑨6a=，5b=，△243620160ab=−

=−=，有实根．62()93nPA==．（2）当2n=时，△28ab=−，①2a=，1b=，△284840ab=−=−=−，无实根，②2a=，3b=，△28424200ab=−=−=−，无实根，③2a=，5b=，△28440360ab=−=−=−，无实根，④4a=，1b=，△28168

80ab=−=−=，有实根，⑤4a=，3b=，△28162480ab=−=−=−，无实根，⑥4a=，5b=，△281640240ab=−=−=−，无实根，⑦6a=，1b=，△28368280ab=−=−=，有实根，⑧6a=，3b=，△283624120ab=−=−=，有实根，⑨6a=，

5b=，△28364040ab=−=−=−，无实根．31()93nPA==．（3）当3n=时，△212ab=−，①2a=，1b=，△21241280ab=−=−=−，无实根，②2a=，3b=，△212436320ab=−=

−=−，无实根，③2a=，5b=，△212460560ab=−=−=−，无实根，④4a=，1b=，△212161240ab=−=−=，有实根，⑤4a=，3b=，△2121636200ab=−=−=−，无实根，⑥4a=，5b=，△2121660440ab=−=−=−

，无实根，⑦6a=，1b=，△2123612240ab=−=−=，有实根，⑧6a=，3b=，△21236360ab=−=−=，有实根，⑨6a=，5b=，△2123660240ab=−=−=−，无实根．31()93nPA==．由以上三种情况可

知：nA的概率最小时，n的所有可能值为2或3．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn=．37．（2017•邵东县三模）甲、乙两名同学在参加今年体育中考前各作了5次立定

跳远测试，成绩如图所示，根据分析，你认为他们中成绩较为稳定的是甲．【分析】根据图象和方差的意义可作出判断，甲的成绩较集中，波动较小，即可得出答案．【解答】解：从图中看出甲的成绩波动较小，则甲的成绩稳定．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的意义．方

差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．38．（2021•雨花区校级模拟）边长为1的正方形111OABC的顶点1A在X轴的正半轴上，如图

将正方形111OABC绕顶点O顺时针旋转75得正方形OABC，使点B恰好落在函数2(0)yaxa=的图象上，则a的值为23−．【分析】此题考查图形旋转问题，求出B点坐标代入函数就可以了．【解答】解：连接OB，旋转75，x轴正半轴与OA的夹角为75，45AOB=，OB与x轴正

半轴夹角为754530−=，过B作BDx⊥轴于D，1BCOC==，2OB=，22BD=，62OD=，6(2B，2)2−，把B点坐标代入2yax=中得：226()22a−=，解之得：23a=−

．【点评】此题主要考查坐标转换问题，先给一个确定的坐标再通过旋转求出旋转以后的坐标，问题就解决了．39．（2021•罗湖区校级模拟）如图，点(2,1)A在反比例函数kyx=的图象上，过A作ABy⊥轴于B，在反比例

函数图象上找一点P，使PHAB⊥于H，若P、H、A三点组成的三角形与AOB相似，则P点的坐标是(0.5,4)，2(2,1)P−−，3(0.5,4)P−−．【分析】根据点(2,1)A在反比例函数kyx=的图象上，首先得出反比例函数的解析式

，进而求出AB，BO的比值，进而得出PHA直角边之间比值关系分别求出即可．【解答】解：点(2,1)A在反比例函数kyx=的图象上，122xyk===，2yx=，2ABBO=，在反比例函数图象上找一点P，使PHAB⊥于H，若P、H、A三点组成的三角形与AOB相似，2PHAH=，或2AH

PH=，假设P点横坐标为：x，则纵坐标为：2x，2AHx=−，121HPx=−，当2AHPH=，2221xx−=−，解得：122xx==（不合题意舍去），当2PHAH=，2122xx−=−，解得：10.5x=，22x=（不合题意舍去），14y=，1P

的坐标为：(0.5,4)，同理可得出2P，3P点的坐标分别为：2(2,1)P−−，3(0.5,4)P−−．故答案为：(0.5,4)，2(2,1)P−−，3(0.5,4)P−−．【点评】此题主要考查了反比

例函数的综合应用以及相似三角形的性质，根据已知得出PHA直角边之间比值关系是解题关键．40．（2021•威远县一模）如图，已知双曲线(0)kykx=经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB

相交于点C．若点A的坐标为(6,4)−，则AOC的面积为9．【分析】要求AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标(6,4)−，可得点D的坐标为(3,2)−，代

入双曲线(0)kykx=可得k，又ABOB⊥，所以C点的横坐标为6−，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．【解答】解：点D为OAB斜边OA的中点，且点A的坐标(6,4)−，点D的坐标为(3,2)−，把(3,2)−代入双曲线(0)kykx=，可得6k=−，即双曲线解析式

为6yx=−，ABOB⊥，且点A的坐标(6,4)−，C点的横坐标为6−，代入解析式6yx=−，1y=，即点C坐标为(6,1)−，3AC=，又6OB=，192AOCSACOB==．故答案为：9．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何

意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com